О чем статья

Классическое определение вероятности

Разберём классическое определение вероятности при помощи формул и примеров.

Случайные события называются несовместимыми, если они не могут происходить одновременно. Например, когда мы подкидываем монету, выпадет что-то одно – «герб» или число» и они не могут появится одновременно, так как логично, что это невозможно. Несовместимыми могут быть такие события, как попадание и промах после сделанного выстрела.

Случайные события $A_{1}, A_{2}, …, A_{n}$ конечного множества образовывают полную группу попарно несовместимых событий, если при каждом испытании появляется одна, и только одна из этих событий $A_{1}, A_{2}, …, A_{n}$ – единственно возможные.

Рассмотрим всё тот же пример с подкидыванием монеты:

При подбрасывании монеты полную группу создают два случайных события: появление «герба» (событие $A$ ) и появление «числа» (событие $B$ ).
При подбрасывании двух монет полная группа состоит из четырёх событий: $A, B, C, D$ :

Первая монета Вторая монета События

1) «герб» «герб» $A$

2) «герб» «число» $B$

3) «число» «герб» $C$

4) «число» «число» $D$

Или сокращённо $A$ – «ГГ», $B$ – «ГЧ», $C$ – «ЧГ», $D$ – «ЧЧ».

События $A_{1}, A_{2}, …, A_{n}$ называются равновозможными, если условия исследования обеспечивают одинаковую возможность появления каждой из них.

Как вы понимаете, когда подбрасываете симметричную монету, тогда у неё одинаковые возможности, и есть вероятность, что выпадет как «герб», так и «число». Это же касается подбрасывания симметричного игрального кубика, так как есть вероятность того, что могут появится грани с любым числом 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Допустим, что теперь кубик подбрасываем со смещением центра тяжести, например, в сторону грани с цифрой 1, тогда чаще всего будет выпадать противоположная грань, то есть грань с другой цифрой. Таким образом, в этой модели возможности появления для каждой из цифр от 1 до 6 будут разными.

Равновозможные и единственно возможные случайные события называются случаями.

Есть случайные события, которые относятся к случаям, а есть случайные события, которые не относятся к случаям. Ниже на примерах рассмотрим эти события.

Те случаи, в результате которых случайное событие $A$ появляется, называются благоприятными случаями для этого события.

Если обозначить через $m$ , которые влияют на событие $A$ при $n$ всех возможных случаях, а через $P(A)$ – вероятность случайного события $A$ , тогда можно записать известное классическое определение вероятности:

Определение

Вероятность события $A$ называют отношения числа $m$ благоприятных этому событию случаев, к общему числу всех возможных случаев, то есть:

${P(A)} = {m\over{n}}$ .

(1)

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Свойства вероятности

Классическая вероятность рассмотрена, а теперь разберём основные и важные свойства вероятности.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равняется единице.

Например, если в ведёрке все $n$ шариков белые, тогда событию $A$ , наугад выбрать белый шарик, влияют $n$ случаев, $P(A) = 1$ .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равняется нулю.

Свойство 3. Вероятностью случайного события есть положительное число:

$0 < P(A) < 1$ .

Значит, вероятность любого события удовлетворяет неравенство:

$0\leq{P(A)} \leq{1}$

Теперь решим несколько примеров на классическое определение вероятности.

Примеры классического определения вероятности

Пример 1

Задача

В корзине 20 шариков, из них 10 белых, 7 красных и 3 чёрных. Наугад выбирается один шарик. Выбран белый шарик (событие $A$ ), красный шарик (событие $B$ ) и чёрный шарик (событие $C$ ). Найти вероятность случайных событий $A, B, C$ .

Решение

Согласно условию задачи, способствуют $m = 10$ , а случаев из $n = 20$ возможных, поэтому по формуле (1):

${P(A)} = {10\over{20}} = {1\over{2}} = 0.5$ – вероятность белого шарика.

Аналогично для красного: ${P(B)} = {7\over{20}} = 0,35$

И для чёрного: ${P(C)} = {3\over{20}} = 0.15$ .

Ответ

Вероятность случайного события $A = 0, 5$ , $B = 0.35$ , $C = 0.15$ .

Пример 2

Задача

В ящике лежат 25 одинаковых электроламп, из них 2 бракованные. Найти вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная.

Решение

По условию задачи все лампы одинаковые и выбирается только одна. Всего возможностей выбрать $n = 25$ . Среди всех 25 лампа две бракованные, значит, оставшихся пригодных лампа $25 - 2 = 23$ . Поэтому по формуле (1) вероятность выбора пригодной электролампы (событие $A$ ) равняется:

${P(A)} = {23\over{25}} = 0.812$ .

Ответ

Вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная = $0.812$ .

Пример 3

Задача

Наугад подбрасываются две монеты. Найти вероятность таких событий:

1) $A$ – на обеих монетах выпало по гербу;

2) $B$ – на одной из монет выпал герб, а на второй – число;

3) $C$ – на обеих монетах выпали числа;

4) $D$ – хотя бы один раз выпал герб.

Решение

Здесь имеем дело с четырьмя событиями $A, B, C, D$ . Установим, какие случаи способствуют каждой из них. Событию $A$ способствует один случай, это когда на обеих монетах выпал герб (сокращённо «ГГ»).

Чтобы разобраться с событием $B$ , представим, что одна монета серебряная, а вторая – медная. При подбрасывании монет могут быть случаи:

1) на серебряной герб, на медной – число (обозначим $B_{1}$ – «ГЧ»);

2) на серебряной число, на медной – герб ( $B_{2}$ – «ЧГ»).

Значит, событию $B$ способствуют случаи $B_{1}$ и $B_{2}$ .

Событию $C$ способствует один случай: на обеих монетах выпали числа – «ЧЧ».

Таким образом, события $A, B_{1}, B_{2}, C$ или (ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ) образовывают полную группу событий, все эти события несовместимы, так как в результате подбрасывания происходит только одна из них. Кроме того, для симметричных монет все четыре события равновозможные, поэтому их можно считать случаями. Всех возможных событий – четыре $(n = 4)$ .

Событию $A$ способствует только одно событие, поэтому его вероятность равняется:

${P(A)} = {1\over{4}}$ .

Событию $B$ способствуют два случая $(m = 2)$ , поэтому:

${P(B)} = {2\over{4}} = {1\over{2}}$ .

Вероятность события $C$ такая же, как и для $A$ :

${P©} = {1\over{4}}$ .

Событию $D$ способствуют три случая: ГГ, ГЧ, ЧГ $m = 3$ и поэтому:

${P(D)} = {3\over{4}}$ .

Так как рассмотрены события ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ, которые равновозможные и создают полную группу событий, тогда появление любой из них – это достоверное событие (обозначим её буквой $U$ , которой способствуют все 4 случая $m = 4$ . Поэтому вероятность:

${P(U)} = {4\over{4}} = 1$ .

Значит, подтверждается первое свойство вероятности.

Ответ

Вероятность события ${A} = {1\over{4}} = 0,25$ .

Вероятность события ${B} = {1\over{2}} = 0.5$ .

Вероятность события ${C} = {1\over{4}} = 0,25$ .

Вероятность события ${D} = {3\over{4}} = 0.75$ .

Пример 4

Задача

Подкидываются два игральных кубика с одинаковой и правильной геометрической формой. Найти вероятность всех возможных сумм на обеих гранях, что выпадают.

Решение

Чтобы было удобнее решать задачу, представьте, что один кубик белый, а второй – чёрный. С каждой из шести граней белого кубика и также может выпасть одна из шести граней чёрного кубика, поэтому всех возможных пар будет $n = 6 * 6 = 36$ .

Так как возможность появления граней на отдельном кубике одинаковая (кубики правильной геометрической формы!), тогда одинаковой будет возможность появления каждой пары граней, причём, в результате подбрасывания выпадает только одна из пар. Значи события несовместимы, единовозможные. Это случаи, и всех возможных случаев – 36.

Теперь рассмотрим возможность значения суммы на гранях. Очевидно, что самая маленькая сумма 1 + 1 = 2, а самая большая 6 + 6 = 12. Оставшаяся часть суммы вырастает на единицу, начиная со второй. Обозначим $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3},..., Q_{12}$ событий, индексы которых равняются сумме очков, что выпали на гранях кубиков. Для каждой из этих событий выпишем благоприятные случаи при помощи обозначений $Q_{k + l}$ , где $k + l$ – сумма, $k$ – очки на верхней грани белого кубика и $l$ – очки на грани чёрного кубика.

Значит, для события:

для $Q_{2}$ – один случай (1 + 1);

для $Q_{3}$ – два случая (1 + 2; 2 + 1);

для $Q_{4}$ – три случая (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

для $Q_{5}$ – четыре случая (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

для $Q_{6}$ – пять случаев (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

для $Q_{7}$ – шесть случаев (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

для $Q_{8}$ – пять случаев (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

для $Q_{9}$ – четыре случая (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

для $Q_{10}$ – три случая (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

для $Q_{11}$ – два случая (5 + 6; 6 + 5);

для $Q_{12}$ – один случай (6 + 6).

Таким образом значения вероятности такие:

${P(Q_{2})} = {P(Q_{12})} = {1\over{36}}$

${P(Q_{4})} = {P(Q_{10})} = {3\over{36}}$

${P(Q_{6})} = {P(Q_{8})} = {5\over{36}}$

${P(Q_{3})} = {P(Q_{11})} = {2\over{36}}$

${P(Q_{5})} = {P(Q_{9})} = {4\over{36}}$

${P(Q_{7})} = {6\over{36}}$

Ответ

${P(Q_{2})} = {P(Q_{12})} = {1\over{36}} = 0, 028$

${P(Q_{4})} = {P(Q_{10})} = {3\over{36}} = 0, 083$

${P(Q_{6})} = {P(Q_{8})} = {5\over{36}} = 0, 139$

${P(Q_{3})} = {P(Q_{11})} = {2\over{36}} = 0, 055$

${P(Q_{5})} = {P(Q_{9})} = {4\over{36}} = 0,11$

${P(Q_{7})} = {6\over{36}} = 0, 16$

Пример 5

Задача

Троим участникам перед фестивалем предложили тянуть жребий: каждый из участников по очереди подходит к ведёрку и наугад выбирает одну из трёх карточек с номерами 1, 2 и 3, что означает порядковый номер выступления данного участника.

Найти вероятность таких событий:

1) $A$ – порядковый номер в очереди совпадает с номером карточки, то есть порядковым номером выступления;

2) $B$ – ни один номер в очереди не совпадает с номером выступления;

3) $C$ – только один из номеров в очереди совпадает с номером выступления;

4) $D$ – хотя бы один из номеров в очереди совпадёт с номером выступления.

Решение

Возможными результатами выбора карточек – это перестановки из трёх элементов $1, 2, 3$ , количество таких перестановок равняется $3! = 1 * 2 * 3 = 6$ . Каждая из перестановок и есть событие. Обозначим эти события через $A_{i}(i = \overline{1, 6})$ . Каждому событию припишем в скобках соответствующую перестановку:

$A_{1}(1, 2, 3)$ ; $A_{2}(1, 3, 2)$ ; $A_{3}(2, 1, 3)$ ; $A_{4}(2, 3, 1)$ ; $A_{5}(3, 1, 2)$ ; $A_{6}(3, 2, 1)$ .

Перечисленные события равновозможные и единовозможные, то есть, это и есть случаи. Обозначим так: (1ч, 2ч, 3ч) – соответствующие номера в очереди.

Начнём с события $A$ . Благоприятный только один случай $A_{1}$ поэтому:

${P(A)} = {1\over{6}}$ .

Благоприятными для события $B$ – два случая $A_{4}$ и $A_{5}$ , поэтому:

${P(B)} = {2\over{6}} = {1\over{3}}$ .

Событию $C$ способствуют 3 случая: $A_{1}, A_{3}, A_{6}$ , поэтому:

${P(C)} = {3\over{6}} = {1\over{2}}$ .

Событию $D$ , кроме $A_{2}, A_{3}, A_{6}$ , способствует ещё и $A_{1}$ , то есть:

${P(D)} = {4\over{6}} = {2\over{3}}$ .

Ответ

Вероятность события $A$ – ${P(A)} = {1\over{6}} = 0, 16$ .

Вероятность события $B$ – ${P(B)} = {2\over{6}} = {1\over{3}} = 0,33$ .

Вероятность события $C$ – ${P(C)} = {3\over{6}} = {1\over{2}} = 0,5$ .

Вероятность события $D$ – ${P(D)} = {4\over{6}} = {2\over{3}} = 0,66$ .

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Герман К.

Редактор.

Автор статей, сценариев и перевода текстов в разных сферах.

Добавить комментарий Отменить ответ

Елена на Уникальные методы активизации учения школьников: исследование Т. И. ШамовойПочему-то в последние годы упрочилась практика писать тексты без списков изученных публикаций и прочих источников и даже более или менее
Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,