Цилиндрическая поверхность

Определение

Цилиндрическая поверхность – это поверхность, которая образована прямыми, – образующими, параллельными заданной прямой l и они пересекают данную кривую линию L – направляющую (см. рис. 1).

Цилиндрическая поверхность

Рис. 1

В общем случае уравнение цилиндрической поверхности записывается F (x, y, z) = 0.

В отдельных случаях, когда образующие цилиндрические поверхности параллельны одной из координатных осей, тогда у уравнения цилиндрической поверхности есть только две переменные. Причём, образующие цилиндрические поверхности параллельны той координатной оси, переменная которой в уравнении отсутствует:

F_{1}(x, y) = 0 – цилиндрическая поверхность с образующими ||OZ;

F_{2}(x, z) = 0 – цилиндрическая поверхность с образующими ||OY;

F_{3}(y, z) = 0 – цилиндрическая поверхность с образующими ||OX.

Канонические поверхности

Определение
Канонические поверхности – это поверхности, которые образованы прямыми, образующими конуса, и которые проходят через данную точку – вершину конуса, – и пересекают данную кривую линию – направляющую конуса.

Допустим, {x^2\over{a^2}} + {z^2\over{c^2}} = {y^2} – эллиптический конус (см. рис. 2), ось OY – ось симметрии, вершина в точке O(0, 0, 0) за направляющую можно взять линию {x^2\over{a^2}} + {z^2\over{c^2}} = {1} – эллипс в плоскости y = 1.

канонические поверхности

Рис. 2

Поверхности вращения

Пусть в плоскости YOZ задана линия L уравнением F(y, z) = 0. Чтобы получить поверхность вращения линии L вокруг, например, оси OY необходимо вместо переменной Z поставить в уравнение F (y, z) = 0 выражение \pm\sqrt{x^2 + z^2}. Уравнение F (y, \pm\sqrt{x^2 + z^2}) = 0 описывает поверхность вращения линии L вокруг оси OY (см. рис. 3).

Поверхности вращения

Рис. 3

Поверхности второго порядка и их уравнения

Рассмотрим поверхности второго порядка и какие у них уравнения, которые считаются основными для решения задач:

1. Сфера – x^2 + y^2 + z^2 = R^2:

zПоверхности второго порядка - сфера

2. Эллипсоид – {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} + {z^2\over{c^2}} = {1}:

Поверхности второго порядка

3. Однополостный гиперболоид – {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} - {z^2\over{c^2}} = {1}:

Поверхности второго порядка

4. Двуполостный гиперболоид – {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} - {z^2\over{c^2}} = {-1}:

Поверхности второго порядка - гиперболоид

5. Гиперболический параболоид – {x^2\over{p}} - {y^2\over{q}} = {2z}:

Поверхности второго порядка - параболоид

6. Конус – z^2 = x^2 + y^2:

konus

7. Эллиптический параболоид – {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {z}

Поверхности второго порядка - эллиптический параболод

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Составить уравнение цилиндрической поверхности, у которой направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение x^2 + y^2 = 4, а образующие параллельны вектору \overline{a} = (0; 1; 1).

Решение

Согласно условию задачи F(x, y) = x^2 + y^2 = 4 и \alpha = 0, \beta = 1, \gamma = 1 тогда, по формуле F ({x - z}{\alpha\over\gamma}; {y - z}{\beta\over\gamma}) = 0 у уравнения данной цилиндрической поверхности будет такой вид:

(x - z {0\over{1}})^2 + (y - z{1\over{1}})^2 - 4 = 0

В итоге получается:

x^2 + (y - z)^2 - 4 = 0

Ответ

Уравнение цилиндрической поверхности имеет такой вид: x^2 + (y - z)^2 - 4 = 0

Пример 2

Задача

Определить вид поверхности 3x^2 + 6y^2 - 24 = 0.

Решение

Необходимо данное уравнение привести к соответствующему виду:

{x^2\over{8}} + {y^2\over{4}} = 1

Это уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости xOy и образующими, параллельными оси Oz.

Ответ

Уравнение 3x^2 + 6y^2 - 24 = 0 определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность.

Пример 3

Задача 

Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке (0, 0, c), c > 0 и направляющей.

{x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {1}.

Решение

У данной конической поверхности такое уравнение:

{1\over{a^2}}({cx\over{c - z}})^2 + {1\over{b^2}}({cy\over{c - z}})^2 = {1}

После определённых преобразований у нас получается:

{x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {(z - c)^2\over{c^2}}

Ответ

Уравнение конической поверхности – {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {(z - c)^2\over{c^2}}.

Как видите, в любой задаче большую роль играют формулы, которые необходимо применять во время решения. Только тогда вы достигнете хороших результатов.