Ряд таких математических понятий и результатов возник в рамках геометрической теории функций, которой автор занимался в течение последних десятилетий. Примером подобной прикладной ориентации математического анализа является книга В.А. Зорича [4].
§ 1. Скалярные математические поля на плоскости.
1. Новое в дифференциальной геометрии плоских кривых.
В автодорожных и железнодорожных вузах при изучении переходных кривых используется понятие скорости изменения кривизны такой кривой. С математической точки зрения — это вторая кривизна плоской кривой
k2=d2φ / ds2.
До недавнего времени это понятие дифференциальной геометрии не рассматривалось в вузовских учебниках высшей математики, не использовалось в научных исследованиях. Оно не упоминается в Советской математической энциклопедии, его нет в справочниках по математике для инженеров и научных работников. Более того, второй кривизной в подобных изданиях названо кручение пространственной кривой, что закрывает прикладникам саму возможность использования высших кривизн плоских кривых. В то же время в вузовских учебниках рассматривается клотоида — кривая второй постоянной кривизны, есть она и в упомянутой энциклопедии. К понятию второй кривизны вплотную подошли классики учебно-педагогической литературы по математике Г.М. Фихтенгольц и С.П. Фиников, и даже в неявной форме установили одно её свойство. Автор опубликовал свой первый результат по второй кривизне в 2002 г., подробное изложение которого дано в статье [6].
2. Дифференциальная геометрия семейств линий уровня скалярного поля.
Упомянутая дифференциальная геометрия отличается от дифференциальной геометрии отдельных кривых. Она непосредственно связана с теорией скалярного поля, порождающего это семейство линий уровня. Рассмотрим вектор τ=gradu/|gradu|. Кроме понятия кривизны линии уровня divτ, возникает понятие рыскания rotτ. Возникает понятие гауссового изображения семейства линий уровня. Кроме понятия работы векторного поля на кривой, появляется понятие работы векторного поля на семействе линий уровня. Соответствующие понятия рассмотрены автором в статье [6]. Они могут быть полезны метеорологам и гидрологам, использующих понятия изотерм и других линий уровня природных скалярных полей.
3. Интегральная геометрия семейства линий уровня скалярного поля.
Пусть гладкое скалярное поле задано в плоской области G. Обозначим L(r) длину уровня u(r)=r. Тогда первоначальным проявлением интегральной геометрии семейств линий уровня будет формула
∫∫|gradu|dG=∫L(r)dr,
известная по учебнику математического анализа [5, c. 318]. Необходимый атрибут интегральной геометрии — мера семейства кривых. Такое понятие возникло в геометрической теории функций как модуль семейства кривых. Из работ отечественных авторов по этой тематике следует отметить монографию [10]. Примером использования метода модулей в геометрической теории функций является также работа автора [8]. Сам термин «метод модулей» не является удачным, поскольку уже использован для другого математического понятия. Автор предлагает называть его интегрально-геометрическим методом.
4. Индуцированное скалярное поле.
Если всякой точке линии уровня скалярного поля поставить в соответствие её центр кривизны, то получится преобразование всей области определения скалярного поля — преобразование к центру кривизны. Примеры таких преобразований можно обнаружить в задачниках по высшей математике. Однако эти преобразования не связывались со скалярными полями. В результате преобразования к центру кривизны получается индуцированное скалярное поле в новой области определения, уровни которого совпадают с эволютами линий уровня первоначального скалярного поля. Рассмотрение индуцированного скалярного поля позволяет раскрыть новые свойства исходного скалярного поля.
§ 2.Векторные поля в многомерном пространстве.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
1. Матричный ротор векторного поля.
В высшей математике отсутствует понятие ротора векторного поля в многомерном пространстве. В то же время в бухгалтерских вычислениях используется понятие сальдовой матрицы sdA как разности между транспонированной матрицей и исходной. Автор предлагает назвать матричным ротором гладкого векторного поля F матрицу rotF=sdJF, где JF — матрица Якоби векторного поля F. При размерности пространства n=2 матричный ротор порождает скалярную ротацию, при n=3 — обычный ротор. Как и в случае обычного ротора, rot(gradu) — нулевая матрица.
2. Единичное векторное поле нормированного градиента скалярного поля.
Теперь скалярное поле u=u(M) рассматривается в многомерном пространстве. При этом divτ — средняя кривизна гиперповерхности уровня, rotτ — пока неисследованное геометрическое понятие. Изучению гладких единичных векторных полей посвящён один из разделов монографии [1].
3. Два вида углов, используемых в теории векторного поля на плоскости.
Первый вид — это угол между градиентами двух скалярных полей, на тему которого можно обнаружить задачи в практикумах по высшей математике. Автор использовал его для исследования квазиконформных отображений на плоскости. До этого специалисты пользовались геометрическим понятием угла между двумя кривыми. Второй вид — это угол наклона векторного поля к оси абсцисс. Этот угол востребован в топологической теории векторных полей на плоскости, применяется в геометрической теории дифференциальных уравнений.
4.Квазиконформное векторное поле.
Гладкое векторное поле F=F(M) в многомерном пространстве можно охарактеризовать с помощью скалярного поля числа обусловленности condJF его матрицы Якоби. Содержательной геометрической характеристикой векторного поля будут пятна квазиконформности этого поля, ограниченные линиями уровня скалярного поля числа обусловленности. Принципиальное отличие от теории квазиконформных отображений в много мерном пространстве состоит в том, что векторные поля можно складывать и возникает вопрос об оценке числа обусловленности condJ(F1+F2). Поскольку для квадратной матрицы А
condA=||A||.||A-1||
и для определителя суммы положительно определённых матриц есть неравенство Минковского, то для гладких векторных полей с положительно определёнными матрицами Якоби будет
(condJ(F1+F2))1/n≤(condJF1)1/n+(condJF2)1/n.
В геометрической теории функций исследовались также квазиконформные в среднем отображения, отображения класса Беппо Леви и отображения анизотропного соболевского класса (по другой терминологии — треугольные отображения). Полученные при этом результаты так же можно распространить на векторные поля в многомерном пространстве.
§ 3. Матричные поля в многомерном пространстве
Как уже показано в данной статье, матричные поля возникают при рассмотрении матрицы Якоби гладкого векторного поля и матричного ротора. Мы остановимся здесь на применении матричных полей в вычислительной математике.
1. Угловая мера обусловленности квадратной матрицы.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
В течение последних четырёх десятилетий независимо друг от друга развивались теория устойчивости квазиконформных отображений и теория устойчивости систем линейных алгебраических уравнений, хотя у них была общая составляющая: обусловленность квадратной матрицы и её свойства. Например, рассуждения [2, c. 116] типичны для квазиконформных отображений, а определение квазиконформности [9, c. 18] основано на специальном понятии обусловленности. Обозначим через ф(і) метрический угол между вектором-столбцом матрицы А и векторным произведением остальных n-1 векторов-столбцов матрицы А. Если condA — число обусловленности матрицы А по евклидовой норме, то ( condA)2≥Σ 1/sin2ф(і). На возможность такой трактовки меры обусловленности указано в учебном пособии [2, c. 116]. Там же отмечен только необходимый характер условия min sinф(i)≥1/q (q≥1). Достаточное условие приведено в работе автора [9].
2. Логарифмический градиент гладкого матричного поля.
Для гладкого матричного поля А(х) так будем называть матричное поле ln grad A(x)=gradA(x)/||A(x)||.
При этом выполняется восходящее к С.К. Годунову [3, c. 150] неравенство |grad detA(x)|/|detA(x)|≤n condA(x)||ln gradA(x)||.
Список литературы:
1.Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990. — 215 c.
2.Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983. — 336 с.
3.Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997. — 389 с.
4.Зорич В.А. Математический анализ задач естествознания. М.: МЦНМО, 2008. — 136 с.
5.Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. М.: Наука, 1970. — 672 с.
6.Пешкичев Ю.А. Дифференциальная геометрия в математической физике // Сборник материалов VIII Международной научно-практической конференции «Наука и современность — 2011». — Ч. 2 (1 февраля 2011 г.) / Под общей ред. к.э.н. С.С. Чернова. — Новосибирск, 2011. — С. 248—253.
7.Пешкичев Ю.А. Многомерный градиент и квазиконформные отображения // Вопросы метрической теории отображений и её применение. Киев: Наукова думка, 1978. С. 99—109.
8.Пешкичев Ю.А. Отображения ограниченной вариации и метод модулей // Мат. заметки. 1994. Т. 55. В. 1. С. 74—78.
9.Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск: Наука, 1983. — 229 с.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
10.Сычёв А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. — 152 с.