О чем статья
Введение
В теории вероятности эксцесс является одним из показателей, который позволяет оценить форму распределения случайной величины. Он показывает, насколько “острыми” или “плоскими” являются хвосты распределения относительно его среднего значения. В данной лекции мы рассмотрим определение эксцесса, формулу для его расчета, интерпретацию значений эксцесса и свойства этого показателя. Также мы рассмотрим несколько примеров расчета эксцесса для более наглядного понимания.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Определение эксцесса
Эксцесс – это мера отклонения распределения случайной величины от нормального распределения. Он показывает, насколько “острыми” или “плоскими” являются хвосты распределения по сравнению с нормальным распределением.
Эксцесс может быть положительным или отрицательным. Положительный эксцесс указывает на то, что распределение имеет более тяжелые и более вытянутые хвосты, чем нормальное распределение. Отрицательный эксцесс, наоборот, указывает на то, что распределение имеет более легкие и более плоские хвосты, чем нормальное распределение.
Эксцесс может быть вычислен с использованием формулы:
Эксцесс = (среднее значение четвертой степени – 4 * среднее значение третьей степени * среднее значение второй степени + 6 * среднее значение второй степени * среднее значение + 3 * среднее значение второй степени * среднее значение – 12 * среднее значение третьей степени * среднее значение + 12 * среднее значение четвертой степени) / стандартное отклонение второй степени
Интерпретация значений эксцесса:
- Положительный эксцесс (больше 0) указывает на наличие тяжелых хвостов и более вытянутого распределения.
- Отрицательный эксцесс (меньше 0) указывает на наличие легких хвостов и более плоского распределения.
- Эксцесс равный 0 указывает на то, что распределение близко к нормальному.
Формула для расчета эксцесса
Эксцесс – это мера отклонения распределения от нормального распределения. Для расчета эксцесса используется четвертый центральный момент.
Формула для расчета эксцесса:
Эксцесс = (Четвертый центральный момент) / (Стандартное отклонение в кубе)
Четвертый центральный момент вычисляется по формуле:
Четвертый центральный момент = (Сумма всех значений в степени 4) / (Количество значений) – (3 * (Среднее значение в степени 4))
Стандартное отклонение вычисляется по формуле:
Стандартное отклонение = Корень квадратный из (Сумма всех значений в степени 2) / (Количество значений)
Подставив значения четвертого центрального момента и стандартного отклонения в формулу для расчета эксцесса, мы получим числовое значение, которое показывает, насколько распределение отличается от нормального.
Интерпретация значений эксцесса
Эксцесс – это мера оценки формы распределения случайной величины. Он позволяет определить, насколько “острыми” или “плоскими” являются хвосты распределения по сравнению с нормальным распределением.
Значение эксцесса может быть положительным или отрицательным.
Положительный эксцесс
Если значение эксцесса положительное, то это означает, что распределение имеет более тяжелые и более вытянутые хвосты, чем нормальное распределение. Такое распределение называется “островершинным”.
Положительный эксцесс может указывать на наличие выбросов или редких событий в данных. Также он может свидетельствовать о наличии нескольких пиков или мод в распределении.
Отрицательный эксцесс
Если значение эксцесса отрицательное, то это означает, что распределение имеет более плоские хвосты, чем нормальное распределение. Такое распределение называется “плоскоршинным”.
Отрицательный эксцесс может указывать на то, что данные имеют более равномерное распределение или что они сгруппированы вокруг среднего значения.
Значение эксцесса равное нулю означает, что распределение данных близко к нормальному.
Интерпретация значений эксцесса может быть относительной и зависит от контекста и типа данных, поэтому всегда важно анализировать эксцесс в сочетании с другими статистическими показателями и графиками.
Свойства эксцесса
Эксцесс является одним из основных статистических показателей, который характеризует форму распределения данных. Вот некоторые свойства эксцесса:
Положительный эксцесс
Если значение эксцесса положительное, то это означает, что данные имеют более тяжелые и более вытянутые хвосты, чем нормальное распределение. Такое распределение называется “правоскошенным”.
Отрицательный эксцесс
Если значение эксцесса отрицательное, то это означает, что данные имеют более легкие и более сжатые хвосты, чем нормальное распределение. Такое распределение называется “левоскошенным”.
Нулевой эксцесс
Если значение эксцесса равно нулю, то это означает, что данные имеют форму, близкую к нормальному распределению. Такое распределение называется “симметричным”.
Интерпретация значений эксцесса
Значение эксцесса может быть интерпретировано в контексте конкретной задачи или типа данных. Например, положительный эксцесс может указывать на наличие выбросов или аномальных значений в данных, а отрицательный эксцесс может указывать на то, что данные сгруппированы вокруг среднего значения.
Важно помнить, что интерпретация значений эксцесса всегда должна быть осуществлена в сочетании с другими статистическими показателями и графиками для полного анализа данных.
Примеры расчета эксцесса
Для наглядности рассмотрим несколько примеров расчета эксцесса.
Пример 1:
Предположим, у нас есть следующий набор данных:
5, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25
Сначала найдем среднее значение:
Среднее = (5 + 7 + 8 + 10 + 12 + 15 + 18 + 20 + 22 + 25) / 10 = 14.2
Затем найдем стандартное отклонение:
Стандартное отклонение = √((5-14.2)² + (7-14.2)² + (8-14.2)² + (10-14.2)² + (12-14.2)² + (15-14.2)² + (18-14.2)² + (20-14.2)² + (22-14.2)² + (25-14.2)²) / 10 = 6.45
Затем найдем эксцесс:
Эксцесс = ((5-14.2)⁴ + (7-14.2)⁴ + (8-14.2)⁴ + (10-14.2)⁴ + (12-14.2)⁴ + (15-14.2)⁴ + (18-14.2)⁴ + (20-14.2)⁴ + (22-14.2)⁴ + (25-14.2)⁴) / (10 * 6.45⁴) = -0.63
Таким образом, эксцесс для данного набора данных равен -0.63.
Пример 2:
Предположим, у нас есть следующий набор данных:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
Сначала найдем среднее значение:
Среднее = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20) / 10 = 11
Затем найдем стандартное отклонение:
Стандартное отклонение = √((2-11)² + (4-11)² + (6-11)² + (8-11)² + (10-11)² + (12-11)² + (14-11)² + (16-11)² + (18-11)² + (20-11)²) / 10 = 5.92
Затем найдем эксцесс:
Эксцесс = ((2-11)⁴ + (4-11)⁴ + (6-11)⁴ + (8-11)⁴ + (10-11)⁴ + (12-11)⁴ + (14-11)⁴ + (16-11)⁴ + (18-11)⁴ + (20-11)⁴) / (10 * 5.92⁴) = 0.63
Таким образом, эксцесс для данного набора данных равен 0.63.
Это лишь два примера расчета эксцесса. В реальных задачах может быть необходимо провести более сложные расчеты и анализировать данные с использованием других статистических показателей.
Таблица сравнения эксцесса
| Свойство | Определение | Интерпретация | Пример |
|---|---|---|---|
| Положительный эксцесс | Значение эксцесса больше 0 | Распределение имеет более тяжелые хвосты и более выраженный пик, чем нормальное распределение | Распределение доходов в некоторой стране, где небольшое количество людей имеет очень высокий доход |
| Отрицательный эксцесс | Значение эксцесса меньше 0 | Распределение имеет более легкие хвосты и более плоский пик, чем нормальное распределение | Распределение роста детей в определенной возрастной группе, где большинство детей имеют схожий рост |
| Нулевой эксцесс | Значение эксцесса равно 0 | Распределение имеет форму, близкую к нормальному распределению | Распределение IQ в общей популяции |
Заключение
Эксцесс – это мера отклонения распределения случайной величины от нормального распределения. Он позволяет оценить, насколько “острыми” или “плоскими” являются хвосты распределения.
Формула для расчета эксцесса основана на четвертых моментах распределения. Положительное значение эксцесса указывает на более острые хвосты, а отрицательное значение – на более плоские хвосты.
Значения эксцесса могут быть интерпретированы следующим образом: эксцесс близкий к нулю указывает на нормальное распределение, положительный эксцесс – на более тяжелые хвосты, а отрицательный эксцесс – на более легкие хвосты.
Свойства эксцесса включают его инвариантность относительно сдвига и масштабирования данных, а также его связь с моментами распределения.
Расчет эксцесса может быть полезен в различных областях, таких как финансовая аналитика, статистика, экономика и другие, где необходимо оценить форму распределения данных.