О чем статья
Сложение матриц
Сумма двух матриц и
размером
x
называется матрица
того же размера, каждый элемент которой равняется сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых, то есть
и обозначается
.
Если же , тогда
– разница матриц.
Любые действия: вычитание, сложение или умножение матриц называются линейными действиями над матрицами.
У матриц есть такие свойства:
.
.
.
.
x
=
– в случае, если число
, то есть коэффициент 1 можно отпустить, как в алгебре.
.
.
.
Здесь обозначено – – нулевая матрица, а
– противоположная матрице
.
Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Умножение матриц
Иногда в работе с таблицами (матрицами) приходится совершать определённые действия. Сложение мы рассмотрели, а теперь рассмотрим умножение матриц..
Матрица (-1) – противоположна матрице
, и обозначается
. Действие сложения применяется только для тех матриц, которые одного и того же размера.
Умножение матриц имеет такие свойства:
– произведение матриц ассоциативно;
, где
– число;
x
=
– произведение матриц дистрибутивно;
.
Произведение матрицы размером
x
на матрицу
размером
x
называется матрица
размером
x
, элементы которой
равняются сумме произведений элементов
-той строки матрицы
на соответствующие элементы
-того столбца матрицы
, то есть:
.
Из структуры элементов понятна необходимость согласованности матриц
и
: каждому элементу в
-той строке матрицы
(первого сомножителя) и в
-том столбце матрицы
(второго сомножителя). Число строк и матрицы
равняется числу строк первого сомножителя, а число столбцов – числу второго сомножителя.
Примеры на сложение и умножение матриц
Как уже описывалось ранее, сложение матриц производится тогда, когда матрицы одинаковые по размерам. Рассмотрим несколько примеров.
Примеры на сложение матриц
Даны матрицы:
Найти: 1); 2)
–
x
Решение:
Теперь находим –
x
и получим результат:
Рассмотрим ещё один пример, но более большой. Будьте внимательны и не спешите, так как очень часто можно ошибиться в знаках:
Даны матрицы:
Примеры на умножение матриц
Приведём первый пример, на котором рассмотрим умножение матриц, где становится понятно, как составлять матрицы и какие операции с ними проводятся:
Шахтёры выполняют два вида работ: выемка пород и крепление. Эти работы при постоянной площади поперечного сечения могут измеряться в погонных метрах. Допустим, что в течение суток каждая из трёх смен добились таких результатов:
Смены | Выемка (в м.) | Крепление (в м.) |
первая смена | ||
вторая смена | ||
третья смена |
Эти результаты можно записать в виде матрицы размером :
Возьмём этот пример при подсчёте денежных затрат на выполнение робот в шахте. В матрице, которая у нас уже есть, записаны результаты работы за сутки каждой смены. Как уже упоминалось выше, результат работ измеряется в погонных метрах.
Заказчику необходимо знать, какую сумму придётся выделить на зарплату работникам, а какую на капитальные затраты. Это представим с виде матрицы расценок:
где первый столбец ,
– нормы зарплаты трудящихся: за 1 погонный метр по выемке породы, и, соответственно, за 1 погонный метр по креплению.
Второй столбец: ,
– капитальные затраты за 1 погонный метр выемки и за 1 погонный метр крепления.
Общие затраты на зарплату для каждой смены равняются произведению пройденного количества метров для каждого вида работ на определённые нормы расценок. Обозначим через сумму средств, которую заработала смена
(
). Аналогично подсчитываются капитальные затраты
для смены
по выемке и креплению.
Получим таблицу затрат:
Смены | Затраты на зарплату по выемке и креплению | Капитальные затраты по выемке и креплению |
первая смена | ||
вторая смена | ||
третья смена |
Эти данные запишем в виде новой матрицы затрат x
, что получена из матриц
и
при помощи действий, которые называются умножение матриц, и обозначают:
Для умножения матрицы размером
x
на матрицу
размером
x
необходима её согласованность, то есть, чтобы число столбцов матрицы
(первого сомножителя) совпадало с числом строк матрицы
(второго сомножителя). В приведенном примере матрица
согласована с матрицей
(для каждого вида работ – нормы расценок). Однако, в примере, который представлен выше, матрица
не согласована с матрицей
.
Найти произведение матриц и
, если:
Решение:
У матрицы размер
x
, а размер матрицы
–
x
. У матрицы
2 столбца, а у матрицы
2 строки, а это значит, что матрицы согласованы, так как можно умножать матрицу
на матрицу
. В результате получим матрицу
размером
x
, то есть:
Убедитесь, что для данных матриц:
,
.
Обратите внимание, что в данном случае
Посмотрите, что получается, когда даны матрицы:
Видите, какие иногда получаются матрицы после решения? В нашем случае произведение двух ненулевых матриц дал нулевую матрицу, и, кроме этого,