О чем статья
Введение
В теории игр симплекс-таблица является важным инструментом для решения задач линейного программирования. Она представляет собой таблицу, в которой отображаются значения переменных и ограничений задачи. Симплекс-таблица позволяет проводить операции над значениями и определять оптимальное решение задачи. В данном объяснении мы рассмотрим структуру симплекс-таблицы, способы ее составления, интерпретацию значений в таблице, а также операции, которые можно проводить с ней. Наконец, мы узнаем, как использовать симплекс-таблицу для решения задачи линейного программирования.
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Структура симплекс-таблицы
Симплекс-таблица – это таблица, которая используется для решения задачи линейного программирования методом симплекс-метода. Она представляет собой матрицу, состоящую из строк и столбцов.
Структура симплекс-таблицы включает в себя следующие элементы:
Базисные переменные
Базисные переменные – это переменные, которые присутствуют в ограничениях задачи и принимают ненулевые значения в оптимальном решении. В симплекс-таблице они обозначаются в первом столбце и помечаются как “Базис”.
Небазисные переменные
Небазисные переменные – это переменные, которые также присутствуют в ограничениях задачи, но принимают нулевые значения в оптимальном решении. В симплекс-таблице они обозначаются в первой строке и помечаются как “Небазис”.
Коэффициенты целевой функции
Коэффициенты целевой функции – это коэффициенты, которые умножаются на переменные в целевой функции задачи. В симплекс-таблице они располагаются в последней строке и помечаются как “ЦФ”.
Коэффициенты ограничений
Коэффициенты ограничений – это коэффициенты, которые умножаются на переменные в ограничениях задачи. В симплекс-таблице они располагаются в остальных строках и столбцах.
Правая часть ограничений
Правая часть ограничений – это значения, с которыми сравниваются левые части ограничений. В симплекс-таблице они располагаются в последнем столбце и помечаются как “Правая часть”.
Все эти элементы вместе образуют симплекс-таблицу, которая используется для проведения операций и нахождения оптимального решения задачи линейного программирования.
Как составить симплекс-таблицу?
Симплекс-таблица – это таблица, которая используется для решения задачи линейного программирования с помощью симплекс-метода. Она представляет собой матрицу, в которой каждая строка соответствует одной переменной, а каждый столбец соответствует одному ограничению или коэффициенту целевой функции.
Для составления симплекс-таблицы, следуйте следующим шагам:
Запишите целевую функцию
Сначала запишите целевую функцию в виде линейной комбинации переменных с коэффициентами. Например, если у вас есть задача на максимизацию прибыли, целевая функция может выглядеть так:
maximize Z = 3x + 2y
Запишите ограничения
Запишите все ограничения задачи в виде линейных неравенств или уравнений. Например, если у вас есть ограничение на количество ресурсов, оно может выглядеть так:
2x + y ≤ 10
3x + 4y ≤ 24
Приведите ограничения к стандартному виду
Приведите все ограничения к стандартному виду, где все переменные неотрицательны. Для этого добавьте дополнительные переменные и преобразуйте неравенства в уравнения. Например, ограничение 2x + y ≤ 10 может быть преобразовано следующим образом:
2x + y + s1 = 10
где s1 – дополнительная переменная
Создайте симплекс-таблицу
Создайте симплекс-таблицу, используя коэффициенты перед переменными в целевой функции и ограничениях. В первой строке таблицы поместите коэффициенты перед переменными в целевой функции, а в последнем столбце – правую часть ограничений. Остальные элементы таблицы заполняются коэффициентами перед переменными в ограничениях.
Например, если у вас есть целевая функция maximize Z = 3x + 2y и ограничения:
2x + y + s1 = 10
3x + 4y + s2 = 24
Тогда симплекс-таблица будет выглядеть следующим образом:
| x | y | s1 | s2 | Правая часть | |
|---|---|---|---|---|---|
| Целевая функция | 3 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| Ограничение 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 10 |
| Ограничение 2 | 3 | 4 | 0 | 1 | 24 |
Таким образом, вы составили симплекс-таблицу для задачи линейного программирования.
Как интерпретировать значения в симплекс-таблице?
Симплекс-таблица представляет собой таблицу, в которой содержатся значения переменных, коэффициенты целевой функции и ограничений, а также дополнительные столбцы и строки для проведения операций симплекс-метода.
В симплекс-таблице значения интерпретируются следующим образом:
Строки:
- Первая строка (строка целевой функции) содержит коэффициенты целевой функции и значение Z (целевая функция).
- Остальные строки представляют ограничения задачи линейного программирования. Каждая строка содержит коэффициенты переменных и значение ограничения.
Столбцы:
- Первый столбец (столбец базисных переменных) содержит базисные переменные, которые входят в оптимальное решение задачи.
- Остальные столбцы представляют небазисные переменные, которые не входят в оптимальное решение.
Значения:
- Значения в ячейках таблицы представляют коэффициенты переменных и ограничений.
- Значение Z (целевая функция) в первой строке показывает текущее значение целевой функции.
- Значения в столбце базисных переменных показывают, сколько единиц каждой переменной входит в оптимальное решение.
- Значения в столбце свободных членов показывают, сколько остается ресурсов после учета базисных переменных.
Интерпретация значений в симплекс-таблице позволяет анализировать текущее решение задачи линейного программирования и проводить операции симплекс-метода для нахождения оптимального решения.
Как проводить операции над симплекс-таблицей?
Операции над симплекс-таблицей включают в себя:
Выбор ведущего столбца:
Ведущий столбец выбирается на основе правила минимального отношения. Для этого необходимо найти столбец с наименьшим значением в столбце свободных членов. Этот столбец будет ведущим столбцом.
Выбор ведущей строки:
Ведущая строка выбирается на основе правила минимального отношения. Для этого необходимо найти строку, в которой отношение значения в столбце свободных членов к значению в ведущем столбце минимально положительно. Эта строка будет ведущей строкой.
Пересчет симплекс-таблицы:
После выбора ведущего столбца и ведущей строки, необходимо пересчитать значения в симплекс-таблице. Для этого используется элемент ведущей строки и ведущего столбца. Он становится единицей, а остальные элементы в столбце и строке пересчитываются с учетом этой единицы.
Повторение операций:
Операции выбора ведущего столбца, ведущей строки и пересчета симплекс-таблицы повторяются до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное решение или не будет обнаружено, что задача не имеет решения.
Проведение этих операций позволяет найти оптимальное решение задачи линейного программирования, представленной в виде симплекс-таблицы.
Как использовать симплекс-таблицу для решения задачи линейного программирования?
Симплекс-таблица является инструментом, который позволяет решать задачи линейного программирования. Для использования симплекс-таблицы в решении задачи линейного программирования следуйте следующим шагам:
Шаг 1: Подготовка задачи
Перед составлением симплекс-таблицы необходимо сформулировать задачу линейного программирования в стандартной форме. Это означает, что все ограничения должны быть выражены в виде равенств или неравенств, а целевая функция должна быть максимизирована или минимизирована.
Шаг 2: Составление симплекс-таблицы
Симплекс-таблица состоит из двух частей: верхней строки, которая содержит коэффициенты целевой функции и переменные, и остальной части таблицы, которая содержит коэффициенты ограничений и переменные.
Для составления симплекс-таблицы, следуйте этим шагам:
- Запишите коэффициенты целевой функции и переменные в верхнюю строку таблицы.
- Запишите коэффициенты ограничений и переменные в остальную часть таблицы.
- Добавьте столбец свободных членов, который содержит значения правых частей ограничений.
Шаг 3: Выбор ведущего столбца
Выберите ведущий столбец, который будет использоваться для ввода новой переменной в базис. Ведущий столбец выбирается на основе правила оптимальности, которое гласит, что ведущий столбец должен содержать отрицательное значение в верхней строке таблицы.
Шаг 4: Выбор ведущей строки
Выберите ведущую строку, которая будет использоваться для вывода текущей переменной из базиса. Ведущая строка выбирается на основе правила отношения, которое гласит, что ведущая строка должна содержать наименьшее положительное отношение между значением столбца свободных членов и значением в столбце ведущего столбца.
Шаг 5: Пересчет симплекс-таблицы
После выбора ведущего столбца и ведущей строки, выполните пересчет симплекс-таблицы. Это включает в себя деление ведущей строки на ведущий элемент, а затем пересчет остальных элементов в столбце и строке с учетом этого деления.
Шаг 6: Повторение операций
Повторяйте операции выбора ведущего столбца, ведущей строки и пересчета симплекс-таблицы до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное решение или не будет обнаружено, что задача не имеет решения.
Проведение этих шагов позволяет использовать симплекс-таблицу для решения задачи линейного программирования и найти оптимальное решение.
Сравнительная таблица по симплекс-таблицам
| Аспект | Симплекс-таблица | Другие методы решения задач линейного программирования |
|---|---|---|
| Определение | Структурированная таблица, используемая для решения задач линейного программирования методом симплекса | Методы, такие как графический метод, метод искусственного базиса, двойственный симплекс-метод |
| Структура | Содержит строки и столбцы, представляющие переменные и ограничения задачи | Структура может отличаться в зависимости от метода, но обычно включает переменные и ограничения |
| Заполнение | Значения заполняются на основе коэффициентов целевой функции и ограничений задачи | Значения могут быть заполнены в соответствии с методом решения, например, построением графика или итерационными вычислениями |
| Интерпретация | Значения в таблице представляют текущие значения переменных и ограничений, а также показывают оптимальное решение задачи | Значения могут иметь различную интерпретацию в зависимости от метода решения |
| Операции | С помощью операций, таких как пересчет строк и столбцов, можно улучшить текущее решение и найти оптимальное решение | Операции могут варьироваться в зависимости от метода, но обычно включают пересчет значений и проверку условий оптимальности |
| Применение | Используется для решения задач линейного программирования с большим количеством переменных и ограничений | Методы могут быть применимы для различных типов задач линейного программирования, но могут быть менее эффективными для сложных задач |
Заключение
Симплекс-таблица – это инструмент, который используется для решения задач линейного программирования. Она представляет собой таблицу, в которой значения переменных и ограничений задачи представлены в виде коэффициентов и симплекс-метод применяется для определения оптимального решения.
Составление симплекс-таблицы включает в себя преобразование исходной задачи в каноническую форму и последующее заполнение таблицы с помощью алгоритма симплекс-метода.
Значения в симплекс-таблице интерпретируются как коэффициенты при переменных и свободные члены в ограничениях задачи. Операции над симплекс-таблицей включают пересчет значений, выбор ведущего столбца и строки, а также обновление таблицы.
Симплекс-таблица позволяет найти оптимальное решение задачи линейного программирования путем итеративного улучшения текущего решения. Она является важным инструментом в теории игр и операционном исследовании.
