Алгоритм решения логарифмических уравнений
При решении логарифмических уравнений используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования.
Для любого положительного числа $b$ существует единственное число $\alpha$, такое, что $\log_{a}и = \alpha$
Если $\log_{a}x_{1} = \log_{a}x_{2}$, то $x_{1} = x_{2}$
$$\log_{a}bc = \log_{a}b + \log_{a}c$$
$$\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b – \log_{a}c$$
$$\log_{a}b^{c} = c\log_{a}b$$
Формулы перехода от одного основания к другому.
$$\log_{a}N = \frac{\log_{b}N}{\log_{b}a}$$
$$\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}$$
$$\log_{a^{k}}N \equiv \frac{1}{k}\log_{|a|}N,\ (a^{k} > 0)$$
$$\log_{a\cdot b}N \equiv \frac{\log_{|a|}N}{1 + \log_{|a|}|b|},\ (ab > 0)$$
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Примеры решений логарифмических уравнений
Задача
Решить уравнение: $$\sqrt{\log_{x}\sqrt{5x}} = -\log_{x}5$$
Решение
Найдём область допустимых значений:
$\left\{ \begin{array}{ll}
\log_{x}\sqrt{5x} \geq 0, \\
-\log_{x}5x \geq 0, \\
0 < x \neq 0;
\end{array} \right.$ или $0 < x \leq \frac{1}{5}$
Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим:
$$\log_{x}\sqrt{5x} = \log^{2}_{x}5$$
$$2\log^{2}_{x}5 -\log_{x}5 – 1 = 0$$
$$\log_{x}5 = -\frac{1}{2},\ x_{1} = \frac{1}{25}$$
или
$$\log_{x}5 = 1,\ x_{2} = 5$$
Корень $x_{2} = 5$ не подходит по ОДЗ
Ответ
$x = \frac{1}{25}$
Задача
Решить уравнение: $$\log_{4x + 1}7 + \log_{9x}7 = 0$$
Решение
Найдём область допустимых значений:
$\left\{ \begin{array}{ll}
0 < 4x + 1 \neq 1, \\
0 < 9x \neq 1;
\end{array} \right.$ или $0 < x \neq \frac{1}{9}$
Перейдём к логарифмам по основанию 7:
$$\frac{1}{\log_{7}(4x + 1)} + \frac{1}{\log_{7}9x} = 0$$
$$\log_{7}9x = -\log_{7}(4x + 1)$$
$$9x = \frac{1}{4x + 1}$$
$$36x^{2} + 9x – 1 = 0$$
$$x_{1} = \frac{1}{12},\ x_{2} = -\frac{1}{3}$$
$x_{2} = -\frac{1}{3}$ не подходит по ОДЗ
Ответ
$x = \frac{1}{12}$
Задача
Решить уравнение: $$\sqrt{2\log_{8}(-x)} – \log_{8}\sqrt{x^{2}} = 0$$
Решение
Найдём область допустимых значений:
$\left\{ \begin{array}{ll}
-x > 0, \\
x^{2} > 0;
\end{array} \right.$ или $x < 0$
$$\sqrt{\log_{8}(-x)}(\sqrt{2} – \sqrt{\log_{8}(-x)}) = 0$$
$$\log_{8}(-x) = 0,\ x_{1} = -1$$
$$\sqrt{2} – \sqrt{\log_{8}(-x)} = 0$$
$$\sqrt{2} = \sqrt{\log_{8}(-x)}$$
$$2 = \log_{8}(-x),\ x_{2} = -64$$
Ответ
$x_{1} = -1,\ x_{2} = -64$
Задача
Решить уравнение: $$2\lg x^{2} – (\lg(-x))^{2} = 4$$
Решение
Найдём область допустимых значений:
$x < 0$
$$4\lg(-x) – \lg^{2}(-x) – 4 = 0$$
$$\lg^{2}(-x) – 4\lg(-x) + 4 = 0$$
$$(\lg(-x) – 2)^{2} = 0$$
$$(\lg(-x) = 2,\ x = 100$$
Ответ
$x = 100$
Задача
Решить уравнение: $$3^{\log^{2}_{3}x} + x^{\log_{3}x} = 162$$
Решение
Найдём область допустимых значений:
$0 < x \neq 1$
$$(3^{\log_{3}x})^{\log_{3}x} + x^{\log_{3}x} = 162$$
$$x^{\log_{3}x} + x^{\log_{3}x} = 162$$
$$x^{\log_{3}x} = 81$$
$$\log^{2}_{3}x = 4$$
Отсюда:
$$\log_{3}x = -2,\ x_{1} = \frac{1}{9},\ \log_{3}x = 2,\ x_{2} = 9$$
Ответ
$$x_{1} = \frac{1}{9},\ x_{2} = 9$$
Задача
Решить уравнение: $$\frac{\log_{2}(9 – 2^{x})}{3 – x} = 1$$
Решение
Найдём область допустимых значений:
$\left\{ \begin{array}{ll}
9 – 2^{x} > 0, \\
3 – x \neq 0;
\end{array} \right.$ или $3 \neq x < \log_{2}9$
$$\log_{2}(9 – 2^{x}) = 3 – x$$
$$9 – 2^{x} = 2^{3 – x}$$
$$2^{2x} -9\cdot2^{x} + 8 = 0$$
$$2^{x} = 1,\ x_{1} = 0$$
$$2^{x} = 8,\ x_{2} = 3$$
$x_{2} = 3$ не подходит по ОДЗ
Ответ
$$x = 0$$
Задача
Решить уравнение: $$\log_{5}x + \log_{25}x = \log_{\frac{1}{5}}\sqrt{3}$$
Решение
Найдём область допустимых значений:
$x > 0$
Перейдём к логарифму по основанию 5:
$$\log_{5}x + \frac{1}{2}\log_{5}x = -\frac{1}{2}\log_{5}3$$
$$2\log_{5}x + \log_{5}x = \log_{5}\frac{1}{3}$$
$$\log_{5}x^{3} = \log_{5}\frac{1}{3}$$
$$x^{3} = \frac{1}{3},\ x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$$
Ответ
$$x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$$
Задача
Решить уравнение: $$\log_{a^{2}}x^{3} + \log_{a}(x – 1) = \log_{a}\log_{\sqrt{5}}5$$
Решение
Найдём область допустимых значений:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x > 1, \\
0 < a \neq 1;
\end{array} \right.$$
$$\log_{a}x + \log_{a}(x – 1) = \log_{a}2$$
$$\log_{a}x(x – 1) = \log_{a}2$$
$$x^{2} – x – 2 = 0,\ x_{1} = 2,\ x_{2} = -1$$
$x_{2} = -1$ не подходит по ОДЗ
Ответ
$$x = 2$$
Задача
Решить уравнение: $$x^{2\lg^{2} x} = 10x^{3}$$
Решение
Найдём область допустимых значений:
$$0 < x \neq 1$$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
$$\lg x^{2\lg^{2} x} = \lg 10x^{3}$$
$$2\lg^{3}x = 1 + 3\lg x$$
$$2\lg^{3}x – 3\lg x – 1 = 0$$
$$2\lg^{3}x + 2 – 3\lg x – 3 = 0$$
$$2(\lg x + 1)(\lg^{2}x – \lg x + 1) – 3(\lg x + 1) = 0$$
$$(\lg x + 1)(2\lg^{2}x – 2\lg x – 1) = 0$$
$$(\lg x + 1) = 0,\ \lg x = -1,\ x_{1} = \frac{1}{10}$$
$$(2\lg^{2}x – 2\lg x – 1) = 0,\ \lg x = -1,\ x_{1} = \frac{1}{10}$$
$$\lg x = \frac{1 – \sqrt{3}}{2},\ x_{2} = 10^{\frac{1 – \sqrt{3}}{2}}$$
$$\lg x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2},\ x_{3} = 10^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}$$
Ответ
$$x_{1} = \frac{1}{10},\ x_{2} = 10^{\frac{1 – \sqrt{3}}{2}},\ x_{3} = 10^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}$$
Задача
Решить уравнение: $$\log_{a}x + \log_{a^{2}}x + \log_{a^{3}}x = 11$$
Решение
Найдём область допустимых значений:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x > 0, \\
0 < a \neq 1;
\end{array} \right.$$
Перейдём к основанию a:
$$\log_{a}x + \frac{1}{2}\log_{a}x + \frac{1}{3}\log_{a}x = 11$$
$$\log_{a}x = 6$$
$$x = a^{6}$$
Ответ
$$x = a^{6},\ (0 < a \neq 1)$$