Примеры решений логарифмических неравенств с ответами

Автор: Анатолий 0 3788

Простое объяснение принципов решения логарифмических неравенств и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Помощь в написании работы

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Теорема
Логарифмическое неравенства – это неравенства, содержащее неизвестные только под знаком логарифма.

При решении логарифмических неравенств используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования и определённые правила.

Для любого положительного числа $b$ существует единственное число $\alpha$, такое, что $\log_{a}и = \alpha$

Если $\log_{a}x_{1} = \log_{a}x_{2}$, то $x_{1} = x_{2}$

Правила решения логарифмических неравенств

Если $a > 0,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$, то неравенство $$\log_{a}f_{1}x < \log_{a}f_{2}x$$ равносильно неравенству $$f_{1}(x) < f_{2}(x)$$

Если $a > 0,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$, то неравенство $$\log_{a}f_{1}x > \log_{a}f_{2}x$$ равносильно неравенству $$f_{1}(x) > f_{2}(x)$$

Если $0 < a > 1,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$, то неравенство $$\log_{a}f_{1}x < \log_{a}f_{2}x$$ равносильно неравенству $$f_{1}(x) > f_{2}(x)$$

Если $0 < a > 1,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$, то неравенство $$\log_{a}f_{1}x > \log_{a}f_{2}x$$ равносильно неравенству $$f_{1}(x) < f_{2}(x)$$

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решений логарифмических неравенств

Пример 1

Задача

Найти область определения функции: $$f(x) = \sqrt{\log_{0,5}(x^{2} – 9) + 4}$$

Решение

Для нахождения области определения функции, нужно решить следующее неравенство:

$$\log_{0,5}(x^{2} – 9) + 4 \geq 0$$

$$\log_{0,5}(x^{2} – 9) \geq -4$$

$$0 < x^{2} – 9 \leq 16$$

$$9 < x^{2} \leq 25$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x^{2} \leq 25, \\
x^{2} > 9;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
-5 \leq x \leq 5, \\
\left[ \begin{array}{ccc}
x > 3, \\
x < -3;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$

Ответ

$x \in [-5; -3)\cup(3; 5])$

Пример 2

Задача

Найти область определения выражения: $$\log_{3}(1 – \log_{0,5}(x^{2} – 2x – 2,5))$$

Решение

Для нахождения области определения функции, нужно решить следующее неравенство:

$$1 – \log_{0,5}(x^{2} – 2x – 2,5) > 0$$

$$\log_{0,5}(x^{2} – 2x – 2,5) < -1$$

$$x^{2} – 2x – 2,5 > 0,5$$

$$x^{2} – 2x – 3 > 0$$

$$(x + 1)(x – 3) > 0$$

$x \in (-\infty; -1)\cup(3; +\infty)$

Ответ

$x \in (-\infty; -1)\cup(3; +\infty)$

Пример 3

Задача

При каких целых $x$ верно неравенство: $$\log_{4}x + \log_{2}(\sqrt{x} – 1) < \log_{2}\log_{5}\sqrt{5}$$

Решение

Перейдём к логарифму по основанию 2:

$$\frac{1}{2}\log_{2}x + \log_{2}(\sqrt{x} – 1) < \log_{2}2$$

$$\log_{2}\sqrt{x} + \log_{2}(\sqrt{x} – 1) < 1$$

$$\log_{2}(\sqrt{x}(\sqrt{x} – 1)) < 1$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
\sqrt{x}(\sqrt{x} – 1) < 2, \\ x > 0, \\
\sqrt{x – 1} > 0;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
(\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} – 2 < 0, \\ x > 0, \\
\sqrt{x} > 1;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
-1 < \sqrt{x} < 2, \\ x > 1;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 \leq x < 4, \\ x > 1;
\end{array} \right.$$

$$1 < x < 4$$

Интервал $$1 < x < 4$$ включает два целых числа: $x_{1} = 2,\ x_{2} = 3$

Ответ

$x_{1} = 2,\ x_{2} = 3$

Пример 4

Задача

Найти область определения выражения: $$\frac{\sqrt{4x – x^{2}}}{\log_{3}|x – 4|}$$

Решение

$$\left\{ \begin{array}{ll}
4x – x^{2} \geq 0, \\
\log_{3}|x – 4| \neq 0; \\
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x(x – 4) \leq 0, \\
|x – 4| \neq 1, \\
x – 4 \neq 0; \\
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 \leq x \leq 4, \\
x \neq 3, \\
x \neq 5, \\
x \neq 4;
\end{array} \right.$$

Ответ

$x \in [0; 3)\cup(3; 4)$

Пример 5

Задача

Найти область определения выражения: $$\log_{3}(0,64^{2 – \log_{\sqrt{2}}x} – 1,25^{8 – (\log_{2}x)^{2}})$$

Решение

$$0,64^{2 – \log_{\sqrt{2}}x} – 1,25^{8 – (\log_{2}x)^{2}} > 0$$

$$0,64^{2 – \log_{\sqrt{2}}x} > 1,25^{8 – (\log_{2}x)^{2}}$$

$$(\frac{4}{5})^{4 – 2\log_{\sqrt{2}}x} > (\frac{4}{5})^{\log_{2}x)^{2} – 8}$$

$$4 – 2\log_{\sqrt{2}}x > \log^{2}_{2}x – 8$$

Перейдём к логарифму по основанию 2:

$$\log^{2}_{2}x + 4\log_{2}x – 12 > 0$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
\log_{2}x > 2, \\
\log_{2}x < -6; \end{array}\right.$$ $$\left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\
0 < x < \frac{1}{64};
\end{array}\right.$$

Ответ

$x \in (0; \frac{1}{64})\cup(4; +\infty)$

Пример 6

Задача

Найти область определения выражения: $$\sqrt{\log_{\frac{1}{3}}\log_{3}|x – 3|}$$

Решение

$$\log_{\frac{1}{3}}\log_{3}|x – 3| \geq 0$$

$$0 < \log_{3}|x – 3| \leq -1$$

$$1 < |x – 3| \leq 3$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
|x – 3| \leq 3, \\
|x – 3| > 1;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
-3 \leq x – 3 \leq 3, \\
\left[ \begin{array}{ccc}
x – 3 > 1, \\
x – 3 < -1;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 \leq x \leq 6, \\
\left[ \begin{array}{ccc}
x > 4, \\
x < 2;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$

Ответ

$x \in [0; 2)\cup(4; 6)$

Пример 7

Задача

Найти область определения выражения: $$\sqrt{\log^{2}_{\frac{1}{2}}(x – 3) – 1}$$

Решение

$$\left[ \begin{array}{ccc}
\log_{\frac{1}{2}}(x – 3) \geq 1, \\
\log_{\frac{1}{2}}(x – 3) \leq -1;
\end{array}\right.$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
0 < x – 3 \geq \frac{1}{2}, \\
x – 3 \geq 2;
\end{array}\right.$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
3 < x \leq \frac{7}{2}, \\
x \geq 5;
\end{array}\right.$$

Ответ

$x \in \left(3; \frac{7}{2}\right]\cup[5; +\infty)$

Пример 8

Задача

Найти область определения выражения: $$\sqrt[4]{2 – \lg|x – 2|}$$

Решение

$$2 – \lg|x – 2| \geq 0$$

$$\lg|x – 2| \geq 2$$

$$0 < |x – 2| \leq 100$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
|x – 2| \leq 100, \\
|x – 2| > 0;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
-100 \leq x – 2 \leq 100, \\
x – 2 \neq 0;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
-98 \leq x – 2 \leq 102, \\
x – 2 \neq 0;
\end{array} \right.$$

Ответ

$x \in [-98; 2)\cup(2; 102]$

Пример 9

Задача

Найти область определения выражения: $$\log_{3}(2^{\log_{x – 3}0,5} – 1) + \frac{1}{\log_{3}(2x – 6)}$$

Решение

$$\left\{ \begin{array}{ll}
2^{\log_{x – 3}0,5} – 1 > 0, \\
\log_{3}(2x – 6) \neq 0, \\
2x – 6 > 0;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
2^{\log_{x – 3}0,5} > 1, \\
2x – 6 \neq 1, \\
2x – 6 > 0;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
\log_{x – 3}0,5 > 0, \\
2x \neq 7, \\
2x > 6;
\end{array} \right.$$

Получаем два случая.

Первый случай:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 < x – 3 < 1, \\
0,5 < 1, \\ x \neq \frac{7}{2}, \\ x > 3;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
3 < x < 4, \\
x \neq \frac{7}{2};
\end{array} \right.$$

$x \in \left(3; \frac{7}{2}\right)\cup\left(\frac{7}{2}; 4\right)$

Второй случай:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x – 3 > 1, \\
0,5 > 1, \\
x \neq \frac{7}{2}, \\
x > 3;
\end{array} \right.$$

Данная система неравенств не имеет решений

Ответ

$x \in \left(3; \frac{7}{2}\right)\cup\left(\frac{7}{2}; 4\right)$

Пример 10

Задача

Решить неравенство: $$\log_{|x – 1|}0,5 > 0,5$$

Решение

Получаем два случая.

Первый случай:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 < |x – 1| < 1, \\
0,5 < \sqrt{|x – 1|};
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
0,25 < |x – 1| < 1, \\
x \neq 1;
\end{array} \right.$$

Второй случай:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
|x – 1| > 1, \\
0,5 > \sqrt{|x – 1|};
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
|x – 1| > 1, \\
|x – 1| < 0,25;
\end{array} \right.$$

Данная система неравенств не имеет решений

Из первой системы неравенств получаем:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 < x < 2, \\ x \neq 1, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > 1,25, \\
x < 0,75;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$

$x \in (0; 0,75)\cup(1,25; 2)$

Ответ

$x \in (0; 0,75)\cup(1,25; 2)$

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

3788
Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Полезно

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *