Алгоритм решения задач с логарифмами

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, для того, чтобы получить число b. При этом предполагается, что a > 0 и a \neq 1.

При решении задач на вычисление логарифмов используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования.

Свойства логарифмов.

    \[\log_{a}1 = 0\]

    \[\log_{a}a = 1\]

Для любого положительного числа b существует единственное число \alpha, такое, что \log_{a}и = \alpha

Если \log_{a}x_{1} = \log_{a}x_{2}, то x_{1} = x_{2}

Основные правила логарифмирования

    \[\log_{a}bc = \log_{a}b + \log_{a}c\]

    \[\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b - \log_{a}c\]

    \[\log_{a}b^{c} = c\log_{a}b\]

Формулы перехода от одного основания к другому.

    \[\log_{a}N = \frac{\log_{b}N}{\log_{b}a}\]

    \[\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}\]

    \[\log_{a^{k}}N \equiv \frac{1}{k}\log_{|a|}N,\ (a^{k} > 0)\]

    \[\log_{a\cdot b}N \equiv \frac{\log_{|a|}N}{1 + \log_{|a|}|b|},\ (ab > 0)\]

Примеры решений задач с логарифмами

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Пример 1

Задача

Упростить выражение:

    \[((\log^{4}_{b}a + \log^{4}_{a}b + 2)^{\frac{1}{2}} + 2)^{\frac{1}{2}} - \log_{b}a - \log_{a}b\]

.

Решение

    \[((\log^{4}_{b}a + \log^{4}_{a}b + 2)^{\frac{1}{2}} + 2)^{\frac{1}{2}} - \log_{b}a - \log_{a}b =\]

    \[= ((\log^{4}_{b}a + \frac{1}{\log^{4}_{b}a} + 2)^{\frac{1}{2}} + 2)^{\frac{1}{2}} - \log_{b}a - \frac{1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \sqrt{\sqrt{\frac{\log^{8}_{b}a + 2\log^{4}_{b}a + 1}{\log^{4}_{b}a}} + 2} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \sqrt{\sqrt{\left(\frac{\log^{4}_{b}a + 1}{\log^{2}_{b}a}\right)^{2}} + 2} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \sqrt{\frac{\log^{4}_{b}a + 1}{\log^{2}_{b}a} + 2} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \sqrt{\frac{\log^{4}_{b}a + 2\log^{2}_{b}a + 1}{\log^{2}_{b}a}} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \sqrt{\left(\frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a}\right)^{2}} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{|\log_{b}a|} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

Получаем два случая.

Первый случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} \log_{a}b < 0\ \ \ \left\{ \begin{array}{ll} 0 > b > 1, \\ a > 1; \end{array} \right. \cup \left\{ \begin{array}{ll} b > 1, \\ 0 > a > 1; \end{array} \right. \\ -\frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} = \frac{-2(\log^{2}_{b}a + 1)}{\log_{b}a} = -2(\log_{b}a + \log_{a}b); \end{array} \right.\]

Второй случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} \log_{a}b < 0\ \ \ \left\{ \begin{array}{ll} 0 > b > 1, \\ 0 > a > 1; \end{array} \right. \cup \left\{ \begin{array}{ll} b > 1, \\ a > 1; \end{array} \right. \\ \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} = 0; \end{array} \right.\]

Ответ

-2(\log_{b}a + \log_{a}b), если \left\{ \begin{array}{ll} a > 1, \\ 0 > b > 1; \end{array} \right. или \left\{ \begin{array}{ll} 0 > a > 1, \\ b > 1; \end{array} \right.

0, если \left\{ \begin{array}{ll} 0 > a > 1, \\ 0 > b > 1; \end{array} \right. или \left\{ \begin{array}{ll} a > 1, \\ b > 1; \end{array} \right.

Пример 2

Задача

Упростить выражение:

    \[\log_{2}2x^{2} + \log_{2}x\cdot x^{\log_{x}(\log_{2}x+1)} + \frac{1}{2}\log^{2}_{4}x^{4} + 2^{-3\log_{\frac{1}{2}}\log_{2}x}\]

.

Решение

Область допустимых значений переменной x: x > 1

    \[\log_{2}2x^{2} + \log_{2}x\cdot x^{\log_{x}(\log_{2}x+1)} + \frac{1}{2}\log^{2}_{4}x^{4} + 2^{-3\log_{\frac{1}{2}}\log_{2}x} =\]

=

    \[\log_{2}2 + \log_{2}x^{2} + \log_{2}x\cdot(\log_{2}x + 1) + 2\log^{2}_{2}x + 2^{\log_{2}\log^{3}_{2}x} =\]

=

    \[1 + 2\log_{2}x + \log^{2}_{2}x + \log_{2}x + 2\log^{2}_{2}x + \log^{3}_{2}x =\]

=

    \[\log^{3}_{2}x + 3\log^{2}_{2}x + 3\log_{2}x + 1 = (\log_{2}x + 1)^{3}\]

Ответ

(\log_{2}x + 1)^{3}

Пример 3

Задача

Упростить выражение:

    \[\left(x^{1 + \frac{1}{2\log_{4}x}} + 8^{\frac{1}{3\log_{x^{2}}2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}}\]

.

Решение

Область допустимых значений переменной x: x > 0,\ x \neq 1

    \[\left(x^{1 + \frac{1}{2\log_{4}x}} + 8^{\frac{1}{3\log_{x^{2}}2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}} = \left(x\cdot x^{\frac{1}{\log_{2}x}} + 2^{\frac{1}{\log_{x^{2}}2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}} =\]

    \[= \left(x\cdot x^{\log_{x}2} + 2^{\log_{2}x^{2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}} = \left(x^{2} + 2x + 1\right)^{\frac{1}{2}} =\]

    \[= \sqrt{(x + 1)^{2}} = |x + 1| = x + 1,\ (x > 0,\ x \neq 1)\]

Ответ

x + 1,\ (x > 0,\ x \neq 1)

Пример 4

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{\log_{a}b - \log_{\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}\sqrt{b}}{\log_{\frac{a}{b^{4}}}b - \log_{\frac{a}{b^{6}}}b}/\log_{b}(a^{3}b^{-12})\]

.

Решение

    \[\frac{\log_{a}b - \log_{\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}\sqrt{b}}{\log_{\frac{a}{b^{4}}}b - \log_{\frac{a}{b^{6}}}b}/\log_{b}(a^{3}b^{-12}) =\]

    \[= \frac{\log_{a}b - \frac{\log_{a}\sqrt{b}}{{\log_{a}\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}}}{\frac{\log_{a}b}{\log_{a}\frac{a}{b^{4}}} - \frac{\log_{a}b}{\log_{a}\frac{a}{b^{6}}}}/\frac{\log_{a}(a^{3}b^{-12})}{\log_{a}b} =\]

    \[= \frac{\log_{a}b - \frac{\frac{1}{2}\log_{a}b}{\frac{1}{2} - 3\log_{a}b}}{\frac{\log_{a}b}{1 - 4\log_{a}b} - \frac{\log_{a}b}{1 - 6\log_{a}b}}\cdot\frac{\log_{a}b}{3 - 12\log_{a}b} =\]

    \[= \frac{-3\log^{2}_{a}b(1 - 4\log_{a}b)(1 - 6\log_{a}b)}{(-6\log^{2}_{a}b + 4\log^{2}_{a}b)\left(\frac{1}{2} - 3\log_{a}b\right)}\cdot\frac{\log_{a}b}{3(1 - 4\log_{a}b)} = \log_{a}b\]

Ответ

\log_{a}b

Пример 5

Задача

Упростить выражение:

    \[(6(\log_{b}a\cdot\log_{a^{2}}b +1) + \log_{a}b^{-6} + \log^{2}_{a}b)^{\frac{1}{2}} - \log_{a}b,\ a > 0\]

.

Решение

    \[(6(\log_{b}a\cdot\log_{a^{2}}b +1) + \log_{a}b^{-6} + \log^{2}_{a}b)^{\frac{1}{2}} - \log_{a}b =\]

    \[= (6(\frac{1}{2} + 1) - 6\log_{a}b + \log^{2}_{a}b)^{\frac{1}{2}} - \log_{a}b =\]

    \[= \sqrt{9 - 6\log_{a}b + \log^{2}_{a}b} - \log_{a}b = \sqrt{(3 - \log_{a}b)^{2}} - \log_{a}b =\]

    \[= |3 - \log_{a}b| - \log_{a}b\]

В зависимости от значения выражения под знаком модуля, получим два случая.

Первый случай:

    \[|3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = \left\{ \begin{array}{ll} 3 - \log_{a}b \leq 0, \\ - 3 + \log_{a}b - \log_{a}b = -3; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} b \geq a^{3}, \\ |3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = -3; \end{array} \right.\]

Второй случай:

    \[|3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = \left\{ \begin{array}{ll} 3 - \log_{a}b > 0, \\ 3 - \log_{a}b - \log_{a}b = 3 - 2\log_{a}b; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0 < b < a^{3},\ b \neq 1 \\ |3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = 3 - 2\log_{a}b; \end{array} \right.\]

Ответ

-3 при b \geq a^{3}, 3 - 2\log_{a}b при 0 < b < a^{3},\ b \neq 1

Пример 6

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{\log_{a}b + \log_{a}(b^{\frac{1}{2}\log_{b}a^{2}})}{\log_{a}b - \log_{ab}b}\cdot\frac{\log_{ab}b\cdot\log_{a}b}{b^{2\log_{b}\log_{a}b} - 1}\]

.

Решение

    \[\frac{\log_{a}b + \log_{a}(b^{\frac{1}{2}\log_{b}a^{2}})}{\log_{a}b - \log_{ab}b}\cdot\frac{\log_{ab}b\cdot\log_{a}b}{b^{2\log_{b}\log_{a}b} - 1} =\]

    \[= \frac{\log_{a}b + \log_{a}a}{\log_{a}b - \frac{\log_{a}b}{1 + \log_{a}b}}\cdot\frac{\frac{\log_{a}b}{1 + \log_{a}b}\cdot\log_{a}b}{\log^{2}_{a}b - 1} =\]

    \[= \frac{(1 + \log_{a}b)^{2}}{\log^{2}_{a}b}\cdot\frac{\log^{2}_{a}b}{(1 + \log_{a}b)(\log_{a}b - 1)(\log_{a}b + 1)} =\]

    \[= \frac{1}{\log_{a}b - 1}\]

Ответ

\frac{1}{\log_{a}b - 1}

Пример 7

Задача

Найти \log_{x}abcd, если \log_{a}x = \alpha,\ \log_{b}x = \beta,\ \log_{c}x = \gamma,\ \log_{d}x = \delta,\ x \neq 1.

Решение

    \[\log_{x}abcd = \frac{\log_{x}x}{\log_{x}abcd} = \frac{1}{\log_{x}a + \log_{x}b + \log_{x}c + \log_{x}d} =\]

    \[= \frac{1}{\frac{1}{\log_{a}x} + \frac{1}{\log_{b}x} + \frac{1}{\log_{c}x} + \frac{1}{\log_{d}x}} =\]

    \[= \frac{1}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta}} = \frac{\alpha\beta\gamma\delta}{\beta\gamma\delta + \alpha\gamma\delta + \alpha\beta\delta + \alpha\beta\gamma}\]

Ответ

\frac{\alpha\beta\gamma\delta}{\beta\gamma\delta + \alpha\gamma\delta + \alpha\beta\delta + \alpha\beta\gamma}

Пример 8

Задача

Найти \log_{30}8, если \lg5 = a,\ \lg3 = b.

Решение

    \[\log_{30}8 = \frac{\log_{2}8}{\log_{2}30} = \frac{3}{\log_{2}2\cdot5\cdot3} = \frac{3}{1 + \log_{2}5 + \log_{2}3}\]

    \[\lg5 = \frac{\log_{2}5}{\log_{2}10} = \frac{\log_{2}5}{\log_{2}2\cdot5} = \frac{\log_{2}5}{1 + \log_{2}5} = a\]

    \[\log_{2}5 = \frac{a}{1 - a}\]

    \[\lg3 = \frac{\log_{2}3}{\log_{2}10} = \frac{\log_{2}3}{\log_{2}2\cdot5} = \frac{\log_{2}3}{1 + \log_{2}5} = \frac{\log_{2}3}{1 + \frac{1}{1 - a}} =\]

    \[= \frac{(1 - a)\log_{2}3}{1} = b\]

    \[\log_{2}3 = \frac{b}{1 - a}\]

    \[\log_{30}8 = \frac{3}{1 + \frac{a}{1 - a} + \frac{b}{1 - a}} = \frac{3(1 - a)}{1 + b}\]

Ответ

\frac{3(1 - a)}{1 + b}

Пример 9

Задача

Доказать равенство: \log_{ab}c = \frac{\log_{a}c\cdot\log_{b}c}{\log_{a}c + \log_{b}c}.

Решение

    \[\log_{ab}c = \frac{\log_{a}c}{\log_{a}ab} = \frac{\log_{a}c}{1 + \log_{a}b} = \frac{\log_{a}c\cdot\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}}{(1 + \log_{a}b)\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}} =\]

    \[= \frac{\log_{a}c\cdot\log_{a}c}{\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b} + \log_{a}c} = \frac{\log_{a}c\cdot\log_{b}c}{\log_{a}c + \log_{b}c}\]

Ответ

\log_{ab}c = \frac{\log_{a}c\cdot\log_{b}c}{\log_{a}c + \log_{b}c}

Пример 10

Задача

b = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}a}},\ c = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}b}}. Показать, что a = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}c}}.

Решение

    \[\log_{8}b = \log_{8}8^{\frac{1}{1 - \log_{8}a}} = \frac{1}{1 - \log_{8}a} \Rightarrow 1 - \log_{8}a = \frac{1}{\log_{8}b} \Rightarrow\]

    \[\Rightarrow \log_{8}a = 1 - \frac{1}{\log_{8}b} \Rightarrow a = 8^{1 - \frac{1}{\log_{8}b}}\]

    \[\log_{8}c = \log_{8}8^{\frac{1}{1 - \log_{8}b}} = \frac{1}{1 - \log_{8}b} \Rightarrow 1 - \log_{8}b = \frac{1}{\log_{8}c} \Rightarrow\]

    \[\Rightarrow \log_{8}b = 1 - \frac{1}{\log_{8}c} = \frac{\log_{8}c - 1}{\log_{8}c}\]

    \[a = 8^{1 - \frac{1}{\left(\frac{\log_{8}c - 1}{\log_{8}c}\right)}} = 8^{1 - \frac{\log_{8}c}{\log_{8}c - 1}} = 8^{\frac{\log_{8}c - 1 - \log_{8}c}{\log_{8}c - 1}} = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}c}}\]

Ответ

a = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}c}}

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2013

Помощь в написании работы

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также