Базис – это неопределённое количество векторов в векторном пространстве, и абсолютно любой из этих векторов может создавать  линейную комбинацию.

Базис векторов

Определение
Система линейно независимых векторов пространства, за которыми можно разложить произвольный вектор – это и есть базис векторов или этого пространства.

Так, согласно доказательству (3), произвольные три некомпланарные векторы \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}\overrightarrow{l_3}, образуют в трёхмерном пространстве базис, по которому, согласно формуле (2) можно единственным образом разложить произвольный вектор \overrightarrow{a}  пространства. Векторы \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}\overrightarrow{l_3}, которые образуют базис называются базисными.

Будем считать, что базисные векторы \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}\overrightarrow{l_3} сведены к точке O.

Числ \alpha, \beta, \gamma, про которые упоминалось в разделах “линейно зависимая и линейно независимые системы векторов”, называют координатами вектора в заданном базисе, и пишут:

\overrightarrow{a} = \alpha\overrightarrow{l_1} + \beta\overrightarrow{l_2} + \gamma\overrightarrow{l_3} = (\alpha, \beta, \gamma).

Аналогично, на плоскости базис образуют какие-то два неколлинеарные векторы, а любой некомпланарный с ними может быть разложен по этому базису.

Базисным вектором на прямой линии может быть любой ненулевой вектор.\Согласно свойствам линейных операций над векторами, следует, что при сложении и вычитании векторов в данном базисе прибавляются и отнимаются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются не это число координаты вектора, то есть:

  1. \overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b} = (\alpha\overrightarrow{l_1} + \beta_{1}\overrightarrow{l_2} + \gamma_{1}\overrightarrow{l_3}) \pm ({\alpha_{2}\overrightarrow{l_1} + \beta_{2}\overrightarrow{l_2} + \gamma_{2}\overrightarrow{l_3}) = (\alpha_{1} \pm \alpha_{2}, \beta_{1} \pm \beta_{2}, \gamma_{1} \pm \gamma_{2}).
  2. \lambda\overrightarrow{a} = \lambda(\alpha\overrightarrow{l_1} + \beta\overrightarrow{l_2} + \gamma\overrightarrow{l_3}) = (\lambda\alpha, \lambda\beta, \lambda\gamma).
  3. \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \Longleftrightarrow \alpha_{1} = \alpha_{2}, \beta_{1} = \beta_{2}, \gamma_{1} = \gamma.
Обратите внимание!
Векторы равны, когда у них одинаковые соответствующие координаты.

 

Линейные действия над векторами аналитическим путём

Если раньше линейные действия над векторами осуществлялись графически, то теперь эти операции можно выполнять аналитически, не пользуясь рисунком. Давайте вспомним и сформулируем линейные действия:

Чтобы прибавлять (отнимать) два вектора, необходимо прибавить (отнять) их соответствующие координаты, то есть:   \overrightarrow{a} \pm \overrightarrow{b} = (x_{1}\overrightarrow{b} + y_{1}\overrightarrow{c}) \pm (x_{2}\overrightarrow{b} + y_{2}\overrightarrow{c} + z_{2}\overrightarrow{o}) = (x_{1} \pm x_{2})\overrightarrow{a} + (y_{1} \pm y_{2})\overrightarrow{c} + (z_{1} \pm z_{2})\overrightarrow{o} = (x_{1} \pm x_{2}), y_{1} \pm y_{2}, z_{1} \pm x_{2}).

Приведём пример:

Пример 1

Найти сумму векторов \overrightarrow{a} = 4 \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j} = (4, -2) и \overrightarrow{b} = 2 \overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} = (2, 5), заданных на плоскости XOY.

Решение:

Согласно правилу 1 у нас получается:

\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (4\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{i}) + (2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}) = (4 + 2)\overrightarrow{i} + (-2 + 5)\overrightarrow{j}) = (6, 3).

Построим эти векторы: \overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{c} = \overrightarrow{OC}.

Рис. 3 - декартова система координат

Рис. 3

Мы видим, что четырёхугольник OABC – параллелограмм. Координаты вектора  \overrightarrow{c} =  \overrightarrow{a} +  \overrightarrow{b} = (6, 3) мы сначала получили путём вычислений (аналитически), без помощи рисунка. Рисунок только подтверждает правило параллелограмма при прибавлении векторов, поэтому дальше рисунками будем пользоваться для наглядности.

Чтобы умножить вектор на число, необходимо каждую из его координат умножить на это число:

\lambda\alpha = \lambda(x \overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c} + z \overrightarrow{o}) = \lambda\x \overrightarrow{b} + \lambda\y\overrightarrow{c} + \lambda\z \overrightarrow{o} = (\lambda x, \lambda y, \lambda z),

Пример 2

Дан вектор  \overrightarrow{a} = (1, -1, 2). Найти  \overrightarrow{b} = - 2 \overrightarrow{a}

Решение:

Согласна правилу 2 у нас получается:

\overrightarrow{b} = -2( \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}) = -2  \overrightarrow{i} + 4 \overrightarrow{j} - 4 \overrightarrow{k} = (-2, 4, -4),

Геометрическое изображение смотрите на рис. 4.

Рис. 4 - декартова система координат

Рис. 4

Два вектора равны, если у них равны соответствующие координаты:

\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \longleftrightarrow (x_{1} = x_{2}, y_{1} = y_{2}, z_{1} = z_{2}).

Теперь вы понимаете, как получить координаты вектора не только графическим путём, но и аналитическим. В дальнейшем у вас не возникнет сложностей по этому поводу.

Как найти базис вектора, пример

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости

Пример 1

В некотором базисе заданы своими координатами векторы \overrightarrow{a} = (2, 1), \overrightarrow{b} = (3, 4) и \overrightarrow{m} = (-1, 2). Разложить вектор \overrightarrow{m} по базису, который образовался из векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}.

Решение:

Разложение вектора \overrightarrow{m} по базису \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} имеет такой вид:

\overrightarrow{m} = \alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b},

где числа \alpha и \beta – неизвестные. Чтобы их найти, подставим в последнее равенство координаты векторов \overrightarrow{m}, \overrightarrow{a}, и \overrightarrow{b}, а тогда воспользуемся свойствами 1 и 2:

\alpha (2, 1) + \beta (3, 4) = (-1, 2)\\ (2\alpha, \alpha) + (3\beta, 4\beta) = (-1, 2)\\ (2 \alpha + 3 \beta, \alpha + 4 \beta) = (-1, 2)

Согласно свойству 3 про равенство векторов, получим систему уравнений:

\left\{ \begin{aligned} 2 \alpha + 3 \beta = -1\\ \alpha + 4 \beta = 2 \end{aligned} \right|

Первое равенство умножаем на 1, а второе на (- 2) и в итоге у на получается:

- 5 \beta = -5, \beta = 1, \alpha' = - 2.

Значит, ответ у нас выходит: m = - 2 + b

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

3125

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Комментарии

  1. Если вы выполняете работу так же небрежно, как написана статья про базис векторов (описки, где-то не проставлены индексы, грамматические ошибки), то к вам не хочестся обращаться.

    • Владимир, статья действительно слабенькая, но это не связано с качеством выполняемых услуг.

      Эксперты, которые оказывают помощь студентам – это другие люди. Оценить их знания можно по отзывам и рейтингу, а также в личной переписке. Все это возможно только после размещения заказа.

      Спасибо за отзыв на статью, в будущем мы ее перепишем!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *