Классическое определение вероятности

Разберём классическое определение вероятности при помощи формул и примеров.

Случайные события называются несовместимыми, если они не могут происходить одновременно. Например, когда мы подкидываем монету, выпадет что-то одно – «герб» или число» и они не могут появится одновременно, так как логично, что это невозможно. Несовместимыми могут быть такие события, как попадание и промах после сделанного выстрела.

Случайные события A_{1}, A_{2}, …, A_{n} конечного множества образовывают полную группу попарно несовместимых событий, если при каждом испытании появляется одна, и только одна из этих событий A_{1}, A_{2}, …, A_{n} – единственно возможные.

Рассмотрим всё тот же пример с подкидыванием монеты:

  1. При подбрасывании монеты полную группу создают два случайных события: появление «герба» (событие A) и появление «числа» (событие B).
  2. При подбрасывании двух монет полная группа состоит из четырёх событий: A, B, C, D:

Первая монета           Вторая монета           События

1) «герб»                    «герб»                         A

2) «герб»                    «число»                      B

3) «число»                  «герб»                         C

4) «число»                  «число»                      D

Или сокращённо A – «ГГ», B – «ГЧ», C – «ЧГ», D – «ЧЧ».

События A_{1}, A_{2}, …, A_{n} называются равновозможными, если условия исследования обеспечивают одинаковую возможность появления каждой из них.

Как вы понимаете, когда подбрасываете симметричную монету, тогда у неё одинаковые возможности, и есть вероятность, что выпадет как «герб», так и «число». Это же касается подбрасывания симметричного игрального кубика, так как есть вероятность того, что могут появится грани с любым числом 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Допустим, что теперь кубик подбрасываем со смещением центра тяжести, например, в сторону грани с цифрой 1, тогда чаще всего будет выпадать противоположная грань, то есть грань с другой цифрой. Таким образом, в этой модели возможности появления для каждой из цифр от 1 до 6 будут разными.

Равновозможные и единственно возможные случайные события называются случаями.

Есть случайные события, которые относятся к случаям, а есть случайные события, которые не относятся к случаям. Ниже на примерах рассмотрим эти события.

Те случаи, в результате которых случайное событие A появляется, называются благоприятными случаями для этого события.

Если обозначить через m, которые влияют на событие A при n всех возможных случаях, а через P(A) – вероятность случайного события A, тогда можно записать известное классическое определение вероятности:

Определение

Вероятность события A называют отношения числа m благоприятных этому событию случаев, к общему числу всех возможных случаев, то есть:

{P(A)} = {m\over{n}}.

(1)

Свойства вероятности

Классическая вероятность рассмотрена, а теперь разберём основные и важные свойства вероятности.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равняется единице.

Например, если в ведёрке все n шариков белые, тогда событию A, наугад выбрать белый шарик, влияют n случаев, P(A) = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равняется нулю.

Свойство 3. Вероятностью случайного события есть положительное число:

0 < P(A) < 1.

Значит, вероятность любого события удовлетворяет неравенство:

0\leq{P(A)} \leq{1}

Теперь решим несколько примеров на классическое определение вероятности.

Примеры классического определения вероятности

Пример 1

Задача

В корзине 20 шариков, из них 10 белых, 7 красных и 3 чёрных. Наугад выбирается один шарик. Выбран белый шарик (событие A), красный шарик (событие B) и чёрный шарик (событие C). Найти вероятность случайных событий A, B, C.

Решение

Согласно условию задачи, способствуют m = 10, а случаев из n = 20 возможных, поэтому по формуле (1):

{P(A)} = {10\over{20}} = {1\over{2}} = 0.5 – вероятность белого шарика.

Аналогично для красного: {P(B)} = {7\over{20}} = 0,35

И для чёрного: {P(C)} = {3\over{20}} = 0.15.

Ответ

Вероятность случайного события A = 0, 5, B = 0.35, C = 0.15.

Пример 2

Задача

В ящике лежат 25 одинаковых электроламп, из них 2 бракованные. Найти вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная.

Решение

По условию задачи все лампы одинаковые и выбирается только одна. Всего возможностей выбрать n = 25. Среди всех 25 лампа две бракованные, значит, оставшихся пригодных лампа 25 - 2 = 23. Поэтому по формуле (1) вероятность выбора пригодной электролампы (событие A) равняется:

{P(A)} = {23\over{25}} = 0.812.

Ответ

Вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная = 0.812.

Пример 3

Задача

Наугад подбрасываются две монеты. Найти вероятность таких событий:

1) A – на обеих монетах выпало по гербу;

2) B – на одной из монет выпал герб, а на второй – число;

3) C – на обеих монетах выпали числа;

4) D – хотя бы один раз выпал герб.

Решение

Здесь имеем дело с четырьмя событиями A, B, C, D. Установим, какие случаи способствуют каждой из них. Событию A способствует один случай, это когда на обеих монетах выпал герб (сокращённо «ГГ»).

Чтобы разобраться с событием B, представим, что одна монета серебряная, а вторая – медная. При подбрасывании монет могут быть случаи:

1) на серебряной герб, на медной – число (обозначим B_{1} – «ГЧ»);

2) на серебряной число, на медной – герб (B_{2} – «ЧГ»).

Значит, событию B способствуют случаи B_{1} и B_{2}.

Событию C способствует один случай: на обеих монетах выпали числа – «ЧЧ».

Таким образом, события A, B_{1}, B_{2}, C или (ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ) образовывают полную группу событий, все эти события несовместимы, так как в результате подбрасывания происходит только одна из них. Кроме того, для симметричных монет все четыре события равновозможные, поэтому их можно считать случаями. Всех возможных событий – четыре (n = 4).

Событию A способствует только одно событие, поэтому его вероятность равняется:

{P(A)} = {1\over{4}}.

Событию B способствуют два случая (m = 2), поэтому:

{P(B)} = {2\over{4}} = {1\over{2}}.

Вероятность события C такая же, как и для A:

{P©} = {1\over{4}}.

Событию D способствуют три случая: ГГ, ГЧ, ЧГ m = 3 и поэтому:

{P(D)} = {3\over{4}}.

Так как рассмотрены события ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ, которые равновозможные и создают полную группу событий, тогда появление любой из них – это достоверное событие (обозначим её буквой U, которой способствуют все 4 случая m = 4. Поэтому вероятность:

{P(U)} = {4\over{4}} = 1.

Значит, подтверждается первое свойство вероятности.

Ответ

Вероятность события {A} = {1\over{4}} = 0,25.

Вероятность события {B} = {1\over{2}} = 0.5.

Вероятность события {C} = {1\over{4}} = 0,25.

Вероятность события {D} = {3\over{4}} = 0.75.

Пример 4

Задача

Подкидываются два игральных кубика с одинаковой и правильной геометрической формой. Найти вероятность всех возможных сумм на обеих гранях, что выпадают.

Решение

Чтобы было удобнее решать задачу, представьте, что один кубик белый, а второй – чёрный. С каждой из шести граней белого кубика и также может выпасть одна из шести граней чёрного кубика, поэтому всех возможных пар будет n = 6 * 6 = 36.

Так как возможность появления граней на отдельном кубике одинаковая (кубики правильной геометрической формы!), тогда одинаковой будет возможность появления каждой пары граней, причём, в результате подбрасывания выпадает только одна из пар. Значи события несовместимы, единовозможные. Это случаи, и всех возможных случаев – 36.

Теперь рассмотрим возможность значения суммы на гранях. Очевидно, что самая маленькая сумма 1 + 1 = 2, а самая большая 6 + 6 = 12. Оставшаяся часть суммы вырастает на единицу, начиная со второй. Обозначим Q_{1}, Q_{2}, Q_{3},..., Q_{12} событий, индексы которых равняются сумме очков, что выпали на гранях кубиков. Для каждой из этих событий выпишем благоприятные случаи при помощи обозначений Q_{k + l}, где k + l – сумма, k – очки на верхней грани белого кубика и l  – очки на грани чёрного кубика.

Значит, для события:

для Q_{2} – один случай (1 + 1);

для Q_{3} – два случая (1 + 2; 2 + 1);

для Q_{4} – три случая (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

для Q_{5} – четыре случая (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

для Q_{6} – пять случаев (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

для Q_{7} – шесть случаев (1 + 6;  2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

для Q_{8} – пять случаев (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

для Q_{9} – четыре случая (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

для Q_{10} – три случая (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

для Q_{11} – два случая (5 + 6; 6 + 5);

для Q_{12} – один случай (6 + 6).

Таким образом значения вероятности такие:

{P(Q_{2})} = {P(Q_{12})} = {1\over{36}}

{P(Q_{4})} = {P(Q_{10})} = {3\over{36}}

{P(Q_{6})} = {P(Q_{8})} = {5\over{36}}

{P(Q_{3})} = {P(Q_{11})} = {2\over{36}}

{P(Q_{5})} = {P(Q_{9})} = {4\over{36}}

{P(Q_{7})} = {6\over{36}}

Ответ

{P(Q_{2})} = {P(Q_{12})} = {1\over{36}} = 0, 028

{P(Q_{4})} = {P(Q_{10})} = {3\over{36}} = 0, 083

{P(Q_{6})} = {P(Q_{8})} = {5\over{36}} = 0, 139

{P(Q_{3})} = {P(Q_{11})} = {2\over{36}} = 0, 055

{P(Q_{5})} = {P(Q_{9})} = {4\over{36}} = 0,11

{P(Q_{7})} = {6\over{36}} = 0, 16

Пример 5

Задача

Троим участникам перед фестивалем предложили тянуть жребий: каждый из участников по очереди подходит к ведёрку и наугад выбирает одну из трёх карточек с номерами 1, 2 и 3, что означает порядковый номер выступления данного участника.

Найти вероятность таких событий:

1) A – порядковый номер в очереди совпадает с номером карточки, то есть порядковым номером выступления;

2) B – ни один номер в очереди не совпадает с номером выступления;

3) C – только один из номеров в очереди совпадает с номером выступления;

4) D – хотя бы один из номеров в очереди совпадёт с номером выступления.

Решение

Возможными результатами выбора карточек – это перестановки из трёх элементов 1, 2, 3, количество таких перестановок равняется 3! = 1 * 2 * 3 = 6. Каждая из перестановок и есть событие. Обозначим эти события через A_{i}(i = \overline{1, 6}). Каждому событию припишем в скобках соответствующую перестановку:

A_{1}(1, 2, 3); A_{2}(1, 3, 2); A_{3}(2, 1, 3); A_{4}(2, 3, 1); A_{5}(3, 1, 2); A_{6}(3, 2, 1).

Перечисленные события равновозможные и единовозможные, то есть, это и есть случаи. Обозначим так: (1ч, 2ч, 3ч) – соответствующие номера в очереди.

Начнём с события A. Благоприятный только один случай A_{1}  поэтому:

{P(A)} = {1\over{6}}.

Благоприятными для события B – два случая A_{4} и A_{5}, поэтому:

{P(B)} = {2\over{6}} = {1\over{3}}.

Событию C способствуют 3 случая: A_{1}, A_{3}, A_{6}, поэтому:

{P(C)} = {3\over{6}} = {1\over{2}}.

Событию D, кроме A_{2}, A_{3}, A_{6}, способствует ещё и A_{1}, то есть:

{P(D)} = {4\over{6}} = {2\over{3}}.

Ответ

Вероятность события A{P(A)} = {1\over{6}} = 0, 16.

Вероятность события B{P(B)} = {2\over{6}} = {1\over{3}} = 0,33.

Вероятность события C{P(C)} = {3\over{6}} = {1\over{2}} = 0,5.

Вероятность события D{P(D)} = {4\over{6}} = {2\over{3}} = 0,66.