Алгоритм решения логарифмических уравнений

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Логарифмическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестные только под знаком логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования.

Для любого положительного числа b существует единственное число \alpha, такое, что \log_{a}и = \alpha

Если \log_{a}x_{1} = \log_{a}x_{2}, то x_{1} = x_{2}

Основные правила логарифмирования

    \[\log_{a}bc = \log_{a}b + \log_{a}c\]

    \[\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b - \log_{a}c\]

    \[\log_{a}b^{c} = c\log_{a}b\]

Формулы перехода от одного основания к другому.

    \[\log_{a}N = \frac{\log_{b}N}{\log_{b}a}\]

    \[\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}\]

    \[\log_{a^{k}}N \equiv \frac{1}{k}\log_{|a|}N,\ (a^{k} > 0)\]

    \[\log_{a\cdot b}N \equiv \frac{\log_{|a|}N}{1 + \log_{|a|}|b|},\ (ab > 0)\]

Примеры решений логарифмических уравнений

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

    \[\sqrt{\log_{x}\sqrt{5x}} = -\log_{x}5\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\left\{ \begin{array}{ll} \log_{x}\sqrt{5x} \geq 0, \\ -\log_{x}5x \geq 0, \\ 0 < x \neq 0; \end{array} \right. или 0 < x \leq \frac{1}{5}

Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим:

    \[\log_{x}\sqrt{5x} = \log^{2}_{x}5\]

    \[2\log^{2}_{x}5 -\log_{x}5 - 1 = 0\]

    \[\log_{x}5 = -\frac{1}{2},\ x_{1} = \frac{1}{25}\]

или

    \[\log_{x}5 = 1,\ x_{2} = 5\]

Корень x_{2} = 5 не подходит по ОДЗ

Ответ

x = \frac{1}{25}

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

    \[\log_{4x + 1}7 + \log_{9x}7 = 0\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\left\{ \begin{array}{ll} 0 < 4x + 1 \neq 1, \\ 0 < 9x \neq 1; \end{array} \right. или 0 < x \neq \frac{1}{9}

Перейдём к логарифмам по основанию 7:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\frac{1}{\log_{7}(4x + 1)} + \frac{1}{\log_{7}9x} = 0\]

    \[\log_{7}9x = -\log_{7}(4x + 1)\]

    \[9x = \frac{1}{4x + 1}\]

    \[36x^{2} + 9x - 1 = 0\]

    \[x_{1} = \frac{1}{12},\ x_{2} = -\frac{1}{3}\]

x_{2} = -\frac{1}{3} не подходит по ОДЗ

Ответ

x = \frac{1}{12}

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

    \[\sqrt{2\log_{8}(-x)} - \log_{8}\sqrt{x^{2}} = 0\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\left\{ \begin{array}{ll} -x > 0, \\ x^{2} > 0; \end{array} \right. или x < 0

    \[\sqrt{\log_{8}(-x)}(\sqrt{2} - \sqrt{\log_{8}(-x)}) = 0\]

    \[\log_{8}(-x) = 0,\ x_{1} = -1\]

    \[\sqrt{2} - \sqrt{\log_{8}(-x)} = 0\]

    \[\sqrt{2} = \sqrt{\log_{8}(-x)}\]

    \[2 = \log_{8}(-x),\ x_{2} = -64\]

Ответ

x_{1} = -1,\ x_{2} = -64

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

    \[2\lg x^{2} - (\lg(-x))^{2} = 4\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

x < 0

    \[4\lg(-x) - \lg^{2}(-x) - 4 = 0\]

    \[\lg^{2}(-x) - 4\lg(-x) + 4 = 0\]

    \[(\lg(-x) - 2)^{2} = 0\]

    \[(\lg(-x) = 2,\ x = 100\]

Ответ

x = 100

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

    \[3^{\log^{2}_{3}x} + x^{\log_{3}x} = 162\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

0 < x \neq 1

    \[(3^{\log_{3}x})^{\log_{3}x} + x^{\log_{3}x} = 162\]

    \[x^{\log_{3}x} + x^{\log_{3}x} = 162\]

    \[x^{\log_{3}x} = 81\]

    \[\log^{2}_{3}x = 4\]

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Отсюда:

    \[\log_{3}x = -2,\ x_{1} = \frac{1}{9},\ \log_{3}x = 2,\ x_{2} = 9\]

Ответ

    \[x_{1} = \frac{1}{9},\ x_{2} = 9\]

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{\log_{2}(9 - 2^{x})}{3 - x} = 1\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\left\{ \begin{array}{ll} 9 - 2^{x} > 0, \\ 3 - x \neq 0; \end{array} \right. или 3 \neq x < \log_{2}9

    \[\log_{2}(9 - 2^{x}) = 3 - x\]

    \[9 - 2^{x} = 2^{3 - x}\]

    \[2^{2x} -9\cdot2^{x} + 8 = 0\]

    \[2^{x} = 1,\ x_{1} = 0\]

    \[2^{x} = 8,\ x_{2} = 3\]

x_{2} = 3 не подходит по ОДЗ

Ответ

    \[x = 0\]

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

    \[\log_{5}x + \log_{25}x = \log_{\frac{1}{5}}\sqrt{3}\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

x > 0

Перейдём к логарифму по основанию 5:

    \[\log_{5}x + \frac{1}{2}\log_{5}x = -\frac{1}{2}\log_{5}3\]

    \[2\log_{5}x + \log_{5}x = \log_{5}\frac{1}{3}\]

    \[\log_{5}x^{3} = \log_{5}\frac{1}{3}\]

    \[x^{3} = \frac{1}{3},\ x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\]

Ответ

    \[x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\]

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

    \[\log_{a^{2}}x^{3} + \log_{a}(x - 1) = \log_{a}\log_{\sqrt{5}}5\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x > 1, \\ 0 < a \neq 1; \end{array} \right.\]

    \[\log_{a}x + \log_{a}(x - 1) = \log_{a}2\]

    \[\log_{a}x(x - 1) = \log_{a}2\]

    \[x^{2} - x - 2 = 0,\ x_{1} = 2,\ x_{2} = -1\]

x_{2} = -1 не подходит по ОДЗ

Ответ

    \[x = 2\]

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

    \[x^{2\lg^{2} x} = 10x^{3}\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

    \[0 < x \neq 1\]

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

    \[\lg x^{2\lg^{2} x} = \lg 10x^{3}\]

    \[2\lg^{3}x = 1 + 3\lg x\]

    \[2\lg^{3}x - 3\lg x - 1 = 0\]

    \[2\lg^{3}x + 2 - 3\lg x - 3 = 0\]

    \[2(\lg x + 1)(\lg^{2}x - \lg x + 1) - 3(\lg x + 1) = 0\]

    \[(\lg x + 1)(2\lg^{2}x - 2\lg x - 1) = 0\]

    \[(\lg x + 1) = 0,\ \lg x = -1,\ x_{1} = \frac{1}{10}\]

    \[(2\lg^{2}x - 2\lg x - 1) = 0,\ \lg x = -1,\ x_{1} = \frac{1}{10}\]

    \[\lg x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2},\ x_{2} = 10^{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}\]

    \[\lg x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2},\ x_{3} = 10^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}\]

Ответ

    \[x_{1} = \frac{1}{10},\ x_{2} = 10^{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}},\ x_{3} = 10^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}\]

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

    \[\log_{a}x + \log_{a^{2}}x + \log_{a^{3}}x = 11\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x > 0, \\ 0 < a \neq 1; \end{array} \right.\]

Перейдём к основанию a:

    \[\log_{a}x + \frac{1}{2}\log_{a}x + \frac{1}{3}\log_{a}x = 11\]

    \[\log_{a}x = 6\]

    \[x = a^{6}\]

Ответ

    \[x = a^{6},\ (0 < a \neq 1)\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

828

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также