Примеры решения логарифмического дифференцирования с ответами

Простое объяснение принципов решения логарифмического дифференцирования и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения логарифмического дифференцирования

Алгоритм

В некоторых случаях нахождение производной функции значительно упрощается, если сначала произвести логарифмирование исходной функции, а уже затем произвести дифференцирование. Такой приём носит название логарифмического дифференцирования.

Правило нахождения степенно-показательной функции

$(u^{v})' = u^{v}\cdot\ln u\cdot v' + v\cdot u^{v - 1}\cdot u'$

Таблица основных производных

$(c)' = 0;$
$(x)' = 1;$
$(\frac{c}{x})' = -\frac{c}{x^{2}}$
$(x^n)' = nx^{n-1}$
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$(c^{x})' = c^{x}\cdot\ln{c}; c>0, c \neq 1$
$(e^{x})' = e^{x}; c>0, c \neq 1$
$(\log_{c}{x})' = \frac{1}{x}\cdot\log_{c}{e} = \frac{1}{x\ln{c}}$
$(\ln{u})' = \frac{1}{x}$
$(\sin{x})' = \cos{x}$
$(\cos{x})' = -\sin{x}$
$(tg\ {x})' = \frac{1}{\cos^{2}{x}}$
$(ctg\ {x})' = -\frac{1}{\sin^{2}{x}}$
$(\sec{x})' = \sec{x}\cdot{tg\ {x}}$
$(cosec\ {x})' = -cosec\ {x}\cdot{ctg\ {x}}$
$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(arctg\ {x})' = \frac{1}{1+x^{2}}$
$(arcctg\ {x})' = -\frac{1}{1+x^{2}}$

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решения логарифмического дифференцирования

Пример 1

Задача

Найти производную функции $y = \frac{(x^{2} + 2)\cdot\sqrt[4]{(x - 1)^{3}}\cdot e^{x}}{(x + 5)^{3}}$ .

Решение

Найдём логарифм функции

$\ln y = \ln{x^{2} + 2} + \frac{3}{4}\ln(x - 1) + x - 3\ln(x + 5)$ .

Дифференцируем это равенство по $x$ :

$\frac{1}{y}y' = \frac{1}{x^{2} + 2}\cdot2x + \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x - 1} + 1 - 3\cdot\frac{1}{x + 5}$

Выразим $y'$ :

$y' = y\cdot\left(\frac{2x}{x^{2} + 2} + \frac{3}{4(x - 1)} + 1 - \frac{3}{x + 5}\right) = \frac{(x^{2} + 2)\cdot\sqrt[4]{(x - 1)^{3}}\cdot e^{x}}{(x + 5)^{3}}\cdot\left(\frac{2x}{x^{2} + 2} + \frac{3}{4(x - 1)} + 1 - \frac{3}{x + 5}\right)$

Ответ

$y' = \frac{(x^{2} + 2)\cdot\sqrt[4]{(x - 1)^{3}}\cdot e^{x}}{(x + 5)^{3}}\cdot\left(\frac{2x}{x^{2} + 2} + \frac{3}{4(x - 1)} + 1 - \frac{3}{x + 5}\right)$

Пример 2

Задача

Найти производную функции $y = (\sin2x)^{x^{2} + 1}$ .

Решение

Используя формулу $(u^{v})' = u^{v}\cdot\ln u\cdot v' + v\cdot u^{v - 1}\cdot u'$ , получаем:

$y' = (\sin2x)^{x^{2} + 1}\cdot\ln\sin2x\cdot2x + (x^{2} + 1)\cdot(\sin2x)^{x^{2}}\cdot\cos2x\cdot2$

Ответ

$y' = (\sin2x)^{x^{2} + 1}\cdot\ln\sin2x\cdot2x + (x^{2} + 1)\cdot(\sin2x)^{x^{2}}\cdot\cos2x\cdot2$

Пример 3

Задача

Найти производную функции $y = \ln\frac{x}{1 - x^{4}}$ .

Решение

Найдём логарифм функции

$\ln y = \ln{x} - \ln(1 - x^{4})$

Дифференцируем это равенство по $x$ :

$y' = \frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x^{4}}(1 - x^{4})' = \frac{1}{x} + \frac{4x^{3}}{1 - x^{4}} = \frac{1 + 3x^{4}}{x(1 - x^{4})}$

Ответ

$y' = \frac{1 + 3x^{4}}{x(1 - x^{4})}$

Пример 4

Задача

Найти производную функции

$y = \ln\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Решение

Найдём логарифм функции

$\ln y = \ln{x} - \frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})$

Дифференцируем это равенство по $x$ :

$y' = \frac{1}{x} - \frac{1}{2}\frac{1}{1 + x^{2}}\cdot2x = \frac{1}{x(1 + x^{2})}$

Ответ

$y' = \frac{1}{x(1 + x^{2})}$

Пример 5

Задача

Найти производную функции

$y = \ln\frac{1 + x}{1 - x}$

Решение

Найдём логарифм функции

$\ln y = \ln(1 + x) - \ln(1 - x)$

Дифференцируем это равенство по $x$ :

$y' = \frac{1}{1 + x}\cdot(1 + x)' - \frac{1}{1 - x}\cdot(1 - x)' = \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x} = \frac{2}{1 - x^{2}}$

Ответ

$y' = \frac{2}{1 - x^{2}}$

Пример 6

Задача

Найти производную функции $y = (x + 5)^{2}(2x - 7)^{3}(x - 2)(x + 3)$ .

Решение

Найдём логарифм функции

$\ln y = 2\ln(x + 5)3\ln(x - 7)\ln(x - 2)\ln(x + 3)$ .

Дифференцируем это равенство по $x$ :

$\frac{1}{y}y' = \frac{2}{x + 5} + \frac{3}{2x - 7}\cdot2 + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3}$

Выразим $y'$ :

$y' = y\cdot\left(\frac{2}{x + 5} + \frac{3}{2x - 7}\cdot2 + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3}\right) =$

$= (x + 5)^{2}(2x - 7)^{3}(x - 2)(x + 3)\cdot\left(\frac{2}{x + 5} + \frac{3}{2x - 7}\cdot2 + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3}\right)$

Ответ

$y' = (x + 5)^{2}(2x - 7)^{3}(x - 2)(x + 3)\cdot\left(\frac{2}{x + 5} + \frac{3}{2x - 7}\cdot2 + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 3}\right)$

Пример 7

Задача

Найти производную функции

$y = \frac{\sqrt[4]{x^{2} + 7x - 8}\cdot\sqrt[6]{x^{4} - 1}}{\sqrt[3]{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}}$

Решение

Найдём логарифм функции

$\ln y = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2} + 7x - 8}(2x + 7) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^{4} - 1}4x^{3} -$

$-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}\cdot(3x^{2} - 6x +1)$

Дифференцируем это равенство по $x$ :

$\frac{1}{y}y' = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2} + 7x - 8}(2x + 7) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^{4} - 1}4x^{3} -$

$-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}\cdot(3x^{2} - 6x + 1)$

Выразим $y'$ :

$y' = y\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2} + 7x - 8}(2x + 7) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^{4} - 1}4x^{3} -$

$-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}\cdot(3x^{2} - 6x + 1) =$

$y' = \frac{\sqrt[4]{x^{2} + 7x - 8}\cdot\sqrt[6]{x^{4} - 1}}{\sqrt[3]{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}}\ast$

$\ast(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2} + 7x - 8}(2x + 7) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^{4} - 1}4x^{3} -$

$-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}\cdot(3x^{2} - 6x + 1))$

Ответ

$y' = \frac{\sqrt[4]{x^{2} + 7x - 8}\cdot\sqrt[6]{x^{4} - 1}}{\sqrt[3]{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}}\ast$

$\ast(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2} + 7x - 8}(2x + 7) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x^{4} - 1}4x^{3} -$

$-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3} - 3x^{2} + x - 4}\cdot(3x^{2} - 6x + 1))$

Пример 8

Задача

Найти производную функции

$y = x^{x},\ (x > 0)$

Решение

Возьмём натуральные логарифмы от обеих частей равенства, получим:

$\ln y = x/lnx$

Дифференцируем это равенство по $x$ :

$\frac{1}{y}y' = \ln x + \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y}y' = \ln x + 1$

Выразим $y'$ :

$y' = y\cdot(\ln x + 1) = x^{x}\cdot(\ln x + 1)$

Ответ

$y' = x^{x}\cdot(\ln x + 1)$

Пример 9

Задача

Найти производную функции

$y = (\sin x)^{\cos x},\ (\pi < x > 0)$

Решение

Возьмём натуральные логарифмы от обеих частей равенства, получим:

$\ln y = \cos x\cdot\ln\sin x$

Дифференцируем это равенство по $x$ :

$\frac{1}{y}y' = -\sin x\cdot\ln\sin x + \cos x\cdot\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x$

Выразим $y'$ :

$y' = y\cdot(-\sin x\cdot\ln\sin x + \cos x\cdot\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x) =$

$= (\sin x)^{\cos x}\cdot(-\sin x\cdot\ln\sin x + \cos x\cdot\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x) =$

$= (\sin x)^{\cos x}\cdot\left(-\sin x\cdot\ln\cos x + \frac{\cos^{2}x}{\sin x}\right)$

Ответ

$y' = (\sin x)^{\cos x}\cdot\left(-\sin x\cdot\ln\cos x + \frac{\cos^{2}x}{\sin x}\right)$

Пример 10

Задача

Найти производную функции

$y = \sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$

Решение

Найдём логарифм функции

$\ln y = \frac{1}{2}\left[\ln(ax + b) - \ln(cx + d)\right]$

Дифференцируем это равенство по $x$ :

$\frac{1}{y}y' = \frac{1}{2}\cdot\left[\frac{1}{ax + b}\cdot a - \frac{1}{cx + d}\cdot c\right]$

Выразим $y'$ :

$y' = y\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{1}{ax + b}\cdot a - \frac{1}{cx + d}\cdot c\right] =$

$y' = \sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{1}{ax + b}\cdot a - \frac{1}{cx + d}\cdot c\right] =$

$y' = \frac{ad - bc}{2(ax + b)(cx + d)}\cdot\sqrt{{\frac{ax + b}{cx + d}}}$

Ответ

$y' = \frac{ad - bc}{2(ax + b)(cx + d)}\cdot\sqrt{{\frac{ax + b}{cx + d}}}$

Примеры решений логарифмического дифференцирования с ответами

Алгоритм решения логарифмического дифференцирования

Примеры решения логарифмического дифференцирования