О чем статья
Введение
В данной лекции мы рассмотрим понятия частного и полного приращения функции. Приращение функции является важным понятием в математике, которое позволяет нам изучать изменение значений функции в зависимости от изменения ее аргумента. Частное приращение функции определяется как изменение значения функции на бесконечно малом интервале аргумента, а полное приращение функции – как изменение значения функции на конечном интервале аргумента. Мы рассмотрим определения и свойства этих понятий, а также приведем примеры вычисления частного и полного приращения функции.
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Частное приращение функции
Частное приращение функции – это изменение значения функции при изменении аргумента на небольшую величину. Оно позволяет нам оценить, как функция меняется вблизи определенной точки.
Формально, частное приращение функции f(x) в точке x0 определяется как:
Δf(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0)
где Δx – небольшое приращение аргумента.
Частное приращение функции показывает, насколько значение функции изменяется при изменении аргумента на Δx. Если частное приращение положительное, то функция возрастает в этой точке. Если частное приращение отрицательное, то функция убывает в этой точке.
Частное приращение функции может быть использовано для нахождения производной функции в данной точке. Производная функции показывает скорость изменения функции в данной точке.
Полное приращение функции
Полное приращение функции – это изменение значения функции на всем интервале между двумя точками. Для вычисления полного приращения функции, необходимо знать значения функции в начальной и конечной точках интервала.
Формула для вычисления полного приращения функции:
Δf = f(x1) – f(x0)
где Δf – полное приращение функции, f(x1) – значение функции в конечной точке интервала, f(x0) – значение функции в начальной точке интервала.
Полное приращение функции показывает, насколько значение функции изменяется на всем интервале между двумя точками. Если полное приращение положительное, то функция возрастает на этом интервале. Если полное приращение отрицательное, то функция убывает на этом интервале.
Полное приращение функции может быть использовано для определения среднего значения функции на интервале. Среднее значение функции на интервале равно полному приращению функции, деленному на длину интервала.
Определение частного приращения функции
Частное приращение функции – это изменение значения функции на небольшом интервале между двумя близкими точками. Оно показывает, насколько значение функции меняется при изменении аргумента на этом интервале.
Формально, частное приращение функции f(x) в точке x0 определяется как разность между значениями функции в точках x0 и x1, деленная на разность между x0 и x1:
Частное приращение функции f(x) в точке x0 = (f(x1) – f(x0)) / (x1 – x0)
Здесь x1 – это точка на интервале, близкая к x0.
Частное приращение функции позволяет нам оценить скорость изменения функции в данной точке. Если частное приращение положительное, то функция возрастает в этой точке. Если частное приращение отрицательное, то функция убывает в этой точке.
Определение полного приращения функции
Полное приращение функции f(x) на интервале [a, b] определяется как разность значений функции в конечной точке b и начальной точке a:
Полное приращение функции f(x) на интервале [a, b] = f(b) – f(a)
Здесь a и b – это две точки на интервале, где функция определена.
Полное приращение функции позволяет нам оценить изменение функции на всем интервале [a, b]. Если полное приращение положительное, то функция возрастает на этом интервале. Если полное приращение отрицательное, то функция убывает на этом интервале. Если полное приращение равно нулю, то функция не меняется на этом интервале.
Свойства частного приращения функции
1. Частное приращение функции может быть положительным, отрицательным или нулевым.
2. Если частное приращение функции положительное, то это означает, что значение функции в точке b больше значения функции в точке a. То есть функция возрастает на этом интервале.
3. Если частное приращение функции отрицательное, то это означает, что значение функции в точке b меньше значения функции в точке a. То есть функция убывает на этом интервале.
4. Если частное приращение функции равно нулю, то это означает, что значение функции в точке b равно значению функции в точке a. То есть функция не меняется на этом интервале.
5. Частное приращение функции зависит только от значений функции в точках a и b, и не зависит от значений функции на других точках интервала.
6. Частное приращение функции может быть использовано для оценки скорости изменения функции на конкретном интервале.
Свойства полного приращения функции
1. Полное приращение функции равно разности значений функции в конечной точке b и начальной точке a на данном интервале. Формально, полное приращение функции можно записать как:
Δf = f(b) – f(a)
2. Полное приращение функции может быть положительным, отрицательным или нулевым, в зависимости от значений функции в точках a и b. Если f(b) > f(a), то полное приращение функции будет положительным. Если f(b) < f(a), то полное приращение функции будет отрицательным. Если f(b) = f(a), то полное приращение функции будет равно нулю.
3. Полное приращение функции может быть использовано для определения изменения функции на всем интервале [a, b]. Если полное приращение функции положительное, то функция возрастает на данном интервале. Если полное приращение функции отрицательное, то функция убывает на данном интервале. Если полное приращение функции равно нулю, то функция не меняется на данном интервале.
4. Полное приращение функции зависит только от значений функции в точках a и b, и не зависит от значений функции на других точках интервала.
5. Полное приращение функции может быть использовано для оценки общего изменения функции на конкретном интервале.
Примеры вычисления частного и полного приращения функции
Пример 1:
Рассмотрим функцию f(x) = 2x^2 + 3x – 1 на интервале [1, 3].
Чтобы вычислить частное приращение функции на этом интервале, нужно найти разность значений функции в конечной и начальной точках интервала и разделить эту разность на разность аргументов:
Частное приращение функции = (f(3) – f(1)) / (3 – 1)
Вычисляем значения функции в конечной и начальной точках:
f(3) = 2*3^2 + 3*3 – 1 = 18 + 9 – 1 = 26
f(1) = 2*1^2 + 3*1 – 1 = 2 + 3 – 1 = 4
Подставляем значения в формулу частного приращения функции:
Частное приращение функции = (26 – 4) / (3 – 1) = 22 / 2 = 11
Таким образом, частное приращение функции на интервале [1, 3] равно 11.
Чтобы вычислить полное приращение функции на этом интервале, нужно найти разность значений функции в конечной и начальной точках интервала:
Полное приращение функции = f(3) – f(1)
Вычисляем значения функции в конечной и начальной точках:
f(3) = 26
f(1) = 4
Подставляем значения в формулу полного приращения функции:
Полное приращение функции = 26 – 4 = 22
Таким образом, полное приращение функции на интервале [1, 3] равно 22.
Пример 2:
Рассмотрим функцию g(x) = sin(x) на интервале [0, π/2].
Чтобы вычислить частное приращение функции на этом интервале, нужно найти разность значений функции в конечной и начальной точках интервала и разделить эту разность на разность аргументов:
Частное приращение функции = (g(π/2) – g(0)) / (π/2 – 0)
Вычисляем значения функции в конечной и начальной точках:
g(π/2) = sin(π/2) = 1
g(0) = sin(0) = 0
Подставляем значения в формулу частного приращения функции:
Частное приращение функции = (1 – 0) / (π/2 – 0) = 1 / (π/2) = 2/π
Таким образом, частное приращение функции на интервале [0, π/2] равно 2/π.
Чтобы вычислить полное приращение функции на этом интервале, нужно найти разность значений функции в конечной и начальной точках интервала:
Полное приращение функции = g(π/2) – g(0)
Вычисляем значения функции в конечной и начальной точках:
g(π/2) = 1
g(0) = 0
Подставляем значения в формулу полного приращения функции:
Полное приращение функции = 1 – 0 = 1
Таким образом, полное приращение функции на интервале [0, π/2] равно 1.
Заключение
Частное и полное приращение функции – это важные понятия в математике, которые позволяют нам изучать изменение функции на определенном интервале. Частное приращение функции определяется как разность значений функции в двух точках, деленная на разность соответствующих аргументов. Полное приращение функции – это интеграл от частного приращения функции на заданном интервале. Оба понятия имеют свои свойства, которые помогают нам анализировать функции и их изменения. Понимание этих понятий и умение вычислять частное и полное приращение функции является важным навыком для изучения и применения математики.