называется выражение вида: 
.
Вектора 
называются линейно независимыми, если 
, из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация 
с этими 
является нулевым вектором V, т.е. 
. Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что 
Теорема 1.
1) Для того, чтобы элементы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.
2) Если среди один элемент нулевой, то они линейно зависимы.
3) Если часть элементов множества линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.
Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.
Совокупность векторов 
называют базисом в 
, если
1о. вектора 
– линейно независимы;
2о. для 
найдутся 
. (1)
При этом равенство (1) называется разложением элемента 
по базису , а 
называются координатами 
относительно базиса .
Теорема: (о единственности разложения по базису). Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.
Доказательство. Пусть 
и 
. Тогда 
. В силу линейной независимости 
. ч.т.д.
Теорема : (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов и 
их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении на 
, все координаты вектора умножаются на это число.
Доказательство. Пусть – базис в , , 
. Тогда в силу аксиом линейного пространства 
, 
. В силу единственности разложения по базису что теорема доказана.
Примеры. 1о. Базис в 
– любое ненулевое число.
2о. 
. Базис образуют матрицы 
, 
, …, с одним единичным элементом.
3о. 
– множество многочленов степени не выше n. Базис: 
, , …, 
.
