Алгоритм решения логарифмических неравенств
При решении логарифмических неравенств используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования и определённые правила.
Для любого положительного числа $b$ существует единственное число $\alpha$, такое, что $\log_{a}и = \alpha$
Если $\log_{a}x_{1} = \log_{a}x_{2}$, то $x_{1} = x_{2}$
Если $a > 0,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$, то неравенство $$\log_{a}f_{1}x < \log_{a}f_{2}x$$ равносильно неравенству $$f_{1}(x) < f_{2}(x)$$
Если $a > 0,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$, то неравенство $$\log_{a}f_{1}x > \log_{a}f_{2}x$$ равносильно неравенству $$f_{1}(x) > f_{2}(x)$$
Если $0 < a > 1,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$, то неравенство $$\log_{a}f_{1}x < \log_{a}f_{2}x$$ равносильно неравенству $$f_{1}(x) > f_{2}(x)$$
Если $0 < a > 1,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0$, то неравенство $$\log_{a}f_{1}x > \log_{a}f_{2}x$$ равносильно неравенству $$f_{1}(x) < f_{2}(x)$$
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Примеры решений логарифмических неравенств
Задача
Найти область определения функции: $$f(x) = \sqrt{\log_{0,5}(x^{2} – 9) + 4}$$
Решение
Для нахождения области определения функции, нужно решить следующее неравенство:
$$\log_{0,5}(x^{2} – 9) + 4 \geq 0$$
$$\log_{0,5}(x^{2} – 9) \geq -4$$
$$0 < x^{2} – 9 \leq 16$$
$$9 < x^{2} \leq 25$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x^{2} \leq 25, \\
x^{2} > 9;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
-5 \leq x \leq 5, \\
\left[ \begin{array}{ccc}
x > 3, \\
x < -3;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$
Ответ
$x \in [-5; -3)\cup(3; 5])$
Задача
Найти область определения выражения: $$\log_{3}(1 – \log_{0,5}(x^{2} – 2x – 2,5))$$
Решение
Для нахождения области определения функции, нужно решить следующее неравенство:
$$1 – \log_{0,5}(x^{2} – 2x – 2,5) > 0$$
$$\log_{0,5}(x^{2} – 2x – 2,5) < -1$$
$$x^{2} – 2x – 2,5 > 0,5$$
$$x^{2} – 2x – 3 > 0$$
$$(x + 1)(x – 3) > 0$$
$x \in (-\infty; -1)\cup(3; +\infty)$
Ответ
$x \in (-\infty; -1)\cup(3; +\infty)$
Задача
При каких целых $x$ верно неравенство: $$\log_{4}x + \log_{2}(\sqrt{x} – 1) < \log_{2}\log_{5}\sqrt{5}$$
Решение
Перейдём к логарифму по основанию 2:
$$\frac{1}{2}\log_{2}x + \log_{2}(\sqrt{x} – 1) < \log_{2}2$$
$$\log_{2}\sqrt{x} + \log_{2}(\sqrt{x} – 1) < 1$$
$$\log_{2}(\sqrt{x}(\sqrt{x} – 1)) < 1$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
\sqrt{x}(\sqrt{x} – 1) < 2, \\ x > 0, \\
\sqrt{x – 1} > 0;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
(\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} – 2 < 0, \\ x > 0, \\
\sqrt{x} > 1;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
-1 < \sqrt{x} < 2, \\ x > 1;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 \leq x < 4, \\ x > 1;
\end{array} \right.$$
$$1 < x < 4$$
Интервал $$1 < x < 4$$ включает два целых числа: $x_{1} = 2,\ x_{2} = 3$
Ответ
$x_{1} = 2,\ x_{2} = 3$
Задача
Найти область определения выражения: $$\frac{\sqrt{4x – x^{2}}}{\log_{3}|x – 4|}$$
Решение
$$\left\{ \begin{array}{ll}
4x – x^{2} \geq 0, \\
\log_{3}|x – 4| \neq 0; \\
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x(x – 4) \leq 0, \\
|x – 4| \neq 1, \\
x – 4 \neq 0; \\
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 \leq x \leq 4, \\
x \neq 3, \\
x \neq 5, \\
x \neq 4;
\end{array} \right.$$
Ответ
$x \in [0; 3)\cup(3; 4)$
Задача
Найти область определения выражения: $$\log_{3}(0,64^{2 – \log_{\sqrt{2}}x} – 1,25^{8 – (\log_{2}x)^{2}})$$
Решение
$$0,64^{2 – \log_{\sqrt{2}}x} – 1,25^{8 – (\log_{2}x)^{2}} > 0$$
$$0,64^{2 – \log_{\sqrt{2}}x} > 1,25^{8 – (\log_{2}x)^{2}}$$
$$(\frac{4}{5})^{4 – 2\log_{\sqrt{2}}x} > (\frac{4}{5})^{\log_{2}x)^{2} – 8}$$
$$4 – 2\log_{\sqrt{2}}x > \log^{2}_{2}x – 8$$
Перейдём к логарифму по основанию 2:
$$\log^{2}_{2}x + 4\log_{2}x – 12 > 0$$
$$\left[ \begin{array}{ccc}
\log_{2}x > 2, \\
\log_{2}x < -6; \end{array}\right.$$ $$\left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\
0 < x < \frac{1}{64};
\end{array}\right.$$
Ответ
$x \in (0; \frac{1}{64})\cup(4; +\infty)$
Задача
Найти область определения выражения: $$\sqrt{\log_{\frac{1}{3}}\log_{3}|x – 3|}$$
Решение
$$\log_{\frac{1}{3}}\log_{3}|x – 3| \geq 0$$
$$0 < \log_{3}|x – 3| \leq -1$$
$$1 < |x – 3| \leq 3$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
|x – 3| \leq 3, \\
|x – 3| > 1;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
-3 \leq x – 3 \leq 3, \\
\left[ \begin{array}{ccc}
x – 3 > 1, \\
x – 3 < -1;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 \leq x \leq 6, \\
\left[ \begin{array}{ccc}
x > 4, \\
x < 2;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$
Ответ
$x \in [0; 2)\cup(4; 6)$
Задача
Найти область определения выражения: $$\sqrt{\log^{2}_{\frac{1}{2}}(x – 3) – 1}$$
Решение
$$\left[ \begin{array}{ccc}
\log_{\frac{1}{2}}(x – 3) \geq 1, \\
\log_{\frac{1}{2}}(x – 3) \leq -1;
\end{array}\right.$$
$$\left[ \begin{array}{ccc}
0 < x – 3 \geq \frac{1}{2}, \\
x – 3 \geq 2;
\end{array}\right.$$
$$\left[ \begin{array}{ccc}
3 < x \leq \frac{7}{2}, \\
x \geq 5;
\end{array}\right.$$
Ответ
$x \in \left(3; \frac{7}{2}\right]\cup[5; +\infty)$
Задача
Найти область определения выражения: $$\sqrt[4]{2 – \lg|x – 2|}$$
Решение
$$2 – \lg|x – 2| \geq 0$$
$$\lg|x – 2| \geq 2$$
$$0 < |x – 2| \leq 100$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
|x – 2| \leq 100, \\
|x – 2| > 0;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
-100 \leq x – 2 \leq 100, \\
x – 2 \neq 0;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
-98 \leq x – 2 \leq 102, \\
x – 2 \neq 0;
\end{array} \right.$$
Ответ
$x \in [-98; 2)\cup(2; 102]$
Задача
Найти область определения выражения: $$\log_{3}(2^{\log_{x – 3}0,5} – 1) + \frac{1}{\log_{3}(2x – 6)}$$
Решение
$$\left\{ \begin{array}{ll}
2^{\log_{x – 3}0,5} – 1 > 0, \\
\log_{3}(2x – 6) \neq 0, \\
2x – 6 > 0;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
2^{\log_{x – 3}0,5} > 1, \\
2x – 6 \neq 1, \\
2x – 6 > 0;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
\log_{x – 3}0,5 > 0, \\
2x \neq 7, \\
2x > 6;
\end{array} \right.$$
Получаем два случая.
Первый случай:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 < x – 3 < 1, \\
0,5 < 1, \\ x \neq \frac{7}{2}, \\ x > 3;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
3 < x < 4, \\
x \neq \frac{7}{2};
\end{array} \right.$$
$x \in \left(3; \frac{7}{2}\right)\cup\left(\frac{7}{2}; 4\right)$
Второй случай:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x – 3 > 1, \\
0,5 > 1, \\
x \neq \frac{7}{2}, \\
x > 3;
\end{array} \right.$$
Данная система неравенств не имеет решений
Ответ
$x \in \left(3; \frac{7}{2}\right)\cup\left(\frac{7}{2}; 4\right)$
Задача
Решить неравенство: $$\log_{|x – 1|}0,5 > 0,5$$
Решение
Получаем два случая.
Первый случай:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 < |x – 1| < 1, \\
0,5 < \sqrt{|x – 1|};
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
0,25 < |x – 1| < 1, \\
x \neq 1;
\end{array} \right.$$
Второй случай:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
|x – 1| > 1, \\
0,5 > \sqrt{|x – 1|};
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
|x – 1| > 1, \\
|x – 1| < 0,25;
\end{array} \right.$$
Данная система неравенств не имеет решений
Из первой системы неравенств получаем:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 < x < 2, \\ x \neq 1, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > 1,25, \\
x < 0,75;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$
$x \in (0; 0,75)\cup(1,25; 2)$
Ответ
$x \in (0; 0,75)\cup(1,25; 2)$