-мерном линейном пространстве 
выбран базис 
, который мы будем для удобства называть “старый” и другой базис 
, который мы будем называть “новый”.Возьмем призвольный вектор
, а в новом 
. Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно “связать” друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису
Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса
Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.
Замечание 18.1 Матрица перехода всегда невырождена, то есть 
.
Предложение 18.5 Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой
(1)
где справа стоит произведение матрицы перехода 
на матрицу-столбец.
Доказательство. Так как 
— координатный столбец вектора 
в новом базисе, то
Заменив векторы 
их разложениями по старому базису, получим
В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования
Здесь мы получили разложение вектора по старому базису, причем координата вектора с номером 
равна 
. Элемент с номером столбца 
будет иметь такой же вид. Следовательно, формула (1) доказана.