Алгоритм решения логарифмических уравнений

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Логарифмическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестные только под знаком логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования.

Для любого положительного числа b существует единственное число \alpha, такое, что \log_{a}и = \alpha

Если \log_{a}x_{1} = \log_{a}x_{2}, то x_{1} = x_{2}

Основные правила логарифмирования

    \[\log_{a}bc = \log_{a}b + \log_{a}c\]

    \[\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b - \log_{a}c\]

    \[\log_{a}b^{c} = c\log_{a}b\]

Формулы перехода от одного основания к другому.

    \[\log_{a}N = \frac{\log_{b}N}{\log_{b}a}\]

    \[\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}\]

    \[\log_{a^{k}}N \equiv \frac{1}{k}\log_{|a|}N,\ (a^{k} > 0)\]

    \[\log_{a\cdot b}N \equiv \frac{\log_{|a|}N}{1 + \log_{|a|}|b|},\ (ab > 0)\]

Примеры решений логарифмических уравнений

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

    \[\sqrt{\log_{x}\sqrt{5x}} = -\log_{x}5\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\left\{ \begin{array}{ll} \log_{x}\sqrt{5x} \geq 0, \\ -\log_{x}5x \geq 0, \\ 0 < x \neq 0; \end{array} \right. или 0 < x \leq \frac{1}{5}

Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим:

    \[\log_{x}\sqrt{5x} = \log^{2}_{x}5\]

    \[2\log^{2}_{x}5 -\log_{x}5 - 1 = 0\]

    \[\log_{x}5 = -\frac{1}{2},\ x_{1} = \frac{1}{25}\]

или

    \[\log_{x}5 = 1,\ x_{2} = 5\]

Корень x_{2} = 5 не подходит по ОДЗ

Ответ

x = \frac{1}{25}

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

    \[\log_{4x + 1}7 + \log_{9x}7 = 0\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\left\{ \begin{array}{ll} 0 < 4x + 1 \neq 1, \\ 0 < 9x \neq 1; \end{array} \right. или 0 < x \neq \frac{1}{9}

Перейдём к логарифмам по основанию 7:

    \[\frac{1}{\log_{7}(4x + 1)} + \frac{1}{\log_{7}9x} = 0\]

    \[\log_{7}9x = -\log_{7}(4x + 1)\]

    \[9x = \frac{1}{4x + 1}\]

    \[36x^{2} + 9x - 1 = 0\]

    \[x_{1} = \frac{1}{12},\ x_{2} = -\frac{1}{3}\]

x_{2} = -\frac{1}{3} не подходит по ОДЗ

Ответ

x = \frac{1}{12}

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

    \[\sqrt{2\log_{8}(-x)} - \log_{8}\sqrt{x^{2}} = 0\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\left\{ \begin{array}{ll} -x > 0, \\ x^{2} > 0; \end{array} \right. или x < 0

    \[\sqrt{\log_{8}(-x)}(\sqrt{2} - \sqrt{\log_{8}(-x)}) = 0\]

    \[\log_{8}(-x) = 0,\ x_{1} = -1\]

    \[\sqrt{2} - \sqrt{\log_{8}(-x)} = 0\]

    \[\sqrt{2} = \sqrt{\log_{8}(-x)}\]

    \[2 = \log_{8}(-x),\ x_{2} = -64\]

Ответ

x_{1} = -1,\ x_{2} = -64

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

    \[2\lg x^{2} - (\lg(-x))^{2} = 4\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

x < 0

    \[4\lg(-x) - \lg^{2}(-x) - 4 = 0\]

    \[\lg^{2}(-x) - 4\lg(-x) + 4 = 0\]

    \[(\lg(-x) - 2)^{2} = 0\]

    \[(\lg(-x) = 2,\ x = 100\]

Ответ

x = 100

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

    \[3^{\log^{2}_{3}x} + x^{\log_{3}x} = 162\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

0 < x \neq 1

    \[(3^{\log_{3}x})^{\log_{3}x} + x^{\log_{3}x} = 162\]

    \[x^{\log_{3}x} + x^{\log_{3}x} = 162\]

    \[x^{\log_{3}x} = 81\]

    \[\log^{2}_{3}x = 4\]

Отсюда:

    \[\log_{3}x = -2,\ x_{1} = \frac{1}{9},\ \log_{3}x = 2,\ x_{2} = 9\]

Ответ

    \[x_{1} = \frac{1}{9},\ x_{2} = 9\]

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{\log_{2}(9 - 2^{x})}{3 - x} = 1\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\left\{ \begin{array}{ll} 9 - 2^{x} > 0, \\ 3 - x \neq 0; \end{array} \right. или 3 \neq x < \log_{2}9

    \[\log_{2}(9 - 2^{x}) = 3 - x\]

    \[9 - 2^{x} = 2^{3 - x}\]

    \[2^{2x} -9\cdot2^{x} + 8 = 0\]

    \[2^{x} = 1,\ x_{1} = 0\]

    \[2^{x} = 8,\ x_{2} = 3\]

x_{2} = 3 не подходит по ОДЗ

Ответ

    \[x = 0\]

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

    \[\log_{5}x + \log_{25}x = \log_{\frac{1}{5}}\sqrt{3}\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

x > 0

Перейдём к логарифму по основанию 5:

    \[\log_{5}x + \frac{1}{2}\log_{5}x = -\frac{1}{2}\log_{5}3\]

    \[2\log_{5}x + \log_{5}x = \log_{5}\frac{1}{3}\]

    \[\log_{5}x^{3} = \log_{5}\frac{1}{3}\]

    \[x^{3} = \frac{1}{3},\ x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\]

Ответ

    \[x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\]

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

    \[\log_{a^{2}}x^{3} + \log_{a}(x - 1) = \log_{a}\log_{\sqrt{5}}5\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x > 1, \\ 0 < a \neq 1; \end{array} \right.\]

    \[\log_{a}x + \log_{a}(x - 1) = \log_{a}2\]

    \[\log_{a}x(x - 1) = \log_{a}2\]

    \[x^{2} - x - 2 = 0,\ x_{1} = 2,\ x_{2} = -1\]

x_{2} = -1 не подходит по ОДЗ

Ответ

    \[x = 2\]

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

    \[x^{2\lg^{2} x} = 10x^{3}\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

    \[0 < x \neq 1\]

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

    \[\lg x^{2\lg^{2} x} = \lg 10x^{3}\]

    \[2\lg^{3}x = 1 + 3\lg x\]

    \[2\lg^{3}x - 3\lg x - 1 = 0\]

    \[2\lg^{3}x + 2 - 3\lg x - 3 = 0\]

    \[2(\lg x + 1)(\lg^{2}x - \lg x + 1) - 3(\lg x + 1) = 0\]

    \[(\lg x + 1)(2\lg^{2}x - 2\lg x - 1) = 0\]

    \[(\lg x + 1) = 0,\ \lg x = -1,\ x_{1} = \frac{1}{10}\]

    \[(2\lg^{2}x - 2\lg x - 1) = 0,\ \lg x = -1,\ x_{1} = \frac{1}{10}\]

    \[\lg x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2},\ x_{2} = 10^{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}\]

    \[\lg x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2},\ x_{3} = 10^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}\]

Ответ

    \[x_{1} = \frac{1}{10},\ x_{2} = 10^{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}},\ x_{3} = 10^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}\]

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

    \[\log_{a}x + \log_{a^{2}}x + \log_{a^{3}}x = 11\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x > 0, \\ 0 < a \neq 1; \end{array} \right.\]

Перейдём к основанию a:

    \[\log_{a}x + \frac{1}{2}\log_{a}x + \frac{1}{3}\log_{a}x = 11\]

    \[\log_{a}x = 6\]

    \[x = a^{6}\]

Ответ

    \[x = a^{6},\ (0 < a \neq 1)\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1972

Помощь в написании работы

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также