Алгоритм решения частных производных

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Алгоритм
Вычисление частной производной функции из нескольких переменных осуществляется по тем же правилам, что и функций с одной переменной. Разница лишь той, что другие переменные не участвуют дифференцировании (вычислении производной).

Проще говоря, чтобы найти частную производную функции z = x^{8} + 32y^{4} по переменной x,переменную y будем считать константой (производная константы равна нулю), после чего находим производную функции по x с помощью таблицы производных элементарных функций – {z_{x}}' = 8x^{7}. Готово!

Примеры решения частных производных

Задача 1

Задача

Найти частные производные функции u = x^{2} + 3xy + 4y^{2}.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной x:

Производная суммы равна сумме производных. Производная от x^{2} вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого 3xy вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент y считается константой. Производная от слагаемого 4y^{2} вычисляется как производная от константы.

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 2x + 3y + 0 = 2x + 3y.

Частная производная функции по независимой переменной y:

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от x^{2} вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается y). Производная от слагаемого 3xy вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент x считается константой, а y – независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого 4y^{2} осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 0 + 3x + 8y = 3x + 8y.

Ответ

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = 2x + 3y,\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = 3x + 8y.


Задача 2

Задача

Найти частные производные функции u = e^{\frac{x}{y}}.

Решение

Найдём частную производную функции по независимой переменной x:

Функция e^{\frac{x}{y}} является сложной. Производной показательной функции с основанием e является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что y является константой и равна u = \frac{1}{y}. Производная функции u равна произведению e^{\frac{x}{y}} и \frac{1}{y}. В результате получаем:

{u_{x}}' = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}.

Найдём частную производную функции по независимой переменной y:

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции e^{\frac{x}{y}} и показателя её степени \frac{x}{y}:

Считая x постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу y:

(e^{\frac{x}{y}})' = e^{\frac{x}{y}}

(\frac{x}{y})' = -\frac{x}{y^{2}}

{u_{y}}' = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}.

Ответ

{u_{x}}' = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}},\ {u_{y}}' = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}.

Задача 3

Задача

Найти частные производные функции z = x^{n} + y^{n}, n - натуральное число.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной x будет равна производной от x^{n}. Производная от слагаемого y^{n} при этом будет равна нулю как производная от константы.

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = nx^{n-1}

Частная производная функции по независимой переменной y находится аналогичным образом, при этом предполагается, что x является константой.

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = ny^{n-1}

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = nx^{n-1},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = ny^{n-1}

Задача 4

Задача

Найти частные производные функции u = y\sin{x} + \sin{y}.

Решение

Частная производная функции u по независимой переменной x определяется слагаемым u = y\sin{x}. Производная второго слагаемого – \sin{y} равна нулю, как производная от константы.

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x}

В свою очередь, частная производная функции u по независимой переменной y будет определяться обоими слагаемым:

{(y\sin{x})_y}' = \sin{x}

{(\sin{y})_y}' = \cos{y}

Таким образом, окончательно получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y}

Ответ

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x},\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y}

Задача 5

Задача

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Найти частные производные функции u = x^{\sin{y}},\ x > 0.

Решение

При нахождении производной по независимой переменной x, функцию u = x^{\sin{y}} следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}

Производная по независимой переменной y находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная y входит в показатель степени виде функции \sin{x}.

Производная показательной функции равна:

{(x^{sin{y}})_{y}}' = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}

Производная показателя степени равна:

{(sin{y})}' = \cos{y}

В результате получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}

Ответ

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}},\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}

Задача 6

Задача

Найти частные производные функции z = e^{x}\cos{y} - e^{y}\sin{x}.

Решение

Частная производная по независимой переменной x находится как сумма слагаемых:

{(e^{x}\cos{y})_{x}}' = e^{x}\cos{y}

{(- e^{y}\sin{x})_{x}}' = - e^{y}\cos{x}

Частная производная по независимой переменной y находится как сумма слагаемых:

{(e^{x}\cos{y})_{y}}' = -e^{x}\sin{y}

{(- e^{y}\sin{x})_{y}}' = - e^{y}\sin{x}

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{x}\cos{y} - e^{y}\cos{x},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = -e^{x}\sin{y} - e^{y}\sin{x}

Задача 7

Задача

Найти частные производные функции z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Решение

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая x как независимый аргумент:

{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{x}}' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} следует домножить на производную подкоренного выражения: {({x^{2} + y^{2}})_{x}}' = 2x.

Рассматривая y в качестве независимого аргумента, получаем:

{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{y}}' = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} следует домножить на производную подкоренного выражения: {({x^{2} + y^{2}})_{y}}' = 2y.

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Задача 8

Задача

Найти частные производные функции z = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}.

Решение

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием e равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени:  arctg\ {\frac{y}{x}}. В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: \frac{y}{x}. Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций: e^{arctg\ {\frac{y}{x}}},\ arctg\ {\frac{y}{x}} и \frac{y}{x}.

Нахождение частной производной функции по аргументу x:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{x}}'\cdot{({\frac{y}{x}})_{x}}' = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}

Нахождение частной производной функции по аргументу y:

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{y}}'\cdot{({\frac{y}{x}})_{y}}' = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}, \ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}

Задача 9

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции z = x\sin(x +y).

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу x:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \sin(x + y) + x\cos(x + y)

Найдём частную производную второго порядка по аргументу x:

\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \cos(x + y) + \cos(x + y) - x\sin(x +y)

Найдём частную производную первого порядка по аргументу y:

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = x\cos(x + y)

Найдём частную производную второго порядка по аргументу y:

\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = -x\sin(x +y)

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \sin(x + y) + x\cos(x + y),\  \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = 2\cos(x + y) - x\sin(x +y),\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = x\cos(x + y),\ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = -x\sin(x +y)

Задача 10

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции z = (\frac{x}{y})^{2}.

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу x:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 2\cdot{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{1}{y}}

Найдём частную производную второго порядка по аргументу x:

\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \frac{2}{y^{2}}

Найдём частную производную первого порядка по аргументу y:

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = 2\cdot{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{-x}{y^{2}}} = -\frac{2x^{2}}{y^{3}}

Найдём частную производную второго порядка по аргументу y:

\frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = \frac{6x^{2}y^{2}}{y^{6}} = \frac{6x^{2}}{y^{4}}

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{2x}{y^{2}},\  \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{x}^{2}} = \frac{2}{y^{2}},\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = -\frac{2x^{2}}{y^{3}},\ \frac{\partial^{2}{z}}{\partial{y}^{2}} = \frac{6x^{2}}{y^{4}}

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2495

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также