Примеры решений свойств производных с ответами

Анатолий Овруцкий 0 35

Простое объяснение принципов решения свойств производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения свойств производных

Теорема
Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.
Таблица основных производных

  1. (c)' = 0;
  2. (x)' = 1;
  3. (\frac{c}{x})' = -\frac{c}{x^{2}}
  4. (x^n)' = nx^{n-1}
  5. (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
  6. (c^{x})' = c^{x}\cdot\ln{c}; c>0, c \neq 1
  7. (e^{x})' = e^{x}; c>0, c \neq 1
  8. (\log_{c}{x})' = \frac{1}{x}\cdot\log_{c}{e} = \frac{1}{x\ln{c}}
  9. (\ln{u})' = \frac{1}{x}
  10. (\sin{x})' = \cos{x}
  11. (\cos{x})' = -\sin{x}
  12. (tg\ {x})' = \frac{1}{\cos^{2}{x}}
  13. (ctg\ {x})' = -\frac{1}{\sin^{2}{x}}
  14. (\sec{x})' = \sec{x}\cdot{tg\ {x}}
  15. (cosec\ {x})' = -cosec\ {x}\cdot{ctg\ {x}}
  16. (\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
  17. (\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
  18. (arctg\ {x})' = \frac{1}{1+x^{2}}
  19. (arcctg\ {x})' = -\frac{1}{1+x^{2}}

Примеры решений свойств производных

Пример 1

Задача

Найти производную функции y = \sqrt{x} при x = 4.

Решение

y' = x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}.

Ответ

y'(4) = \frac{1}{4}

Пример 2

Задача

Найти производную функции y = (x^2-2x+3)^5.

Решение

Обозначим y=u^5, где u = x^2-2x+3. Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:
y' = (u^5)'_u(x^2-2x+3)'_x = 5u^4(2x-1) = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4

Ответ

y' = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4

Пример 3

Задача

Найти производную функции y = cos(3x+1).

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:
y' = (cos(3x+1))' = -sin(3x+1)\cdot(3x+1)' = -sin(3x+1)\cdot(3\cdot1+0) = -3sin(3x+1)

Ответ

y' = -3sin(3x+1)

Пример 4

Задача

Найти производную функции y = \ln(x^{4} - 2x^{2} + 6).

Решение

y' = \frac{1}{\ln(x^{4} - 2x^{2} + 6)}\cdot(x^{4} - 2x^{2} + 6)' = \frac{4x^{3} - 4x}{\ln(x^{4} - 2x^{2} + 6)}

Ответ

y' = \frac{4x^{3} - 4x}{\ln(x^{4} - 2x^{2} + 6)}

Пример 5

Задача

Найти производную функции y = \cos2x.

Решение

    \[y' = -/sin2x\cdot(2x)' = -2\sin2x\]

Ответ

    \[y' = -2\sin2x\]

Пример 6

Задача

Найти производную функции y = x\ arctgx.

Решение

y' = x'\ arctgx + x\cdot(\ arctgx)' = \ arctgx + \frac{x}{1 + x^{2}}

Ответ

y' = \ arctgx + \frac{x}{1 + x^{2}}

Пример 7

Задача

Найти производную функции y = (1 + 5x - 3x^{3})^{4}.

Решение

y' = 4\cdot(1 + 5x - 3x^{3})^{3}\cdot(1 + 5x - 3x^{3})' = 4\cdot(1 + 5x - 3x^{3})^{3}\cdot(5 - 9x^{2})

Ответ

y' = 4\cdot(1 + 5x - 3x^{3})^{3}\cdot(5 - 9x^{2})

Пример 8

Задача

Найти производную функции y = \log^{3}_{2}(3 + 2^{-x}).

Решение

y' = 3\log^{2}_{2}(3 + 2^{-x})\cdot\frac{1}{(3 + 2^{-x})\ln3}\cdot2^{-x}\cdot\ln2\cdot(-1)

Ответ

y' = 3\log^{2}_{2}(3 + 2^{-x})\cdot\frac{1}{(3 + 2^{-x})\ln3}\cdot2^{-x}\cdot\ln2\cdot(-1)

Пример 9

Задача

Найти производную функции y = \frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}, a = const.

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
y' = \frac{(a^2 - x^2)'(a^2 + x^2) - (a^2 + x^2)'(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = \frac{-2x(a^2 + x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}

Ответ

y' = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}

Пример 10

Задача

Найти производную функции y = e^{\sqrt{\sin x}}.

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием e, производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x

Ответ

y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

35

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *