Алгоритм решения логарифмических неравенств

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Логарифмическое неравенства – это неравенства, содержащее неизвестные только под знаком логарифма.

При решении логарифмических неравенств используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования и определённые правила.

Для любого положительного числа b существует единственное число \alpha, такое, что \log_{a}и = \alpha

Если \log_{a}x_{1} = \log_{a}x_{2}, то x_{1} = x_{2}

Правила решения логарифмических неравенств

Если a > 0,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0, то неравенство

    \[\log_{a}f_{1}x < \log_{a}f_{2}x\]

равносильно неравенству

    \[f_{1}(x) < f_{2}(x)\]

Если a > 0,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0, то неравенство

    \[\log_{a}f_{1}x > \log_{a}f_{2}x\]

равносильно неравенству

    \[f_{1}(x) > f_{2}(x)\]

Если 0 < a > 1,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0, то неравенство

    \[\log_{a}f_{1}x < \log_{a}f_{2}x\]

равносильно неравенству

    \[f_{1}(x) > f_{2}(x)\]

Если 0 < a > 1,\ f_{1}(x) > 0,\ f_{2}(x) > 0, то неравенство

    \[\log_{a}f_{1}x > \log_{a}f_{2}x\]

равносильно неравенству

    \[f_{1}(x) < f_{2}(x)\]

Примеры решений логарифмических неравенств

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Пример 1

Задача

Найти область определения функции:

    \[f(x) = \sqrt{\log_{0,5}(x^{2} - 9) + 4}\]

Решение

Для нахождения области определения функции, нужно решить следующее неравенство:

    \[\log_{0,5}(x^{2} - 9) + 4 \geq 0\]

    \[\log_{0,5}(x^{2} - 9) \geq -4\]

    \[0 < x^{2} - 9 \leq 16\]

    \[9 < x^{2} \leq 25\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} \leq 25, \\ x^{2} > 9; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -5 \leq x \leq 5, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > 3, \\ x < -3; \end{array}\right. \end{array}\right.\]

Ответ

x \in [-5; -3)\cup(3; 5])

Пример 2

Задача

Найти область определения выражения:

    \[\log_{3}(1 - \log_{0,5}(x^{2} - 2x - 2,5))\]

Решение

Для нахождения области определения функции, нужно решить следующее неравенство:

    \[1 - \log_{0,5}(x^{2} - 2x - 2,5) > 0\]

    \[\log_{0,5}(x^{2} - 2x - 2,5) < -1\]

    \[x^{2} - 2x - 2,5 > 0,5\]

    \[x^{2} - 2x - 3 > 0\]

    \[(x + 1)(x - 3) > 0\]

x \in (-\infty; -1)\cup(3; +\infty)

Ответ

x \in (-\infty; -1)\cup(3; +\infty)

Пример 3

Задача

При каких целых x верно неравенство:

    \[\log_{4}x + \log_{2}(\sqrt{x} - 1) < \log_{2}\log_{5}\sqrt{5}\]

Решение

Перейдём к логарифму по основанию 2:

    \[\frac{1}{2}\log_{2}x + \log_{2}(\sqrt{x} - 1) < \log_{2}2\]

    \[\log_{2}\sqrt{x} + \log_{2}(\sqrt{x} - 1) < 1\]

    \[\log_{2}(\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)) < 1\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) < 2, \\ x > 0, \\ \sqrt{x - 1} > 0; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} (\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} - 2 < 0, \\ x > 0, \\ \sqrt{x} > 1; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -1 < \sqrt{x} < 2, \\ x > 1; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0 \leq x < 4, \\ x > 1; \end{array} \right.\]

    \[1 < x < 4\]

Интервал

    \[1 < x < 4\]

включает два целых числа: x_{1} = 2,\ x_{2} = 3

Ответ

x_{1} = 2,\ x_{2} = 3

Пример 4

Задача

Найти область определения выражения:

    \[\frac{\sqrt{4x - x^{2}}}{\log_{3}|x - 4|}\]

Решение

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 4x - x^{2} \geq 0, \\ \log_{3}|x - 4| \neq 0; \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x(x - 4) \leq 0, \\ |x - 4| \neq 1, \\ x - 4 \neq 0; \\ \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0 \leq x \leq 4, \\ x \neq 3, \\ x \neq 5, \\ x \neq 4; \end{array} \right.\]

Ответ

x \in [0; 3)\cup(3; 4)

Пример 5

Задача

Найти область определения выражения:

    \[\log_{3}(0,64^{2 - \log_{\sqrt{2}}x} - 1,25^{8 - (\log_{2}x)^{2}})\]

Решение

    \[0,64^{2 - \log_{\sqrt{2}}x} - 1,25^{8 - (\log_{2}x)^{2}} > 0\]

    \[0,64^{2 - \log_{\sqrt{2}}x} > 1,25^{8 - (\log_{2}x)^{2}}\]

    \[(\frac{4}{5})^{4 - 2\log_{\sqrt{2}}x} > (\frac{4}{5})^{\log_{2}x)^{2} - 8}\]

    \[4 - 2\log_{\sqrt{2}}x > \log^{2}_{2}x - 8\]

Перейдём к логарифму по основанию 2:

    \[\log^{2}_{2}x + 4\log_{2}x - 12 > 0\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \log_{2}x > 2, \\ \log_{2}x < -6; \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\ 0 < x < \frac{1}{64}; \end{array}\right.\]

Ответ

x \in (0; \frac{1}{64})\cup(4; +\infty)

Пример 6

Задача

Найти область определения выражения:

    \[\sqrt{\log_{\frac{1}{3}}\log_{3}|x - 3|}\]

Решение

    \[\log_{\frac{1}{3}}\log_{3}|x - 3| \geq 0\]

    \[0 < \log_{3}|x - 3| \leq -1\]

    \[1 < |x - 3| \leq 3\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} |x - 3| \leq 3, \\ |x - 3| > 1; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -3 \leq x - 3 \leq 3, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x - 3 > 1, \\ x - 3 < -1; \end{array}\right. \end{array}\right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0 \leq x \leq 6, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\ x < 2; \end{array}\right. \end{array}\right.\]

Ответ

x \in [0; 2)\cup(4; 6)

Пример 7

Задача

Найти область определения выражения:

    \[\sqrt{\log^{2}_{\frac{1}{2}}(x - 3) - 1}\]

Решение

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \geq 1, \\ \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \leq -1; \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} 0 < x - 3 \geq \frac{1}{2}, \\ x - 3 \geq 2; \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} 3 < x \leq \frac{7}{2}, \\ x \geq 5; \end{array}\right.\]

Ответ

x \in \left(3; \frac{7}{2}\right]\cup[5; +\infty)

Пример 8

Задача

Найти область определения выражения:

    \[\sqrt[4]{2 - \lg|x - 2|}\]

Решение

    \[2 - \lg|x - 2| \geq 0\]

    \[\lg|x - 2| \geq 2\]

    \[0 < |x - 2| \leq 100\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} |x - 2| \leq 100, \\ |x - 2| > 0; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -100 \leq x - 2 \leq 100, \\ x - 2 \neq 0; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -98 \leq x - 2 \leq 102, \\ x - 2 \neq 0; \end{array} \right.\]

Ответ

x \in [-98; 2)\cup(2; 102]

Пример 9

Задача

Найти область определения выражения:

    \[\log_{3}(2^{\log_{x - 3}0,5} - 1) + \frac{1}{\log_{3}(2x - 6)}\]

Решение

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 2^{\log_{x - 3}0,5} - 1 > 0, \\ \log_{3}(2x - 6) \neq 0, \\ 2x - 6 > 0; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 2^{\log_{x - 3}0,5} > 1, \\ 2x - 6 \neq 1, \\ 2x - 6 > 0; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} \log_{x - 3}0,5 > 0, \\ 2x \neq 7, \\ 2x > 6; \end{array} \right.\]

Получаем два случая.

Первый случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0 < x - 3 < 1, \\ 0,5 < 1, \\ x \neq \frac{7}{2}, \\ x > 3; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 3 < x < 4, \\ x \neq \frac{7}{2}; \end{array} \right.\]

x \in \left(3; \frac{7}{2}\right)\cup\left(\frac{7}{2}; 4\right)

Второй случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x - 3 > 1, \\ 0,5 > 1, \\ x \neq \frac{7}{2}, \\ x > 3; \end{array} \right.\]

Данная система неравенств не имеет решений

Ответ

x \in \left(3; \frac{7}{2}\right)\cup\left(\frac{7}{2}; 4\right)

Пример 10

Задача

Решить неравенство:

    \[\log_{|x - 1|}0,5 > 0,5\]

Решение

Получаем два случая.

Первый случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0 < |x - 1| < 1, \\ 0,5 < \sqrt{|x - 1|}; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0,25 < |x - 1| < 1, \\ x \neq 1; \end{array} \right.\]

Второй случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} |x - 1| > 1, \\ 0,5 > \sqrt{|x - 1|}; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} |x - 1| > 1, \\ |x - 1| < 0,25; \end{array} \right.\]

Данная система неравенств не имеет решений

Из первой системы неравенств получаем:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0 < x < 2, \\ x \neq 1, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > 1,25, \\ x < 0,75; \end{array}\right. \end{array}\right.\]

x \in (0; 0,75)\cup(1,25; 2)

Ответ

x \in (0; 0,75)\cup(1,25; 2)

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1435

Помощь в написании работы

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также