Алгоритм решения определенных интегралов

Теорема

Определённым интегралом функции на отрезке [a, b] называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.

Алгоритм

Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

    \[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\]

Для нахождения определённых интегралов, используются свойства неопределённых интегралов, правила вычисления определённых интегралов, а также таблица основных неопределённых интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов

C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений определенных интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_0^\pi \sin{x}dx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int_0^\pi \sin{x}dx = \Bigl. -\cos{x} \Bigr|_0^\pi = -(\cos\pi - \cos0) = -(-1 - 1) = 2\]

Ответ

    \[\int_0^\pi \sin{x}dx = 0\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_0^\pi -\cos{x}dx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int_0^\pi -\cos{x}dx = \Bigl. -\sin{x} \Bigr|_0^\pi = -(\sin\pi - \sin0) = -(0 - 0) = 0\]

Ответ

    \[\int_0^\pi -\cos{x}dx = 0\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\int_0^1 e^{kx}dx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int_0^1 e^{kx}dx = \Bigl. \frac{e^{kx}}{k} \Bigr|_0^1 = \frac{e^{k}}{k} - \frac{1}{k}\]

= \frac{e^{k} - 1}{k}

Ответ

    \[\int_0^1 e^{kx}dx = \frac{e^{k} - 1}{k}\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}}dx\]

Решение

    \[\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \Bigl. \ arctgx \Bigr|_{-1}^{1} = \ arctg(1) - \ arctg(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}\]

Ответ

    \[\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \frac{\pi}{2}\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^{2}}dx\]

Решение

    \[\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \Bigl. \ arctgx \Bigr|_{0}^{\sqrt{3}} = \ arctg(\sqrt{3}) - \ arctg(0)\]

    \[\ arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3},\ \ arctg(0) = 0\]

    \[\ arctg(\sqrt{3}) - \ arctg(0) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}\]

Ответ

    \[\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^{2}}dx = \frac{\pi}{3}\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx\]

Решение

Вычислим по частям неопределённый интеграл

    \[\int \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx\]

Обозначим: u = \sin{x},\ dv = \frac{dx}{\cos^{2}{x}},\ du = \cos{x}dx,\ v = \ tg{x}

    \[\int \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \sin{x}\ tg{x} - \int \ tg{x}\cos{x}dx = \sin{x}\ tg{x} - \int \sin{x}dx\]

    \[\sin{x}\ tg{x} - \int \sin{x}dx = \sin{x}\ tg{x} + \cos{x} + C\]

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \Bigl. \sin{x}\ tg{x} + \cos{x} \Bigr|_{0}^{\frac{\pi}{4}}\]

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = (\sin{\frac{\pi}{4}}\ tg{\frac{\pi}{4}} + \cos{\frac{\pi}{4}}) - (\sin{0}\ tg{0} + \cos{0})\]

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1\]

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Ответ

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}dx = \sqrt{2} - 1\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_a^b \frac{dx}{x}\ (a > 0,\ b > 0)\]

Решение

    \[\int_a^b \frac{dx}{x} = \Bigl. \ln|x| \Bigr|_a^b = \ln|b| - \ln|a|\]

Т.к. a > 0 и b > 0, то:

\ln|b| - \ln|a| = \ln{b} - \ln{a} = \ln{\frac{b}{a}}

Ответ

    \[\int_a^b \frac{dx}{x} = \ln{\frac{b}{a}}\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_0^1 \frac{dx}{1 + x}\]

Решение

    \[\int_0^1 \frac{dx}{1 + x} = \Bigl. \ln(1 + x) \Bigr|_0^1 = \ln2 - \ln1 = \ln2 - 0 = \ln2\]

Ответ

    \[\int_0^1 \frac{dx}{1 + x} = \ln2\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{5}^{20} \frac{1}{x^{3}}dx\]

Решение

    \[\int_{5}^{20} \frac{1}{x^{3}}dx = \Bigl. -\frac{1}{2x^{2}} \Bigr|_{5}^{20} = -\frac{1}{800} - (-\frac{1}{50}) = \frac{-5 + 80}{4000} = \frac{3}{160}\]

Ответ

    \[\int_{5}^{20} \frac{1}{x^{3}}dx = \frac{3}{160}\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos{x}dx\]

Решение

    \[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos{x}dx = \Bigl. \sin{x} \Bigr|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \sin{\pi} - \sin{\frac{\pi}{2}} = 0 - 1 = -1\]

Ответ

    \[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos{x}dx = -1\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

497

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также