Геометрическое определение вероятности

Рассмотрим, что такое геометрическая вероятность (геометрическое определение вероятности) на примерах некоторых задач. Пусть дан отрезок длиной L. Разделим его пополам (для однозначности точку деления отнесём к левой половине). Наугад выкладывается точка на этот отрезок. Возможны два случая: “точка попала на левую половину” – событие A_{1}; “точка попала на правую половину” – событие A_{2}. Так как точка кладётся наугад, тогда целесообразно считать, что эти события равновозможные. Тогда вероятность события A_{1} = P(A_{1}) = 0.5, так же получается и с A_{2} = P(A_{2}) = 0.5.

Теперь разделим отрезок L на 10 равных частей (длина каждого 0.1 L). Случайным образом бросаем точку на этот отрезок. Возможные случаи: “точка попала на первый отрезок” – событие A_{1}, “точка попала на второй отрезок” – событие A_{2}, “точка попала на третий отрезок” – событие A_{3} и так до отрезка десятого – A_{10}. Считая эти события равновозможными получаем, что вероятность каждого из этих событий равняется 0,1. То есть, P(A_{i}) = 0.1 (i = \overline{1,10}).

Пусть событие A заключается в том, что случайно брошенная точка попала, например на отрезок [0.3 L : 0.7 L]. Так как событию A способствуют четыре из возможных случаев, тогда вероятность можно представить:

P(A) = 0,4 = {{0,4 L}\over{L}} = {1\over{L}}.

Отсюда следует:

P(A) = {1\over{L}}

(1)

– вероятность случайного попадания точки на отрезок длиной l, который помещается на отрезке длиной L (l\leq{L}).

Вышеизложенный подход можно обобщить для плоских фигур (см. рис. 1), а также в пространстве для тел.

Геометрическая вероятность

Рис. 1

Пусть фигура d, площадь которой равняется s, помещается в фигуре D (d\in{D}), площадь которой S, тогда вероятность события A, которое заключается в том, что наугад брошенная точка попадёт в фигуру d, равняется отношению площади этих фигур, то есть:

P(A) = {s\over{S}}

(2)

Для формул (1) и (2) имеется ввиду “равновозможность” случайного попадания точки в произвольную точку отрезка L или фигуры D.

Геометрическая модель

С целью наглядности рассмотрим такую модель:

Пусть фигура D – это прямоугольник размера a x b (его площадь S = ab), описанный вокруг фигуры d, нарисованной на асфальте. Вместо точек, которые выбираются наугад в прямоугольнике, будем считать капли дождя, что только начинается. После определённого времени прямоугольник закроем от дождя и посчитаем количество капель n, которые попали на весь прямоугольник D, а также количество капель m, которые попали на фигуру d. Вычислим относительную частоту M\over{n}. Нам уже известно что по формуле (2) можно найти вероятность событий A, которое заключается в случайном выборе точки из фигуры d. В данном случае это соотношение площадей s\over{S}, а с другой стороны P(A)\approx{m\over{n}}. Поэтому у нас получается приближённое равенство s\over{S}\approx{m\over{n}}, при помощи которого можно найти площадь фигуры d,

s\approx{m\over{n}}S

(3)

Понятно, что этот пример приведён для наглядности, а в действительности лучше вычислять при помощи компьютерной программы. Однако, техника и не всегда может быть под рукой. Хотелось бы показать ещё несколько примеров, чтобы вы более ясно поняли тему геометрической вероятности.

Задачи по теме: “Геометрическое определение вероятности”

Пример 1

Задача

Два студента после занятий договорились встретиться возле входа корпуса. Так как у каждого из них могли появиться непредвиденные обстоятельства, они договорились, что встреча состоится с 14.00 до 15.00. Таким образом, кто первый приходит к месту назначения, тот ждёт 15 минут (но не позже 15.00) и уходит. Найти вероятность встречи, если час ожидания взять:

а) 15 минут;

б) 20 минут;

в) 30 минут.

Решение

Пусть x – час прихода первого студента на место встречи, y – второго.

Встреча происходит при условии, что:

|x - y|\leq{15}\to{-15}\leq{x - y}\leq{15} или

\left\{ \begin{aligned} y\leq{x + 15}\\ y\geq{x - 15} \end{aligned} \right

Множества решений неравенств изображено на рис. 2.

Площадь квадрата S = 60^2 = 3600. Площадь фигуры d.

s = 3600 - (60 - t)^2. Поэтому вероятность встречи (событие A):

P(A) = {s\over{S}} = {3600 - (60 - t)^2\over{3600}} = 1 - (1 - {t\over{60}})^2.

При t = 15 минут имеем P(A)\approx{0,44};

при t = 20 минут: P(A) = 0,55;

при t = 30 минут: P(A)\approx{0,75}.

Геометрическое определение вероятности

Рис. 2

Ответ

Вероятность встречи при ожидании 15 минут приблизительно 0, 44;

Вероятность встречи при ожидании 20 минут = 0, 55;

Вероятность встречи при ожидании 30 минут около 0, 75.

Пример 2

Задача

Найти площадь параболического сегмента, который задан равенствами:

1. y = -x^2 + 4x;

2. y = 0.

Решение

Параболический сегмент показан на рис. 3.

Геометрическое определение вероятности

Рис. 3

Точки пересечения с осью OXx_{1} = 0 и x_{2} = 4.

Эту площадь можно вычислить при помощи определённого интеграла или при помощи формулы:

s = {|a|(x_{2} - x_{1})^3\over{6}} = {|-1|(4 - 0)^3\over{6}} = {64\over{6}}\approx{10,667.

где a – коэффициент при x^2 в равенстве параболы.

Покажем, как найти искомую площадь, используя геометрическое определение вероятности. Опишем вокруг параболического сегмента квадрат со стороной 4 единицы. Площадь квадрата S = 16 кв. ед. (см. рис. 3). При помощи стандартной функции генерирования случайных точек n, которые попадают в квадрат, в том числе m точек, которые в параболическом сегменте, найдём относительную частоту попадания случайных точек в параболический сегмент. Тогда по формуле (3) находим s\approx{m\over{n}} * 16.

В таблице 1 даны результаты расчётов ближайших значений площади параболического сегмента для разных значений m и n. Так, из рис. 3 видно, что в квадрат попало 10 точек, а в сегмент – 6, поэтому первого приближения площади у нас получается:

s = {6\over{10}} * 16 = {3\over{5}} * 16 = {48\over{5}} = 9,6; что и записываем в первой строке табл. 1:

nmПлощадь s
1069,6
1006610,56
1 00066510,32
10 0006 64510,6336
100 00066 86510,6984
1000 000666 72710,6671

Таблица 1

Ответ

Площадь найдена при использовании геометрического определения вероятности, которая высчитана и записана в таблице.