Want create site? Find Free WordPress Themes and plugins.

Геометрическое определение вероятности

Рассмотрим, что такое геометрическая вероятность (геометрическое определение вероятности) на примерах некоторых задач. Пусть дан отрезок длиной L. Разделим его пополам (для однозначности точку деления отнесём к левой половине). Наугад выкладывается точка на этот отрезок. Возможны два случая: “точка попала на левую половину” – событие A_{1}; “точка попала на правую половину” – событие A_{2}. Так как точка кладётся наугад, тогда целесообразно считать, что эти события равновозможные. Тогда вероятность события A_{1} = P(A_{1}) = 0.5, так же получается и с A_{2} = P(A_{2}) = 0.5.

Теперь разделим отрезок L на 10 равных частей (длина каждого 0.1 L). Случайным образом бросаем точку на этот отрезок. Возможные случаи: “точка попала на первый отрезок” – событие A_{1}, “точка попала на второй отрезок” – событие A_{2}, “точка попала на третий отрезок” – событие A_{3} и так до отрезка десятого – A_{10}. Считая эти события равновозможными получаем, что вероятность каждого из этих событий равняется 0,1. То есть, P(A_{i}) = 0.1 (i = \overline{1,10}).

Пусть событие A заключается в том, что случайно брошенная точка попала, например на отрезок [0.3 L : 0.7 L]. Так как событию A способствуют четыре из возможных случаев, тогда вероятность можно представить:

P(A) = 0,4 = {{0,4 L}\over{L}} = {1\over{L}}.

Отсюда следует:

P(A) = {1\over{L}}

(1)

– вероятность случайного попадания точки на отрезок длиной l, который помещается на отрезке длиной L (l\leq{L}).

Вышеизложенный подход можно обобщить для плоских фигур (см. рис. 1), а также в пространстве для тел.

Геометрическая вероятность

Рис. 1

Пусть фигура d, площадь которой равняется s, помещается в фигуре D (d\in{D}), площадь которой S, тогда вероятность события A, которое заключается в том, что наугад брошенная точка попадёт в фигуру d, равняется отношению площади этих фигур, то есть:

P(A) = {s\over{S}}

(2)

Для формул (1) и (2) имеется ввиду “равновозможность” случайного попадания точки в произвольную точку отрезка L или фигуры D.

Геометрическая модель

С целью наглядности рассмотрим такую модель:

Пусть фигура D – это прямоугольник размера a x b (его площадь S = ab), описанный вокруг фигуры d, нарисованной на асфальте. Вместо точек, которые выбираются наугад в прямоугольнике, будем считать капли дождя, что только начинается. После определённого времени прямоугольник закроем от дождя и посчитаем количество капель n, которые попали на весь прямоугольник D, а также количество капель m, которые попали на фигуру d. Вычислим относительную частоту M\over{n}. Нам уже известно что по формуле (2) можно найти вероятность событий A, которое заключается в случайном выборе точки из фигуры d. В данном случае это соотношение площадей s\over{S}, а с другой стороны P(A)\approx{m\over{n}}. Поэтому у нас получается приближённое равенство s\over{S}\approx{m\over{n}}, при помощи которого можно найти площадь фигуры d,

s\approx{m\over{n}}S

(3)

Понятно, что этот пример приведён для наглядности, а в действительности лучше вычислять при помощи компьютерной программы. Однако, техника и не всегда может быть под рукой. Хотелось бы показать ещё несколько примеров, чтобы вы более ясно поняли тему геометрической вероятности.

Задачи по теме: “Геометрическое определение вероятности”

Пример 1

Задача

Два студента после занятий договорились встретиться возле входа корпуса. Так как у каждого из них могли появиться непредвиденные обстоятельства, они договорились, что встреча состоится с 14.00 до 15.00. Таким образом, кто первый приходит к месту назначения, тот ждёт 15 минут (но не позже 15.00) и уходит. Найти вероятность встречи, если час ожидания взять:

а) 15 минут;

б) 20 минут;

в) 30 минут.

Решение

Пусть x – час прихода первого студента на место встречи, y – второго.

Встреча происходит при условии, что:

|x - y|\leq{15}\to{-15}\leq{x - y}\leq{15} или

\left\{ \begin{aligned} y\leq{x + 15}\\ y\geq{x - 15} \end{aligned} \right

Множества решений неравенств изображено на рис. 2.

Площадь квадрата S = 60^2 = 3600. Площадь фигуры d.

s = 3600 - (60 - t)^2. Поэтому вероятность встречи (событие A):

P(A) = {s\over{S}} = {3600 - (60 - t)^2\over{3600}} = 1 - (1 - {t\over{60}})^2.

При t = 15 минут имеем P(A)\approx{0,44};

при t = 20 минут: P(A) = 0,55;

при t = 30 минут: P(A)\approx{0,75}.

Геометрическое определение вероятности

Рис. 2

Ответ

Вероятность встречи при ожидании 15 минут приблизительно 0, 44;

Вероятность встречи при ожидании 20 минут = 0, 55;

Вероятность встречи при ожидании 30 минут около 0, 75.

Пример 2

Задача

Найти площадь параболического сегмента, который задан равенствами:

1. y = -x^2 + 4x;

2. y = 0.

Решение

Параболический сегмент показан на рис. 3.

Геометрическое определение вероятности

Рис. 3

Точки пересечения с осью OXx_{1} = 0 и x_{2} = 4.

Эту площадь можно вычислить при помощи определённого интеграла или при помощи формулы:

s = {|a|(x_{2} - x_{1})^3\over{6}} = {|-1|(4 - 0)^3\over{6}} = {64\over{6}}\approx{10,667.

где a – коэффициент при x^2 в равенстве параболы.

Покажем, как найти искомую площадь, используя геометрическое определение вероятности. Опишем вокруг параболического сегмента квадрат со стороной 4 единицы. Площадь квадрата S = 16 кв. ед. (см. рис. 3). При помощи стандартной функции генерирования случайных точек n, которые попадают в квадрат, в том числе m точек, которые в параболическом сегменте, найдём относительную частоту попадания случайных точек в параболический сегмент. Тогда по формуле (3) находим s\approx{m\over{n}} * 16.

В таблице 1 даны результаты расчётов ближайших значений площади параболического сегмента для разных значений m и n. Так, из рис. 3 видно, что в квадрат попало 10 точек, а в сегмент – 6, поэтому первого приближения площади у нас получается:

s = {6\over{10}} * 16 = {3\over{5}} * 16 = {48\over{5}} = 9,6; что и записываем в первой строке табл. 1:

nmПлощадь s
1069,6
1006610,56
1 00066510,32
10 0006 64510,6336
100 00066 86510,6984
1000 000666 72710,6671

Таблица 1

Ответ

Площадь найдена при использовании геометрического определения вероятности, которая высчитана и записана в таблице.

Did you find apk for android? You can find new Free Android Games and apps.