О чем статья

Сложение матриц

Определение

Сумма двух матриц $A = (a_i_j)_m_n$ и $B = (b_i_j)_m_n$ размером $m$ x $n$ называется матрица $C = (c_iJ)_m_n$ того же размера, каждый элемент которой равняется сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых, то есть $c_i_j = a_i_j + b_i_j$ и обозначается $C = A + B$ .

Если же $c_i_j = a_i_j - b_i_j$ , тогда $C = A - B$ – разница матриц.

Любые действия: вычитание, сложение или умножение матриц называются линейными действиями над матрицами.

У матриц есть такие свойства:

$A + B = B + A$ .
$(A + B) + C = A + (B + C)$ .
$A + 0 = A$ .
$A + (-A) = A$ .
$1$ x $A$ = $A$ – в случае, если число ${\alpha} = 1$ , то есть коэффициент 1 можно отпустить, как в алгебре.
${\alpha}({\beta}A) = ({\alpha}{\beta})A$ .
${\alpha}(A + B) = {\alpha}A + {\alpha}B$ .
${\alpha} + {\beta}) = {\alpha}A + {\beta}B$ .

Здесь обозначено – $0$ – нулевая матрица, а $(-A)$ – противоположная матрице $A$ .

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Умножение матриц

Иногда в работе с таблицами (матрицами) приходится совершать определённые действия. Сложение мы рассмотрели, а теперь рассмотрим умножение матриц..

Определение

Произведением числа $\alpha$ на матрицу $A = (a_i_j)_m_n$ размера $m$ x $n$ называется новая матрица $B = (b_i_j)_m_n$ того же размера, каждый элемент которой равняется соответствующему элементу матрицы $A$ умноженному на число $\alpha$ , то есть:

$B ={\alpha}A = A{\alpha} = {\alpha}\begin {pmatrix} a_1_1&a_1_2...&a_1_n\\a_2_1&a_2_2...&a_2_n\\a_m_1&a_m_2...&a_m_n \end{pmatrix}=\begin {pmatrix}{\alpha}a_1_1&{\alpha}a_1_2...&{\alpha}a_1_n\\{\alpha}a_2_1&{\alpha}a_2_2...&{\alpha}a_2_n\\ {\alpha}a_m_1&{\alpha}a_m_2...&{\alpha}a_m_n \end{pmatrix} \right$

Матрица (-1) $A$ – противоположна матрице $A$ , и обозначается $(-A)$ . Действие сложения применяется только для тех матриц, которые одного и того же размера.

Умножение матриц имеет такие свойства:

$(AB)C = A(BC)$ – произведение матриц ассоциативно;
$({\alpha} A)B = A({\alpha} B)$ , где ${\alpha}$ – число;
$(A + B)$ x $C$ = $AC + BS$ – произведение матриц дистрибутивно;
$C(A + B) = CA + CB$ .

Определение

Произведение матрицы $A$ размером $m$ x $n$ на матрицу $B$ размером $n$ x $k$ называется матрица $C = (c_i_j)_m_k$ размером $m$ x $k$ , элементы которой $C_i_j$ равняются сумме произведений элементов $i$ -той строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $i$ -того столбца матрицы $B$ , то есть:

$c_i_j = a_i_1b_1_j + a_i_2b_2_j + ...+a_i_nb_n_j$ .

Из структуры элементов $C_i_j$ понятна необходимость согласованности матриц $A$ и $B$ : каждому элементу в $i$ -той строке матрицы $A$ (первого сомножителя) и в $j$ -том столбце матрицы $B$ (второго сомножителя). Число строк и матрицы $C$ равняется числу строк первого сомножителя, а число столбцов – числу второго сомножителя.

Примеры на сложение и умножение матриц

Как уже описывалось ранее, сложение матриц производится тогда, когда матрицы одинаковые по размерам. Рассмотрим несколько примеров.

Примеры на сложение матриц

Пример 1

Даны матрицы:

$A =\begin {pmatrix}-4&6\\2&3\\5&7\end{pmatrix}, B = \begin {pmatrix} 2&-3\\0&8\\1&4\end{pmatrix}\right$

Найти: 1) $A + B$ ; 2) $2A$ – ${1}\over{2}$ x $B$

Решение:

$A + B =\begin {pmatrix}-4&6\\2&3\\5&7\end{pmatrix}+\begin {pmatrix}2&-3\\0&8\\1&4\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}-4 + 2&6 - 3\\2 + 0&3 + 8\\5 +1&7 + 4\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}-2&3\\2&11\\6&11\end{pmatrix}\right$

Теперь находим $2A$ – ${1}\over{2}$ x $B$ и получим результат:

$\begin {pmatrix}-8&12\\4&6\\10&14\end{pmatrix}-\begin {pmatrix}1&-1.5\\0&4\\0.5&2\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}-9&13.5\\4&2\\9.5&12\end{pmatrix}\right$

Рассмотрим ещё один пример, но более большой. Будьте внимательны и не спешите, так как очень часто можно ошибиться в знаках:

Пример 2

Даны матрицы:

$C =\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&5&6&7\\2&4&6&8\\1&3&5&7\end{pmatrix},D =\begin{pmatrix}2&-1&0&-4\\3&0&-4&-2\\0&-4&2&-9\\3&-4&0&-1 \end{pmatrix} \right$

$C + D =\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 4&5&6&7\\ 2&4&6&8\\ 1&3&5&7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2&-1&0&-4\\ 3&0&-4&-2\\ 0&-4&2&-9\\ 3&-4&0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+2&2-1&3+0&4-4\\ 4+3&5+0&6-4&7-2\\ 2+0&4-4&6+2&8-9\\ 1+3&3-4&5+0&7+1 \end{pmatrix}= =\begin{pmatrix} 3&1&3&0\\ 7&5&2&5\\ 2&0&8&-1\\ 4&-1&5&8 \end{pmatrix} \right$

Примеры на умножение матриц

Приведём первый пример, на котором рассмотрим умножение матриц, где становится понятно, как составлять матрицы и какие операции с ними проводятся:

Пример 1

Шахтёры выполняют два вида работ: выемка пород и крепление. Эти работы при постоянной площади поперечного сечения могут измеряться в погонных метрах. Допустим, что в течение суток каждая из трёх смен добились таких результатов:

Смены	Выемка (в м.)	Крепление (в м.)
первая смена	$a_1_1$	$a_1_2$
вторая смена	$a_2_1$	$a_2_2$
третья смена	$a_3_1$	$a_3_2$

Эти результаты можно записать в виде матрицы размером $3*2$ :

$A =\begin {pmatrix} a_1_1&a_1_2\\ a_2_1&a_2_2\\ a_3_1&a_3_2 \end{pmatrix} \right$

Возьмём этот пример при подсчёте денежных затрат на выполнение робот в шахте. В матрице, которая у нас уже есть, записаны результаты работы за сутки каждой смены. Как уже упоминалось выше, результат работ измеряется в погонных метрах.

Заказчику необходимо знать, какую сумму придётся выделить на зарплату работникам, а какую на капитальные затраты. Это представим с виде матрицы расценок:

$B=\begin {pmatrix} b_1_1&b_1_2\\ b_2_1&b_2_2 \end{pmatrix} \right$

где первый столбец $b_1_1$ , $b_2_1$ – нормы зарплаты трудящихся: за 1 погонный метр по выемке породы, и, соответственно, за 1 погонный метр по креплению.

Второй столбец: $b_1_2$ , $b_2_2$ – капитальные затраты за 1 погонный метр выемки и за 1 погонный метр крепления.

Общие затраты на зарплату для каждой смены равняются произведению пройденного количества метров для каждого вида работ на определённые нормы расценок. Обозначим через $c_i_j$ сумму средств, которую заработала смена $i$ ( $i = 1, 2, 3$ ). Аналогично подсчитываются капитальные затраты $c_i_j$ для смены $i$ по выемке и креплению.

Получим таблицу затрат:

Смены	Затраты на зарплату по выемке и креплению	Капитальные затраты по выемке и креплению
первая смена	$a_1_1b_1_1 + a_1_2b_2_1 = c_1_1$	$a_1_1b_1_2 + a_1_2b_2_2 = c_1_2$
вторая смена	$a_2_1b_1_1 + a_2_2b_2_1 = c_2_1$	$a_2_1b_1_2 + a_2_2b_2_2 = c_2_2$
третья смена	$a_3_1b_1_1 + a_3_2b_2_1 = c_3_1$	$a_3_1b_1_2 + a_3_2b_2_2 = c_3_2$

Эти данные запишем в виде новой матрицы затрат $C = (c_i_j)_3_$ x $_2$ , что получена из матриц $A$ и $B$ при помощи действий, которые называются умножение матриц, и обозначают:

$C = A*B =\begin {pmatrix} a_1_1&a_1_2\\ a_2_1&a_2_2\\ a_3_1&a_3_2 \end{pmatrix}*\begin {pmatrix} b_1_1&b_1_2\\ b_2_1&b_2_2 \end{pmatrix}=\begin {pmatrix} a_1_1b_1_1 + a_1_2b_2_1&a_1_1b_1_2 + a_1_2b_2_2\\ a_2_1b_1_1 + a_2_2b_2_1&a_2_1b_1_2 + a_2_2b_2_2\\ a_3_1b_1_1 + a_3_2b_2_1& a_3_1b_1_2 + a_3_2b_2_2 \end{pmatrix} \right$

Для умножения матрицы $A$ размером $m$ x $k$ на матрицу $B$ размером $n$ x $k$ необходима её согласованность, то есть, чтобы число столбцов матрицы $A$ (первого сомножителя) совпадало с числом строк матрицы $B$ (второго сомножителя). В приведенном примере матрица $A$ согласована с матрицей $B$ (для каждого вида работ – нормы расценок). Однако, в примере, который представлен выше, матрица $B$ не согласована с матрицей $A$ .

Пример 2

Найти произведение матриц $A$ и $B$ , если:

$A =\begin {pmatrix} 8&3\\ 7&4 \end{pmatrix},B =\begin {pmatrix} -1&35&0\\ 2&9&3 \end{pmatrix} \right$

Решение:

У матрицы $A$ размер $2$ x $2$ , а размер матрицы $B$ – $2$ x $3$ . У матрицы $A$ 2 столбца, а у матрицы $B$ 2 строки, а это значит, что матрицы согласованы, так как можно умножать матрицу $A$ на матрицу $B$ . В результате получим матрицу $AB$ размером $2$ x $3$ , то есть:

$AB =\begin {pmatrix} 8&3\\ 7&4 \end{pmatrix}*\begin {pmatrix} -1&5&0\\ 2&9&3 \end{pmatrix}=\begin {pmatrix} 8-(-1) + 3*2&8*5 + 3*9&8*0 + 3*3\\ 7*(-1) + 4*2&7*5 + 4*9&7*0 + 4*3 \end{pmatrix}=\begin {pmatrix} -8 + 6&40 + 27&0 + 9\\ -7 + 8&35 + 36&0 + 12 \end{pmatrix}= =\begin {pmatrix} -2&67&9\\ 1&71&12 \end{pmatrix} \right$

Пример 3

Убедитесь, что для данных матриц:

$A =\begin {pmatrix} 2&-3&4\\ 4&0&5 \end{pmatrix}, B =\begin {pmatrix} -1&1\\ 2&3\\ 2&-1 \end{pmatrix}: AB =\begin {pmatrix} 0&-11\\ 6&-1 \end{pmatrix} \right$ ,

$BA =\begin {pmatrix} 2&3&1\\ 16&-6&23\\ 0&-6&3 \end{pmatrix} \right$ .

Обратите внимание, что в данном случае ${AB}\neq{BA}$

Пример 4

Посмотрите, что получается, когда даны матрицы:

$A =\begin {pmatrix} 2&-3\\ 4&-6 \end{pmatrix},B =\begin {pmatrix} 3&6\\ 2&4 \end{pmatrix} \right$

$AB =\begin {pmatrix} 2&-3\\ 4&-6 \end{pmatrix}*\begin {pmatrix} 3&6\\ 2&4 \end{pmatrix}=\begin {pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} = 0 \right$

$BA =\begin {pmatrix} 30&-45\\ 20&-30 \end{pmatrix} \right$

Видите, какие иногда получаются матрицы после решения? В нашем случае произведение двух ненулевых матриц дал нулевую матрицу, и, кроме этого, ${AB}\neq{BA}$