Абсолютная величина и свойства модуля

Определение
Абсолютная величина или модуль x (обозначается |x|) называется отрицательное число, что совпадает с x, если x\geq{0} и взятое со знаком минус, если x < 0, то есть

 

    \[|x| = \left\{ = \begin{aligned} x\\ -x \end{aligned} \right\]

(1)

В первом уравнении  x, если x\geq{0}, а во втором уравнении -x, если x < 0.

Например, |+5| = +5 = 5, |-3| = -(-3) = 3, |0| = 0.

Есть такие свойства модулей:

|x| = |-x|

(2)

x\geq{0}, тогда согласно (1) |x| = x. В это же время -x < 0, поэтому из первого свойства получается |-x| = -(-x) = x Значит |x| = |-x|. Теперь пусть x < 0, тогда из (1) имеем |x| = -x. В то же время -x > 0, поэтому |-x| = -x. Значит |x| = |-x|.

x\leq{|x|, -x\leq{|x|}

(3)

Доказательство неравенства (3).

а) Если x > 0, тогда в первом соотношении x = |x|, а во втором – -x < |x|.

б) Если же x < 0, тогда x < |x|, а -x = |x|.

|x + y|\leq{|x| + |y|

(4)

Аналогично можно доказать (4).

Пусть:

а) x + y > 0 тогда согласно (1) |x + y| = x + y, а согласно (3) дальше у нас получается x + y \leq{|x| + |y|.

б) x + y < 0, поэтому снова согласно (1), (3), и (2) имеем:

|x + y| = -(x + y) = (-x) + (-y)\leq{|-x| + |-y| = |x| + |y|}.

Свойство доказано.

||x| - |y||\leq{|x - y|}

(5)

Доказательство неравенства (5).

|x| = |x - y + y| = |(x - y) + y|\leq [согласно (4)]\leq{|x - y| + |y|\to|x| - |y|\leq{|x - y|}.

Аналогично:

|y| = |y - x + x| = |(y - x) + x|\leq|y - x| + |x| = |x - y| + |x|\to\\{\to}{|y| - |x|\leq{|x - y|}.

Так как ||x| - |y|| = ||y| - |x||, тогда из полученных соотношений получается неравенство (5).

|xy| = |x| * |y|

(6)

По определению модуль произведения чисел x и y равен либо x x y, если x * y\geq{0}, либо -(x x y), если x x y < 0. Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел x и y равно либо x x y. x * y \geq{0}, либо -(x * y), если x * y < 0. что доказывает рассматриваемое свойство.

Рассмотрим (7) свойство:

Модуль частного от деления x на y = частному от деления модуля числа x на модуль числа y

\mid{x\over {y}}\mid = {|x|\over{|y|}}, где y\neq{0}

(7)

Так как частное {x\over{y}} = {x} * {1\over{y}}, тогда {\mid{x\over {y}}} =  {\mid{x} * {1\over{y}}

Определение и свойство вышеперечисленных модулей применяются при исследовании функций, построения их графиков, решения уравнений и неравенств с модулями.

Геометрические свойства абсолютной величины

Если смотреть с точки зрения геометрической абсолютной величины, тогда модуль вещественного (действительного) или комплексного чисел находится расстояние между числом и началом координат. Рассмотрим комплексные и вещественные (действительные числа.

Вещественные числа

  • Область определения – это -\infty, +\infty).
  • Область значений – [0, +\infty).
  • Чётная функция.
  • Функция дифференцируема везде, кроме нуля. Если точка x = 0, тогда функция претерпевает излом.

Комплексные числа

  • Область определения, то есть, вся комплексная плоскость.
  • Область значений – [0, +\infty).
  • Модуль как комплексная функция ни в одной точке не дифференцируема

Обратим внимание, что абсолютной величине можно дать геометрическое объяснение: если задать на числовой оси OX точку с абсциссой x, тогда |x| – это расстояние этой точки x к точке O.

Алгебраические свойства абсолютной величины

Для любых вещественных чисел x, y имеют место такие соотношения:

  • |x| = \sqrt{x}^{2} = x * sgn {x} = max = {x, -x}.
  • a\leq{|a|.
  • -|a| \leq{a}.
  • Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |a|^{2} = a^{2}.
  • Только тогда  a = 0, когда |a| = 0, но модуль совершенно любого числа равен или же больше нуля:|a| \geq{0}.
  • Модули противоположных чисел всегда равны: |- a| = a.
  • Модуль произведения, где есть от двух чисел всегда равен произведению их модулей.
  • Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: \mid{x\over {y}}\mid = {|x|\over{|y|}}.
  •  Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:|ab| = a|b|, a> 0.
  • |a + b|\leq{|a| + |b|}.
  • |a - b|\leq{|a| - |b|}.
  • |a| - |b|\leq{|a| + |b|}.
  • |a\pm{b}|\geq{||a| - |b||.
  • |a^{k}| = |a|^{k}, если a^{k} существует.

Примеры решения задач с модулем

Пример 1

Задача

1) Построить график функции y = |x|.

2) Решить уравнение |x| = a, a > 0.

3) Решить неравенство |x| = \leq{a}, a > 0.

4) Решить неравенство |x| > a, a > 0.

Решение

Сначала построим график функции y = |x|, а за основу берём (1) неравенство:

 

    \[y = |x| = \left\{ \begin{aligned} -x\\ x \end{aligned} \right\]

(8)

При этом в первом уравнении -x, если x < 0, а x, если x\geq{0}. Поэтому графиком функции y = |x| будет ломаная, см. рис. 1.

Абсолютная величина

Рис. 1

2) Первую часть задания выполнили, то есть, график построили а теперь нам необходимо решить уравнение |x| = a, a > 0.

Пользуясь изображением выше (рис. 1) по формуле (8) решим сначала уравнение |x|= a на интервале -\infty < x < 0. Так как |x| = -x, тогда |x| = a\to{-x} = a\to{x} = -a.

Если же 0\leq{x}\leq{+\infty}, тогда y = |x| = x, поэтому |x| = a\to{x} = a.

Если a = 0, тогда у нас получается единственное решения x = 0.

Решили уравнение и получилось, что x = -a, x = a\quad{a > 0}.

Обратим ваше внимание, что решения x = -a и x = a легко понять по рис. 1. А если выходить из геометрического содержания абсолютной величины, тогда очевидно, что на расстоянии |x| = a от точки 0 на оси OX находятся две точки x = -a и x = a.

3) Решаем неравенство |x| = \leq{a}, a > 0.

Можно осуществить на каждом из интервалов (-\infty, 0) и 0, +\infty или проще воспользоваться нашим уже построенным рисунком, из которого видно, что график ломаной y = |x| находится не выше прямой y = a, a > 0 для -a\leq{x}\leq{a}, то есть

|x|\leq{a}\longleftrightarrow{-a}\leq{x}\leq{a}, где a > 0

(9)

4) Итак, решаем последнее неравенство |x| > a, a > 0.

Запишем, согласно с рис. 1:

|x| > a \longleftrightarrow{x}\in{(-\infty, -a)}\cup (a, +\infty), a > 0.

(10)

Соотношение (9) и (10) будут использоваться и в дальнейшем.

Ответ

Решили уравнение и у нас получилось:  x = -a, x = a\quad{a > 0};

Из первого неравенства получилось, что |x|\leq{a}\longleftrightarrow{-a}\leq{x}\leq{a}, где a > 0.

Второе неравенство – |x| > a \longleftrightarrow{x}\in{(-\infty, -a)}\cup (a, +\infty), a > 0.

Пример 2

Задача

Записать без знака модуля для функции y = |x + 2|. Построить её график.

Решение

Приравняем подмодульное выражение к нулю x + 2 = 0\to{x} = -2.

Теперь разделим ось на два интервала I = (-\infty, -2) и II = (-2, +\infty).

Абсолютная величина

Если x\in{I}, тогда  x + 2 < 0, поэтому, согласно с (1) |x + 2| = -(x + 2).

Если же x\in{II}, тогда x + 2 > 0, поэтому |x + 2| = x + 2. Значит

 

    \[y = |x + 2| = \left\{ \begin{aligned} -x - 2, x\in{(-\infty, -2),\\ x + 2, x\in[2, +\infty). \end{aligned} \right\]

Строим отдельно графики: y = -x - 2 для x\in{(-\infty, -2)} и y = x + 2 для x\in{[-2, +\infty). (см. рис. 2)

Абсолютная величина

Рис. 2

Мы видим, что график функции y = |x + 2| можно получить параллельным переносом графика y = |x| влево вдоль оси OX на две единицы.

Очевидно, что по большому счёту график функции y = |x - b| можно получить параллельным переносом графика y = |x| по направлению оси OX на b единиц  вправо, если b > 0 и влево, если b < 0.

Как и в примере 1 после построения графика y = |x - b| можно легко найти решение уравнения |x - b| = a, (a > 0), а также неравенств |x - b| < a, |x - b| > a.

Ответ

Запишем: y - |x - b||x - b| = a, (a > 0) и неравенство |x - b| < a, |x - b| > a.

Пример 3

Задача

Построить график функции y = |x + 2| + |x - 3|.

Решение

Аналогично предыдущему примеру, приравняем к нулю подмодульное выражение: x + 2 = 0\to{x = -2}; x - 3 = 0\to{x = 3}.

Разбиваем на три интервала:

Абсолютная величина

1. Если x\in{(-\infty, -2)}, тогда x + 2 < 0, x - 3 < 0, поэтому |x + 2| = -(x + 2), |x - 3| = -(x - 3}),

y = |x + 2| + |x - 3| = -x - 2 - x + 3 = -2x + 1.

2. Если x\in{[-2, +3), тогда x + 2 \geq{0} и |x + 2| = x + 2, а x - 3 < 0 и |x - 3| = -x + 3, поэтому y = |x + 2| + |x - 3| = x + 2 - x + 3 = 5.

3. Если x\in{[+3, +\infty), тогда x + 2 > 0, x - 3 \geq{0}, поэтому y = x + 2 + x - 3 = 2x - 1.

Значит, для нашей функции имеем:

 

    \[y = \left\{ \begin{aligned} -2x + 1{x}\in{(-\infty, -2),\\ 5 {x}\in[-2, 3)\\ 2x - 1{x}\in{[3, +\infty, \end{aligned} \right\]

её график см. на рис. 3.

Абсолютная величина

Рис. 3