Декартова система координат – это прямоугольная система координат, которая находится как на плоскости, так и в пространстве. В этой системе масштабы по осям всегда одинаковые, а оси координат взаимно перпендикулярны.

Декартова система координат

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости

Определение
Совокупность базиса \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}\overrightarrow{l_3} общей точки O называют декартовой системой координат. Точка O называется началом координат (см. на рис. 1).

Рисунок 1 - декартова система координат

Рис. 1

Иногда такую систему называют косоугольной.

Прямоугольная декартова система координат

Прямоугольная система координат – это прямолинейная система, где взаимно перпендикулярны оси на плоскости или в пространстве. Такая система координат самая простая и поэтому часто используется

Среди декартовых систем, самая распространённая прямоугольная декартова система координат, которая бывает двух видов:

  1. прямоугольная декартова система координат на плоскости;
  2. прямоугольная система координат в пространстве.

Прямоугольная система координат на плоскости (двухмерная система координат)

Прямоугольная система координат на плоскости – это две взаимно перпендикулярные оси координат, которые пересекаются в точке O (начало координат). Ещё такая система координат называется двухмерной. Есть ось OX, которая направлена вправо и есть ось OY, которая направлена вертикально вверх.

Координаты любых точек на плоскости yOx определяются двумя числами x, y. Эти числа – ортогональные проекции точки на соответствующие координатные оси. Как правило, x – абсцисса точки, а y – ордината (см. рис. 2). Элементарно можно найти расстояние между этими двумя точками:

A(x_1y_1) и B(x_2y_2) расстояние на плоскости определяется выражением:

d = \overline{|AB|} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Графическое изображение - декартова система координат

Рис. 2

Прямоугольная система координат в пространстве (трёхмерная система координат)

Прямоугольная система в пространстве – это три взаимно перпендикулярные  оси OX, OY, OZ с общим началом в точке O – началом координат. Ось OX называется осью абсцисс, OY – ось ординат, OZ – ось аппликат.

Координата любой точки в пространстве определяется тремя настоящими числами x, y, z. Часто такую систему  называют: “прямоугольная система координат в трёхмерном пространстве”.

Расстояние между двумя точками находится по формуле:

d = \overline{|AB|} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Рис. 2 - декартова система координат

Рис. 3

Вместо произвольных базисных векторов \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}\overrightarrow{l_3} удобнее взять единичные векторы \overrightarrow{o}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}, направленные соответственно вдоль осей OX, OY, OZ. Такие векторы называются ортами, а образованный ними базис называется ортонормированными (ортогональными). Вектор \overrightarrow{a}\overrightarrow{OA}, который называется радиусом-вектором точки A (x, y, z) и у него такой расклад:

\overrightarrow{a} = x\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c} + z\overrightarrow{o} = (x, y, z).

(3)

Очевидно, что произвольная точка A(x, y, z) в заданной системе координат однозначно определяется своим радиусом-вектором \overrightarrow{OA}, а координаты точки с координатами её радиуса-вектора.

Обратим внимание на тот факт, что, если в предыдущих темах выражение “дан вектор” мы подразумевали  его графическое  (геометрическое) изображение, то теперь выражение “дан вектор” необходимо воспринимать как задание тройке упорядоченных числе (x, y, z) – координат вектора.

Решение задач

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой, обратитесь за помощью к профессионалам. Работу могут написать преподаватели, доцены вузов

Стоимость и сроки

Пример

Задача

Убедиться, что система векторов l_1, l_2, l_3 образует базис и найти координаты вектора \overline{a} в этом базисе, если известны в прямоугольной системе координаты этих векторов: \overline{l}_{1} = (-1, 4, -1), \overline{l}_{2} = (4, -1, 1), \overline{l}_{3} = (8, 1, 0), \overline{a} = (9, -9, 5).

Решение

Векторы \overline{l}_{1}, \overline{l}_{2}, \overline{l}_{3} образуют базис, если они линейно независимы, то есть, их линейна комбинация \lambda_{1}\overline{l}_{1} + \lambda_{2}\overline{l}_{2} +  \lambda_{3}\overline{l}_{3} = 0, где \overline{0} = (0, 0, 0),  только тогда, когда \lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0

Проверим это при помощи свойств с темы базиса:

\lambda_{1} * (-1, 4, -1) + \lambda_{2} * (4, -1, 1) + \lambda_{3} * (8, 1, 0) = (0, 0, 0) \to(-\lambda_{1}, 4\lambda_{1}, -\lambda) + (4\lambda_{2}, -\lambda_{2}, \lambda_{2}) + (8\lambda_{3}, \lambda_{3}, 0 * \lambda_{3}) = (0, 0, 0)\to(\lambda_{1} + 4\lambda_{2} + 8\lambda_{3}, 4\lambda_{1} - \lambda_{2} + \lambda_{3}, - \lambda_{1} + \lambda_{2}) = (0, 0, 0).

Приравнивая соответствующие координаты, получим систему:

\left\{ \begin{aligned} -\lambda_{1} + 4\lambda{2} + 8\lambda+{3} = 0\\ 4\lambda_{1} - \lambda_{2} + \lambda_{3} = 0\\ -\lambda_{1} + \lambda_{2} + 0 * \lambda_{3} = 0 \end{aligned} \right

Определитель этой системы:

\Delta = \begin{vmatrix} -1&4&8\\ 4&-1&1\\ -1&1&0 \end{vmatrix} = -4 + 32 - 8 + 1 = 21\neq{0}. \right

Все вспомогательные определители \Delta{\lambda}_{1} = \Delta{\lambda}_{2} = \Delta{\lambda}_{3} = 0,  так как в каждом из них есть нулевой столбец из свободных членов однородной системы. Значит, согласно формулам Крамера \lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0, и, таким образом, векторы \overline{l}_{1},  \overline{l}_{2}, \overline{l}_{3} – линейно независимы, а значит, создают новый базис.

Обратим внимание, что элементы столбцов определителя \Delta совпадают с соответствующими координатами векторов \overline{l}_{1}, \overline{l}_{2}, \overline{l}_{3}.

Вывод. Если определитель, созданный из координат векторов \overline{l}_{1}, \overline{l}_{2}, \overline{l}_{3}, не равен нулю, тогда эти векторы линейно независимы, то есть создают базис.

Теперь найдём координаты вектора \overline{a} в базисе \overline{l}_{1}, \overline{l}_{2}, \overline{l}_{3}, то есть найдём числа \alpha, \beta, \gamma, такие, что выполняют равенство:

\overline{a} = \alpha\overline{l}_{1} + \beta\overline{l}_{2} + \gamma\overline{l}_{3}.

Повторяя предыдущие преобразования, у нас получается:

(9 - 9,5) = \alpha * (-1,4, -1) + \beta * (4, -1,1) + \gamma * (8, 1, 0) \to(-\alpha, 4\alpha, -\alpha) + (4\beta, -\beta, \beta) + (8\gamma, \gamma, 0) = 9, -9,5)\to(-\alpha + 4\beta + 8\gamma, 4\alpha - \beta + \gamma, -\alpha + \beta) = (9, -9,5).

Приравнивая соответствующие координаты в левой и правой частях равенства, получим систему, которую удобно решать алгебраическим методом:

\left\{ \begin{aligned} -\alpha + 4\beta + 8\gamma = 9\\ 4\alpha - \beta + \gamma = -9\\ -alpha + \beta = 5 \end{aligned} \right

 Таким образом, решив данную систему получим вектор \overline{a} = -\overline{l}_{1} + 4\overline{l}_{2} - \overline{l}_{3}

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

4497

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *