Простое объяснение принципов решения частных производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения частных производных

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости

Алгоритм
Вычисление частной производной функции из нескольких переменных осуществляется по тем же правилам, что и функций с одной переменной. Разница лишь той, что другие переменные не участвуют дифференцировании (вычислении производной).

Проще говоря, чтобы найти частную производную функции z = x^{8} + 32y^{4} по переменной x,переменную y будем считать константой (производная константы равна нулю), после чего находим производную функции по x с помощью таблицы производных элементарных функций – {z_{x}}' = 8x^{7}. Готово!

Примеры решения частных производных

Задача 1

Задача

Найти частные производные функции u = x^{2} + 3xy + 4y^{2}.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной x:

Производная суммы равна сумме производных. Производная от x^{2} вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого 3xy вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент y считается константой. Производная от слагаемого 4y^{2} вычисляется как производная от константы.

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 2x + 3y + 0 = 2x + 3y.

Частная производная функции по независимой переменной y:

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от x^{2} вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается y). Производная от слагаемого 3xy вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент x считается константой, а y – независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого 4y^{2} осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 0 + 3x + 8y = 3x + 8y.

Ответ

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = 2x + 3y,\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = 3x + 8y.


Задача 2

Задача

Найти частные производные функции u = e^{\frac{x}{y}}.

Решение

Найдём частную производную функции по независимой переменной x:

Функция e^{\frac{x}{y}} является сложной. Производной показательной функции с основанием e является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что y является константой и равна u = \frac{1}{y}. Производная функции u равна произведению e^{\frac{x}{y}} и \frac{1}{y}. В результате получаем:

{u_{x}}' = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}.

Найдём частную производную функции по независимой переменной y:

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции e^{\frac{x}{y}} и показателя её степени \frac{x}{y}:

Считая x постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу y:

(e^{\frac{x}{y}})' = e^{\frac{x}{y}}

(\frac{x}{y})' = -\frac{x}{y^{2}}

{u_{y}}' = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}.

Ответ

{u_{x}}' = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}},\ {u_{y}}' = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}.

Задача 3

Задача

Найти частные производные функции z = x^{n} + y^{n}, n - натуральное число.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной x будет равна производной от x^{n}. Производная от слагаемого y^{n} при этом будет равна нулю как производная от константы.

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = nx^{n-1}

Частная производная функции по независимой переменной y находится аналогичным образом, при этом предполагается, что x является константой.

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = ny^{n-1}

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = nx^{n-1},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = ny^{n-1}

Задача 4

Задача

Найти частные производные функции u = y\sin{x} + \sin{y}.

Решение

Частная производная функции u по независимой переменной x определяется слагаемым u = y\sin{x}. Производная второго слагаемого – \sin{y} равна нулю, как производная от константы.

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x}

В свою очередь, частная производная функции u по независимой переменной y будет определяться обоими слагаемым:

{(y\sin{x})_y}' = \sin{x}

{(\sin{y})_y}' = \cos{y}

Таким образом, окончательно получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y}

Ответ

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x},\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y}

Задача 5

Задача

Найти частные производные функции u = x^{\sin{y}},\ x > 0.

Решение

При нахождении производной по независимой переменной x, функцию u = x^{\sin{y}} следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}

Производная по независимой переменной y находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная y входит в показатель степени виде функции \sin{x}.

Производная показательной функции равна:

{(x^{sin{y}})_{y}}' = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}

Производная показателя степени равна:

{(sin{y})}' = \cos{y}

В результате получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}

Ответ

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}},\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}

Задача 6

Задача

Найти частные производные функции z = e^{x}\cos{y} - e^{y}\sin{x}.

Решение

Частная производная по независимой переменной x находится как сумма слагаемых:

{(e^{x}\cos{y})_{x}}' = e^{x}\cos{y}

{(- e^{y}\sin{x})_{x}}' = - e^{y}\cos{x}

Частная производная по независимой переменной y находится как сумма слагаемых:

{(e^{x}\cos{y})_{y}}' = -e^{x}\sin{y}

{(- e^{y}\sin{x})_{y}}' = - e^{y}\sin{x}

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{x}\cos{y} - e^{y}\cos{x},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = -e^{x}\sin{y} - e^{y}\sin{x}

Задача 7

Задача

Найти частные производные функции z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Решение

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая x как независимый аргумент:

{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{x}}' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} следует домножить на производную подкоренного выражения: {({x^{2} + y^{2}})_{x}}' = 2x.

Рассматривая y в качестве независимого аргумента, получаем:

{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{y}}' = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} следует домножить на производную подкоренного выражения: {({x^{2} + y^{2}})_{y}}' = 2y.

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Задача 8

Задача

Найти частные производные функции z = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}.

Решение

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием e равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени:  arctg\ {\frac{y}{x}}. В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: \frac{y}{x}. Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций: e^{arctg\ {\frac{y}{x}}},\ arctg\ {\frac{y}{x}} и \frac{y}{x}.

Нахождение частной производной функции по аргументу x:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{x}}'\cdot{({\frac{y}{x}})_{x}}' = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}

Нахождение частной производной функции по аргументу y:

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{y}}'\cdot{({\frac{y}{x}})_{y}}' = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}, \ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}

Задача 9

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции z = x\sin(x +y).

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу x:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \sin(x + y) + x\cos(x + y)

Найдём частную производную второго порядка по аргументу x:

\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \cos(x + y) + \cos(x + y) - x\sin(x +y)

Найдём частную производную первого порядка по аргументу y:

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = x\cos(x + y)

Найдём частную производную второго порядка по аргументу y:

\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = -x\sin(x +y)

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \sin(x + y) + x\cos(x + y),\  \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = 2\cos(x + y) - x\sin(x +y),\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = x\cos(x + y),\ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = -x\sin(x +y)

Задача 10

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции z = (\frac{x}{y})^{2}.

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу x:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 2\cdot{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{1}{y}}

Найдём частную производную второго порядка по аргументу x:

\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \frac{2}{y^{2}}

Найдём частную производную первого порядка по аргументу y:

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = 2\cdot{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{-x}{y^{2}}} = -\frac{2x^{2}}{y^{3}}

Найдём частную производную второго порядка по аргументу y:

\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = \frac{6x^{2}y^{2}}{y^{6}} = \frac{6x^{2}}{y^{4}}

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{2x}{y^{2}},\  \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \frac{2}{y^{2}},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = -\frac{2x^{2}}{y^{3}},\ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = \frac{6x^{2}}{y^{4}}

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 1

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

8257

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *