Вектора называются линейно независимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. . Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что

Теорема 1.

1) Для того, чтобы элементы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

2) Если среди один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

3) Если часть элементов множества линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.

Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Совокупность векторов называют базисом в , если

1о. вектора – линейно независимы;

2о. для найдутся . (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента по базису , а называются координатами относительно базиса .

Теорема: (о единственности разложения по базису). Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство. Пусть и . Тогда . В силу линейной независимости . ч.т.д.

Теорема : (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов и их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении на , все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство. Пусть – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису что теорема доказана.

Примеры. 1о. Базис в – любое ненулевое число.

2о. . Базис образуют матрицы , , …, с одним единичным элементом.

3о. – множество многочленов степени не выше n. Базис: , , …, .

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1998
Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *