Что такое гипербола

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Гипербола – это множество точек плоскости, разница расстояний которых от двух заданных точек, фокусов, есть постоянная величина и равна 2a.

Аналогично эллипсу фокусы размещаем в точках F_{1}(c, 0), F_{2}(-c, 0) (см. рис. 1).

Изображение - гипербола

Рис. 1

Видно из рисунка, что могут быть случаи r_{1} < r_{2} и r_{1} > r_{2}, тогда согласно определению r_{2} - r_{1} = \pm2a

Известно, что в треугольнике разница двух сторон меньше третьей стороны, поэтому, например, с \Delta{F_{2}}MF_{1} у нас получается:

F_{2}M - F_{1}M < F_{1}F_{2}\to{r_{2} - r_{1}} < 2c\to{2a < 2c}\to{a < c}. Значит, для гиперболы a < c.

Дальше запишем значение выражений r_{1} и r_{2} через координаты точек

r_{2} = r_{1} \pm {2a}\to{\sqrt{(x + c)^2 + y^2}} = \sqrt{(x - c)^2 + y^2)}\pm2a.

Поднесём к квадрату обе части и после дальнейших преобразований найдём:

{x^2\over{a^2}} - {y^2\over{b^2}} = {1}.

(1)

где b^2 = c^2 - a^2. Уравнение гиперболы (1) – это каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно координатных осей, поэтому, как и для эллипса, достаточно построить её график в первой четверти, где:

{y} = {b\over{a}}\sqrt{x^2 - a^2}. Область значения для первой четверти a\leq{x} < {+\infty}.

При x = a, y = 0 у нас есть одна из вершин гиперболы A_{1}(a, 0). Вторая вершина A_{2}(-a, 0). Если x = 0, тогда из (1) -{y_{2}\over(b_{2}}) = 1 – действительных корней нет. Говорят, что B_{1}(0, b) и B_{2}(0, -b) – мнимые вершины гиперболы. Из соотношением {y} = {b\over{a}}{\sqrt{x^2 - a^2}} получается, что при достаточно больших значениях x есть место ближайшего равенства {b\over{a}}{\sqrt{x^2 - a^2}}\approx{b\over{a}}{\sqrt{x^2}} = {b\over{a}}x  (x > a).  Поэтому прямая {y} = {b\over{a}}x есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при x\to\infty.

Форма и характеристики гиперболы

Исследуем уравнение (1) форму и расположение гиперболы.

  1. Переменные x и y входят в уравнение (1) в парных степенях. Поэтому, если точка (x, y) принадлежит гиперболе, тогда и точки (-x, y), (x, -y), (-x, -y) также принадлежат гиперболе. Значит, фигура симметрична относительно осей OX и OY, и точки O(0, 0), которая называется центром гиперболы.
  2. Найдём точки пересечения с осями координат. Подставив в уравнение (1) y = 0 получим, что гипербола пересекает ось OX в точках A_{1}(a, 0), A_{2}(-a, 0).  Положив x = 0 получим уравнение y^2 = -b^2, у которого нет решений. Значит, гипербола не пересекает ось Oy. Точки A_{1}, A_{2} называются вершинами гиперболы.  Отрезок A_{1}, A_{2} = 2a и называется действительной осью гиперболы, а отрезок B_{1}, B_{2} = 2b – мнимой осью гиперболы. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник, созданный осями 2a и 2b называется главным прямоугольником гиперболы.
  3. С уравнения (1) получается, что {x^2\over{a^2}}{\geq{1}}, то есть |x|\geq{a}. Это означает, что все точки гиперболы расположены справа от прямой x = a (правая ветвь гиперболы) и левая от прямой x = -a (левая ветвь гиперболы).
  4. Возьмём на гиперболе точку (x, y) в первой четверти, то есть x\geq{0}, y\geq{0}, а поэтому {y} = {b\over{a}}{\sqrt{x^2 - a^2}}, {x\geq{a}}. Так как {y'} = {bx\over{a\sqrt{x^2 - a^2}}} > 0, при x > a, тогда функция монотонно возрастает при x > a. Аналогично, так как {y''} = -{ab\over{(x^2 - a^2)}}{^3\over{2}} < {0} при x > a, тогда функция выпуклая вверх при x > a.

Асимптоты гиперболы

Есть две асимптоты гиперболы. Найдём асимптоту к ветви гиперболы в первой четверти, а потом воспользуемся симметрией. Рассмотрим точку x, y в первой четверти, то есть x{\geq} 0, y{\geq} 0. В этом случае {y} = {b\over{a}}\sqrt{x^2 - a^2}, x\geq{a}, тогда асимптота имеет вид: y = Kx + B, где

K = {\lim\atop_{x\to +\infty}}}{y\over{x}} = {\lim\atop_{x\to +\infty}}} x {b\over{a}}{\sqrt{x^2 - a^2}}\over{x} = {b},

B =  {\lim\atop_{x\to +\infty}}}(y(x) - Kx) = {\lim\atop_{x\to +\infty}}}({b\over{a}}\sqrt{x^2 - a^2} - {b\over{a}}x) = {b\over{a}}{\lim\atop_{x\to +\infty}} x {(\sqrt{x^2 - a^2} - x)}({\sqrt{x^2 - a^2} + x)}}\over{(x^2 - a^2} + x) = {b\over{a}}{\lim\atop_{x\to +\infty}} x {b^2\over{(\sqrt{x^2 - a^2)}} + x = {0}

Значит, прямая {y} = {b\over{a}} = {x} – это асимптота функции {y} = {b\over{a}}\sqrt{x^2 - a^2}, x\geq{a}. Поэтому в силу симметрии асимптотами гиперболы есть прямые y = \pm{b\over{a}}x.

За установленными характеристиками построим ветвь гиперболы, которая находится в первой четверти и воспользуемся симметрией:

Уравнение гиперболы

Рис. 2

В случае, когда b = a, то есть гипербола описывается уравнением x^2 - y^2 = a^2. В этой гиперболе асимптоты, которые и есть биссектрисами координатных углов y = \pm{x}.

Примеры задач на построение гиперболы

Пример 1

Задача

Найти оси, вершины, фокусы, ексцентриситет и уравнения асимптот гиперболы. Построить гиперболу и её асимптоты.

9x^2 - 16y^2 - 144 = 0

Решение

Сведём уравнение гиперболы к каноническому виду:

9x^2 - 16y^2 - 144 = 0\to{9x^2 - 16y^2 = 144\arrowvert{:}144\to{x^2\over{16}} - {y^2\over{9}} = {1}.

Сравнивая данное уравнение с каноническим (1) находим a^ = 16, b^2 = 9, c^2 = 16 + 9 = 25\to{2a = 8, 2b = 6, 2c = 10}. Вершины A_{1}(4, 0), A_{2}(-4, 0), фокусы F_{1}(5, 0) и F_{2}(-5, 0). Ексцентриситет \varepsilon = {5\over{4}} = {1, 25}; асмптоты y = \pm{3\over{4}}x; Строим параболу. (см. рис. 3)

Построение гиперболы

Рис. 3

 

 

Пример 2

Задача

Даны фокусы гиперболы F_{1}(-10, 0), F_{2}(10, 0) и её асимптота 4x + 3y = 0. Написать уравнение гиперболы:

Решение

Записав уравнение асимптоты в виде y = -{4\over{3}}x находим отношение полуосей гиперболы {b\over{a}} = {4\over{3}}. По условию задачи следует, что c = 10. Поэтому a^2 + b^2 = 100 Задачу свели к решению системы уравнений:

\left\{ \begin{aligned}{b\over{a}} = {4\over{3}}\\a^2 + b^2 = 100\end{aligned}\right

Подставляя {b} = {4\over{3}}a во второе уравнение системы, у нас получится:

{a^2} + {16a^2\over{9}} = 100,

откуда a^2 = 36. Теперь находим b^2 = ({4\over{3}}a)^2 = {16\over{9}} * 36 = 64.

Следовательно, у гиперболы получается такое уравнение:

{x^2\over{36}} - {y^2\over{64}} = {1}.

Ответ

Уравнение гиперболы {x^2\over{36}} - {y^2\over{64}} = {1}.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

3174

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также