Примеры решений логарифмического дифференцирования с ответами

Анатолий Овруцкий 0 66

Простое объяснение принципов решения логарифмического дифференцирования и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения логарифмического дифференцирования

Алгоритм
В некоторых случаях нахождение производной функции значительно упрощается, если сначала произвести логарифмирование исходной функции, а уже затем произвести дифференцирование. Такой приём носит название логарифмического дифференцирования.

Правило нахождения степенно-показательной функции

(u^{v})' = u^{v}\cdot\ln u\cdot v' + v\cdot u^{v - 1}\cdot u'

Таблица основных производных

  1. (c)' = 0;
  2. (x)' = 1;
  3. (\frac{c}{x})' = -\frac{c}{x^{2}}
  4. (x^n)' = nx^{n-1}
  5. (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
  6. (c^{x})' = c^{x}\cdot\ln{c}; c>0, c \neq 1
  7. (e^{x})' = e^{x}; c>0, c \neq 1
  8. (\log_{c}{x})' = \frac{1}{x}\cdot\log_{c}{e} = \frac{1}{x\ln{c}}
  9. (\ln{u})' = \frac{1}{x}
  10. (\sin{x})' = \cos{x}
  11. (\cos{x})' = -\sin{x}
  12. (tg\ {x})' = \frac{1}{\cos^{2}{x}}
  13. (ctg\ {x})' = -\frac{1}{\sin^{2}{x}}
  14. (\sec{x})' = \sec{x}\cdot{tg\ {x}}
  15. (cosec\ {x})' = -cosec\ {x}\cdot{ctg\ {x}}
  16. (\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
  17. (\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
  18. (arctg\ {x})' = \frac{1}{1+x^{2}}
  19. (arcctg\ {x})' = -\frac{1}{1+x^{2}}

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решения логарифмического дифференцирования

Пример 1

Задача

Найти производную функции y = \frac{(x^{2} + 2)\cdot\sqrt[4]{(x - 1)^{3}}\cdot e^{x}}{(x + 5)^{3}}.

Решение

Найдём логарифм функции

\ln y = \ln{x^{2} + 2} + \frac{3}{4}\ln(x - 1) + x - 3\ln(x + 5).

Дифференцируем это равенство по x:

\frac{1}{y}y' = \frac{1}{x^{2} + 2}\cdot2x + \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x - 1} + 1 - 3\cdot\frac{1}{x + 5}

Выразим y':

y' = y\cdot\left(\frac{2x}{x^{2} + 2} + \frac{3}{4(x - 1)} + 1 - \frac{3}{x + 5}\right) = \frac{(x^{2} + 2)\cdot\sqrt[4]{(x - 1)^{3}}\cdot e^{x}}{(x + 5)^{3}}\cdot\left(\frac{2x}{x^{2} + 2} + \frac{3}{4(x - 1)} + 1 - \frac{3}{x + 5}\right)

Ответ

y' = \frac{(x^{2} + 2)\cdot\sqrt[4]{(x - 1)^{3}}\cdot e^{x}}{(x + 5)^{3}}\cdot\left(\frac{2x}{x^{2} + 2} + \frac{3}{4(x - 1)} + 1 - \frac{3}{x + 5}\right)

Пример 2

Задача

Найти производную функции y = (\sin2x)^{x^{2} + 1}.

Решение

Используя формулу (u^{v})' = u^{v}\cdot\ln u\cdot v' + v\cdot u^{v - 1}\cdot u', получаем:

y' = (\sin2x)^{x^{2} + 1}\cdot\ln\sin2x\cdot2x + (x^{2} + 1)\cdot(\sin2x)^{x^{2}}\cdot\cos2x\cdot2

Ответ

y' = (\sin2x)^{x^{2} + 1}\cdot\ln\sin2x\cdot2x + (x^{2} + 1)\cdot(\sin2x)^{x^{2}}\cdot\cos2x\cdot2

Пример 3

Задача

Найти производную функции y = \ln\frac{x}{1 - x^{4}}.

Решение

Найдём логарифм функции

    \[\ln y = \ln{x} - \ln(1 - x^{4})\]

Дифференцируем это равенство по x:

    \[y' = \frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x^{4}}(1 - x^{4})' = \frac{1}{x} + \frac{4x^{3}}{1 - x^{4}} = \frac{1 + 3x^{4}}{x(1 - x^{4})}\]

Ответ

y' = \frac{1 + 3x^{4}}{x(1 - x^{4})}

Пример 4

Задача

Найти производную функции

    \[y = \ln\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}\]

.

Решение

Найдём логарифм функции

    \[\ln y = \ln{x} - \frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})\]

Дифференцируем это равенство по x:

    \[y' = \frac{1}{x} - \frac{1}{2}\frac{1}{1 + x^{2}}\cdot2x = \frac{1}{x(1 + x^{2})}\]

Ответ

    \[y' = \frac{1}{x(1 + x^{2})}\]

Пример 5

Задача

Найти производную функции

    \[y = \ln\frac{1 + x}{1 - x}\]

.

Решение

Найдём логарифм функции

    \[\ln y = \ln(1 + x) - \ln(1 - x)\]

Дифференцируем это равенство по x:

    \[y' = \frac{1}{1 + x}\cdot(1 + x)' - \frac{1}{1 - x}\cdot(1 - x)' = \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x} = \frac{2}{1 - x^{2}}\]

Ответ

    \[y' = \frac{2}{1 - x^{2}}\]

Пример 6

Задача

Найти производную функции y = (x + 5)^{2}(2x - 7)^{3}(x - 2)(x + 3).

Решение

Найдём логарифм функции

\ln y = 2\ln(x + 5)3\ln(x - 7)\ln(x - 2)\ln(x + 3).

Дифференцируем это равенство по x:

    \[\frac{1}{y}y' = \frac{2}{x + 5} + \frac{3}{2x - 7}\cdot2 + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3}\]

Выразим y':

    \[y' = y\cdot\left(\frac{2}{x + 5} + \frac{3}{2x - 7}\cdot2 + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3}\right) =\]

    \[= (x + 5)^{2}(2x - 7)^{3}(x - 2)(x + 3)\cdot\left(\frac{2}{x + 5} + \frac{3}{2x - 7}\cdot2 + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3}\right)\]

Ответ

    \[y' = (x + 5)^{2}(2x - 7)^{3}(x - 2)(x + 3)\cdot\left(\frac{2}{x + 5} + \frac{3}{2x - 7}\cdot2 + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3}\right)\]

Пример 7

Задача

Найти производную функции

    \[y = \frac{\sqrt[4]{x^{2} + 7x - 8}\cdot\sqrt[6]{x^{4} - 1}}{\sqrt[3]{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}}\]

.

Решение

Найдём логарифм функции

    \[\ln y = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2} + 7x - 8}(2x + 7) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^{4} - 1}4x^{3} -\]

    \[-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}\cdot(3x^{2} - 6x +1)\]

Дифференцируем это равенство по x:

    \[\frac{1}{y}y' = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2} + 7x - 8}(2x + 7) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^{4} - 1}4x^{3} -\]

    \[-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}\cdot(3x^{2} - 6x + 1)\]

Выразим y':

    \[y' = y\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2} + 7x - 8}(2x + 7) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^{4} - 1}4x^{3} -\]

    \[-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}\cdot(3x^{2} - 6x + 1) =\]

    \[y' = \frac{\sqrt[4]{x^{2} + 7x - 8}\cdot\sqrt[6]{x^{4} - 1}}{\sqrt[3]{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}}\ast\]

    \[\ast(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2} + 7x - 8}(2x + 7) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^{4} - 1}4x^{3} -\]

    \[-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}\cdot(3x^{2} - 6x + 1))\]

Ответ

    \[y' = \frac{\sqrt[4]{x^{2} + 7x - 8}\cdot\sqrt[6]{x^{4} - 1}}{\sqrt[3]{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}}\ast\]

    \[\ast(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2} + 7x - 8}(2x + 7) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^{4} - 1}4x^{3} -\]

    \[-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}\cdot(3x^{2} - 6x + 1))\]

Пример 8

Задача

Найти производную функции

    \[y = x^{x},\ (x > 0)\]

.

Решение

Возьмём натуральные логарифмы от обеих частей равенства, получим:

    \[\ln y = x/lnx\]

Дифференцируем это равенство по x:

    \[\frac{1}{y}y' = \ln x + \frac{1}{x}\]

    \[\frac{1}{y}y' = \ln x + 1\]

Выразим y':

    \[y' = y\cdot(\ln x + 1) = x^{x}\cdot(\ln x + 1)\]

Ответ

    \[y' = x^{x}\cdot(\ln x + 1)\]

Пример 9

Задача

Найти производную функции

    \[y = (\sin x)^{\cos x},\ (\pi < x > 0)\]

Решение

Возьмём натуральные логарифмы от обеих частей равенства, получим:

    \[\ln y = \cos x\cdot\ln\sin x\]

Дифференцируем это равенство по x:

    \[\frac{1}{y}y' = -\sin x\cdot\ln\sin x + \cos x\cdot\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x\]

Выразим y':

    \[y' = y\cdot(-\sin x\cdot\ln\sin x + \cos x\cdot\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x) =\]

    \[= (\sin x)^{\cos x}\cdot(-\sin x\cdot\ln\sin x + \cos x\cdot\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x) =\]

    \[= (\sin x)^{\cos x}\cdot\left(-\sin x\cdot\ln\cos x + \frac{\cos^{2}x}{\sin x}\right)\]

Ответ

    \[y' = (\sin x)^{\cos x}\cdot\left(-\sin x\cdot\ln\cos x + \frac{\cos^{2}x}{\sin x}\right)\]

Пример 10

Задача

Найти производную функции

    \[y = \sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}\]

.

Решение

Найдём логарифм функции

    \[\ln y = \frac{1}{2}\left[\ln(ax + b) - \ln(cx + d)\right]\]

Дифференцируем это равенство по x:

    \[\frac{1}{y}y' = \frac{1}{2}\cdot\left[\frac{1}{ax + b}\cdot a - \frac{1}{cx + d}\cdot c\right]\]

Выразим y':

    \[y' = y\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{1}{ax + b}\cdot a - \frac{1}{cx + d}\cdot c\right] =\]

    \[y' = \sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{1}{ax + b}\cdot a - \frac{1}{cx + d}\cdot c\right] =\]

    \[y' = \frac{ad - bc}{2(ax + b)(cx + d)}\cdot\sqrt{{\frac{ax + b}{cx + d}}}\]

Ответ

    \[y' = \frac{ad - bc}{2(ax + b)(cx + d)}\cdot\sqrt{{\frac{ax + b}{cx + d}}}\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

66

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *