Примеры решения неопределённых интегралов с ответами

Простое объяснение принципов решения неопределенных интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
0 19976
Помощь в написании работы

Алгоритм решения неопределенных интегралов

Теорема

Неопределённым интегралом функции называется множество всех первообразных этой функции.

    \[\int f(x)dx = F(x) + C\]

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции, т.е., если F(x) – первообразная функции f(x), то:

F'(x) = f(x)

Алгоритм

Для нахождения интегралов функций, используются свойства интегралов, а также таблица неопределённых интегралов.

Примеры решений неопределенных интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt{x}dx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int \sqrt{x}dx = \int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C\]

Ответ

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt[3]{x^{2}}dx\]

Решение

    \[\int \sqrt[3]{x^{2}}dx = \int x^{\frac{2}{3}}dx\]

По таблице интегралов находим:

    \[\int x^{\frac{2}{3}}dx = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3\sqrt[3]{x^{5}}}{5} + C\]

Ответ

    \[\int \sqrt[3]{x^{2}}dx = \frac{3\sqrt[3]{x^{5}}}{5} + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}}\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int 3x^{6}dx\]

Решение

Вынося постоянный множитель 3 за знак интеграла, применяем правило интегрирования показательной функции и по таблице интегралов находим:

    \[\int 3x^{6}dx = 3\int x^{6}dx = 3\cdot\frac{x^{7}}{7} + C\]

Ответ

    \[\int 3x^{6}dx = 3\cdot\frac{x^{7}}{7} + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (x^{3} + 2x^{2} + 5x)dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (x^{3} + 2x^{2} + 5x)dx = \int (x^{3})dx + \int (2x^{2})dx + \int (5x)dx\]

    \[\int (x^{3})dx + \int (2x^{2})dx + \int (5x)dx = \frac{x^{4}}{4} + 2\cdot\frac{x^{3}}{3} + 5\cdot\frac{x^{2}}{2} + C\]

    \[\frac{x^{4}}{4} + 2\cdot\frac{x^{3}}{3} + 5\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = \frac{3x^{4} + 8x^{3} + 30x^{2}}{12} + C\]

Ответ

    \[\int (x^{3} + 2x^{2} + 5x)dx = \frac{3x^{4} + 8x^{3} + 30x^{2}}{12} + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = \int (x^{4})dx - \int (x^{2})dx + \int (4)dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + 4x + C\]

Ответ

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + 4x + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (\sqrt[n]{x} + \sqrt[m]{x})dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (\sqrt[n]{x} + \sqrt[m]{x})dx = \int \sqrt[n]{x}dx + \int\sqrt[m]{x}dx\]

Преобразуя подынтегральную функцию каждого из интегралов к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

    \[\int \sqrt[n]{x}dx = \int {x}^{\frac{1}{n}}dx = \frac{x^{\frac{n + 1}{n}}}{\frac{n + 1}{n}} + C = \frac{n\cdot x^{\frac{n + 1}{n}}}{n + 1} + C = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + C\]

    \[\int \sqrt[m]{x}dx = \int {x}^{\frac{1}{m}}dx = \frac{x^{\frac{m + 1}{m}}}{\frac{mn + 1}{m}} + C = \frac{m\cdot x^{\frac{m + 1}{m}}}{m + 1} + C = \frac{m}{m + 1}x\sqrt[m]{x} + C\]

    \[\int (\sqrt[n]{x} + \sqrt[m]{x})dx = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + \frac{m}{m + 1}x\sqrt[m]{x} + C\]

Ответ

    \[\int (\sqrt[n]{x} + \sqrt[m]{x})dx = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + \frac{m}{m + 1}x\sqrt[m]{x} + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл от дроби:

    \[\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}})dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

    \[\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}})dx = \int \frac{1}{x}dx + \frac{1}{x^{3}}dx\]

    \[\int \frac{1}{x}dx = \int \frac{dx}{x} = \ln{x} + C\]

    \[\frac{1}{x^{3}}dx = -\frac{1}{2x^{2}} + C\]

    \[\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}})dx = \ln{x} - \frac{1}{2x^{2}} + C\]

Ответ

    \[\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}})dx = \ln{x} - \frac{1}{2x^{2}} + C\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (\cos{x} + 5\sin{x})dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (\cos{x} + 5\sin{x})dx = \int \cos{x}dx + \int 5\sin{x}dx\]

Далее найдём каждый интеграл суммы:

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int 5\sin{x}dx = -5\cos{x} + C\]

    \[\int (\cos{x} + 5\sin{x})dx = \sin{x} - 5\cos{x} + C\]

Ответ

    \[\int (\cos{x} + 5\sin{x})dx = \sin{x} - 5\cos{x} + C\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{7x - 1}\]

Решение

    \[\int \frac{dx}{7x - 1} = \frac{1}{7}\int\frac{7dx}{7x -1} = \frac{1}{7}\ln|7x - 1| + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{7x - 1} = \frac{1}{7}\ln|7x - 1| + C\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 3.4 / 5. Количество оценок: 10

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *