Гипербола и её каноническое уравнение

Гипербола – это геометрическое место точек плоскости таких, что модуль разницы расстояний от каждой из них к двум фиксированным точкам плоскости, которые называются фокусами, есть постоянной величиной.

Елена
0 4870
Помощь в написании работы

Что такое гипербола

Гипербола – это множество точек плоскости, разница расстояний которых от двух заданных точек, фокусов, есть постоянная величина и равна 2a.

Аналогично эллипсу фокусы размещаем в точках F_{1}(c, 0), F_{2}(-c, 0) (см. рис. 1).

Изображение - гипербола

Рис. 1

Видно из рисунка, что могут быть случаи r_{1} < r_{2} и r_{1} > r_{2}, тогда согласно определению r_{2} - r_{1} = \pm2a

Известно, что в треугольнике разница двух сторон меньше третьей стороны, поэтому, например, с \Delta{F_{2}}MF_{1} у нас получается:

F_{2}M - F_{1}M < F_{1}F_{2}\to{r_{2} - r_{1}} < 2c\to{2a < 2c}\to{a < c}. Значит, для гиперболы a < c.

Дальше запишем значение выражений r_{1} и r_{2} через координаты точек

r_{2} = r_{1} \pm {2a}\to{\sqrt{(x + c)^2 + y^2}} = \sqrt{(x - c)^2 + y^2)}\pm2a.

Поднесём к квадрату обе части и после дальнейших преобразований найдём:

{x^2\over{a^2}} - {y^2\over{b^2}} = {1}.

(1)

где b^2 = c^2 - a^2. Уравнение гиперболы (1) – это каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно координатных осей, поэтому, как и для эллипса, достаточно построить её график в первой четверти, где:

{y} = {b\over{a}}\sqrt{x^2 - a^2}. Область значения для первой четверти a\leq{x} < {+\infty}.

При x = a, y = 0 у нас есть одна из вершин гиперболы A_{1}(a, 0). Вторая вершина A_{2}(-a, 0). Если x = 0, тогда из (1) -{y_{2}\over(b_{2}}) = 1 – действительных корней нет. Говорят, что B_{1}(0, b) и B_{2}(0, -b) – мнимые вершины гиперболы. Из соотношением {y} = {b\over{a}}{\sqrt{x^2 - a^2}} получается, что при достаточно больших значениях x есть место ближайшего равенства {b\over{a}}{\sqrt{x^2 - a^2}}\approx{b\over{a}}{\sqrt{x^2}} = {b\over{a}}x  (x > a).  Поэтому прямая {y} = {b\over{a}}x есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при x\to\infty.

Форма и характеристики гиперболы

Исследуем уравнение (1) форму и расположение гиперболы.

  1. Переменные x и y входят в уравнение (1) в парных степенях. Поэтому, если точка (x, y) принадлежит гиперболе, тогда и точки (-x, y), (x, -y), (-x, -y) также принадлежат гиперболе. Значит, фигура симметрична относительно осей OX и OY, и точки O(0, 0), которая называется центром гиперболы.
  2. Найдём точки пересечения с осями координат. Подставив в уравнение (1) y = 0 получим, что гипербола пересекает ось OX в точках A_{1}(a, 0), A_{2}(-a, 0).  Положив x = 0 получим уравнение y^2 = -b^2, у которого нет решений. Значит, гипербола не пересекает ось Oy. Точки A_{1}, A_{2} называются вершинами гиперболы.  Отрезок A_{1}, A_{2} = 2a и называется действительной осью гиперболы, а отрезок B_{1}, B_{2} = 2b – мнимой осью гиперболы. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник, созданный осями 2a и 2b называется главным прямоугольником гиперболы.
  3. С уравнения (1) получается, что {x^2\over{a^2}}{\geq{1}}, то есть |x|\geq{a}. Это означает, что все точки гиперболы расположены справа от прямой x = a (правая ветвь гиперболы) и левая от прямой x = -a (левая ветвь гиперболы).
  4. Возьмём на гиперболе точку (x, y) в первой четверти, то есть x\geq{0}, y\geq{0}, а поэтому {y} = {b\over{a}}{\sqrt{x^2 - a^2}}, {x\geq{a}}. Так как {y'} = {bx\over{a\sqrt{x^2 - a^2}}} > 0, при x > a, тогда функция монотонно возрастает при x > a. Аналогично, так как {y''} = -{ab\over{(x^2 - a^2)}}{^3\over{2}} < {0} при x > a, тогда функция выпуклая вверх при x > a.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Асимптоты гиперболы

Есть две асимптоты гиперболы. Найдём асимптоту к ветви гиперболы в первой четверти, а потом воспользуемся симметрией. Рассмотрим точку x, y в первой четверти, то есть x{\geq} 0, y{\geq} 0. В этом случае {y} = {b\over{a}}\sqrt{x^2 - a^2}, x\geq{a}, тогда асимптота имеет вид: y = Kx + B, где

K = {\lim\atop_{x\to +\infty}}}{y\over{x}} = {\lim\atop_{x\to +\infty}}} x {b\over{a}}{\sqrt{x^2 - a^2}}\over{x} = {b},

B =  {\lim\atop_{x\to +\infty}}}(y(x) - Kx) = {\lim\atop_{x\to +\infty}}}({b\over{a}}\sqrt{x^2 - a^2} - {b\over{a}}x) = {b\over{a}}{\lim\atop_{x\to +\infty}} x {(\sqrt{x^2 - a^2} - x)}({\sqrt{x^2 - a^2} + x)}}\over{(x^2 - a^2} + x) = {b\over{a}}{\lim\atop_{x\to +\infty}} x {b^2\over{(\sqrt{x^2 - a^2)}} + x = {0}

Значит, прямая {y} = {b\over{a}} = {x} – это асимптота функции {y} = {b\over{a}}\sqrt{x^2 - a^2}, x\geq{a}. Поэтому в силу симметрии асимптотами гиперболы есть прямые y = \pm{b\over{a}}x.

За установленными характеристиками построим ветвь гиперболы, которая находится в первой четверти и воспользуемся симметрией:

Уравнение гиперболы

Рис. 2

В случае, когда b = a, то есть гипербола описывается уравнением x^2 - y^2 = a^2. В этой гиперболе асимптоты, которые и есть биссектрисами координатных углов y = \pm{x}.

Примеры задач на построение гиперболы

Пример 1

Задача

Найти оси, вершины, фокусы, ексцентриситет и уравнения асимптот гиперболы. Построить гиперболу и её асимптоты.

9x^2 - 16y^2 - 144 = 0

Решение

Сведём уравнение гиперболы к каноническому виду:

9x^2 - 16y^2 - 144 = 0\to{9x^2 - 16y^2 = 144\arrowvert{:}144\to{x^2\over{16}} - {y^2\over{9}} = {1}.

Сравнивая данное уравнение с каноническим (1) находим a^ = 16, b^2 = 9, c^2 = 16 + 9 = 25\to{2a = 8, 2b = 6, 2c = 10}. Вершины A_{1}(4, 0), A_{2}(-4, 0), фокусы F_{1}(5, 0) и F_{2}(-5, 0). Ексцентриситет \varepsilon = {5\over{4}} = {1, 25}; асмптоты y = \pm{3\over{4}}x; Строим параболу. (см. рис. 3)

Построение гиперболы

Рис. 3

 

 

Пример 2

Задача

Даны фокусы гиперболы F_{1}(-10, 0), F_{2}(10, 0) и её асимптота 4x + 3y = 0. Написать уравнение гиперболы:

Решение

Записав уравнение асимптоты в виде y = -{4\over{3}}x находим отношение полуосей гиперболы {b\over{a}} = {4\over{3}}. По условию задачи следует, что c = 10. Поэтому a^2 + b^2 = 100 Задачу свели к решению системы уравнений:

\left\{ \begin{aligned}{b\over{a}} = {4\over{3}}\\a^2 + b^2 = 100\end{aligned}\right

Подставляя {b} = {4\over{3}}a во второе уравнение системы, у нас получится:

{a^2} + {16a^2\over{9}} = 100,

откуда a^2 = 36. Теперь находим b^2 = ({4\over{3}}a)^2 = {16\over{9}} * 36 = 64.

Следовательно, у гиперболы получается такое уравнение:

{x^2\over{36}} - {y^2\over{64}} = {1}.

Ответ

Уравнение гиперболы {x^2\over{36}} - {y^2\over{64}} = {1}.

Автор статьи

Елена Вечоркина
Елена Вечоркина

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *