Алгоритм решения задач с логарифмами

Теорема

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется показатель степени, в которую нужно возвести число $a$ , для того, чтобы получить число $b$ . При этом предполагается, что $a > 0$ и $a \neq 1$ .

При решении задач на вычисление логарифмов используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования.

Свойства логарифмов.

$\log_{a}1 = 0$

$\log_{a}a = 1$

Для любого положительного числа $b$ существует единственное число $\alpha$ , такое, что $\log_{a}и = \alpha$

Если $\log_{a}x_{1} = \log_{a}x_{2}$ , то $x_{1} = x_{2}$

Основные правила логарифмирования

$\log_{a}bc = \log_{a}b + \log_{a}c$

$\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b - \log_{a}c$

$\log_{a}b^{c} = c\log_{a}b$

Формулы перехода от одного основания к другому.

$\log_{a}N = \frac{\log_{b}N}{\log_{b}a}$

$\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}$

$\log_{a^{k}}N \equiv \frac{1}{k}\log_{|a|}N,\ (a^{k} > 0)$

$\log_{a\cdot b}N \equiv \frac{\log_{|a|}N}{1 + \log_{|a|}|b|},\ (ab > 0)$

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений задач с логарифмами

Пример 1

Задача

Упростить выражение:

$((\log^{4}_{b}a + \log^{4}_{a}b + 2)^{\frac{1}{2}} + 2)^{\frac{1}{2}} - \log_{b}a - \log_{a}b$

Решение

$((\log^{4}_{b}a + \log^{4}_{a}b + 2)^{\frac{1}{2}} + 2)^{\frac{1}{2}} - \log_{b}a - \log_{a}b =$

$= ((\log^{4}_{b}a + \frac{1}{\log^{4}_{b}a} + 2)^{\frac{1}{2}} + 2)^{\frac{1}{2}} - \log_{b}a - \frac{1}{\log_{b}a} =$

$= \sqrt{\sqrt{\frac{\log^{8}_{b}a + 2\log^{4}_{b}a + 1}{\log^{4}_{b}a}} + 2} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =$

$= \sqrt{\sqrt{\left(\frac{\log^{4}_{b}a + 1}{\log^{2}_{b}a}\right)^{2}} + 2} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =$

$= \sqrt{\frac{\log^{4}_{b}a + 1}{\log^{2}_{b}a} + 2} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =$

$= \sqrt{\frac{\log^{4}_{b}a + 2\log^{2}_{b}a + 1}{\log^{2}_{b}a}} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =$

$= \sqrt{\left(\frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a}\right)^{2}} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =$

$= \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{|\log_{b}a|} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =$

Получаем два случая.

Первый случай:

$\left\{ \begin{array}{ll} \log_{a}b < 0\ \ \ \left\{ \begin{array}{ll} 0 > b > 1, \\ a > 1; \end{array} \right. \cup \left\{ \begin{array}{ll} b > 1, \\ 0 > a > 1; \end{array} \right. \\ -\frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} = \frac{-2(\log^{2}_{b}a + 1)}{\log_{b}a} = -2(\log_{b}a + \log_{a}b); \end{array} \right.$

Второй случай:

$\left\{ \begin{array}{ll} \log_{a}b < 0\ \ \ \left\{ \begin{array}{ll} 0 > b > 1, \\ 0 > a > 1; \end{array} \right. \cup \left\{ \begin{array}{ll} b > 1, \\ a > 1; \end{array} \right. \\ \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} = 0; \end{array} \right.$

Ответ

$-2(\log_{b}a + \log_{a}b)$ , если $\left\{ \begin{array}{ll} a > 1, \\ 0 > b > 1; \end{array} \right.$ или $\left\{ \begin{array}{ll} 0 > a > 1, \\ b > 1; \end{array} \right.$

$0$ , если $\left\{ \begin{array}{ll} 0 > a > 1, \\ 0 > b > 1; \end{array} \right.$ или $\left\{ \begin{array}{ll} a > 1, \\ b > 1; \end{array} \right.$

Пример 2

Задача

Упростить выражение:

$\log_{2}2x^{2} + \log_{2}x\cdot x^{\log_{x}(\log_{2}x+1)} + \frac{1}{2}\log^{2}_{4}x^{4} + 2^{-3\log_{\frac{1}{2}}\log_{2}x}$

Решение

Область допустимых значений переменной $x$ : $x > 1$

$\log_{2}2x^{2} + \log_{2}x\cdot x^{\log_{x}(\log_{2}x+1)} + \frac{1}{2}\log^{2}_{4}x^{4} + 2^{-3\log_{\frac{1}{2}}\log_{2}x} =$

$\log_{2}2 + \log_{2}x^{2} + \log_{2}x\cdot(\log_{2}x + 1) + 2\log^{2}_{2}x + 2^{\log_{2}\log^{3}_{2}x} =$

$1 + 2\log_{2}x + \log^{2}_{2}x + \log_{2}x + 2\log^{2}_{2}x + \log^{3}_{2}x =$

$\log^{3}_{2}x + 3\log^{2}_{2}x + 3\log_{2}x + 1 = (\log_{2}x + 1)^{3}$

Ответ

$(\log_{2}x + 1)^{3}$

Пример 3

Задача

Упростить выражение:

$\left(x^{1 + \frac{1}{2\log_{4}x}} + 8^{\frac{1}{3\log_{x^{2}}2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}}$

Решение

Область допустимых значений переменной $x$ : $x > 0,\ x \neq 1$

$\left(x^{1 + \frac{1}{2\log_{4}x}} + 8^{\frac{1}{3\log_{x^{2}}2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}} = \left(x\cdot x^{\frac{1}{\log_{2}x}} + 2^{\frac{1}{\log_{x^{2}}2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}} =$

$= \left(x\cdot x^{\log_{x}2} + 2^{\log_{2}x^{2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}} = \left(x^{2} + 2x + 1\right)^{\frac{1}{2}} =$

$= \sqrt{(x + 1)^{2}} = |x + 1| = x + 1,\ (x > 0,\ x \neq 1)$

Ответ

$x + 1,\ (x > 0,\ x \neq 1)$

Пример 4

Задача

Упростить выражение:

$\frac{\log_{a}b - \log_{\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}\sqrt{b}}{\log_{\frac{a}{b^{4}}}b - \log_{\frac{a}{b^{6}}}b}/\log_{b}(a^{3}b^{-12})$

Решение

$\frac{\log_{a}b - \log_{\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}\sqrt{b}}{\log_{\frac{a}{b^{4}}}b - \log_{\frac{a}{b^{6}}}b}/\log_{b}(a^{3}b^{-12}) =$

$= \frac{\log_{a}b - \frac{\log_{a}\sqrt{b}}{{\log_{a}\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}}}{\frac{\log_{a}b}{\log_{a}\frac{a}{b^{4}}} - \frac{\log_{a}b}{\log_{a}\frac{a}{b^{6}}}}/\frac{\log_{a}(a^{3}b^{-12})}{\log_{a}b} =$

$= \frac{\log_{a}b - \frac{\frac{1}{2}\log_{a}b}{\frac{1}{2} - 3\log_{a}b}}{\frac{\log_{a}b}{1 - 4\log_{a}b} - \frac{\log_{a}b}{1 - 6\log_{a}b}}\cdot\frac{\log_{a}b}{3 - 12\log_{a}b} =$

$= \frac{-3\log^{2}_{a}b(1 - 4\log_{a}b)(1 - 6\log_{a}b)}{(-6\log^{2}_{a}b + 4\log^{2}_{a}b)\left(\frac{1}{2} - 3\log_{a}b\right)}\cdot\frac{\log_{a}b}{3(1 - 4\log_{a}b)} = \log_{a}b$

Ответ

$\log_{a}b$

Пример 5

Задача

Упростить выражение:

$(6(\log_{b}a\cdot\log_{a^{2}}b +1) + \log_{a}b^{-6} + \log^{2}_{a}b)^{\frac{1}{2}} - \log_{a}b,\ a > 0$

Решение

$(6(\log_{b}a\cdot\log_{a^{2}}b +1) + \log_{a}b^{-6} + \log^{2}_{a}b)^{\frac{1}{2}} - \log_{a}b =$

$= (6(\frac{1}{2} + 1) - 6\log_{a}b + \log^{2}_{a}b)^{\frac{1}{2}} - \log_{a}b =$

$= \sqrt{9 - 6\log_{a}b + \log^{2}_{a}b} - \log_{a}b = \sqrt{(3 - \log_{a}b)^{2}} - \log_{a}b =$

$= |3 - \log_{a}b| - \log_{a}b$

В зависимости от значения выражения под знаком модуля, получим два случая.

Первый случай:

$|3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = \left\{ \begin{array}{ll} 3 - \log_{a}b \leq 0, \\ - 3 + \log_{a}b - \log_{a}b = -3; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} b \geq a^{3}, \\ |3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = -3; \end{array} \right.$

Второй случай:

$|3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = \left\{ \begin{array}{ll} 3 - \log_{a}b > 0, \\ 3 - \log_{a}b - \log_{a}b = 3 - 2\log_{a}b; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} 0 < b < a^{3},\ b \neq 1 \\ |3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = 3 - 2\log_{a}b; \end{array} \right.$

Ответ

$-3$ при $b \geq a^{3}$ , $3 - 2\log_{a}b$ при $0 < b < a^{3},\ b \neq 1$

Пример 6

Задача

Упростить выражение:

$\frac{\log_{a}b + \log_{a}(b^{\frac{1}{2}\log_{b}a^{2}})}{\log_{a}b - \log_{ab}b}\cdot\frac{\log_{ab}b\cdot\log_{a}b}{b^{2\log_{b}\log_{a}b} - 1}$

Решение

$\frac{\log_{a}b + \log_{a}(b^{\frac{1}{2}\log_{b}a^{2}})}{\log_{a}b - \log_{ab}b}\cdot\frac{\log_{ab}b\cdot\log_{a}b}{b^{2\log_{b}\log_{a}b} - 1} =$

$= \frac{\log_{a}b + \log_{a}a}{\log_{a}b - \frac{\log_{a}b}{1 + \log_{a}b}}\cdot\frac{\frac{\log_{a}b}{1 + \log_{a}b}\cdot\log_{a}b}{\log^{2}_{a}b - 1} =$

$= \frac{(1 + \log_{a}b)^{2}}{\log^{2}_{a}b}\cdot\frac{\log^{2}_{a}b}{(1 + \log_{a}b)(\log_{a}b - 1)(\log_{a}b + 1)} =$

$= \frac{1}{\log_{a}b - 1}$

Ответ

$\frac{1}{\log_{a}b - 1}$

Пример 7

Задача

Найти $\log_{x}abcd$ , если $\log_{a}x = \alpha,\ \log_{b}x = \beta,\ \log_{c}x = \gamma,\ \log_{d}x = \delta,\ x \neq 1$ .

Решение

$\log_{x}abcd = \frac{\log_{x}x}{\log_{x}abcd} = \frac{1}{\log_{x}a + \log_{x}b + \log_{x}c + \log_{x}d} =$

$= \frac{1}{\frac{1}{\log_{a}x} + \frac{1}{\log_{b}x} + \frac{1}{\log_{c}x} + \frac{1}{\log_{d}x}} =$

$= \frac{1}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta}} = \frac{\alpha\beta\gamma\delta}{\beta\gamma\delta + \alpha\gamma\delta + \alpha\beta\delta + \alpha\beta\gamma}$

Ответ

$\frac{\alpha\beta\gamma\delta}{\beta\gamma\delta + \alpha\gamma\delta + \alpha\beta\delta + \alpha\beta\gamma}$

Пример 8

Задача

Найти $\log_{30}8$ , если $\lg5 = a,\ \lg3 = b$ .

Решение

$\log_{30}8 = \frac{\log_{2}8}{\log_{2}30} = \frac{3}{\log_{2}2\cdot5\cdot3} = \frac{3}{1 + \log_{2}5 + \log_{2}3}$

$\lg5 = \frac{\log_{2}5}{\log_{2}10} = \frac{\log_{2}5}{\log_{2}2\cdot5} = \frac{\log_{2}5}{1 + \log_{2}5} = a$

$\log_{2}5 = \frac{a}{1 - a}$

$\lg3 = \frac{\log_{2}3}{\log_{2}10} = \frac{\log_{2}3}{\log_{2}2\cdot5} = \frac{\log_{2}3}{1 + \log_{2}5} = \frac{\log_{2}3}{1 + \frac{1}{1 - a}} =$

$= \frac{(1 - a)\log_{2}3}{1} = b$

$\log_{2}3 = \frac{b}{1 - a}$

$\log_{30}8 = \frac{3}{1 + \frac{a}{1 - a} + \frac{b}{1 - a}} = \frac{3(1 - a)}{1 + b}$

Ответ

$\frac{3(1 - a)}{1 + b}$

Пример 9

Задача

Доказать равенство: $\log_{ab}c = \frac{\log_{a}c\cdot\log_{b}c}{\log_{a}c + \log_{b}c}$ .

Решение

$\log_{ab}c = \frac{\log_{a}c}{\log_{a}ab} = \frac{\log_{a}c}{1 + \log_{a}b} = \frac{\log_{a}c\cdot\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}}{(1 + \log_{a}b)\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}} =$

$= \frac{\log_{a}c\cdot\log_{a}c}{\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b} + \log_{a}c} = \frac{\log_{a}c\cdot\log_{b}c}{\log_{a}c + \log_{b}c}$

Ответ

$\log_{ab}c = \frac{\log_{a}c\cdot\log_{b}c}{\log_{a}c + \log_{b}c}$

Пример 10

Задача

$b = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}a}},\ c = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}b}}$ . Показать, что $a = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}c}}$ .

Решение

$\log_{8}b = \log_{8}8^{\frac{1}{1 - \log_{8}a}} = \frac{1}{1 - \log_{8}a} \Rightarrow 1 - \log_{8}a = \frac{1}{\log_{8}b} \Rightarrow$

$\Rightarrow \log_{8}a = 1 - \frac{1}{\log_{8}b} \Rightarrow a = 8^{1 - \frac{1}{\log_{8}b}}$

$\log_{8}c = \log_{8}8^{\frac{1}{1 - \log_{8}b}} = \frac{1}{1 - \log_{8}b} \Rightarrow 1 - \log_{8}b = \frac{1}{\log_{8}c} \Rightarrow$

$\Rightarrow \log_{8}b = 1 - \frac{1}{\log_{8}c} = \frac{\log_{8}c - 1}{\log_{8}c}$

$a = 8^{1 - \frac{1}{\left(\frac{\log_{8}c - 1}{\log_{8}c}\right)}} = 8^{1 - \frac{\log_{8}c}{\log_{8}c - 1}} = 8^{\frac{\log_{8}c - 1 - \log_{8}c}{\log_{8}c - 1}} = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}c}}$

Ответ

$a = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}c}}$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Филипп Х.

Редактор.

Копирайтер, коммерческий автор, писатель, сценарист и автор-универсал в широком смысле.

Добавить комментарий Отменить ответ

Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.

Примеры решений задач с логарифмами с ответами

Алгоритм решения задач с логарифмами

Примеры решений задач с логарифмами