Определённые интегралы

Простое объяснение принципов решения определённых интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения определенных интегралов

Теорема

Определённым интегралом функции на отрезке $[a, b]$ называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.

Алгоритм

Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Для нахождения определённых интегралов, используются свойства неопределённых интегралов, правила вычисления определённых интегралов, а также таблица основных неопределённых интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов

$C$ – постоянная величина

$\int 0\cdot dx = C$

$\int dx = x + C$

$\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$

$\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$

$\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C$

$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)$

$\int e^{x}dx = e^{x} + C$

$\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}dx = \sin{x} + C$

$\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C$

$\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C$

$\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C$

$\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C$

$\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C$

$\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C$

$\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C$

$\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C$

$\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C$

$\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C$

Примеры решений определенных интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_0^\pi \sin{x}dx$

Решение

По таблице интегралов находим:

$\int_0^\pi \sin{x}dx = \Bigl. -\cos{x} \Bigr|_0^\pi = -(\cos\pi - \cos0) = -(-1 - 1) = 2$

Ответ

$\int_0^\pi \sin{x}dx = 0$

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_0^\pi -\cos{x}dx$

Решение

По таблице интегралов находим:

$\int_0^\pi -\cos{x}dx = \Bigl. -\sin{x} \Bigr|_0^\pi = -(\sin\pi - \sin0) = -(0 - 0) = 0$

Ответ

$\int_0^\pi -\cos{x}dx = 0$

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_0^1 e^{kx}dx$

Решение

По таблице интегралов находим:

$\int_0^1 e^{kx}dx = \Bigl. \frac{e^{kx}}{k} \Bigr|_0^1 = \frac{e^{k}}{k} - \frac{1}{k}$

= $\frac{e^{k} - 1}{k}$

Ответ

$\int_0^1 e^{kx}dx = \frac{e^{k} - 1}{k}$

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}}dx$

Решение

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \Bigl. \ arctgx \Bigr|_{-1}^{1} = \ arctg(1) - \ arctg(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$

Ответ

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \frac{\pi}{2}$

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^{2}}dx$

Решение

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \Bigl. \ arctgx \Bigr|_{0}^{\sqrt{3}} = \ arctg(\sqrt{3}) - \ arctg(0)$

$\ arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3},\ \ arctg(0) = 0$

$\ arctg(\sqrt{3}) - \ arctg(0) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$

Ответ

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \frac{\pi}{3}$

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx$

Решение

Вычислим по частям неопределённый интеграл

$\int \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx$

Обозначим: $u = \sin{x},\ dv = \frac{dx}{\cos^{2}{x}},\ du = \cos{x}dx,\ v = \ tg{x}$

$\int \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \sin{x}\ tg{x} - \int \ tg{x}\cos{x}dx = \sin{x}\ tg{x} - \int \sin{x}dx$

$\sin{x}\ tg{x} - \int \sin{x}dx = \sin{x}\ tg{x} + \cos{x} + C$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \Bigl. \sin{x}\ tg{x} + \cos{x} \Bigr|_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = (\sin{\frac{\pi}{4}}\ tg{\frac{\pi}{4}} + \cos{\frac{\pi}{4}}) - (\sin{0}\ tg{0} + \cos{0})$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1$

Ответ

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \sqrt{2} - 1$

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_a^b \frac{dx}{x}\ (a > 0,\ b > 0)$

Решение

$\int_a^b \frac{dx}{x} = \Bigl. \ln|x| \Bigr|_a^b = \ln|b| - \ln|a|$

Т.к. $a > 0$ и $b > 0$ , то:

$\ln|b| - \ln|a| = \ln{b} - \ln{a} = \ln{\frac{b}{a}}$

Ответ

$\int_a^b \frac{dx}{x} = \ln{\frac{b}{a}}$

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_0^1 \frac{dx}{1 + x}$

Решение

$\int_0^1 \frac{dx}{1 + x} = \Bigl. \ln(1 + x) \Bigr|_0^1 = \ln2 - \ln1 = \ln2 - 0 = \ln2$

Ответ

$\int_0^1 \frac{dx}{1 + x} = \ln2$

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_{5}^{20} \frac{1}{x^{3}}dx$

Решение

$\int_{5}^{20} \frac{1}{x^{3}}dx = \Bigl. -\frac{1}{2x^{2}} \Bigr|_{5}^{20} = -\frac{1}{800} - (-\frac{1}{50}) = \frac{-5 + 80}{4000} = \frac{3}{160}$

Ответ

$\int_{5}^{20} \frac{1}{x^{3}}dx = \frac{3}{160}$

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos{x}dx$

Решение

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos{x}dx = \Bigl. \sin{x} \Bigr|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \sin{\pi} - \sin{\frac{\pi}{2}} = 0 - 1 = -1$

Ответ

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos{x}dx = -1$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Елена М.

Редактор.

Сертифицированный копирайтер, автор текстов для публичных выступлений и презентаций.

Добавить комментарий Отменить ответ

Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.
валентин на Свойства пространства и времени: открываем тайны физической реальностиСкорость света это скорость течения времени и в каждой точке пространства разная. Градиент сжатия пространства по вертикали определяет скорость течения