Алгоритм решения частных производных

Алгоритм

Вычисление частной производной функции из нескольких переменных осуществляется по тем же правилам, что и функций с одной переменной. Разница лишь той, что другие переменные не участвуют дифференцировании (вычислении производной).

Проще говоря, чтобы найти частную производную функции $z = x^{8} + 32y^{4}$ по переменной $x$ ,переменную $y$ будем считать константой (производная константы равна нулю), после чего находим производную функции по $x$ с помощью таблицы производных элементарных функций – ${z_{x}}' = 8x^{7}$ . Готово!

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решения частных производных

Задача 1

Задача

Найти частные производные функции $u = x^{2} + 3xy + 4y^{2}$ .

Решение

Частная производная функции по независимой переменной $x$ :

Производная суммы равна сумме производных. Производная от $x^{2}$ вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого $3xy$ вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент $y$ считается константой. Производная от слагаемого $4y^{2}$ вычисляется как производная от константы.

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 2x + 3y + 0 = 2x + 3y$ .

Частная производная функции по независимой переменной $y$ :

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от $x^{2}$ вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается $y$ ). Производная от слагаемого $3xy$ вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент $x$ считается константой, а $y$ – независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого $4y^{2}$ осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 0 + 3x + 8y = 3x + 8y$ .

Ответ

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = 2x + 3y,\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = 3x + 8y$ .

Задача 2

Задача

Найти частные производные функции $u = e^{\frac{x}{y}}$ .

Решение

Найдём частную производную функции по независимой переменной $x$ :

Функция $e^{\frac{x}{y}}$ является сложной. Производной показательной функции с основанием $e$ является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что $y$ является константой и равна $u = \frac{1}{y}$ . Производная функции $u$ равна произведению $e^{\frac{x}{y}}$ и $\frac{1}{y}$ . В результате получаем:

${u_{x}}' = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}$ .

Найдём частную производную функции по независимой переменной $y$ :

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции $e^{\frac{x}{y}}$ и показателя её степени $\frac{x}{y}$ :

Считая $x$ постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу $y$ :

$(e^{\frac{x}{y}})' = e^{\frac{x}{y}}$

$(\frac{x}{y})' = -\frac{x}{y^{2}}$

${u_{y}}' = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}$ .

Ответ

${u_{x}}' = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}},\ {u_{y}}' = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}$ .

Задача 3

Задача

Найти частные производные функции $z = x^{n} + y^{n}, n - натуральное число$ .

Решение

Частная производная функции по независимой переменной $x$ будет равна производной от $x^{n}$ . Производная от слагаемого $y^{n}$ при этом будет равна нулю как производная от константы.

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = nx^{n-1}$

Частная производная функции по независимой переменной $y$ находится аналогичным образом, при этом предполагается, что $x$ является константой.

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = ny^{n-1}$

Ответ

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = nx^{n-1},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = ny^{n-1}$

Задача 4

Задача

Найти частные производные функции $u = y\sin{x} + \sin{y}$ .

Решение

Частная производная функции $u$ по независимой переменной $x$ определяется слагаемым $u = y\sin{x}$ . Производная второго слагаемого – $\sin{y}$ равна нулю, как производная от константы.

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x}$

В свою очередь, частная производная функции $u$ по независимой переменной $y$ будет определяться обоими слагаемым:

${(y\sin{x})_y}' = \sin{x}$

${(\sin{y})_y}' = \cos{y}$

Таким образом, окончательно получаем:

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y}$

Ответ

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x},\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y}$

Задача 5

Задача

Найти частные производные функции $u = x^{\sin{y}},\ x > 0$ .

Решение

При нахождении производной по независимой переменной $x$ , функцию $u = x^{\sin{y}}$ следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}$

Производная по независимой переменной $y$ находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная $y$ входит в показатель степени виде функции $\sin{x}$ .

Производная показательной функции равна:

${(x^{sin{y}})_{y}}' = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}$

Производная показателя степени равна:

${(sin{y})}' = \cos{y}$

В результате получаем:

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}$

Ответ

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}},\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}$

Задача 6

Задача

Найти частные производные функции $z = e^{x}\cos{y} - e^{y}\sin{x}$ .

Решение

Частная производная по независимой переменной $x$ находится как сумма слагаемых:

${(e^{x}\cos{y})_{x}}' = e^{x}\cos{y}$

${(- e^{y}\sin{x})_{x}}' = - e^{y}\cos{x}$

Частная производная по независимой переменной $y$ находится как сумма слагаемых:

${(e^{x}\cos{y})_{y}}' = -e^{x}\sin{y}$

${(- e^{y}\sin{x})_{y}}' = - e^{y}\sin{x}$

Ответ

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{x}\cos{y} - e^{y}\cos{x},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = -e^{x}\sin{y} - e^{y}\sin{x}$

Задача 7

Задача

Найти частные производные функции $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Решение

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая $x$ как независимый аргумент:

${(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{x}}' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – $\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ следует домножить на производную подкоренного выражения: ${({x^{2} + y^{2}})_{x}}' = 2x$ .

Рассматривая $y$ в качестве независимого аргумента, получаем:

${(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{y}}' = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – $\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ следует домножить на производную подкоренного выражения: ${({x^{2} + y^{2}})_{y}}' = 2y$ .

Ответ

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

Задача 8

Задача

Найти частные производные функции $z = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}$ .

Решение

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием $e$ равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени: $arctg\ {\frac{y}{x}}$ . В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: $\frac{y}{x}$ . Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций: $e^{arctg\ {\frac{y}{x}}},\ arctg\ {\frac{y}{x}}$ и $\frac{y}{x}$ .

Нахождение частной производной функции по аргументу $x$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{x}}'\cdot{({\frac{y}{x}})_{x}}' = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}$

Нахождение частной производной функции по аргументу $y$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{y}}'\cdot{({\frac{y}{x}})_{y}}' = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}$

Ответ

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}, \ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}$

Задача 9

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции $z = x\sin(x +y)$ .

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу $x$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \sin(x + y) + x\cos(x + y)$

Найдём частную производную второго порядка по аргументу $x$ :

$\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \cos(x + y) + \cos(x + y) - x\sin(x +y)$

Найдём частную производную первого порядка по аргументу $y$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = x\cos(x + y)$

Найдём частную производную второго порядка по аргументу $y$ :

$\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = -x\sin(x +y)$

Ответ

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \sin(x + y) + x\cos(x + y),\ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = 2\cos(x + y) - x\sin(x +y),\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = x\cos(x + y),\ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = -x\sin(x +y)$

Задача 10

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции $z = (\frac{x}{y})^{2}$ .

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу $x$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 2\cdot{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{1}{y}}$

Найдём частную производную второго порядка по аргументу $x$ :

$\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \frac{2}{y^{2}}$

Найдём частную производную первого порядка по аргументу $y$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = 2\cdot{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{-x}{y^{2}}} = -\frac{2x^{2}}{y^{3}}$

Найдём частную производную второго порядка по аргументу $y$ :

$\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = \frac{6x^{2}y^{2}}{y^{6}} = \frac{6x^{2}}{y^{4}}$

Ответ

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{2x}{y^{2}},\ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \frac{2}{y^{2}},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = -\frac{2x^{2}}{y^{3}},\ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = \frac{6x^{2}}{y^{4}}$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Филипп Х.

Редактор.

Копирайтер, коммерческий автор, писатель, сценарист и автор-универсал в широком смысле.

Тарас:

22 февраля 2021 в 22:46

Спасибо, помогло в понимании темы частных производных!

Ответить

Добавить комментарий Отменить ответ

Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.

Примеры решения частных производных с ответами

Алгоритм решения частных производных

Примеры решения частных производных