Примеры решения определённых интегралов с ответами

Простое объяснение принципов решения определённых интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
0 12274
Помощь в написании работы

Алгоритм решения определенных интегралов

Теорема

Определённым интегралом функции на отрезке [a, b] называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.

Алгоритм

Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

    \[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\]

Для нахождения определённых интегралов, используются свойства неопределённых интегралов, правила вычисления определённых интегралов, а также таблица основных неопределённых интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов

C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений определенных интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_0^\pi \sin{x}dx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int_0^\pi \sin{x}dx = \Bigl. -\cos{x} \Bigr|_0^\pi = -(\cos\pi - \cos0) = -(-1 - 1) = 2\]

Ответ

    \[\int_0^\pi \sin{x}dx = 0\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_0^\pi -\cos{x}dx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int_0^\pi -\cos{x}dx = \Bigl. -\sin{x} \Bigr|_0^\pi = -(\sin\pi - \sin0) = -(0 - 0) = 0\]

Ответ

    \[\int_0^\pi -\cos{x}dx = 0\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_0^1 e^{kx}dx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int_0^1 e^{kx}dx = \Bigl. \frac{e^{kx}}{k} \Bigr|_0^1 = \frac{e^{k}}{k} - \frac{1}{k}\]

= \frac{e^{k} - 1}{k}

Ответ

    \[\int_0^1 e^{kx}dx = \frac{e^{k} - 1}{k}\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}}dx\]

Решение

    \[\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \Bigl. \ arctgx \Bigr|_{-1}^{1} = \ arctg(1) - \ arctg(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}\]

Ответ

    \[\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \frac{\pi}{2}\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^{2}}dx\]

Решение

    \[\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \Bigl. \ arctgx \Bigr|_{0}^{\sqrt{3}} = \ arctg(\sqrt{3}) - \ arctg(0)\]

    \[\ arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3},\ \ arctg(0) = 0\]

    \[\ arctg(\sqrt{3}) - \ arctg(0) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}\]

Ответ

    \[\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \frac{\pi}{3}\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx\]

Решение

Вычислим по частям неопределённый интеграл

    \[\int \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx\]

Обозначим: u = \sin{x},\ dv = \frac{dx}{\cos^{2}{x}},\ du = \cos{x}dx,\ v = \ tg{x}

    \[\int \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \sin{x}\ tg{x} - \int \ tg{x}\cos{x}dx = \sin{x}\ tg{x} - \int \sin{x}dx\]

    \[\sin{x}\ tg{x} - \int \sin{x}dx = \sin{x}\ tg{x} + \cos{x} + C\]

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \Bigl. \sin{x}\ tg{x} + \cos{x} \Bigr|_{0}^{\frac{\pi}{4}}\]

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = (\sin{\frac{\pi}{4}}\ tg{\frac{\pi}{4}} + \cos{\frac{\pi}{4}}) - (\sin{0}\ tg{0} + \cos{0})\]

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1\]

Ответ

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \sqrt{2} - 1\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_a^b \frac{dx}{x}\ (a > 0,\ b > 0)\]

Решение

    \[\int_a^b \frac{dx}{x} = \Bigl. \ln|x| \Bigr|_a^b = \ln|b| - \ln|a|\]

Т.к. a > 0 и b > 0, то:

\ln|b| - \ln|a| = \ln{b} - \ln{a} = \ln{\frac{b}{a}}

Ответ

    \[\int_a^b \frac{dx}{x} = \ln{\frac{b}{a}}\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_0^1 \frac{dx}{1 + x}\]

Решение

    \[\int_0^1 \frac{dx}{1 + x} = \Bigl. \ln(1 + x) \Bigr|_0^1 = \ln2 - \ln1 = \ln2 - 0 = \ln2\]

Ответ

    \[\int_0^1 \frac{dx}{1 + x} = \ln2\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{5}^{20} \frac{1}{x^{3}}dx\]

Решение

    \[\int_{5}^{20} \frac{1}{x^{3}}dx = \Bigl. -\frac{1}{2x^{2}} \Bigr|_{5}^{20} = -\frac{1}{800} - (-\frac{1}{50}) = \frac{-5 + 80}{4000} = \frac{3}{160}\]

Ответ

    \[\int_{5}^{20} \frac{1}{x^{3}}dx = \frac{3}{160}\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos{x}dx\]

Решение

    \[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos{x}dx = \Bigl. \sin{x} \Bigr|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \sin{\pi} - \sin{\frac{\pi}{2}} = 0 - 1 = -1\]

Ответ

    \[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos{x}dx = -1\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 2.1 / 5. Количество оценок: 9

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *