Want create site? Find Free WordPress Themes and plugins.

Цилиндрическая поверхность

Определение

Цилиндрическая поверхность – это поверхность, которая образована прямыми, – образующими, параллельными заданной прямой l и они пересекают данную кривую линию L – направляющую (см. рис. 1).

Цилиндрическая поверхность

Рис. 1

В общем случае уравнение цилиндрической поверхности записывается F (x, y, z) = 0.

В отдельных случаях, когда образующие цилиндрические поверхности параллельны одной из координатных осей, тогда у уравнения цилиндрической поверхности есть только две переменные. Причём, образующие цилиндрические поверхности параллельны той координатной оси, переменная которой в уравнении отсутствует:

F_{1}(x, y) = 0 – цилиндрическая поверхность с образующими ||OZ;

F_{2}(x, z) = 0 – цилиндрическая поверхность с образующими ||OY;

F_{3}(y, z) = 0 – цилиндрическая поверхность с образующими ||OX.

Канонические поверхности

Определение
Канонические поверхности – это поверхности, которые образованы прямыми, образующими конуса, и которые проходят через данную точку – вершину конуса, – и пересекают данную кривую линию – направляющую конуса.

Допустим, {x^2\over{a^2}} + {z^2\over{c^2}} = {y^2} – эллиптический конус (см. рис. 2), ось OY – ось симметрии, вершина в точке O(0, 0, 0) за направляющую можно взять линию {x^2\over{a^2}} + {z^2\over{c^2}} = {1} – эллипс в плоскости y = 1.

канонические поверхности

Рис. 2

Поверхности вращения

Пусть в плоскости YOZ задана линия L уравнением F(y, z) = 0. Чтобы получить поверхность вращения линии L вокруг, например, оси OY необходимо вместо переменной Z поставить в уравнение F (y, z) = 0 выражение \pm\sqrt{x^2 + z^2}. Уравнение F (y, \pm\sqrt{x^2 + z^2}) = 0 описывает поверхность вращения линии L вокруг оси OY (см. рис. 3).

Поверхности вращения

Рис. 3

Поверхности второго порядка и их уравнения

Рассмотрим поверхности второго порядка и какие у них уравнения, которые считаются основными для решения задач:

1. Сфера – x^2 + y^2 + z^2 = R^2:

zПоверхности второго порядка - сфера

2. Эллипсоид – {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} + {z^2\over{c^2}} = {1}:

Поверхности второго порядка

3. Однополостный гиперболоид – {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} - {z^2\over{c^2}} = {1}:

Поверхности второго порядка

4. Двуполостный гиперболоид – {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} - {z^2\over{c^2}} = {-1}:

Поверхности второго порядка - гиперболоид

5. Гиперболический параболоид – {x^2\over{p}} - {y^2\over{q}} = {2z}:

Поверхности второго порядка - параболоид

6. Конус – z^2 = x^2 + y^2:

konus

7. Эллиптический параболоид – {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {z}

Поверхности второго порядка - эллиптический параболод

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Составить уравнение цилиндрической поверхности, у которой направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение x^2 + y^2 = 4, а образующие параллельны вектору \overline{a} = (0; 1; 1).

Решение

Согласно условию задачи F(x, y) = x^2 + y^2 = 4 и \alpha = 0, \beta = 1, \gamma = 1 тогда, по формуле F ({x - z}{\alpha\over\gamma}; {y - z}{\beta\over\gamma}) = 0 у уравнения данной цилиндрической поверхности будет такой вид:

(x - z {0\over{1}})^2 + (y - z{1\over{1}})^2 - 4 = 0

В итоге получается:

x^2 + (y - z)^2 - 4 = 0

Ответ

Уравнение цилиндрической поверхности имеет такой вид: x^2 + (y - z)^2 - 4 = 0

Пример 2

Задача

Определить вид поверхности 3x^2 + 6y^2 - 24 = 0.

Решение

Необходимо данное уравнение привести к соответствующему виду:

{x^2\over{8}} + {y^2\over{4}} = 1

Это уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости xOy и образующими, параллельными оси Oz.

Ответ

Уравнение 3x^2 + 6y^2 - 24 = 0 определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность.

Пример 3

Задача 

Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке (0, 0, c), c > 0 и направляющей.

{x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {1}.

Решение

У данной конической поверхности такое уравнение:

{1\over{a^2}}({cx\over{c - z}})^2 + {1\over{b^2}}({cy\over{c - z}})^2 = {1}

После определённых преобразований у нас получается:

{x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {(z - c)^2\over{c^2}}

Ответ

Уравнение конической поверхности – {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {(z - c)^2\over{c^2}}.

Как видите, в любой задаче большую роль играют формулы, которые необходимо применять во время решения. Только тогда вы достигнете хороших результатов.

Did you find apk for android? You can find new Free Android Games and apps.