Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Контрольная работа на тему «Приложения определенного интеграла»

В данной курсовой работе, передо мной поставлены следующие задачи: вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями, также ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах, вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат, заданных параметрическими уравнениями, заданных уравнениями в полярных координатах, а также вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями, ограниченных графиками функций, и образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг полярной оси. Мною была выбрана курсовая работа по теме «Определенный интеграл.

Контрольная за 30 минут онлайн

ВВЕДЕНИЕ

В данной курсовой работе, передо мной поставлены следующие задачи: вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями, также ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах, вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат, заданных параметрическими уравнениями, заданных уравнениями в полярных координатах, а также вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями, ограниченных графиками функций, и образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг полярной оси. Мною была выбрана курсовая работа по теме «Определенный интеграл. В связи с этим, я решила узнать, как легко и быстро можно использовать интегральные вычисления, и насколько точно можно вычислить поставленные передо мной задачи.

ИНТЕГРАЛ одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Раскрытие темы курсовой работы я провела по следующему плану: определение определенного интеграла и его свойства; длина дуги кривой; площадь криволинейной трапеции; площадь поверхности вращения.


. ТЕОРИЯ

Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Если функция F(x) — какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то это выражение известно под названием формулы Ньютона-Лейбница:

(1)

Основные свойства определенного интеграла:

Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

(2)

Если f(x)=1, то:

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена контрольной

(3)

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

(4)

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:


(5)

Если функции интегрируемы на , тогда интегрируема на  их сумма и интеграл от суммы равен сумме интегралов:

(6)

Существуют также основные методы интегрирования, например замена переменной,:

(7)

Исправление дифференциала:

(8)

Формула интегрирования по частям дает возможность свести вычисление интеграла  к вычислению интеграла , который может оказаться более простым:

=                                            (9)

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена контрольной

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что для непрерывной и неотрицательной функции  представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции.


(10)

Кроме того, с помощью определенного интеграла можно найти площадь области, ограниченной кривыми , прямыми и , где

 

(11)

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически  прямыми x = a и x = b и осью Ox, то площадь ее находится по формуле, где  определяются из равенства :

.                                       (12)

Основная область, площадь которой находят с помощью определенного интеграла- криволинейный сектор. Это область, ограниченная двумя лучами  и кривой, где r и  — полярные координаты:

(13)

Если кривая является графиком функции  где , а функция ее производная  непрерывны на этом отрезке, то площадь поверхности фигуры, образованной вращением кривой вокруг оси Ox, можно вычислить по формуле:


.                                   (14)

Если функция  и ее производная  непрерывны на отрезке то кривая имеет длину, равную:

(15)

Если уравнение кривой задано в параметрической форме

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена контрольной

где x(t) и y(t) — непрерывные функции с непрерывными производными и  то длина кривой находится по формуле:

.                               (16)

Если кривая задана уравнением в полярных координатах , где  и  непрерывны на отрезке , тогда длину дуги можно посчитать следующим образом:

(17)

Если вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией  отрезком  и прямыми x = a и x = b, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Ox, будет равен:

(18)


Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции  и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

(19)

Если фигура ограничена кривыми  и  (находится «выше», чем и прямыми x = a, x = b, то объем тела вращения вокруг оси Ox будет равен:

,                                       (20)

 

.                                       (21)

Если криволинейный сектор вращать вокруг полярной оси, то площадь полученного тела можно найти по формуле:

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать контрольную работу

(22)

 

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 14: Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:

)

1)      Решение:

Рисунок 1 — График функций

)        Найдем пределы интегрирования.

X меняется от 0 до

x1 = -1 и x2 = 2 — пределы интегрирования (это видно на Рисунке 1).

)        Посчитаем площадь фигуры, использую формулу (10).

Ответ: S = .

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена контрольной

Задача 15: Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями:

) Решение:

Рисунок 2 — График функций

 

Рассмотрим функцию на интервале [0,12π].

t

0

π/6

π/4

π/3

π/2

π

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

 

x

0

π-3

 

2π-3

3π-6

9π+6

12π

y

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать контрольную работу

0

6-3

6-

3

6

12

6

0

Рисунок 3 — Таблица переменных для функции

Так как , то на этом периоде поместиться 1 дуга. Эта дуга состоит из центральной части (S1) и боковых частей. Центральная чаcть состоит из искомой части и из прямоугольника (Sпр):. Посчитаем площадь одной центральной части дуги.

) Найдем пределы интегрирования.

и y = 6, следовательно

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать контрольную работу

Для интервала [0,12π]  — пределы интегрирования.

)        Найдем площадь фигуры, используя формулу (12).

интеграл криволинейный трапеция

 

 

Ответ: S =

Задача 16: Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

,

) Решение:

Рисунок 4 — График функций ,

φ

0

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать контрольную работу

π/6

π/4

-π/6

-π/4

-π/3

-π/2

r1

1

 

(0

r2

 

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена контрольной

1

0

Рисунок 5 — Таблица переменных функций ,

) Найдем пределы интегрирования.

следовательно —

)        Найдем площадь фигуры, используя формулу (13).

Ответ: S =.

Задание 17: Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат:

) Решение:

Рисунок 6- График функции

x

0

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена контрольной

1

ln

ln

ln

ln

2

-1

-2

-3

1,5

y

1

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать контрольную работу

2-e

 

2-

2-

2-2

2-e2

2-1/e

2-1/e2

2-1/e3

2-e2

Рисунок 7 -Таблица переменных функции

2) Найдем пределы интегрирования.

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать контрольную работу

меняется от ln до ln, это очевидно из условия.

3)                          Найдем длину дуги, используя формулу (15).


Ответ: l=

Задание 18: Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями: 1)

1)      Решение:

Рисунок 8- График функции

t

0

π/6

π/4

π/3

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

x

6

 

3

2π-3

 

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать контрольную работу

-6

y

0

 

6

 

Рисунок 9- Таблица переменных функций

)        Найдем пределы интегрирования.

t меняется от 0 до π, это очевидно из условия.

)        Найдем длину дуги, используя формулу (16).

 

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

Ответ:

Задание 19: Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах: 1)

1)      Решение:

Рисунок 10- График функции

-π/3

-π/4

-π/6

0

ρ

2,5

1,5

0,75

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

0

Рисунок 11- Таблица переменных функции

)        Найдем пределы интегрирования.

φ меняется от , это очевидно из условия.

Найдем длину дуги, используя формулу (17).

Ответ:

Задание 20: Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

)        Решение:

Рисунок 12 — График функций :



)        Найдем пределы интегрирования.

Z меняется от 0 до 3.

)        Найдем объем фигуры, используя формулу (18)

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена контрольной

Ответ:

Задание 21: Вычислить объемы тел, ограниченных графиками функций, ось вращения Ох: 1)

)        Решение:

Рисунок 13 — График функций

x

0

1

2

-1

-2

y

0

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена контрольной

1

8

-1

-8

Рисунок 14- Таблица графика функции

Рисунок 15- Таблица графика функции

)        Найдем пределы интегрирования.

Точки (0;0) и (1;1) являются общими для обоих графиков, следовательно это и есть пределы интегрирования, что очевидно на рисунке.

3)      Найдем объем фигуры, используя формулу (20).

Ответ:

Задание 22: Вычислить площадь тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, вокруг полярной оси:

1)      Решение:

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

Рисунок 16 — График функции

φ

0

π/4

π/6

-π/4

-π/4

ρ

1

0

 

0

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена контрольной

 

Рисунок 17- Таблица переменных для графика функции

)        Найдем пределы интегрирования.

φ меняется от

)        Найдем площадь фигуры, используя формулу (22).

Ответ: 3,68

В процессе выполнения курсовой работы на тему «Определенный интеграл», я научилась вычислять площади разных тел, находить длины различных дуг кривых, а также вычислять объемы. Данное представление о работе с интегралами, поможет мне в будущей профессиональной деятельности, как быстро и оперативно выполнять различные действия. Ведь сам интеграл — одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.       Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Ч.1 — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008. — 288 с.

.        Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Т.2 — М.: Дрофа, 2004. — 512 с.

.        Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е — М.: МЦНМО, 2002. -664 с.

4.   Кузнецов Д.А. «Сборник задач по высшей математики» Москва, 1983 г.

Нужна помощь в написании контрольной?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать контрольную работу

5.       Никольский С. Н. «Элементы математического анализа». — М.: Наука, 1981г.