Примеры решения свойств производных с ответам

Примеры решений свойств производных с ответами

Автор: Анатолий 0 1161

Простое объяснение принципов решения свойств производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения свойств производных

Теорема

Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.

Таблица основных производных

$(c)' = 0;$
$(x)' = 1;$
$(\frac{c}{x})' = -\frac{c}{x^{2}}$
$(x^n)' = nx^{n-1}$
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$(c^{x})' = c^{x}\cdot\ln{c}; c>0, c \neq 1$
$(e^{x})' = e^{x}; c>0, c \neq 1$
$(\log_{c}{x})' = \frac{1}{x}\cdot\log_{c}{e} = \frac{1}{x\ln{c}}$
$(\ln{u})' = \frac{1}{x}$
$(\sin{x})' = \cos{x}$
$(\cos{x})' = -\sin{x}$
$(tg\ {x})' = \frac{1}{\cos^{2}{x}}$
$(ctg\ {x})' = -\frac{1}{\sin^{2}{x}}$
$(\sec{x})' = \sec{x}\cdot{tg\ {x}}$
$(cosec\ {x})' = -cosec\ {x}\cdot{ctg\ {x}}$
$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(arctg\ {x})' = \frac{1}{1+x^{2}}$
$(arcctg\ {x})' = -\frac{1}{1+x^{2}}$

Примеры решений свойств производных

Пример 1

Задача

Найти производную функции $y = \sqrt{x}$ при $x = 4$ .

Решение

$y' = x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$ .

Ответ

$y'(4) = \frac{1}{4}$

Пример 2

Задача

Найти производную функции $y = (x^2-2x+3)^5$ .

Решение

Обозначим $y=u^5$ , где $u = x^2-2x+3$ . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:
$y' = (u^5)'_u(x^2-2x+3)'_x = 5u^4(2x-1) = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4$

Ответ

$y' = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4$

Пример 3

Задача

Найти производную функции $y = cos(3x+1)$ .

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:
$y' = (cos(3x+1))' = -sin(3x+1)\cdot(3x+1)' = -sin(3x+1)\cdot(3\cdot1+0) = -3sin(3x+1)$

Ответ

$y' = -3sin(3x+1)$

Пример 4

Задача

Найти производную функции $y = \ln(x^{4} - 2x^{2} + 6)$ .

Решение

$y' = \frac{1}{\ln(x^{4} - 2x^{2} + 6)}\cdot(x^{4} - 2x^{2} + 6)' = \frac{4x^{3} - 4x}{\ln(x^{4} - 2x^{2} + 6)}$

Ответ

$y' = \frac{4x^{3} - 4x}{\ln(x^{4} - 2x^{2} + 6)}$

Пример 5

Задача

Найти производную функции $y = \cos2x$ .

Решение

$y' = -/sin2x\cdot(2x)' = -2\sin2x$

Ответ

$y' = -2\sin2x$

Пример 6

Задача

Найти производную функции $y = x\ arctgx$ .

Решение

$y' = x'\ arctgx + x\cdot(\ arctgx)' = \ arctgx + \frac{x}{1 + x^{2}}$

Ответ

$y' = \ arctgx + \frac{x}{1 + x^{2}}$

Пример 7

Задача

Найти производную функции $y = (1 + 5x - 3x^{3})^{4}$ .

Решение

$y' = 4\cdot(1 + 5x - 3x^{3})^{3}\cdot(1 + 5x - 3x^{3})' = 4\cdot(1 + 5x - 3x^{3})^{3}\cdot(5 - 9x^{2})$

Ответ

$y' = 4\cdot(1 + 5x - 3x^{3})^{3}\cdot(5 - 9x^{2})$

Пример 8

Задача

Найти производную функции $y = \log^{3}_{2}(3 + 2^{-x})$ .

Решение

$y' = 3\log^{2}_{2}(3 + 2^{-x})\cdot\frac{1}{(3 + 2^{-x})\ln3}\cdot2^{-x}\cdot\ln2\cdot(-1)$

Ответ

$y' = 3\log^{2}_{2}(3 + 2^{-x})\cdot\frac{1}{(3 + 2^{-x})\ln3}\cdot2^{-x}\cdot\ln2\cdot(-1)$

Пример 9

Задача

Найти производную функции $y = \frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}, a = const$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$y' = \frac{(a^2 - x^2)'(a^2 + x^2) - (a^2 + x^2)'(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = \frac{-2x(a^2 + x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$

Ответ

$y' = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$

Пример 10

Задача

Найти производную функции $y = e^{\sqrt{\sin x}}$ .

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием $e$ , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
$y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x$