Алгоритм решения задач с логарифмами

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, для того, чтобы получить число b. При этом предполагается, что a > 0 и a \neq 1.

При решении задач на вычисление логарифмов используются свойства логарифмов и основные правила логарифмирования.

Свойства логарифмов.

    \[\log_{a}1 = 0\]

    \[\log_{a}a = 1\]

Для любого положительного числа b существует единственное число \alpha, такое, что \log_{a}и = \alpha

Если \log_{a}x_{1} = \log_{a}x_{2}, то x_{1} = x_{2}

Основные правила логарифмирования

    \[\log_{a}bc = \log_{a}b + \log_{a}c\]

    \[\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b - \log_{a}c\]

    \[\log_{a}b^{c} = c\log_{a}b\]

Формулы перехода от одного основания к другому.

    \[\log_{a}N = \frac{\log_{b}N}{\log_{b}a}\]

    \[\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}\]

    \[\log_{a^{k}}N \equiv \frac{1}{k}\log_{|a|}N,\ (a^{k} > 0)\]

    \[\log_{a\cdot b}N \equiv \frac{\log_{|a|}N}{1 + \log_{|a|}|b|},\ (ab > 0)\]

Примеры решений задач с логарифмами

Пример 1

Задача

Упростить выражение:

    \[((\log^{4}_{b}a + \log^{4}_{a}b + 2)^{\frac{1}{2}} + 2)^{\frac{1}{2}} - \log_{b}a - \log_{a}b\]

.

Решение

    \[((\log^{4}_{b}a + \log^{4}_{a}b + 2)^{\frac{1}{2}} + 2)^{\frac{1}{2}} - \log_{b}a - \log_{a}b =\]

    \[= ((\log^{4}_{b}a + \frac{1}{\log^{4}_{b}a} + 2)^{\frac{1}{2}} + 2)^{\frac{1}{2}} - \log_{b}a - \frac{1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \sqrt{\sqrt{\frac{\log^{8}_{b}a + 2\log^{4}_{b}a + 1}{\log^{4}_{b}a}} + 2} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \sqrt{\sqrt{\left(\frac{\log^{4}_{b}a + 1}{\log^{2}_{b}a}\right)^{2}} + 2} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \sqrt{\frac{\log^{4}_{b}a + 1}{\log^{2}_{b}a} + 2} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \sqrt{\frac{\log^{4}_{b}a + 2\log^{2}_{b}a + 1}{\log^{2}_{b}a}} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \sqrt{\left(\frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a}\right)^{2}} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

    \[= \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{|\log_{b}a|} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} =\]

Получаем два случая.

Первый случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} \log_{a}b < 0\ \ \ \left\{ \begin{array}{ll} 0 > b > 1, \\ a > 1; \end{array} \right. \cup \left\{ \begin{array}{ll} b > 1, \\ 0 > a > 1; \end{array} \right. \\ -\frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} = \frac{-2(\log^{2}_{b}a + 1)}{\log_{b}a} = -2(\log_{b}a + \log_{a}b); \end{array} \right.\]

Второй случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} \log_{a}b < 0\ \ \ \left\{ \begin{array}{ll} 0 > b > 1, \\ 0 > a > 1; \end{array} \right. \cup \left\{ \begin{array}{ll} b > 1, \\ a > 1; \end{array} \right. \\ \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} - \frac{\log^{2}_{b}a + 1}{\log_{b}a} = 0; \end{array} \right.\]

Ответ

-2(\log_{b}a + \log_{a}b), если \left\{ \begin{array}{ll} a > 1, \\ 0 > b > 1; \end{array} \right. или \left\{ \begin{array}{ll} 0 > a > 1, \\ b > 1; \end{array} \right.

0, если \left\{ \begin{array}{ll} 0 > a > 1, \\ 0 > b > 1; \end{array} \right. или \left\{ \begin{array}{ll} a > 1, \\ b > 1; \end{array} \right.

Пример 2

Задача

Упростить выражение:

    \[\log_{2}2x^{2} + \log_{2}x\cdot x^{\log_{x}(\log_{2}x+1)} + \frac{1}{2}\log^{2}_{4}x^{4} + 2^{-3\log_{\frac{1}{2}}\log_{2}x}\]

.

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Решение

Область допустимых значений переменной x: x > 1

    \[\log_{2}2x^{2} + \log_{2}x\cdot x^{\log_{x}(\log_{2}x+1)} + \frac{1}{2}\log^{2}_{4}x^{4} + 2^{-3\log_{\frac{1}{2}}\log_{2}x} =\]

=

    \[\log_{2}2 + \log_{2}x^{2} + \log_{2}x\cdot(\log_{2}x + 1) + 2\log^{2}_{2}x + 2^{\log_{2}\log^{3}_{2}x} =\]

=

    \[1 + 2\log_{2}x + \log^{2}_{2}x + \log_{2}x + 2\log^{2}_{2}x + \log^{3}_{2}x =\]

=

    \[\log^{3}_{2}x + 3\log^{2}_{2}x + 3\log_{2}x + 1 = (\log_{2}x + 1)^{3}\]

Ответ

(\log_{2}x + 1)^{3}

Пример 3

Задача

Упростить выражение:

    \[\left(x^{1 + \frac{1}{2\log_{4}x}} + 8^{\frac{1}{3\log_{x^{2}}2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}}\]

.

Решение

Область допустимых значений переменной x: x > 0,\ x \neq 1

    \[\left(x^{1 + \frac{1}{2\log_{4}x}} + 8^{\frac{1}{3\log_{x^{2}}2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}} = \left(x\cdot x^{\frac{1}{\log_{2}x}} + 2^{\frac{1}{\log_{x^{2}}2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}} =\]

    \[= \left(x\cdot x^{\log_{x}2} + 2^{\log_{2}x^{2}} + 1\right)^{\frac{1}{2}} = \left(x^{2} + 2x + 1\right)^{\frac{1}{2}} =\]

    \[= \sqrt{(x + 1)^{2}} = |x + 1| = x + 1,\ (x > 0,\ x \neq 1)\]

Ответ

x + 1,\ (x > 0,\ x \neq 1)

Пример 4

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{\log_{a}b - \log_{\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}\sqrt{b}}{\log_{\frac{a}{b^{4}}}b - \log_{\frac{a}{b^{6}}}b}/\log_{b}(a^{3}b^{-12})\]

.

Решение

    \[\frac{\log_{a}b - \log_{\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}\sqrt{b}}{\log_{\frac{a}{b^{4}}}b - \log_{\frac{a}{b^{6}}}b}/\log_{b}(a^{3}b^{-12}) =\]

    \[= \frac{\log_{a}b - \frac{\log_{a}\sqrt{b}}{{\log_{a}\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}}}{\frac{\log_{a}b}{\log_{a}\frac{a}{b^{4}}} - \frac{\log_{a}b}{\log_{a}\frac{a}{b^{6}}}}/\frac{\log_{a}(a^{3}b^{-12})}{\log_{a}b} =\]

    \[= \frac{\log_{a}b - \frac{\frac{1}{2}\log_{a}b}{\frac{1}{2} - 3\log_{a}b}}{\frac{\log_{a}b}{1 - 4\log_{a}b} - \frac{\log_{a}b}{1 - 6\log_{a}b}}\cdot\frac{\log_{a}b}{3 - 12\log_{a}b} =\]

    \[= \frac{-3\log^{2}_{a}b(1 - 4\log_{a}b)(1 - 6\log_{a}b)}{(-6\log^{2}_{a}b + 4\log^{2}_{a}b)\left(\frac{1}{2} - 3\log_{a}b\right)}\cdot\frac{\log_{a}b}{3(1 - 4\log_{a}b)} = \log_{a}b\]

Ответ

\log_{a}b

Пример 5

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Задача

Упростить выражение:

    \[(6(\log_{b}a\cdot\log_{a^{2}}b +1) + \log_{a}b^{-6} + \log^{2}_{a}b)^{\frac{1}{2}} - \log_{a}b,\ a > 0\]

.

Решение

    \[(6(\log_{b}a\cdot\log_{a^{2}}b +1) + \log_{a}b^{-6} + \log^{2}_{a}b)^{\frac{1}{2}} - \log_{a}b =\]

    \[= (6(\frac{1}{2} + 1) - 6\log_{a}b + \log^{2}_{a}b)^{\frac{1}{2}} - \log_{a}b =\]

    \[= \sqrt{9 - 6\log_{a}b + \log^{2}_{a}b} - \log_{a}b = \sqrt{(3 - \log_{a}b)^{2}} - \log_{a}b =\]

    \[= |3 - \log_{a}b| - \log_{a}b\]

В зависимости от значения выражения под знаком модуля, получим два случая.

Первый случай:

    \[|3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = \left\{ \begin{array}{ll} 3 - \log_{a}b \leq 0, \\ - 3 + \log_{a}b - \log_{a}b = -3; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} b \geq a^{3}, \\ |3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = -3; \end{array} \right.\]

Второй случай:

    \[|3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = \left\{ \begin{array}{ll} 3 - \log_{a}b > 0, \\ 3 - \log_{a}b - \log_{a}b = 3 - 2\log_{a}b; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0 < b < a^{3},\ b \neq 1 \\ |3 - \log_{a}b| - \log_{a}b = 3 - 2\log_{a}b; \end{array} \right.\]

Ответ

-3 при b \geq a^{3}, 3 - 2\log_{a}b при 0 < b < a^{3},\ b \neq 1

Пример 6

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{\log_{a}b + \log_{a}(b^{\frac{1}{2}\log_{b}a^{2}})}{\log_{a}b - \log_{ab}b}\cdot\frac{\log_{ab}b\cdot\log_{a}b}{b^{2\log_{b}\log_{a}b} - 1}\]

.

Решение

    \[\frac{\log_{a}b + \log_{a}(b^{\frac{1}{2}\log_{b}a^{2}})}{\log_{a}b - \log_{ab}b}\cdot\frac{\log_{ab}b\cdot\log_{a}b}{b^{2\log_{b}\log_{a}b} - 1} =\]

    \[= \frac{\log_{a}b + \log_{a}a}{\log_{a}b - \frac{\log_{a}b}{1 + \log_{a}b}}\cdot\frac{\frac{\log_{a}b}{1 + \log_{a}b}\cdot\log_{a}b}{\log^{2}_{a}b - 1} =\]

    \[= \frac{(1 + \log_{a}b)^{2}}{\log^{2}_{a}b}\cdot\frac{\log^{2}_{a}b}{(1 + \log_{a}b)(\log_{a}b - 1)(\log_{a}b + 1)} =\]

    \[= \frac{1}{\log_{a}b - 1}\]

Ответ

\frac{1}{\log_{a}b - 1}

Пример 7

Задача

Найти \log_{x}abcd, если \log_{a}x = \alpha,\ \log_{b}x = \beta,\ \log_{c}x = \gamma,\ \log_{d}x = \delta,\ x \neq 1.

Решение

    \[\log_{x}abcd = \frac{\log_{x}x}{\log_{x}abcd} = \frac{1}{\log_{x}a + \log_{x}b + \log_{x}c + \log_{x}d} =\]

    \[= \frac{1}{\frac{1}{\log_{a}x} + \frac{1}{\log_{b}x} + \frac{1}{\log_{c}x} + \frac{1}{\log_{d}x}} =\]

    \[= \frac{1}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta}} = \frac{\alpha\beta\gamma\delta}{\beta\gamma\delta + \alpha\gamma\delta + \alpha\beta\delta + \alpha\beta\gamma}\]

Ответ

\frac{\alpha\beta\gamma\delta}{\beta\gamma\delta + \alpha\gamma\delta + \alpha\beta\delta + \alpha\beta\gamma}

Пример 8

Задача

Найти \log_{30}8, если \lg5 = a,\ \lg3 = b.

Решение

    \[\log_{30}8 = \frac{\log_{2}8}{\log_{2}30} = \frac{3}{\log_{2}2\cdot5\cdot3} = \frac{3}{1 + \log_{2}5 + \log_{2}3}\]

    \[\lg5 = \frac{\log_{2}5}{\log_{2}10} = \frac{\log_{2}5}{\log_{2}2\cdot5} = \frac{\log_{2}5}{1 + \log_{2}5} = a\]

    \[\log_{2}5 = \frac{a}{1 - a}\]

    \[\lg3 = \frac{\log_{2}3}{\log_{2}10} = \frac{\log_{2}3}{\log_{2}2\cdot5} = \frac{\log_{2}3}{1 + \log_{2}5} = \frac{\log_{2}3}{1 + \frac{1}{1 - a}} =\]

    \[= \frac{(1 - a)\log_{2}3}{1} = b\]

    \[\log_{2}3 = \frac{b}{1 - a}\]

    \[\log_{30}8 = \frac{3}{1 + \frac{a}{1 - a} + \frac{b}{1 - a}} = \frac{3(1 - a)}{1 + b}\]

Ответ

\frac{3(1 - a)}{1 + b}

Пример 9

Задача

Доказать равенство: \log_{ab}c = \frac{\log_{a}c\cdot\log_{b}c}{\log_{a}c + \log_{b}c}.

Решение

    \[\log_{ab}c = \frac{\log_{a}c}{\log_{a}ab} = \frac{\log_{a}c}{1 + \log_{a}b} = \frac{\log_{a}c\cdot\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}}{(1 + \log_{a}b)\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}} =\]

    \[= \frac{\log_{a}c\cdot\log_{a}c}{\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b} + \log_{a}c} = \frac{\log_{a}c\cdot\log_{b}c}{\log_{a}c + \log_{b}c}\]

Ответ

\log_{ab}c = \frac{\log_{a}c\cdot\log_{b}c}{\log_{a}c + \log_{b}c}

Пример 10

Задача

b = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}a}},\ c = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}b}}. Показать, что a = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}c}}.

Решение

    \[\log_{8}b = \log_{8}8^{\frac{1}{1 - \log_{8}a}} = \frac{1}{1 - \log_{8}a} \Rightarrow 1 - \log_{8}a = \frac{1}{\log_{8}b} \Rightarrow\]

    \[\Rightarrow \log_{8}a = 1 - \frac{1}{\log_{8}b} \Rightarrow a = 8^{1 - \frac{1}{\log_{8}b}}\]

    \[\log_{8}c = \log_{8}8^{\frac{1}{1 - \log_{8}b}} = \frac{1}{1 - \log_{8}b} \Rightarrow 1 - \log_{8}b = \frac{1}{\log_{8}c} \Rightarrow\]

    \[\Rightarrow \log_{8}b = 1 - \frac{1}{\log_{8}c} = \frac{\log_{8}c - 1}{\log_{8}c}\]

    \[a = 8^{1 - \frac{1}{\left(\frac{\log_{8}c - 1}{\log_{8}c}\right)}} = 8^{1 - \frac{\log_{8}c}{\log_{8}c - 1}} = 8^{\frac{\log_{8}c - 1 - \log_{8}c}{\log_{8}c - 1}} = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}c}}\]

Ответ

a = 8^{\frac{1}{1 - \log_{8}c}}

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

450

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также