Линейные системы векторов бывают как зависимые, так и независимые. Линейно зависимые системы могут быть тогда, когда из векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, а линейно независимая система – когда любая линейная комбинация не равняется нулевому вектору.

Линейно зависимая система векторов

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости

Определение

Система векторов l_{1}, l_{2},...l_{n} называется линейно зависимой, если их линейная комбинация равняется нулевому вектору:

\lambda_{1}\overrightarrow{l}_{1} + \lambda_{2}\overrightarrow{l}_{2} + ... + \lambda_{n}\overrightarrow{l}_n = 0

(1)

при условии, если хотя бы один из коэффициентов \lambda_{k}(k = 1, 2, 3,..., n) не равен нулю.

Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из них можно преподнести в виде линейной комбинации других. Действительно, если, например, \lambda\neq 0, тогда согласно формуле (1) получается:

\overrightarrow{l}_{1} = – \lambda_{2}\over{\lambda_1} x \overrightarrow{l_2} -… – \lambda{n}\over{\lambda_1} x \overrightarrow{l_n}

Наоборот, если \overrightarrow{l_1} линейная комбинация векторов \overrightarrow{l_2}, \overrightarrow{l_3}, \overrightarrow{l_n}, то есть

\overrightarrow{l_1} = \lambda_{2}\overrightarrow{l_2} + ... + \lambda_{n}\overrightarrow {l_n},

тогда вся система \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}, ..., \overrightarrow{l_n} – линейно зависимая, так как:

1 x \overrightarrow{l_1} + (-\lambda_{2})\overrightarrow{l_2} + ... + (- \lambda_{n})\overrightarrow{l}_{n} = 0

где \lambda = 1\neq 0

Линейно независимая система векторов

Линейные системы векторов – это не только зависимые системы, но и независимые. 

Определение
Так вот, линейно независимая система векторов \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow {l_2},...,\overrightarrow{l_n} называется тогда, когда их линейная комбинация равняется нулевому вектору:

\lambda_{1}\overrightarrow{l_1} + \lambda_{2}\overrightarrow {l_2} + ... + \lambda{n}\overrightarrow{l_n} = \overrightarrow{0}

только при условии равенства нулю всех коэффициентов: \lambda_{1} = \lambda_{2} = ... = \lambda_{n} = 0.

Доказательства линейной зависимости и линейной независимости

Понятие линейной зависимости векторов позволяет характеризовать их взаимное положение в пространстве.

Доказательство 1
 Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные.
Доказательство 2
 Произвольные три вектора линейно зависимые тогда и только тогда, когда они компланарные.
Доказательство 3
Четыре вектора всегда линейно зависимые, то есть, существуют числа \alpha, \beta, \gamma, такие, что для векторов \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}, \overrightarrow{l_3}, \overrightarrow{a} имеет место соотношение:

\overrightarrow{a} = \alpha\overrightarrow{l_1} + \beta\overrightarrow{l_2} + \gamma\overrightarrow{l_3} = \alpha, \beta, \gamma.

(2)

Обратите внимание!
Формула (2) по системе трёх некомпланарных векторов \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}\overrightarrow{l_3} – единственный. 

Действительно, если предположить , что существует ещё одно решение:

\overrightarrow{a} = \alpha_{1}\overrightarrow{l_1} + \beta_{1}\overrightarrow{l_2} + \gamma_{1}\overrightarrow{l_3}.

Тогда, отнимая из (2) последнее равенство, получим:

\overrightarrow{0} = (\alpha - \alpha_{1}) x \overrightarrow{l_1} + (\beta - \beta_{1}) x \overrightarrow{l_2} + (\gamma - \gamma_{1}) x \overrightarrow{l_3}.

Как видим, \overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}, \overrightarrow{l_3} – линейно независимы (они не компланарные), тогда решение возможно при условии:

\alpha - \alpha_{1} = \beta - \beta_{1} = \gamma - \gamma_{1} = 0\to\alpha = \alpha_{1}, \beta = \beta_{1}, \gamma = \gamma_{1}

Примеры задач

Пример 1

Задача

Проверить будут ли вектора \overline {a} = (3; 4; 5), \overline {b} = (-3; 0; 5), \overline {c} = (4; 4; 4), \overline {d} = (3; 4; 0) линейно независимыми.

Решение

Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 2

Задача

Проверить будут ли вектора \overline {a}  = (1; 1; 1), \overline {b}  = (1; 2; 0), \overline {c} = (0; -1; 1) линейно независимыми.

Решение

Найти значение коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору:

x_{1}\overline {a} + x_{2}\overline {b} x_{3}c_{1} = \overline {0}

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений:

\left\{ \begin{aligned} x_{1} + x_{2} = 0\\ x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 0\\ x_{1} + x{3} = 0 \end{aligned} \right

Решим эту систему используя метод Гаусса:

\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&2&-1\\ 1&0&1 \end{pmatrix} \right

Везде получаются нули. Теперь из второй строки вычтем первую; из третьей строки вычтем первую:

\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1-1&2-1&-1-0\\ 1-1&0-1&1-0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&-1\\ 0&-1&1 \end{pmatrix} \right

из первой строки вычтем вторую; к третьей строке добавим вторую:

\begin{pmatrix} 1-0&1-1&0-(-1)\\ 0&1&-1\\ 0+0&-1+1&1+(-1) \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&0&1&\\ 0&1&-1\\ 0&0&0& \end{pmatrix} \right

Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x_{1}, x_{2}, x_{3} таких, что линейная комбинация векторов \overline {a} \overline {b}, \overline {c} равна нулевому вектору, например

\overline {-a} + \overline {b} + \overline {c} = 0.

А это значит, что вектора \overline {a} \overline {b}, \overline {c} линейно зависимы.

Ответ: вектора \overline {a} \overline {b}, \overline {c} линейно зависимы.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2815

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *