Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости вводится при помощи полярной оси (начало координат называется полюсом) и угла поворота этой оси (положительным считается направление против часовой стрелки) (рис. 1)

Полярная система координат

Рис. 1

Координаты точки в такой системе выглядят M (\rho,\varphi). Если не ограничивать значения \rho и \varphi, тогда точки (\rho,\varphi), (\rho,\varphi + 2\pi), (- \rho,\varphi + \pi) совпадают, то есть, между множеством точек плоскости и множеством пар числе (\rho,\varphi) нет взаимно однозначного соответствия. Для того, чтобы такое соответствие существовало, нужно рассмотреть так званые главные значения полярных координат, то есть, 0 < \rho < \infty, 0\leq\varphi < 2\pi. Дальше рассматриваются только такие значения.

Связь между полярными и прямоугольными (декартовыми) координатами легко понять из рис. 2, а именно,

x = \rho{cos}\varphi, y = \rho{sin}\varphi

(1)

и наоборот, полярные координаты выражаются через прямоугольные

\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\quad{tg\varphi} = {y\over{x}}

(2}

Полярная система координат

Рис. 2 

Чтобы найти \varphi во (2), учитываем совпадение знаков x и cos\varphi, а также y и sin\varphi.

Наведём графики некоторых линий в полярных координатах.

Луч

Пусть луч выходит с полюса под углом \varphi_{0} к полярной оси. Тогда уравнение луча (рис. 3).

Рис. 3

Круг

Общее уравнение круга с центром в (r_{0}, \thera) и радиусом \alpha имеет вид:

r^2 = 2rr_{0}cos(\varphi - \thera) + r_{0}^2 = a^2.

 Это уравнение может быть упрощено для отдельных случаев, например,

r(\varphi) = \alpha

Или по-другому: радиуса R,  центр которого в полюсе имеет уравнение:

\rho = R.

Спираль Архимеда

Имеет такой вид: \rho = \alpha\varphi, где a\neq{0} – заданное действительное число.

Спираль архимеда

Рис. 4

Кардиоида

Кардиоида описывается уравнением \rho = \alpha(1 + cos\varphi), где a > 0 заданное:

Кардиоида

Рис. 5

Розы

Розами называются линии, которые задаются уравнением:

\rho = a{sin}k\varphi или \rho = a{cos}k\varphi,

где a и k – дополнительные числа.

Так как |sin k\varphi| \leq{1}, |cos k\varphi| \leq{1}, тогда из уравнений получается, что \rho\leq{a}, а это означает, что вся линия расположена в середине круга радиуса a. Функция sin{k\varphi} (cos {k\varphi}) – периодическая и её график складывается из одинаковых лепестков, каждая из которых симметрична относительно наибольшего значения полярного радиуса \rho = a. Количество лепестков зависит от числа k:

при k – целом и непарном роза складывается из k лепестков (см. рис. 6);

при k – целом и парном роза складывается из 2k лепестков (см. рис. 7):

Полярные координаты

Рис. 6

Полярные координаты

Рис. 7

Задача и её решение

Пример

Задача

Построить в полярных координатах график функции \rho = 5 sin{\varphi}, записав таблицу значений \varphi в градусах с шагом в 20^0. Перейти в уравнение \rho = 5 sin \varphi к декартовым координатам.

Решение

Заполним таблицу значений аргумента \varphi и функции \rho.

 

\varphi0^020^040^060^080^0100^0120^0140^0160^0180^0
sin\varphi00.34200.64280,86600.98480.98480.86600.64280.34200
\rho = sin 5\varphi0 01.713.214.334.924.924.333.211.71

За данными таблицы строим точки в полярной системе координат и соединяем их плавной линией.

Перейдём в уравнение \rho = sin 5\varphi от полярных координат к декартовым при помощи формулы перехода (1) и (2)

 \rho = sin 5\varphi\arrowvert{*}\rho\to\rho^2 = 5\rho{sin}\varphi\to{(\sqrt{x^2 + y^2})^2} = 5y\tox^2 + y^2 - 5y = 0} – это круг.

Чтобы найти центр и радиус круга, выделим главный квадрат:

x^2 + y^2 - 2 * {5\over{2}}y + {25\over{4}} = {25\over{4}}\to{x^2 + (y - 2.5)^2 = 2,5^2.

Центр круга в точке O_{1}(0; 2,5), радиус R = 2,5 (см. рис. 8)

Полярная система координат

Рис. 8

Для построения графика провели лучи под соответствующими углами: \varphi = 0^0, 20^0, 40^0, ..., 160^0, 180^0. На каждом из лучей откладывается соответствующее значение \rho, которое бралось из таблицы:

\rho = 0; 1, 71; 3, 21, ...; 1, 71; 0.