Примеры решения дифференциалов с ответами

Анатолий Овруцкий 0 55

Простое объяснение принципов решения дифференциалов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциалов

Теорема
Дифференциалом функции называется произведение её производной и дифференциала независимой переменной.
Таблица дифференциалов

  1.     \[d(u^{\alpha}) = \alpha\cdot u^{\alpha - 1}\cdot du\]

  2.     \[d(a^{u}) = a^{u}\cdot\ln a\cdot du\]

  3.     \[d(e^{u}) = e^{u}\cdot du\]

  4.     \[d(\log_{a}u) = \frac{1}{u\cdot\ln a}\cdot du\]

  5.     \[d(\ln u) = \frac{1}{u}\cdot du\]

  6.     \[d(\sin u) = \cos udu\]

  7.     \[d(\cos u) = -\sin udu\]

  8.     \[d(\ tgu) = \frac{1}{cos^{2}u}du\]

  9.     \[d(\ ctgu) = -\frac{1}{sin^{2}u}du\]

  10.     \[d(\arcsin u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}du\]

  11.     \[d(\arccos u) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}du\]

  12.     \[d(\ arctg u) = \frac{1}{1 + u^{2}}du\]

  13.     \[d(\ arcctg u) = -\frac{1}{1 + u^{2}}du\]

  14.     \[d(\ shu) = \ chudu\]

  15.     \[d(\ chu) = \ shudu\]

  16.     \[d(\ thu) = \frac{1}{\ ch^{2}u}du\]

  17.     \[d(\ cthu) = -\frac{1}{\ sh^{2}u}du\]

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений дифференциалов

Пример 1

Задача

Найти дифференциал функции y = cos(3x+1)

Решение

Найдём производную данной функции.

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

y' = (cos(3x+1))' = -sin(3x+1)\cdot(3x+1)' = -sin(3x+1)\cdot(3\cdot1+0) = -3sin(3x+1)

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = -3sin(3x+1)dx

Ответ

dy = -3sin(3x+1)dx

Пример 2

Задача

Найти дифференциал функции y = (x^2-2x+3)^5

Решение

Найдём производную данной функции.

Обозначим y=u^5, где u = x^2-2x+3. Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:

y' = (u^5)'_u(x^2-2x+3)'_x = 5u^4(2x-1) = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4dx

Ответ

dy = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4dx

Пример 3

Задача

Найти дифференциал функции y = \sqrt{x}

Решение

Найдём производную данной функции.

    \[y' = x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx

Ответ

dy = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx

Пример 4

Задача

Найти дифференциал функции y = \sin{x} + \cos{x}

Решение

Найдём производную данной функции.

y' = (\sin{x} + \cos{x})' = \cos x - \sin x

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = (\cos x - \sin x)dx

Ответ

dy = (\cos x - \sin x)dx

Пример 5

Задача

Найти дифференциал функции y = x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6\sin x - 6\cos x

Решение

Найдём производную данной функции.

y' = 3x^2\sin x + x^3\cos x + 6\cos x - 3x^2\sin x - 6\sin x - 6x\cos x + 6\sin x = x^2\cos x

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = x^2\cos xdx

Ответ

dy = x^2\cos xdx

Пример 6

Задача

Найти дифференциал функции y = \sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}

Решение

Найдём производную данной функции.

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы {\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x. Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:

y' = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4]

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = (\frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4])dx

Ответ

dy = (\frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4])dx

Пример 7

Задача

Найти дифференциал функции y = \frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}, a = const

Решение

Найдём производную данной функции.

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:

y' = \frac{(a^2 - x^2)'(a^2 + x^2) - (a^2 + x^2)'(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = \frac{-2x(a^2 + x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}dx

Ответ

dy = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}dx

Пример 8

Задача

Найти дифференциал функции y = \arcsin^2x

Решение

Найдём производную данной функции.

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:

y' = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx

Ответ

dy = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx

Пример 9

Задача

Найти дифференциал функции y = e^{\sqrt{\sin x}}

Решение

Найдём производную данной функции.

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием e, производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:

y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos xdx

Ответ

dy = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos xdx

Пример 10

Задача

Найти дифференциал функции y = e^{\sin x}

Решение

Найдём производную данной функции.

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием e, производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:

y' = e^{\sin x}\cdot(\sin x)' = e^{\sin x}\cdot\cos x

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = e^{\sin x}\cdot(\sin x)' = e^{\sin x}\cdot\cos xdx

Ответ

dy = e^{\sin x}\cdot(\sin x)' = e^{\sin x}\cdot\cos xdx

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

55

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *