Примеры решения частных производных с ответами

Задача

Найти частные производные функции $ u = x^{2} + 3xy + 4y^{2} $.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной $ x $:

Производная суммы равна сумме производных. Производная от $ x^{2} $ вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого $ 3xy $ вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент $ y $ считается константой. Производная от слагаемого $ 4y^{2} $ вычисляется как производная от константы.

$ \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = (x^{2})’ + (3xy)’ + (4y^{2})’ = 2x + 3y + 0 = 2x + 3y $.

Частная производная функции по независимой переменной $ y $:

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от $ x^{2} $ вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается $ y $). Производная от слагаемого $ 3xy $ вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент $ x $ считается константой, а $ y $ – независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого $ 4y^{2} $ осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.

$ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = (x^{2})’ + (3xy)’ + (4y^{2})’ = 0 + 3x + 8y = 3x + 8y $.

Ответ

$ \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = 2x + 3y,\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = 3x + 8y $.

Задача

Найти частные производные функции $ u = e^{\frac{x}{y}} $.

Решение

Найдём частную производную функции по независимой переменной $ x $:

Функция $ e^{\frac{x}{y}} $ является сложной. Производной показательной функции с основанием $ e $ является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что $ y $ является константой и равна $ u = \frac{1}{y} $. Производная функции $ u $ равна произведению $ e^{\frac{x}{y}} $ и $ \frac{1}{y} $. В результате получаем:

$ {u_{x}}’ = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}} $.

Найдём частную производную функции по независимой переменной $ y $:

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции $ e^{\frac{x}{y}} $ и показателя её степени $ \frac{x}{y} $:

Считая $ x $ постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу $ y $:

$ (e^{\frac{x}{y}})’ = e^{\frac{x}{y}} $

$ (\frac{x}{y})’ = -\frac{x}{y^{2}} $

$ {u_{y}}’ = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}} $.

Ответ

$ {u_{x}}’ = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}},\ {u_{y}}’ = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}} $.

Задача

Найти частные производные функции $ z = x^{n} + y^{n}, n – натуральное число $.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной $ x $ будет равна производной от $ x^{n} $. Производная от слагаемого $ y^{n} $ при этом будет равна нулю как производная от константы.

$ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = nx^{n-1} $

Частная производная функции по независимой переменной $ y $ находится аналогичным образом, при этом предполагается, что $ x $ является константой.

$ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = ny^{n-1} $

Ответ

$ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = nx^{n-1},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = ny^{n-1} $

Задача

Найти частные производные функции $ u = y\sin{x} + \sin{y} $.

Решение

Частная производная функции $ u $ по независимой переменной $ x $ определяется слагаемым $ u = y\sin{x} $. Производная второго слагаемого – $ \sin{y} $ равна нулю, как производная от константы.

$ \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x} $

В свою очередь, частная производная функции $ u $ по независимой переменной $ y $ будет определяться обоими слагаемым:

$ {(y\sin{x})_y}’ = \sin{x} $

$ {(\sin{y})_y}’ = \cos{y} $

Таким образом, окончательно получаем:

$ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y} $

Ответ

$ \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x},\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y} $

Задача

Найти частные производные функции $ u = x^{\sin{y}},\ x > 0 $.

Решение

При нахождении производной по независимой переменной $ x $, функцию $ u = x^{\sin{y}} $ следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

$ \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} – 1}} $

Производная по независимой переменной $ y $ находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная $ y $ входит в показатель степени виде функции $ \sin{x} $.

Производная показательной функции равна:

$ {(x^{sin{y}})_{y}}’ = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}$

Производная показателя степени равна:

$ {(sin{y})}’ = \cos{y} $

В результате получаем:

$ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}} $

Ответ

$ \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} – 1}},\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}} $

Задача

Найти частные производные функции $ z = e^{x}\cos{y} – e^{y}\sin{x} $.

Решение

Частная производная по независимой переменной $ x $ находится как сумма слагаемых:

$ {(e^{x}\cos{y})_{x}}’ = e^{x}\cos{y} $

$ {(- e^{y}\sin{x})_{x}}’ = – e^{y}\cos{x} $

Частная производная по независимой переменной $ y $ находится как сумма слагаемых:

$ {(e^{x}\cos{y})_{y}}’ = -e^{x}\sin{y} $

$ {(- e^{y}\sin{x})_{y}}’ = – e^{y}\sin{x} $

Ответ

$ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{x}\cos{y} – e^{y}\cos{x},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = -e^{x}\sin{y} – e^{y}\sin{x} $

Задача

Найти частные производные функции $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.

Решение

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая $ x $ как независимый аргумент:

$ {(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{x}}’ = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – $ \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $ следует домножить на производную подкоренного выражения: $ {({x^{2} + y^{2}})_{x}}’ = 2x $.

Рассматривая $ y $ в качестве независимого аргумента, получаем:

$ {(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{y}}’ = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – $ \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $ следует домножить на производную подкоренного выражения: $ {({x^{2} + y^{2}})_{y}}’ = 2y $.

Ответ

$ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $

Задача

Найти частные производные функции $ z = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}} $.

Решение

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием $ e $ равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени: $ arctg\ {\frac{y}{x}} $. В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: $ \frac{y}{x} $. Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций: $ e^{arctg\ {\frac{y}{x}}},\ arctg\ {\frac{y}{x}} $ и $ \frac{y}{x} $.

Нахождение частной производной функции по аргументу $ x $:

$ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{x}}’\cdot{({\frac{y}{x}})_{x}}’ = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = – e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}} $

Нахождение частной производной функции по аргументу $ y $:

$ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{y}}’\cdot{({\frac{y}{x}})_{y}}’ = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}} $

Ответ

$ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = – e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}, \ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}} $

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции $ z = x\sin(x +y) $.

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу $ x $:

$ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \sin(x + y) + x\cos(x + y) $

Найдём частную производную второго порядка по аргументу $ x $:

$ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \cos(x + y) + \cos(x + y) – x\sin(x +y) $

Найдём частную производную первого порядка по аргументу $ y $:

$ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = x\cos(x + y) $

Найдём частную производную второго порядка по аргументу $ y $:

$ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = -x\sin(x +y) $

Ответ

$ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \sin(x + y) + x\cos(x + y),\  \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = 2\cos(x + y) – x\sin(x +y),\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = x\cos(x + y),\ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = -x\sin(x +y) $

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции $ z = (\frac{x}{y})^{2} $.

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу $ x $:

$ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 2\cdot{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{1}{y}} $

Найдём частную производную второго порядка по аргументу $ x $:

$ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \frac{2}{y^{2}} $

Найдём частную производную первого порядка по аргументу $ y $:

$ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = 2\cdot{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{-x}{y^{2}}} = -\frac{2x^{2}}{y^{3}} $

Найдём частную производную второго порядка по аргументу $ y $:

$ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = \frac{6x^{2}y^{2}}{y^{6}} = \frac{6x^{2}}{y^{4}} $

Ответ

$ \frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{2x}{y^{2}},\  \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \frac{2}{y^{2}},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = -\frac{2x^{2}}{y^{3}},\ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = \frac{6x^{2}}{y^{4}} $