Линейные операции над матрицами: сложение и умножение матриц – теория и примеры

Елена Вечоркина 0 2977

Матрицы изучаются в каждом ВУЗе. Основные операции – это сложение и умножение матриц. Для таких действий необходимо знать свойства матриц и несколько важных определений. Об этом и поговорим в данной статье.

Сложение матриц

Определение

Сумма двух матриц A = (a_i_j)_m_n и B = (b_i_j)_m_n размером mxn называется матрица C = (c_iJ)_m_n того же размера, каждый элемент которой равняется сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых, то есть c_i_j = a_i_j + b_i_j и обозначается C = A + B.

Если же c_i_j = a_i_j - b_i_j, тогда C = A - B – разница матриц.

Любые действия: вычитание, сложение или умножение матриц называются линейными действиями над матрицами.

У матриц есть такие свойства:

  1. A + B = B + A.
  2. (A + B) + C = A + (B + C).
  3. A + 0 = A.
  4. A + (-A) = A.
  5. 1 x A = A – в случае, если число {\alpha} = 1, то есть коэффициент 1 можно отпустить, как в алгебре.
  6. {\alpha}({\beta}A) = ({\alpha}{\beta})A.
  7. {\alpha}(A + B) = {\alpha}A + {\alpha}B.
  8. {\alpha} + {\beta}) = {\alpha}A + {\beta}B.

Здесь обозначено – 0 – нулевая матрица, а (-A) – противоположная матрице A.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Умножение матриц

Иногда в работе с таблицами (матрицами) приходится совершать определённые действия. Сложение мы рассмотрели, а теперь рассмотрим умножение матриц..

Определение
Произведением числа \alpha на матрицу A = (a_i_j)_m_n размера mxn называется новая матрица B = (b_i_j)_m_n того же размера, каждый элемент которой равняется соответствующему элементу матрицы A умноженному на число  \alpha, то есть:

B ={\alpha}A = A{\alpha} = {\alpha}\begin {pmatrix} a_1_1&a_1_2...&a_1_n\\a_2_1&a_2_2...&a_2_n\\a_m_1&a_m_2...&a_m_n  \end{pmatrix}=\begin {pmatrix}{\alpha}a_1_1&{\alpha}a_1_2...&{\alpha}a_1_n\\{\alpha}a_2_1&{\alpha}a_2_2...&{\alpha}a_2_n\\  {\alpha}a_m_1&{\alpha}a_m_2...&{\alpha}a_m_n  \end{pmatrix}  \right

Матрица (-1) A – противоположна матрице A, и обозначается (-A). Действие сложения применяется только для тех матриц, которые одного и того же размера.

Умножение матриц имеет такие свойства:

  1. (AB)C = A(BC) – произведение матриц ассоциативно;
  2. ({\alpha} A)B = A({\alpha} B), где {\alpha} – число;
  3. (A + B)xC = AC + BS – произведение матриц дистрибутивно;
  4. C(A + B) = CA + CB.
Определение

Произведение матрицы A размером mxn на матрицу B размером nxk называется матрица C = (c_i_j)_m_k размером mxk, элементы которой C_i_j равняются сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы i-того столбца матрицы B, то есть:

c_i_j = a_i_1b_1_j + a_i_2b_2_j + ...+a_i_nb_n_j.

Из структуры элементов C_i_j понятна необходимость согласованности матриц A и B: каждому элементу в i-той строке матрицы A (первого сомножителя) и в j-том столбце матрицы B (второго сомножителя). Число строк и матрицы C равняется числу строк первого сомножителя, а число столбцов – числу второго сомножителя.

Примеры на сложение и умножение матриц

Как уже описывалось ранее, сложение матриц производится тогда, когда матрицы одинаковые по размерам. Рассмотрим несколько примеров.

Примеры на сложение матриц

Пример 1

Даны матрицы:

A =\begin {pmatrix}-4&6\\2&3\\5&7\end{pmatrix}, B = \begin {pmatrix} 2&-3\\0&8\\1&4\end{pmatrix}\right

Найти: 1)A + B; 2) 2A{1}\over{2} x B

 

Решение:

A + B =\begin {pmatrix}-4&6\\2&3\\5&7\end{pmatrix}+\begin {pmatrix}2&-3\\0&8\\1&4\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}-4 + 2&6 - 3\\2 + 0&3 + 8\\5 +1&7 + 4\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}-2&3\\2&11\\6&11\end{pmatrix}\right

Теперь находим 2A{1}\over{2} x B и получим результат:

\begin {pmatrix}-8&12\\4&6\\10&14\end{pmatrix}-\begin {pmatrix}1&-1.5\\0&4\\0.5&2\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}-9&13.5\\4&2\\9.5&12\end{pmatrix}\right

Рассмотрим ещё один пример, но более большой. Будьте внимательны и не спешите, так как очень часто можно ошибиться в знаках:

Пример 2

Даны матрицы:

C =\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&5&6&7\\2&4&6&8\\1&3&5&7\end{pmatrix},D =\begin{pmatrix}2&-1&0&-4\\3&0&-4&-2\\0&-4&2&-9\\3&-4&0&-1  \end{pmatrix}  \right

C + D =\begin{pmatrix}  1&2&3&4\\  4&5&6&7\\  2&4&6&8\\  1&3&5&7  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}  2&-1&0&-4\\  3&0&-4&-2\\  0&-4&2&-9\\  3&-4&0&1  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  1+2&2-1&3+0&4-4\\  4+3&5+0&6-4&7-2\\  2+0&4-4&6+2&8-9\\  1+3&3-4&5+0&7+1  \end{pmatrix}=  =\begin{pmatrix}  3&1&3&0\\  7&5&2&5\\  2&0&8&-1\\  4&-1&5&8  \end{pmatrix}  \right

Примеры на умножение матриц

Приведём первый пример, на котором рассмотрим умножение матриц, где становится понятно, как составлять матрицы и какие операции с ними проводятся:

Пример 1

Шахтёры выполняют два вида работ: выемка пород и крепление. Эти работы при постоянной площади поперечного сечения могут измеряться в погонных метрах. Допустим, что в течение суток каждая из трёх смен добились таких результатов:

Смены Выемка (в м.) Крепление (в м.)
первая смена a_1_1 a_1_2
вторая смена a_2_1 a_2_2
третья смена a_3_1 a_3_2

Эти результаты можно записать в виде матрицы размером 3*2:

A =\begin {pmatrix}  a_1_1&a_1_2\\  a_2_1&a_2_2\\  a_3_1&a_3_2  \end{pmatrix}  \right

Возьмём этот пример при подсчёте денежных затрат на выполнение робот в шахте. В матрице, которая у нас уже есть, записаны результаты работы за сутки каждой смены. Как уже упоминалось выше, результат работ измеряется в погонных метрах.

Заказчику необходимо знать, какую сумму придётся выделить на зарплату работникам, а какую на капитальные затраты. Это представим с виде матрицы расценок:

B=\begin {pmatrix}  b_1_1&b_1_2\\  b_2_1&b_2_2  \end{pmatrix}  \right

где первый столбец b_1_1, b_2_1 – нормы зарплаты трудящихся: за 1 погонный метр по выемке породы, и, соответственно, за  1 погонный метр по креплению.

Второй столбец: b_1_2, b_2_2 – капитальные затраты за  1 погонный метр выемки и за  1 погонный метр крепления.

Общие затраты на зарплату для каждой смены равняются произведению пройденного количества метров для каждого вида работ на определённые нормы расценок. Обозначим через c_i_j сумму средств, которую заработала смена i (i = 1, 2, 3). Аналогично подсчитываются капитальные затраты c_i_j для смены i по выемке и креплению.

Получим таблицу затрат:

Смены Затраты на зарплату по выемке и креплению Капитальные затраты по выемке и креплению
первая смена a_1_1b_1_1 + a_1_2b_2_1 = c_1_1 a_1_1b_1_2 + a_1_2b_2_2 = c_1_2
вторая смена a_2_1b_1_1 + a_2_2b_2_1 = c_2_1 a_2_1b_1_2 + a_2_2b_2_2 = c_2_2
третья смена a_3_1b_1_1 + a_3_2b_2_1 = c_3_1 a_3_1b_1_2 + a_3_2b_2_2 = c_3_2

 

Эти данные запишем в виде новой матрицы затрат C = (c_i_j)_3_x_2, что получена из матриц A и B при помощи действий, которые называются умножение матриц, и обозначают:

C = A*B =\begin {pmatrix}  a_1_1&a_1_2\\  a_2_1&a_2_2\\  a_3_1&a_3_2  \end{pmatrix}*\begin {pmatrix}  b_1_1&b_1_2\\  b_2_1&b_2_2  \end{pmatrix}=\begin {pmatrix}  a_1_1b_1_1 + a_1_2b_2_1&a_1_1b_1_2 + a_1_2b_2_2\\  a_2_1b_1_1 + a_2_2b_2_1&a_2_1b_1_2 + a_2_2b_2_2\\  a_3_1b_1_1 + a_3_2b_2_1& a_3_1b_1_2 + a_3_2b_2_2  \end{pmatrix}  \right

Для умножения матрицы A размером mxk на матрицу B размером nxk необходима её согласованность, то есть, чтобы число столбцов матрицы A (первого сомножителя) совпадало с числом строк матрицы B (второго сомножителя). В приведенном примере матрица  A согласована с матрицей B  (для каждого вида работ – нормы расценок). Однако, в примере, который представлен выше, матрица B не согласована с матрицей A.

Пример 2

Найти произведение матриц A и B, если:

A =\begin {pmatrix}  8&3\\  7&4  \end{pmatrix},B =\begin {pmatrix}  -1&35&0\\  2&9&3  \end{pmatrix}  \right

Решение:

У матрицы A размер 2x2, а размер матрицы B2x3. У матрицы A 2 столбца, а у матрицы B 2 строки, а это значит, что матрицы согласованы, так как можно умножать матрицу A на матрицу B. В результате получим матрицу AB размером 2x3, то есть:

AB =\begin {pmatrix}  8&3\\  7&4  \end{pmatrix}*\begin {pmatrix}  -1&5&0\\  2&9&3  \end{pmatrix}=\begin {pmatrix}  8-(-1) + 3*2&8*5 + 3*9&8*0 + 3*3\\  7*(-1) + 4*2&7*5 + 4*9&7*0 + 4*3  \end{pmatrix}=\begin {pmatrix}  -8 + 6&40 + 27&0 + 9\\  -7 + 8&35 + 36&0 + 12  \end{pmatrix}=  =\begin {pmatrix}  -2&67&9\\  1&71&12  \end{pmatrix}  \right

Пример 3

Убедитесь, что для данных матриц:

A =\begin {pmatrix}  2&-3&4\\  4&0&5  \end{pmatrix},  B =\begin {pmatrix}  -1&1\\  2&3\\  2&-1  \end{pmatrix}: AB =\begin {pmatrix}  0&-11\\  6&-1  \end{pmatrix}  \right,

BA =\begin {pmatrix}  2&3&1\\  16&-6&23\\  0&-6&3  \end{pmatrix}  \right.

Обратите внимание, что в данном случае {AB}\neq{BA}

Пример 4

Посмотрите, что получается, когда даны матрицы:

A =\begin {pmatrix}  2&-3\\  4&-6  \end{pmatrix},B =\begin {pmatrix}  3&6\\  2&4  \end{pmatrix}  \right

AB =\begin {pmatrix}  2&-3\\  4&-6  \end{pmatrix}*\begin {pmatrix}  3&6\\  2&4  \end{pmatrix}=\begin {pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} = 0  \right

BA =\begin {pmatrix}  30&-45\\  20&-30  \end{pmatrix}  \right

Видите, какие иногда получаются матрицы после решения? В нашем случае произведение двух ненулевых матриц дал нулевую матрицу, и, кроме этого, {AB}\neq{BA}

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2977

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *