Примеры решения логарифмических неравенств с ответам

Опубликовано: 24 января 2020 0

Простое объяснение принципов решения логарифмических неравенств и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Логарифмическое неравенства – это неравенства, содержащее неизвестные только под знаком логарифма.

При решении логарифмических неравенств используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования и определённые правила.

Для любого положительного числа $b$ существует единственное число $\alpha$ , такое, что $\log_{a}и = \alpha$

Если $\log_{a}x_{1} = \log_{a}x_{2}$ , то $x_{1} = x_{2}$

Правила решения логарифмических неравенств

Если $a > 0,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$ , то неравенство

$\log_{a}f_{1}x < \log_{a}f_{2}x$

равносильно неравенству

$f_{1}(x) < f_{2}(x)$

Если $a > 0,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$ , то неравенство

$\log_{a}f_{1}x > \log_{a}f_{2}x$

равносильно неравенству

$f_{1}(x) > f_{2}(x)$

Если $0 < a > 1,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$ , то неравенство

$\log_{a}f_{1}x < \log_{a}f_{2}x$

равносильно неравенству

$f_{1}(x) > f_{2}(x)$

Если $0 < a > 1,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$ , то неравенство

$\log_{a}f_{1}x > \log_{a}f_{2}x$

равносильно неравенству

$f_{1}(x) < f_{2}(x)$

Примеры решений логарифмических неравенств

Пример 1

Задача

Найти область определения функции:

$f(x) = \sqrt{\log_{0,5}(x^{2} - 9) + 4}$

Решение

Для нахождения области определения функции, нужно решить следующее неравенство:

$\log_{0,5}(x^{2} - 9) + 4 \geq 0$

$\log_{0,5}(x^{2} - 9) \geq -4$

$0 < x^{2} - 9 \leq 16$

$9 < x^{2} \leq 25$

$\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} \leq 25, \\ x^{2} > 9; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} -5 \leq x \leq 5, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > 3, \\ x < -3; \end{array}\right. \end{array}\right.$

Ответ

$x \in [-5; -3)\cup(3; 5])$

Пример 2

Задача

Найти область определения выражения:

$\log_{3}(1 - \log_{0,5}(x^{2} - 2x - 2,5))$

Решение

Для нахождения области определения функции, нужно решить следующее неравенство:

$1 - \log_{0,5}(x^{2} - 2x - 2,5) > 0$

$\log_{0,5}(x^{2} - 2x - 2,5) < -1$

$x^{2} - 2x - 2,5 > 0,5$

$x^{2} - 2x - 3 > 0$

$(x + 1)(x - 3) > 0$

$x \in (-\infty; -1)\cup(3; +\infty)$

Ответ

$x \in (-\infty; -1)\cup(3; +\infty)$

Пример 3

Задача

При каких целых $x$ верно неравенство:

$\log_{4}x + \log_{2}(\sqrt{x} - 1) < \log_{2}\log_{5}\sqrt{5}$

Решение

Перейдём к логарифму по основанию 2:

$\frac{1}{2}\log_{2}x + \log_{2}(\sqrt{x} - 1) < \log_{2}2$

$\log_{2}\sqrt{x} + \log_{2}(\sqrt{x} - 1) < 1$

$\log_{2}(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)) < 1$

$\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) < 2, \\ x > 0, \\ \sqrt{x - 1} > 0; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} (\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} - 2 < 0, \\ x > 0, \\ \sqrt{x} > 1; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} -1 < \sqrt{x} < 2, \\ x > 1; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} 0 \leq x < 4, \\ x > 1; \end{array} \right.$

$1 < x < 4$

Интервал

$1 < x < 4$

включает два целых числа: $x_{1} = 2,\ x_{2} = 3$

Ответ

$x_{1} = 2,\ x_{2} = 3$

Пример 4

Задача

Найти область определения выражения:

$\frac{\sqrt{4x - x^{2}}}{\log_{3}|x - 4|}$

Решение

$\left\{ \begin{array}{ll} 4x - x^{2} \geq 0, \\ \log_{3}|x - 4| \neq 0; \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x(x - 4) \leq 0, \\ |x - 4| \neq 1, \\ x - 4 \neq 0; \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} 0 \leq x \leq 4, \\ x \neq 3, \\ x \neq 5, \\ x \neq 4; \end{array} \right.$

Ответ

$x \in [0; 3)\cup(3; 4)$

Пример 5

Задача

Найти область определения выражения:

$\log_{3}(0,64^{2 - \log_{\sqrt{2}}x} - 1,25^{8 - (\log_{2}x)^{2}})$

Решение

$0,64^{2 - \log_{\sqrt{2}}x} - 1,25^{8 - (\log_{2}x)^{2}} > 0$

$0,64^{2 - \log_{\sqrt{2}}x} > 1,25^{8 - (\log_{2}x)^{2}}$

$(\frac{4}{5})^{4 - 2\log_{\sqrt{2}}x} > (\frac{4}{5})^{\log_{2}x)^{2} - 8}$

$4 - 2\log_{\sqrt{2}}x > \log^{2}_{2}x - 8$

Перейдём к логарифму по основанию 2:

$\log^{2}_{2}x + 4\log_{2}x - 12 > 0$

$\left[ \begin{array}{ccc} \log_{2}x > 2, \\ \log_{2}x < -6; \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\ 0 < x < \frac{1}{64}; \end{array}\right.$

Ответ

$x \in (0; \frac{1}{64})\cup(4; +\infty)$

Пример 6

Задача

Найти область определения выражения:

$\sqrt{\log_{\frac{1}{3}}\log_{3}|x - 3|}$

Решение

$\log_{\frac{1}{3}}\log_{3}|x - 3| \geq 0$

$0 < \log_{3}|x - 3| \leq -1$

$1 < |x - 3| \leq 3$

$\left\{ \begin{array}{ll} |x - 3| \leq 3, \\ |x - 3| > 1; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} -3 \leq x - 3 \leq 3, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x - 3 > 1, \\ x - 3 < -1; \end{array}\right. \end{array}\right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} 0 \leq x \leq 6, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\ x < 2; \end{array}\right. \end{array}\right.$

Ответ

$x \in [0; 2)\cup(4; 6)$

Пример 7

Задача

Найти область определения выражения:

$\sqrt{\log^{2}_{\frac{1}{2}}(x - 3) - 1}$

Решение

$\left[ \begin{array}{ccc} \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \geq 1, \\ \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \leq -1; \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} 0 < x - 3 \geq \frac{1}{2}, \\ x - 3 \geq 2; \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} 3 < x \leq \frac{7}{2}, \\ x \geq 5; \end{array}\right.$

Ответ

$x \in \left(3; \frac{7}{2}\right]\cup[5; +\infty)$

Пример 8

Задача

Найти область определения выражения:

$\sqrt[4]{2 - \lg|x - 2|}$

Решение

$2 - \lg|x - 2| \geq 0$

$\lg|x - 2| \geq 2$

$0 < |x - 2| \leq 100$

$\left\{ \begin{array}{ll} |x - 2| \leq 100, \\ |x - 2| > 0; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} -100 \leq x - 2 \leq 100, \\ x - 2 \neq 0; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} -98 \leq x - 2 \leq 102, \\ x - 2 \neq 0; \end{array} \right.$

Ответ

$x \in [-98; 2)\cup(2; 102]$

Пример 9

Задача

Найти область определения выражения:

$\log_{3}(2^{\log_{x - 3}0,5} - 1) + \frac{1}{\log_{3}(2x - 6)}$

Решение

$\left\{ \begin{array}{ll} 2^{\log_{x - 3}0,5} - 1 > 0, \\ \log_{3}(2x - 6) \neq 0, \\ 2x - 6 > 0; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} 2^{\log_{x - 3}0,5} > 1, \\ 2x - 6 \neq 1, \\ 2x - 6 > 0; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} \log_{x - 3}0,5 > 0, \\ 2x \neq 7, \\ 2x > 6; \end{array} \right.$

Получаем два случая.

Первый случай:

$\left\{ \begin{array}{ll} 0 < x - 3 < 1, \\ 0,5 < 1, \\ x \neq \frac{7}{2}, \\ x > 3; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} 3 < x < 4, \\ x \neq \frac{7}{2}; \end{array} \right.$

$x \in \left(3; \frac{7}{2}\right)\cup\left(\frac{7}{2}; 4\right)$

Второй случай:

$\left\{ \begin{array}{ll} x - 3 > 1, \\ 0,5 > 1, \\ x \neq \frac{7}{2}, \\ x > 3; \end{array} \right.$

Данная система неравенств не имеет решений

Ответ

$x \in \left(3; \frac{7}{2}\right)\cup\left(\frac{7}{2}; 4\right)$

Пример 10

Задача

Решить неравенство:

$\log_{|x - 1|}0,5 > 0,5$

Решение

Получаем два случая.

Первый случай:

$\left\{ \begin{array}{ll} 0 < |x - 1| < 1, \\ 0,5 < \sqrt{|x - 1|}; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} 0,25 < |x - 1| < 1, \\ x \neq 1; \end{array} \right.$

Второй случай:

$\left\{ \begin{array}{ll} |x - 1| > 1, \\ 0,5 > \sqrt{|x - 1|}; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} |x - 1| > 1, \\ |x - 1| < 0,25; \end{array} \right.$

Данная система неравенств не имеет решений

Из первой системы неравенств получаем:

$\left\{ \begin{array}{ll} 0 < x < 2, \\ x \neq 1, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > 1,25, \\ x < 0,75; \end{array}\right. \end{array}\right.$

$x \in (0; 0,75)\cup(1,25; 2)$

Ответ

$x \in (0; 0,75)\cup(1,25; 2)$