Базис векторов и линейные действия над векторами аналитическим путём (теория и решение задач)

О чем статья

Базис векторов

Определение

Система линейно независимых векторов пространства, за которыми можно разложить произвольный вектор – это и есть базис векторов или этого пространства.

Так, согласно доказательству (3), произвольные три некомпланарные векторы $\overrightarrow{l_1}$ , $\overrightarrow{l_2}$ , $\overrightarrow{l_3}$ , образуют в трёхмерном пространстве базис, по которому, согласно формуле (2) можно единственным образом разложить произвольный вектор $\overrightarrow{a}$ пространства. Векторы $\overrightarrow{l_1}$ , $\overrightarrow{l_2}$ , $\overrightarrow{l_3}$ , которые образуют базис называются базисными.

Будем считать, что базисные векторы $\overrightarrow{l_1}$ , $\overrightarrow{l_2}$ , $\overrightarrow{l_3}$ сведены к точке $O$ .

Числ $\alpha, \beta, \gamma$ , про которые упоминалось в разделах “линейно зависимая и линейно независимые системы векторов”, называют координатами вектора в заданном базисе, и пишут:

$\overrightarrow{a} = \alpha\overrightarrow{l_1} + \beta\overrightarrow{l_2} + \gamma\overrightarrow{l_3} = (\alpha, \beta, \gamma)$ .

Аналогично, на плоскости базис образуют какие-то два неколлинеарные векторы, а любой некомпланарный с ними может быть разложен по этому базису.

Базисным вектором на прямой линии может быть любой ненулевой вектор.\Согласно свойствам линейных операций над векторами, следует, что при сложении и вычитании векторов в данном базисе прибавляются и отнимаются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются не это число координаты вектора, то есть:

$\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b} = (\alpha\overrightarrow{l_1} + \beta_{1}\overrightarrow{l_2} + \gamma_{1}\overrightarrow{l_3}) \pm ({\alpha_{2}\overrightarrow{l_1} + \beta_{2}\overrightarrow{l_2} + \gamma_{2}\overrightarrow{l_3}) = (\alpha_{1} \pm \alpha_{2}, \beta_{1} \pm \beta_{2}, \gamma_{1} \pm \gamma_{2})$ .
$\lambda\overrightarrow{a} = \lambda(\alpha\overrightarrow{l_1} + \beta\overrightarrow{l_2} + \gamma\overrightarrow{l_3}) = (\lambda\alpha, \lambda\beta, \lambda\gamma)$ .
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \Longleftrightarrow \alpha_{1} = \alpha_{2}, \beta_{1} = \beta_{2}, \gamma_{1} = \gamma$ .

Обратите внимание!

Векторы равны, когда у них одинаковые соответствующие координаты.

Линейные действия над векторами аналитическим путём

Если раньше линейные действия над векторами осуществлялись графически, то теперь эти операции можно выполнять аналитически, не пользуясь рисунком. Давайте вспомним и сформулируем линейные действия:

Чтобы прибавлять (отнимать) два вектора, необходимо прибавить (отнять) их соответствующие координаты, то есть: $\overrightarrow{a} \pm \overrightarrow{b} = (x_{1}\overrightarrow{b} + y_{1}\overrightarrow{c}) \pm (x_{2}\overrightarrow{b} + y_{2}\overrightarrow{c} + z_{2}\overrightarrow{o}) = (x_{1} \pm x_{2})\overrightarrow{a} + (y_{1} \pm y_{2})\overrightarrow{c} + (z_{1} \pm z_{2})\overrightarrow{o} = (x_{1} \pm x_{2}), y_{1} \pm y_{2}, z_{1} \pm x_{2}).$

Приведём пример:

Пример 1

Найти сумму векторов $\overrightarrow{a} = 4 \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j} = (4, -2)$ и $\overrightarrow{b} = 2 \overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} = (2, 5)$ , заданных на плоскости $XOY$ .

Решение:

Согласно правилу 1 у нас получается:

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (4\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{i}) + (2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}) = (4 + 2)\overrightarrow{i} + (-2 + 5)\overrightarrow{j})$ = (6, 3).

Построим эти векторы: $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{c} = \overrightarrow{OC}$ .

Рис. 3 - декартова система координат

Рис. 3

Мы видим, что четырёхугольник OABC – параллелограмм. Координаты вектора $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (6, 3)$ мы сначала получили путём вычислений (аналитически), без помощи рисунка. Рисунок только подтверждает правило параллелограмма при прибавлении векторов, поэтому дальше рисунками будем пользоваться для наглядности.

Чтобы умножить вектор на число, необходимо каждую из его координат умножить на это число:

$\lambda\alpha = \lambda(x \overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c} + z \overrightarrow{o}) = \lambda\x \overrightarrow{b} + \lambda\y\overrightarrow{c} + \lambda\z \overrightarrow{o} = (\lambda x, \lambda y, \lambda z),$

Пример 2

Дан вектор $\overrightarrow{a} = (1, -1, 2).$ Найти $\overrightarrow{b} = - 2 \overrightarrow{a}$

Решение:

Согласна правилу 2 у нас получается:

$\overrightarrow{b} = -2( \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}) = -2 \overrightarrow{i} + 4 \overrightarrow{j} - 4 \overrightarrow{k} = (-2, 4, -4),$

Геометрическое изображение смотрите на рис. 4.

Рис. 4 - декартова система координат

Рис. 4

Два вектора равны, если у них равны соответствующие координаты:

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \longleftrightarrow (x_{1} = x_{2}, y_{1} = y_{2}, z_{1} = z_{2})$ .

Теперь вы понимаете, как получить координаты вектора не только графическим путём, но и аналитическим. В дальнейшем у вас не возникнет сложностей по этому поводу.

Как найти базис вектора, пример

Пример 1

В некотором базисе заданы своими координатами векторы $\overrightarrow{a} = (2, 1), \overrightarrow{b} = (3, 4)$ и $\overrightarrow{m} = (-1, 2).$ Разложить вектор $\overrightarrow{m}$ по базису, который образовался из векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}.$

Решение:

Разложение вектора $\overrightarrow{m}$ по базису $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ имеет такой вид:

$\overrightarrow{m} = \alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b},$

где числа $\alpha$ и $\beta$ – неизвестные. Чтобы их найти, подставим в последнее равенство координаты векторов $\overrightarrow{m}, \overrightarrow{a},$ и $\overrightarrow{b}$ , а тогда воспользуемся свойствами 1 и 2:

$\alpha (2, 1) + \beta (3, 4) = (-1, 2)\\ (2\alpha, \alpha) + (3\beta, 4\beta) = (-1, 2)\\ (2 \alpha + 3 \beta, \alpha + 4 \beta) = (-1, 2)$

Согласно свойству 3 про равенство векторов, получим систему уравнений:

$\left\{ \begin{aligned} 2 \alpha + 3 \beta = -1\\ \alpha + 4 \beta = 2 \end{aligned} \right|$

Первое равенство умножаем на 1, а второе на (- 2) и в итоге у на получается:

$- 5 \beta = -5, \beta = 1, \alpha' = - 2$ .

Значит, ответ у нас выходит: $m = - 2 + b$

Эльвира на Как оформить презентацию к диплому правильно (с примерами)Простите, но чем выступать с такой презентацией, я предпочту провалить защиту. Самое главное, рекомендации из статьи, там тоже не соблюдены.
Ноунейм на Правильное оформление титульного листа презентации за 5 минутСпасибо, очень помогли в создании презентации!
Василиса на ТОП-14 видов шпаргалок на экзамен и зачет (палим тему)Моя однокласница у которой был диктант по английскому просто написала слова на руке и спрятала под рукав кофты.Часто пользуюсь ее
Александр на Теорема ПифагораП.1: (a+b)2=4? На самом деле (a+b)2 = 4-м треугольникам
Диоген на Бакалавр это высшее образование или нет? Разбираемся в уровнях высшего образованияСборище клоунов. Обсуждают тут про недоучек и ПТУшное образование, при этом будучи не в состоянии открыть закон об образовании и