Результаты исследования:
Рассматривается уравнение
(1)
в области 
плоскости комплексного переменного 
где 
— полуплоскость 
, 
—конечная область полуплоскости 
, ограниченная характеристиками 
уравнения (1), выходящими из точек 
и отрезком 
прямой 
; 
интервал 
прямой .
Задача. Найти функцию 
со следующими свойствами:
1.
причем 
, 
ограничены, 
при 
может обращаться в бесконечность порядка 
где 
2. 
удовлетворяет уравнению (1) в 
и краевым условиям
(2)
(3)
где:
аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки 
с характеристиками AC и BC соответственно, 
операторы дробного в смысле Римана — Лиувилля интегро — дифференцирования [4]; 
— заданные функции, причем
и могут обращаться в бесконечность порядка не выше 
при x=0 и x=1, а при достаточно больших |x| удовлетворяют неравенству 
где 
Вопросы однозначной разрешимости задачи (1)—(3) в ограниченной и неограниченной областях исследовались в работах Кумыковой С. К. [2] и Денисовой З. Г. [1] при
.
Задача (1)—(3) относится к классу задач со смещением А. М. Нахушева [3].
Результатом работы является доказательство теоремы единственности.
Теорема единственности. В области D не может существовать более одного решения задачи (1)— (3), если выполняются условия
где:
Доказательство. Пусть
решение задачи, удовлетворяющей однородным граничным условиям
Интегрируя тождество
по области и учитывая, что 
, после некоторых преобразований получаем
где: 
При выполнении условий теоремы интеграл [2]
Тогда, решение задачи (1) — (3) единственно, так как 
в как решение задачи Коши с нулевыми данными, а в как решение однородной задачи 
.
Вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения
где: 
и при 
или 
может обращаться в бесконечность порядка ниже 
. Ядро K(x,t) имеет слабую особенность и допускает оценку
Действительно,
Известно, что
для любых 
и 
.
Отсюда
Следовательно,
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Подвижная особенность ядра 
равна 
, неподвижная 
. Сумма подвижной и неподвижной особенностей в ядре 
. Эта особенность меньше 1.
Действительно, 
при 
, то есть 
, что выполняется по условию задачи.
Условие
гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнение (6) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого будет следовать из единственности решения задачи. По найденному 
можно определить 
и решение задачи (1) — (3) в областях и по формулам
где:
Вывод: в данной работе доказана однозначная разрешимость задачи со смещением для обобщенного уравнения Трикоми в неограниченной области.
Список литературы:
Денисова З. Г. Об одной задаче со смещением для уравнения 
в неограниченной области. //Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т. 14. № 1. — С. 170—173.
Кумыкова С. К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. — 1974. — Т. 10. — № 1, — С. 78—88.
Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т. 5. — № 1. — С. 44—59.
Hardy G., Littlwood J., Somme properties off ractional integrals // Math/ Zs. — 1928. — Bd 27. — № 4. — P. 565—606.