О чем статья
Базис векторов
Так, согласно доказательству (3), произвольные три некомпланарные векторы , , , образуют в трёхмерном пространстве базис, по которому, согласно формуле (2) можно единственным образом разложить произвольный вектор пространства. Векторы , , , которые образуют базис называются базисными.
Будем считать, что базисные векторы , , сведены к точке .
Числ , про которые упоминалось в разделах “линейно зависимая и линейно независимые системы векторов”, называют координатами вектора в заданном базисе, и пишут:
.
Аналогично, на плоскости базис образуют какие-то два неколлинеарные векторы, а любой некомпланарный с ними может быть разложен по этому базису.
Базисным вектором на прямой линии может быть любой ненулевой вектор.\Согласно свойствам линейных операций над векторами, следует, что при сложении и вычитании векторов в данном базисе прибавляются и отнимаются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются не это число координаты вектора, то есть:
- .
- .
- .
Линейные действия над векторами аналитическим путём
Если раньше линейные действия над векторами осуществлялись графически, то теперь эти операции можно выполнять аналитически, не пользуясь рисунком. Давайте вспомним и сформулируем линейные действия:
Чтобы прибавлять (отнимать) два вектора, необходимо прибавить (отнять) их соответствующие координаты, то есть:
Приведём пример:
Чтобы умножить вектор на число, необходимо каждую из его координат умножить на это число:
Два вектора равны, если у них равны соответствующие координаты:
.
Теперь вы понимаете, как получить координаты вектора не только графическим путём, но и аналитическим. В дальнейшем у вас не возникнет сложностей по этому поводу.