О чем статья
Линейно зависимая система векторов
Система векторов называется линейно зависимой, если их линейная комбинация равняется нулевому вектору:
=
(1)
при условии, если хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.
Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из них можно преподнести в виде линейной комбинации других. Действительно, если, например, , тогда согласно формуле (1) получается:
= –
x
-… –
x
Наоборот, если линейная комбинация векторов
, то есть
,
тогда вся система – линейно зависимая, так как:
x
+
где
Линейно независимая система векторов
Линейные системы векторов – это не только зависимые системы, но и независимые.
только при условии равенства нулю всех коэффициентов: .
Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Доказательства линейной зависимости и линейной независимости
Понятие линейной зависимости векторов позволяет характеризовать их взаимное положение в пространстве.
=
+
+
=
.
(2)
Действительно, если предположить , что существует ещё одно решение:
.
Тогда, отнимая из (2) последнее равенство, получим:
=
x
+
x
+
x
.
Как видим, – линейно независимы (они не компланарные), тогда решение возможно при условии:
=
=
=
=
,
,
Примеры задач
Задача
Проверить будут ли вектора =
,
,
,
линейно независимыми.
Решение
Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.
Задача
Проверить будут ли вектора =
,
=
,
=
линейно независимыми.
Решение
Найти значение коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору:
Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений:
Решим эту систему используя метод Гаусса:
Везде получаются нули. Теперь из второй строки вычтем первую; из третьей строки вычтем первую:
из первой строки вычтем вторую; к третьей строке добавим вторую:
Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел таких, что линейная комбинация векторов
,
,
равна нулевому вектору, например
+
+
=
.
А это значит, что вектора ,
,
линейно зависимы.
Ответ: вектора ,
,
линейно зависимы.