Изоморфизм линейных пространств

Два произвольных линейных пространства V и над одним и тем же полем называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам отвечают соответственные вектора , то вектору отвечает вектор , а вектору при отвечает вектор .

Свойства изоморфных пространств.

1⁰. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент и наоборот.

Док-во: Если .

2⁰. Если элементам соответствуют , то линейная комбинация векторов равна нулю V, т.е. линейная комбинация с теми же коэффициентами равна нулю, т.е. .

Док-во следует из 1⁰.

3⁰. Если V и изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и тоже, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и туже размерность.

4⁰. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными.

Теорема: Любые два n-мерных линейных пространства V и над одним и тем же полем изоморфны.

Док-во. Выберем в V базис ­­­− базис Каждому элементу , поставим в соответствие элемент с теми же координатами в базисе .

Однако это соответствие взаимнооднозначно, т.к. имеет единственным образом определенные координаты , которые в свою очередь, определяют единственный элемент .

В силу равноправности V и , соответствует единственный . Легко видеть, что если в силу введенного соответствия.

Т.о., все линейные пространства данной размерности n-ная полем изоморфны, т.е. их свойства, связанные с линейными операциями неразличимы.