Задача: Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске 5 x 5 так, чтобы каждый из них бил ровно двух других? Укажите расстановку и докажите, что нельзя расставить большее число коней с выполнением условия задачи.
Решение: Максимальное количество коней, удовлетворяющих условию, равно 12. Расстановку можно указать следующим образом:
K K - - K
-
- K - - K - - K -
-
- K - - K - - K -
Эта расстановка соответствует всем условиям задачи, каждый конь бьет ровно двух других.
Докажем, что нельзя расставить большее число коней с выполнением условия задачи. Заметим, что каждый конь бьет максимально 8 клеток, и если количество коней больше 12, то общее количество битых клеток будет больше 24.
Однако на доске 5 x 5 всего 25 клеток, и каждая клетка бьется конем лишь один раз. Если количество коней больше 12, будет существовать хотя бы одна небитая клетка, так как количество битых клеток превысит 25. Таким образом, расстановку с большим числом коней, удовлетворяющих условию задачи, нельзя получить на доске 5 x 5.