Алгоритм решения неопределенных интегралов

Теорема

Неопределённым интегралом функции называется множество всех первообразных этой функции.

    \[\int f(x)dx = F(x) + C\]

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции, т.е., если F(x) – первообразная функции f(x), то:

F'(x) = f(x)

Алгоритм

Для нахождения интегралов функций, используются свойства интегралов, а также таблица неопределённых интегралов.

Примеры решений неопределенных интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt{x}dx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int \sqrt{x}dx = \int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C\]

Ответ

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt[3]{x^{2}}dx\]

Решение

    \[\int \sqrt[3]{x^{2}}dx = \int x^{\frac{2}{3}}dx\]

По таблице интегралов находим:

    \[\int x^{\frac{2}{3}}dx = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3\sqrt[3]{x^{5}}}{5} + C\]

Ответ

    \[\int \sqrt[3]{x^{2}}dx = \frac{3\sqrt[3]{x^{5}}}{5} + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}}\]

Решение

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

По таблице интегралов находим:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int 3x^{6}dx\]

Решение

Вынося постоянный множитель 3 за знак интеграла, применяем правило интегрирования показательной функции и по таблице интегралов находим:

    \[\int 3x^{6}dx = 3\int x^{6}dx = 3\cdot\frac{x^{7}}{7} + C\]

Ответ

    \[\int 3x^{6}dx = 3\cdot\frac{x^{7}}{7} + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (x^{3} + 2x^{2} + 5x)dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (x^{3} + 2x^{2} + 5x)dx = \int (x^{3})dx + \int (2x^{2})dx + \int (5x)dx\]

    \[\int (x^{3})dx + \int (2x^{2})dx + \int (5x)dx = \frac{x^{4}}{4} + 2\cdot\frac{x^{3}}{3} + 5\cdot\frac{x^{2}}{2} + C\]

    \[\frac{x^{4}}{4} + 2\cdot\frac{x^{3}}{3} + 5\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = \frac{3x^{4} + 8x^{3} + 30x^{2}}{12} + C\]

Ответ

    \[\int (x^{3} + 2x^{2} + 5x)dx = \frac{3x^{4} + 8x^{3} + 30x^{2}}{12} + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx\]

Решение

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = \int (x^{4})dx - \int (x^{2})dx + \int (4)dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + 4x + C\]

Ответ

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + 4x + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (\sqrt[n]{x} + \sqrt[m]{x})dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (\sqrt[n]{x} + \sqrt[m]{x})dx = \int \sqrt[n]{x}dx + \int\sqrt[m]{x}dx\]

Преобразуя подынтегральную функцию каждого из интегралов к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

    \[\int \sqrt[n]{x}dx = \int {x}^{\frac{1}{n}}dx = \frac{x^{\frac{n + 1}{n}}}{\frac{n + 1}{n}} + C = \frac{n\cdot x^{\frac{n + 1}{n}}}{n + 1} + C = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + C\]

    \[\int \sqrt[m]{x}dx = \int {x}^{\frac{1}{m}}dx = \frac{x^{\frac{m + 1}{m}}}{\frac{mn + 1}{m}} + C = \frac{m\cdot x^{\frac{m + 1}{m}}}{m + 1} + C = \frac{m}{m + 1}x\sqrt[m]{x} + C\]

    \[\int (\sqrt[n]{x} + \sqrt[m]{x})dx = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + \frac{m}{m + 1}x\sqrt[m]{x} + C\]

Ответ

    \[\int (\sqrt[n]{x} + \sqrt[m]{x})dx = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + \frac{m}{m + 1}x\sqrt[m]{x} + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл от дроби:

    \[\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}})dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

    \[\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}})dx = \int \frac{1}{x}dx + \frac{1}{x^{3}}dx\]

    \[\int \frac{1}{x}dx = \int \frac{dx}{x} = \ln{x} + C\]

    \[\frac{1}{x^{3}}dx = -\frac{1}{2x^{2}} + C\]

    \[\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}})dx = \ln{x} - \frac{1}{2x^{2}} + C\]

Ответ

    \[\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}})dx = \ln{x} - \frac{1}{2x^{2}} + C\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (\cos{x} + 5\sin{x})dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (\cos{x} + 5\sin{x})dx = \int \cos{x}dx + \int 5\sin{x}dx\]

Далее найдём каждый интеграл суммы:

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int 5\sin{x}dx = -5\cos{x} + C\]

    \[\int (\cos{x} + 5\sin{x})dx = \sin{x} - 5\cos{x} + C\]

Ответ

    \[\int (\cos{x} + 5\sin{x})dx = \sin{x} - 5\cos{x} + C\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{7x - 1}\]

Решение

    \[\int \frac{dx}{7x - 1} = \frac{1}{7}\int\frac{7dx}{7x -1} = \frac{1}{7}\ln|7x - 1| + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{7x - 1} = \frac{1}{7}\ln|7x - 1| + C\]

Средняя оценка 3 / 5. Количество оценок: 2

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

5065

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также