О чем статья
Декартова система координат
Рис. 1
Иногда такую систему называют косоугольной.
Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Прямоугольная декартова система координат
Прямоугольная система координат – это прямолинейная система, где взаимно перпендикулярны оси на плоскости или в пространстве. Такая система координат самая простая и поэтому часто используется
Среди декартовых систем, самая распространённая прямоугольная декартова система координат, которая бывает двух видов:
- прямоугольная декартова система координат на плоскости;
- прямоугольная система координат в пространстве.
Прямоугольная система координат на плоскости (двухмерная система координат)
Прямоугольная система координат на плоскости – это две взаимно перпендикулярные оси координат, которые пересекаются в точке (начало координат). Ещё такая система координат называется двухмерной. Есть ось
, которая направлена вправо и есть ось
, которая направлена вертикально вверх.
Координаты любых точек на плоскости определяются двумя числами
. Эти числа – ортогональные проекции точки на соответствующие координатные оси. Как правило,
– абсцисса точки, а
– ордината (см. рис. 2). Элементарно можно найти расстояние между этими двумя точками:
и
расстояние на плоскости определяется выражением:
Рис. 2
Прямоугольная система координат в пространстве (трёхмерная система координат)
Прямоугольная система в пространстве – это три взаимно перпендикулярные оси с общим началом в точке
– началом координат. Ось
называется осью абсцисс,
– ось ординат,
– ось аппликат.
Координата любой точки в пространстве определяется тремя настоящими числами . Часто такую систему называют: “прямоугольная система координат в трёхмерном пространстве”.
Расстояние между двумя точками находится по формуле:
Рис. 3
Вместо произвольных базисных векторов ,
,
удобнее взять единичные векторы
,
,
, направленные соответственно вдоль осей
. Такие векторы называются ортами, а образованный ними базис называется ортонормированными (ортогональными). Вектор
=
, который называется радиусом-вектором точки
и у него такой расклад:
(3)
Очевидно, что произвольная точка в заданной системе координат однозначно определяется своим радиусом-вектором
, а координаты точки с координатами её радиуса-вектора.
Обратим внимание на тот факт, что, если в предыдущих темах выражение “дан вектор” мы подразумевали его графическое (геометрическое) изображение, то теперь выражение “дан вектор” необходимо воспринимать как задание тройке упорядоченных числе – координат вектора.
Решение задач
Задача
Убедиться, что система векторов образует базис и найти координаты вектора
в этом базисе, если известны в прямоугольной системе координаты этих векторов:
,
,
,
.
Решение
Векторы образуют базис, если они линейно независимы, то есть, их линейна комбинация
, где
, только тогда, когда
Проверим это при помощи свойств с темы базиса:
.
Приравнивая соответствующие координаты, получим систему:
Определитель этой системы:
Все вспомогательные определители , так как в каждом из них есть нулевой столбец из свободных членов однородной системы. Значит, согласно формулам Крамера
, и, таким образом, векторы
– линейно независимы, а значит, создают новый базис.
Обратим внимание, что элементы столбцов определителя совпадают с соответствующими координатами векторов
.
Вывод. Если определитель, созданный из координат векторов , не равен нулю, тогда эти векторы линейно независимы, то есть создают базис.
Теперь найдём координаты вектора в базисе
, то есть найдём числа
, такие, что выполняют равенство:
.
Повторяя предыдущие преобразования, у нас получается:
Приравнивая соответствующие координаты в левой и правой частях равенства, получим систему, которую удобно решать алгебраическим методом:
Таким образом, решив данную систему получим вектор