Декартова система координат

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Определение
Совокупность базиса \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}\overrightarrow{l_3} общей точки O называют декартовой системой координат. Точка O называется началом координат (см. на рис. 1).

Рисунок 1 - декартова система координат

Рис. 1

Иногда такую систему называют косоугольной.

Прямоугольная декартова система координат

Прямоугольная система координат – это прямолинейная система, где взаимно перпендикулярны оси на плоскости или в пространстве. Такая система координат самая простая и поэтому часто используется

Среди декартовых систем, самая распространённая прямоугольная декартова система координат, которая бывает двух видов:

  1. прямоугольная декартова система координат на плоскости;
  2. прямоугольная система координат в пространстве.

Прямоугольная система координат на плоскости (двухмерная система координат)

Прямоугольная система координат на плоскости – это две взаимно перпендикулярные оси координат, которые пересекаются в точке O (начало координат). Ещё такая система координат называется двухмерной. Есть ось OX, которая направлена вправо и есть ось OY, которая направлена вертикально вверх.

Координаты любых точек на плоскости yOx определяются двумя числами x, y. Эти числа – ортогональные проекции точки на соответствующие координатные оси. Как правило, x – абсцисса точки, а y – ордината (см. рис. 2). Элементарно можно найти расстояние между этими двумя точками:

A(x_1y_1) и B(x_2y_2) расстояние на плоскости определяется выражением:

d = \overline{|AB|} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Графическое изображение - декартова система координат

Рис. 2

Прямоугольная система координат в пространстве (трёхмерная система координат)

Прямоугольная система в пространстве – это три взаимно перпендикулярные  оси OX, OY, OZ с общим началом в точке O – началом координат. Ось OX называется осью абсцисс, OY – ось ординат, OZ – ось аппликат.

Координата любой точки в пространстве определяется тремя настоящими числами x, y, z. Часто такую систему  называют: “прямоугольная система координат в трёхмерном пространстве”.

Расстояние между двумя точками находится по формуле:

d = \overline{|AB|} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Рис. 2 - декартова система координат

Рис. 3

Вместо произвольных базисных векторов \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}\overrightarrow{l_3} удобнее взять единичные векторы \overrightarrow{o}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}, направленные соответственно вдоль осей OX, OY, OZ. Такие векторы называются ортами, а образованный ними базис называется ортонормированными (ортогональными). Вектор \overrightarrow{a}\overrightarrow{OA}, который называется радиусом-вектором точки A (x, y, z) и у него такой расклад:

\overrightarrow{a} = x\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c} + z\overrightarrow{o} = (x, y, z).

(3)

Очевидно, что произвольная точка A(x, y, z) в заданной системе координат однозначно определяется своим радиусом-вектором \overrightarrow{OA}, а координаты точки с координатами её радиуса-вектора.

Обратим внимание на тот факт, что, если в предыдущих темах выражение “дан вектор” мы подразумевали  его графическое  (геометрическое) изображение, то теперь выражение “дан вектор” необходимо воспринимать как задание тройке упорядоченных числе (x, y, z) – координат вектора.

Решение задач

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой, обратитесь за помощью к профессионалам. Работу могут написать преподаватели, доцены вузов

Стоимость и сроки

Пример

Задача

Убедиться, что система векторов l_1, l_2, l_3 образует базис и найти координаты вектора \overline{a} в этом базисе, если известны в прямоугольной системе координаты этих векторов: \overline{l}_{1} = (-1, 4, -1), \overline{l}_{2} = (4, -1, 1), \overline{l}_{3} = (8, 1, 0), \overline{a} = (9, -9, 5).

Решение

Векторы \overline{l}_{1}, \overline{l}_{2}, \overline{l}_{3} образуют базис, если они линейно независимы, то есть, их линейна комбинация \lambda_{1}\overline{l}_{1} + \lambda_{2}\overline{l}_{2} +  \lambda_{3}\overline{l}_{3} = 0, где \overline{0} = (0, 0, 0),  только тогда, когда \lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0

Проверим это при помощи свойств с темы базиса:

\lambda_{1} * (-1, 4, -1) + \lambda_{2} * (4, -1, 1) + \lambda_{3} * (8, 1, 0) = (0, 0, 0) \to(-\lambda_{1}, 4\lambda_{1}, -\lambda) + (4\lambda_{2}, -\lambda_{2}, \lambda_{2}) + (8\lambda_{3}, \lambda_{3}, 0 * \lambda_{3}) = (0, 0, 0)\to(\lambda_{1} + 4\lambda_{2} + 8\lambda_{3}, 4\lambda_{1} - \lambda_{2} + \lambda_{3}, - \lambda_{1} + \lambda_{2}) = (0, 0, 0).

Приравнивая соответствующие координаты, получим систему:

\left\{ \begin{aligned} -\lambda_{1} + 4\lambda{2} + 8\lambda+{3} = 0\\ 4\lambda_{1} - \lambda_{2} + \lambda_{3} = 0\\ -\lambda_{1} + \lambda_{2} + 0 * \lambda_{3} = 0 \end{aligned} \right

Определитель этой системы:

\Delta = \begin{vmatrix} -1&4&8\\ 4&-1&1\\ -1&1&0 \end{vmatrix} = -4 + 32 - 8 + 1 = 21\neq{0}. \right

Все вспомогательные определители \Delta{\lambda}_{1} = \Delta{\lambda}_{2} = \Delta{\lambda}_{3} = 0,  так как в каждом из них есть нулевой столбец из свободных членов однородной системы. Значит, согласно формулам Крамера \lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0, и, таким образом, векторы \overline{l}_{1},  \overline{l}_{2}, \overline{l}_{3} – линейно независимы, а значит, создают новый базис.

Обратим внимание, что элементы столбцов определителя \Delta совпадают с соответствующими координатами векторов \overline{l}_{1}, \overline{l}_{2}, \overline{l}_{3}.

Вывод. Если определитель, созданный из координат векторов \overline{l}_{1}, \overline{l}_{2}, \overline{l}_{3}, не равен нулю, тогда эти векторы линейно независимы, то есть создают базис.

Теперь найдём координаты вектора \overline{a} в базисе \overline{l}_{1}, \overline{l}_{2}, \overline{l}_{3}, то есть найдём числа \alpha, \beta, \gamma, такие, что выполняют равенство:

\overline{a} = \alpha\overline{l}_{1} + \beta\overline{l}_{2} + \gamma\overline{l}_{3}.

Повторяя предыдущие преобразования, у нас получается:

(9 - 9,5) = \alpha * (-1,4, -1) + \beta * (4, -1,1) + \gamma * (8, 1, 0) \to(-\alpha, 4\alpha, -\alpha) + (4\beta, -\beta, \beta) + (8\gamma, \gamma, 0) = 9, -9,5)\to(-\alpha + 4\beta + 8\gamma, 4\alpha - \beta + \gamma, -\alpha + \beta) = (9, -9,5).

Приравнивая соответствующие координаты в левой и правой частях равенства, получим систему, которую удобно решать алгебраическим методом:

\left\{ \begin{aligned} -\alpha + 4\beta + 8\gamma = 9\\ 4\alpha - \beta + \gamma = -9\\ -alpha + \beta = 5 \end{aligned} \right

 Таким образом, решив данную систему получим вектор \overline{a} = -\overline{l}_{1} + 4\overline{l}_{2} - \overline{l}_{3}

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

3606

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *