Линейные системы векторов - зависимые и независимые системы (определение и примеры)

Линейные системы векторов – зависимые и независимые системы (определение и примеры)

Автор: Елена 0 6215

Линейные системы векторов бывают как зависимые, так и независимые. Линейно зависимые системы могут быть тогда, когда из векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, а линейно независимая система – когда любая линейная комбинация не равняется нулевому вектору.

О чем статья

Линейно зависимая система векторов

Определение

Система векторов $l_{1}, l_{2},...l_{n}$ называется линейно зависимой, если их линейная комбинация равняется нулевому вектору:

$\lambda_{1}\overrightarrow{l}_{1} + \lambda_{2}\overrightarrow{l}_{2} + ... + \lambda_{n}\overrightarrow{l}_n$ = $0$

(1)

при условии, если хотя бы один из коэффициентов $\lambda_{k}(k = 1, 2, 3,..., n)$ не равен нулю.

Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из них можно преподнести в виде линейной комбинации других. Действительно, если, например, $\lambda\neq 0$ , тогда согласно формуле (1) получается:

$\overrightarrow{l}_{1}$ = – $\lambda_{2}\over{\lambda_1}$ x $\overrightarrow{l_2}$ -… – $\lambda{n}\over{\lambda_1}$ x $\overrightarrow{l_n}$

Наоборот, если $\overrightarrow{l_1}$ линейная комбинация векторов $\overrightarrow{l_2}, \overrightarrow{l_3}, \overrightarrow{l_n}$ , то есть

$\overrightarrow{l_1} = \lambda_{2}\overrightarrow{l_2} + ... + \lambda_{n}\overrightarrow {l_n}$ ,

тогда вся система $\overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}, ..., \overrightarrow{l_n}$ – линейно зависимая, так как:

$1$ x $\overrightarrow{l_1}$ + $(-\lambda_{2})\overrightarrow{l_2} + ... + (- \lambda_{n})\overrightarrow{l}_{n} = 0$

где $\lambda = 1\neq 0$

Линейно независимая система векторов

Линейные системы векторов – это не только зависимые системы, но и независимые.

Определение

Так вот, линейно независимая система векторов $\overrightarrow{l_1}, \overrightarrow {l_2},...,\overrightarrow{l_n}$ называется тогда, когда их линейная комбинация равняется нулевому вектору:

$\lambda_{1}\overrightarrow{l_1} + \lambda_{2}\overrightarrow {l_2} + ... + \lambda{n}\overrightarrow{l_n} = \overrightarrow{0}$

только при условии равенства нулю всех коэффициентов: $\lambda_{1} = \lambda_{2} = ... = \lambda_{n} = 0$ .

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Доказательства линейной зависимости и линейной независимости

Понятие линейной зависимости векторов позволяет характеризовать их взаимное положение в пространстве.

Доказательство 1

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные.

Доказательство 2

Произвольные три вектора линейно зависимые тогда и только тогда, когда они компланарные.

Доказательство 3

Четыре вектора всегда линейно зависимые, то есть, существуют числа $\alpha, \beta, \gamma$ , такие, что для векторов $\overrightarrow{l_1}$ , $\overrightarrow{l_2}$ , $\overrightarrow{l_3}$ , $\overrightarrow{a}$ имеет место соотношение:

$\overrightarrow{a}$ = $\alpha\overrightarrow{l_1}$ + $\beta\overrightarrow{l_2}$ + $\gamma\overrightarrow{l_3}$ = $\alpha, \beta, \gamma$ .

(2)

Обратите внимание!

Формула (2) по системе трёх некомпланарных векторов $\overrightarrow{l_1}$ , $\overrightarrow{l_2}$ , $\overrightarrow{l_3}$ – единственный.

Действительно, если предположить , что существует ещё одно решение:

$\overrightarrow{a} = \alpha_{1}\overrightarrow{l_1} + \beta_{1}\overrightarrow{l_2} + \gamma_{1}\overrightarrow{l_3}$ .

Тогда, отнимая из (2) последнее равенство, получим:

$\overrightarrow{0}$ = $(\alpha - \alpha_{1})$ x $\overrightarrow{l_1}$ + $(\beta - \beta_{1})$ x $\overrightarrow{l_2}$ + $(\gamma - \gamma_{1})$ x $\overrightarrow{l_3}$ .

Как видим, $\overrightarrow{l_1}, \overrightarrow{l_2}, \overrightarrow{l_3}$ – линейно независимы (они не компланарные), тогда решение возможно при условии:

$\alpha - \alpha_{1}$ = $\beta - \beta_{1}$ = $\gamma - \gamma_{1}$ = $0\to\alpha$ = $\alpha_{1}$ , $\beta = \beta_{1}$ , $\gamma = \gamma_{1}$

Примеры задач

Пример 1

Задача

Проверить будут ли вектора $\overline {a}$ = $(3; 4; 5)$ , $\overline {b} = (-3; 0; 5)$ , $\overline {c} = (4; 4; 4)$ , $\overline {d} = (3; 4; 0)$ линейно независимыми.

Решение

Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 2

Задача

Проверить будут ли вектора $\overline {a}$ = $(1; 1; 1)$ , $\overline {b}$ = $(1; 2; 0)$ , $\overline {c}$ = $(0; -1; 1)$ линейно независимыми.

Решение

Найти значение коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору:

$x_{1}\overline {a} + x_{2}\overline {b} x_{3}c_{1} = \overline {0}$

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений:

$\left\{ \begin{aligned} x_{1} + x_{2} = 0\\ x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 0\\ x_{1} + x{3} = 0 \end{aligned} \right$

Решим эту систему используя метод Гаусса:

$\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&2&-1\\ 1&0&1 \end{pmatrix} \right$

Везде получаются нули. Теперь из второй строки вычтем первую; из третьей строки вычтем первую:

$\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1-1&2-1&-1-0\\ 1-1&0-1&1-0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&-1\\ 0&-1&1 \end{pmatrix} \right$

из первой строки вычтем вторую; к третьей строке добавим вторую:

$\begin{pmatrix} 1-0&1-1&0-(-1)\\ 0&1&-1\\ 0+0&-1+1&1+(-1) \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&0&1&\\ 0&1&-1\\ 0&0&0& \end{pmatrix} \right$

Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ таких, что линейная комбинация векторов $\overline {a}$ , $\overline {b}$ , $\overline {c}$ равна нулевому вектору, например