Постоянная величина

Определение

Постоянная величина – это величина, которая при заданных условиях не меняет своего значения.

Чтобы убедиться, что постоянная величина существует, вспомним несколько известных примеров: отношение длины круга к диаметру, как известно, равняется \pi = 3,1415...; сумма внутренних углов треугольника равна 180^0; черырехугольника – 360^0; скорость света в вакууме C = 299 800 км/с, постоянным есть ускорение земного притяжения в данной точке Земли  и  т. п.

Постоянная величина обозначается начальными буквами латинского алфавита – a, b, c.

Переменная величина

Определение
Переменная величина – это величина, которая в данном процессе приобретает разные значения.

Рассмотрим переменную величину на примере: в процессе движения точки переменными есть пройденный точкой путь, её координаты, относительно заданной системы координат и т. п.

Переменная величина записывается последними буквами латинского алфавита – x, y, z. Среди переменных величин удобно выделить такие, что приобретают отдельные изолированные значения, например, значение натуральных чисел n = 1, 2, 3,..., или значения некоторой последовательности, например, арифметической или геометрической прогрессий. Такие переменные принято обозначать x_n и называть дискретными переменными.

Если переменная величина приобретает все значения с некоторого промежутка, тогда считают, что она меняется непрерывно. Например,  длина столбика термометра при перемене температуры принимает все значения с некоторого отрезка. Посмотрите ниже, как это выглядит на примере.

Пусть a и b – действительные числа, a < b, им отвечают точки на числовой оси.

Отрезком [a,b] называется множество чисел (точек) x что удовлетворяют условия a\leq{x}\leq{b}, при этом пишут ещё x\in{[a, b].

Интервалом (a, b) называется множества чисел x, что удовлетворяют условия a < x < b. Множество всех действительных чисел (точек числовой прямой) будем обозначать интервалом (-\infty; +\infty), это означает, что для переменной x выполняется неравность -\infty < x < +\infty. Интервал (a, +\infty) – это множество чисел, которые больше a, или множество чисел, что удовлетворяют неравности a < x < +\infty Аналогично интервал (-\infty, b) означает множеству точек x таких, что -\infty < x < b\longleftrightarrow{x}\in{(-\infty, b)}.

Полуинтервалами [a, b) или (a, b] называется множество точек, для которых соответственно a\leq{x} < {b} или a < x \leq{b{.

Отрезок, интервал или полуинтервал мы будем называть ещё промежутком. Промежутки перемены переменной x могут появляться, например, при решении неравенств, которые в свою очередь появляются при исследовании функции.

Примеры решений по теме : “Постоянные и переменные величины”

Пример 1

Задача

Определить промежутки перемены переменной x, которые заданы неравенством: 3x + 5 > 0;

Решение

1. 3x + 5 > 0\to{3x > -5}\to{-{5\over{3}}} или -{5\over{3}} < x.

Переменная величина

Ответ

Область решений – промежуток: -1{2\over{3}} < x < +\infty.

Пример 2

Задача

Определить промежутки перемены переменной x, которые заданы неравенством:  x^2 \leq {9}

Решение

x^2 \leq {9}\to{x^2} - 9\leq{0}\to{(x + 3)(x - 3) \leq{0}.

Неравенство решается методом интервалов, определяя знак выражения (x + 3)(x - 3) в “пробных” точках каждого из интервалов.

Постоянная величина

Ответ

Область решений – отрезок -3 \leq {x} \leq {3} или [-3, 3].

Пример 3

Задача

Определить промежутки перемены переменной x, которые заданы неравностью: -7 <5 - 2x \leq{9}

Решение

Для решения двойного неравенства  отнимем из всех её частей по 5 и разделим на (-2) (при делении знаки неравенств меняются с отрицательного числа на противоположное).

-7 - 5 < 5 - 2x - 5 \leq {9 - 5}\to{ -|2 < -2x \leq{4}}|: (-2) \to {6} > x \geq {-2} или -2 \leq{x} < 6, или же x\in[-2; 6).

Переменная величина

Ответ

6 > x \geq {-2}  или -2 \leq{x} < 6, или же x\in[-2; 6). Из них любой ответ считается верным.