Абсолютная величина и свойства модуля

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Определение
Абсолютная величина или модуль x (обозначается |x|) называется отрицательное число, что совпадает с x, если x\geq{0} и взятое со знаком минус, если x < 0, то есть

 

    \[|x| = \left\{ = \begin{aligned} x\\ -x \end{aligned} \right\]

(1)

В первом уравнении  x, если x\geq{0}, а во втором уравнении -x, если x < 0.

Например, |+5| = +5 = 5, |-3| = -(-3) = 3, |0| = 0.

Есть такие свойства модулей:

|x| = |-x|

(2)

x\geq{0}, тогда согласно (1) |x| = x. В это же время -x < 0, поэтому из первого свойства получается |-x| = -(-x) = x Значит |x| = |-x|. Теперь пусть x < 0, тогда из (1) имеем |x| = -x. В то же время -x > 0, поэтому |-x| = -x. Значит |x| = |-x|.

x\leq{|x|, -x\leq{|x|}

(3)

Доказательство неравенства (3).

а) Если x > 0, тогда в первом соотношении x = |x|, а во втором – -x < |x|.

б) Если же x < 0, тогда x < |x|, а -x = |x|.

|x + y|\leq{|x| + |y|

(4)

Аналогично можно доказать (4).

Пусть:

а) x + y > 0 тогда согласно (1) |x + y| = x + y, а согласно (3) дальше у нас получается x + y \leq{|x| + |y|.

б) x + y < 0, поэтому снова согласно (1), (3), и (2) имеем:

|x + y| = -(x + y) = (-x) + (-y)\leq{|-x| + |-y| = |x| + |y|}.

Свойство доказано.

||x| - |y||\leq{|x - y|}

(5)

Доказательство неравенства (5).

|x| = |x - y + y| = |(x - y) + y|\leq [согласно (4)]\leq{|x - y| + |y|\to|x| - |y|\leq{|x - y|}.

Аналогично:

|y| = |y - x + x| = |(y - x) + x|\leq|y - x| + |x| = |x - y| + |x|\to\\{\to}{|y| - |x|\leq{|x - y|}.

Так как ||x| - |y|| = ||y| - |x||, тогда из полученных соотношений получается неравенство (5).

|xy| = |x| * |y|

(6)

По определению модуль произведения чисел x и y равен либо x x y, если x * y\geq{0}, либо -(x x y), если x x y < 0. Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел x и y равно либо x x y. x * y \geq{0}, либо -(x * y), если x * y < 0. что доказывает рассматриваемое свойство.

Рассмотрим (7) свойство:

Модуль частного от деления x на y = частному от деления модуля числа x на модуль числа y

\mid{x\over {y}}\mid = {|x|\over{|y|}}, где y\neq{0}

(7)

Так как частное {x\over{y}} = {x} * {1\over{y}}, тогда {\mid{x\over {y}}} =  {\mid{x} * {1\over{y}}

Определение и свойство вышеперечисленных модулей применяются при исследовании функций, построения их графиков, решения уравнений и неравенств с модулями.

Геометрические свойства абсолютной величины

Если смотреть с точки зрения геометрической абсолютной величины, тогда модуль вещественного (действительного) или комплексного чисел находится расстояние между числом и началом координат. Рассмотрим комплексные и вещественные (действительные числа.

Вещественные числа

  • Область определения – это -\infty, +\infty).
  • Область значений – [0, +\infty).
  • Чётная функция.
  • Функция дифференцируема везде, кроме нуля. Если точка x = 0, тогда функция претерпевает излом.

Комплексные числа

  • Область определения, то есть, вся комплексная плоскость.
  • Область значений – [0, +\infty).
  • Модуль как комплексная функция ни в одной точке не дифференцируема

Обратим внимание, что абсолютной величине можно дать геометрическое объяснение: если задать на числовой оси OX точку с абсциссой x, тогда |x| – это расстояние этой точки x к точке O.

Алгебраические свойства абсолютной величины

Для любых вещественных чисел x, y имеют место такие соотношения:

  • |x| = \sqrt{x}^{2} = x * sgn {x} = max = {x, -x}.
  • a\leq{|a|.
  • -|a| \leq{a}.
  • Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |a|^{2} = a^{2}.
  • Только тогда  a = 0, когда |a| = 0, но модуль совершенно любого числа равен или же больше нуля:|a| \geq{0}.
  • Модули противоположных чисел всегда равны: |- a| = a.
  • Модуль произведения, где есть от двух чисел всегда равен произведению их модулей.
  • Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: \mid{x\over {y}}\mid = {|x|\over{|y|}}.
  •  Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:|ab| = a|b|, a> 0.
  • |a + b|\leq{|a| + |b|}.
  • |a - b|\leq{|a| - |b|}.
  • |a| - |b|\leq{|a| + |b|}.
  • |a\pm{b}|\geq{||a| - |b||.
  • |a^{k}| = |a|^{k}, если a^{k} существует.

Примеры решения задач с модулем

Пример 1

Задача

1) Построить график функции y = |x|.

2) Решить уравнение |x| = a, a > 0.

3) Решить неравенство |x| = \leq{a}, a > 0.

4) Решить неравенство |x| > a, a > 0.

Решение

Сначала построим график функции y = |x|, а за основу берём (1) неравенство:

 

    \[y = |x| = \left\{ \begin{aligned} -x\\ x \end{aligned} \right\]

(8)

При этом в первом уравнении -x, если x < 0, а x, если x\geq{0}. Поэтому графиком функции y = |x| будет ломаная, см. рис. 1.

Абсолютная величина

Рис. 1

2) Первую часть задания выполнили, то есть, график построили а теперь нам необходимо решить уравнение |x| = a, a > 0.

Пользуясь изображением выше (рис. 1) по формуле (8) решим сначала уравнение |x|= a на интервале -\infty < x < 0. Так как |x| = -x, тогда |x| = a\to{-x} = a\to{x} = -a.

Если же 0\leq{x}\leq{+\infty}, тогда y = |x| = x, поэтому |x| = a\to{x} = a.

Если a = 0, тогда у нас получается единственное решения x = 0.

Решили уравнение и получилось, что x = -a, x = a\quad{a > 0}.

Обратим ваше внимание, что решения x = -a и x = a легко понять по рис. 1. А если выходить из геометрического содержания абсолютной величины, тогда очевидно, что на расстоянии |x| = a от точки 0 на оси OX находятся две точки x = -a и x = a.

3) Решаем неравенство |x| = \leq{a}, a > 0.

Можно осуществить на каждом из интервалов (-\infty, 0) и 0, +\infty или проще воспользоваться нашим уже построенным рисунком, из которого видно, что график ломаной y = |x| находится не выше прямой y = a, a > 0 для -a\leq{x}\leq{a}, то есть

|x|\leq{a}\longleftrightarrow{-a}\leq{x}\leq{a}, где a > 0

(9)

4) Итак, решаем последнее неравенство |x| > a, a > 0.

Запишем, согласно с рис. 1:

|x| > a \longleftrightarrow{x}\in{(-\infty, -a)}\cup (a, +\infty), a > 0.

(10)

Соотношение (9) и (10) будут использоваться и в дальнейшем.

Ответ

Решили уравнение и у нас получилось:  x = -a, x = a\quad{a > 0};

Из первого неравенства получилось, что |x|\leq{a}\longleftrightarrow{-a}\leq{x}\leq{a}, где a > 0.

Второе неравенство – |x| > a \longleftrightarrow{x}\in{(-\infty, -a)}\cup (a, +\infty), a > 0.

Пример 2

Задача

Записать без знака модуля для функции y = |x + 2|. Построить её график.

Решение

Приравняем подмодульное выражение к нулю x + 2 = 0\to{x} = -2.

Теперь разделим ось на два интервала I = (-\infty, -2) и II = (-2, +\infty).

Абсолютная величина

Если x\in{I}, тогда  x + 2 < 0, поэтому, согласно с (1) |x + 2| = -(x + 2).

Если же x\in{II}, тогда x + 2 > 0, поэтому |x + 2| = x + 2. Значит

 

    \[y = |x + 2| = \left\{ \begin{aligned} -x - 2, x\in{(-\infty, -2),\\ x + 2, x\in[2, +\infty). \end{aligned} \right\]

Строим отдельно графики: y = -x - 2 для x\in{(-\infty, -2)} и y = x + 2 для x\in{[-2, +\infty). (см. рис. 2)

Абсолютная величина

Рис. 2

Мы видим, что график функции y = |x + 2| можно получить параллельным переносом графика y = |x| влево вдоль оси OX на две единицы.

Очевидно, что по большому счёту график функции y = |x - b| можно получить параллельным переносом графика y = |x| по направлению оси OX на b единиц  вправо, если b > 0 и влево, если b < 0.

Как и в примере 1 после построения графика y = |x - b| можно легко найти решение уравнения |x - b| = a, (a > 0), а также неравенств |x - b| < a, |x - b| > a.

Ответ

Запишем: y - |x - b||x - b| = a, (a > 0) и неравенство |x - b| < a, |x - b| > a.

Пример 3

Задача

Построить график функции y = |x + 2| + |x - 3|.

Решение

Аналогично предыдущему примеру, приравняем к нулю подмодульное выражение: x + 2 = 0\to{x = -2}; x - 3 = 0\to{x = 3}.

Разбиваем на три интервала:

Абсолютная величина

1. Если x\in{(-\infty, -2)}, тогда x + 2 < 0, x - 3 < 0, поэтому |x + 2| = -(x + 2), |x - 3| = -(x - 3}),

y = |x + 2| + |x - 3| = -x - 2 - x + 3 = -2x + 1.

2. Если x\in{[-2, +3), тогда x + 2 \geq{0} и |x + 2| = x + 2, а x - 3 < 0 и |x - 3| = -x + 3, поэтому y = |x + 2| + |x - 3| = x + 2 - x + 3 = 5.

3. Если x\in{[+3, +\infty), тогда x + 2 > 0, x - 3 \geq{0}, поэтому y = x + 2 + x - 3 = 2x - 1.

Значит, для нашей функции имеем:

 

    \[y = \left\{ \begin{aligned} -2x + 1{x}\in{(-\infty, -2),\\ 5 {x}\in[-2, 3)\\ 2x - 1{x}\in{[3, +\infty, \end{aligned} \right\]

её график см. на рис. 3.

Абсолютная величина

Рис. 3

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

3169

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также