О чем статья
Геометрическое определение вероятности
Рассмотрим, что такое геометрическая вероятность (геометрическое определение вероятности) на примерах некоторых задач. Пусть дан отрезок длиной . Разделим его пополам (для однозначности точку деления отнесём к левой половине). Наугад выкладывается точка на этот отрезок. Возможны два случая: «точка попала на левую половину» — событие
; «точка попала на правую половину» — событие
. Так как точка кладётся наугад, тогда целесообразно считать, что эти события равновозможные. Тогда вероятность события
, так же получается и с
.
Теперь разделим отрезок на 10 равных частей (длина каждого
). Случайным образом бросаем точку на этот отрезок. Возможные случаи: «точка попала на первый отрезок» — событие
, «точка попала на второй отрезок» — событие
, «точка попала на третий отрезок» — событие
и так до отрезка десятого —
. Считая эти события равновозможными получаем, что вероятность каждого из этих событий равняется 0,1. То есть,
.
Пусть событие заключается в том, что случайно брошенная точка попала, например на отрезок
. Так как событию
способствуют четыре из возможных случаев, тогда вероятность можно представить:
.
Отсюда следует:
(1)
— вероятность случайного попадания точки на отрезок длиной , который помещается на отрезке длиной
.
Вышеизложенный подход можно обобщить для плоских фигур (см. рис. 1), а также в пространстве для тел.
Рис. 1
Пусть фигура , площадь которой равняется
, помещается в фигуре
, площадь которой
, тогда вероятность события
, которое заключается в том, что наугад брошенная точка попадёт в фигуру
, равняется отношению площади этих фигур, то есть:
(2)
Для формул (1) и (2) имеется ввиду «равновозможность» случайного попадания точки в произвольную точку отрезка или фигуры
.
Геометрическая модель
С целью наглядности рассмотрим такую модель:
Пусть фигура — это прямоугольник размера
x
(его площадь
), описанный вокруг фигуры
, нарисованной на асфальте. Вместо точек, которые выбираются наугад в прямоугольнике, будем считать капли дождя, что только начинается. После определённого времени прямоугольник закроем от дождя и посчитаем количество капель
, которые попали на весь прямоугольник
, а также количество капель
, которые попали на фигуру
. Вычислим относительную частоту
. Нам уже известно что по формуле (2) можно найти вероятность событий
, которое заключается в случайном выборе точки из фигуры
. В данном случае это соотношение площадей
, а с другой стороны
. Поэтому у нас получается приближённое равенство
, при помощи которого можно найти площадь фигуры
,
(3)
Понятно, что этот пример приведён для наглядности, а в действительности лучше вычислять при помощи компьютерной программы. Однако, техника и не всегда может быть под рукой. Хотелось бы показать ещё несколько примеров, чтобы вы более ясно поняли тему геометрической вероятности.
Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Задачи по теме: «Геометрическое определение вероятности»
[stextbox id=»warning» caption=»Пример 1″]
Задача
Два студента после занятий договорились встретиться возле входа корпуса. Так как у каждого из них могли появиться непредвиденные обстоятельства, они договорились, что встреча состоится с 14.00 до 15.00. Таким образом, кто первый приходит к месту назначения, тот ждёт 15 минут (но не позже 15.00) и уходит. Найти вероятность встречи, если час ожидания взять:
а) 15 минут;
б) 20 минут;
в) 30 минут.
Решение
Пусть — час прихода первого студента на место встречи,
— второго.
Встреча происходит при условии, что:
или
Множества решений неравенств изображено на рис. 2.
Площадь квадрата . Площадь фигуры
.
. Поэтому вероятность встречи (событие
):
.
При минут имеем
;
при минут:
;
при минут:
.
Рис. 2
Ответ
Вероятность встречи при ожидании 15 минут приблизительно 0, 44;
Вероятность встречи при ожидании 20 минут = 0, 55;
Вероятность встречи при ожидании 30 минут около 0, 75.
[/stextbox]
[stextbox id=»warning» caption=»Пример 2″]
Задача
Найти площадь параболического сегмента, который задан равенствами:
1. ;
2. .
Решение
Параболический сегмент показан на рис. 3.
Рис. 3
Точки пересечения с осью —
и
.
Эту площадь можно вычислить при помощи определённого интеграла или при помощи формулы:
.
где — коэффициент при
в равенстве параболы.
Покажем, как найти искомую площадь, используя геометрическое определение вероятности. Опишем вокруг параболического сегмента квадрат со стороной 4 единицы. Площадь квадрата кв. ед. (см. рис. 3). При помощи стандартной функции генерирования случайных точек
, которые попадают в квадрат, в том числе
точек, которые в параболическом сегменте, найдём относительную частоту попадания случайных точек в параболический сегмент. Тогда по формуле (3) находим
.
В таблице 1 даны результаты расчётов ближайших значений площади параболического сегмента для разных значений и
. Так, из рис. 3 видно, что в квадрат попало 10 точек, а в сегмент — 6, поэтому первого приближения площади у нас получается:
; что и записываем в первой строке табл. 1:
Площадь |
||
10 | 6 | 9,6 |
100 | 66 | 10,56 |
1 000 | 665 | 10,32 |
10 000 | 6 645 | 10,6336 |
100 000 | 66 865 | 10,6984 |
1000 000 | 666 727 | 10,6671 |
Таблица 1
Ответ
Площадь найдена при использовании геометрического определения вероятности, которая высчитана и записана в таблице.
[/stextbox]