Алгоритм решения дифференциалов
- $$d(u^{\alpha}) = \alpha\cdot u^{\alpha – 1}\cdot du$$
- $$d(a^{u}) = a^{u}\cdot\ln a\cdot du$$
- $$d(e^{u}) = e^{u}\cdot du$$
- $$d(\log_{a}u) = \frac{1}{u\cdot\ln a}\cdot du$$
- $$d(\ln u) = \frac{1}{u}\cdot du$$
- $$d(\sin u) = \cos udu$$
- $$d(\cos u) = -\sin udu$$
- $$d(\ tgu) = \frac{1}{cos^{2}u}du$$
- $$d(\ ctgu) = -\frac{1}{sin^{2}u}du$$
- $$d(\arcsin u) = \frac{1}{\sqrt{1 – u^{2}}}du$$
- $$d(\arccos u) = -\frac{1}{\sqrt{1 – u^{2}}}du$$
- $$d(\ arctg u) = \frac{1}{1 + u^{2}}du$$
- $$d(\ arcctg u) = -\frac{1}{1 + u^{2}}du$$
- $$d(\ shu) = \ chudu$$
- $$d(\ chu) = \ shudu$$
- $$d(\ thu) = \frac{1}{\ ch^{2}u}du$$
- $$d(\ cthu) = -\frac{1}{\ sh^{2}u}du$$
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Примеры решений дифференциалов
Задача
Найти дифференциал функции $ y = cos(3x+1) $
Решение
Найдём производную данной функции.
Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:
$ y’ = (cos(3x+1))’ = -sin(3x+1)\cdot(3x+1)’ = -sin(3x+1)\cdot(3\cdot1+0) = -3sin(3x+1) $
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$:
$dy = -3sin(3x+1)dx$
Ответ
$dy = -3sin(3x+1)dx$
Задача
Найти дифференциал функции $ y = (x^2-2x+3)^5 $
Решение
Найдём производную данной функции.
Обозначим $ y=u^5 $, где $ u = x^2-2x+3 $. Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:
$ y’ = (u^5)’_u(x^2-2x+3)’_x = 5u^4(2x-1) = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4 $
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$:
$dy = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4dx$
Ответ
$dy = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4dx$
Задача
Найти дифференциал функции $ y = \sqrt{x} $
Решение
Найдём производную данной функции.
$$y’ = x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$:
$dy = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
Ответ
$dy = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
Задача
Найти дифференциал функции $ y = \sin{x} + \cos{x} $
Решение
Найдём производную данной функции.
$ y’ = (\sin{x} + \cos{x})’ = \cos x – \sin x$
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$:
$dy = (\cos x – \sin x)dx$
Ответ
$dy = (\cos x – \sin x)dx$
Задача
Найти дифференциал функции $ y = x^3\sin x + 3x^2\cos x – 6\sin x – 6\cos x $
Решение
Найдём производную данной функции.
$y’ = 3x^2\sin x + x^3\cos x + 6\cos x – 3x^2\sin x – 6\sin x – 6x\cos x + 6\sin x = x^2\cos x$
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$:
$dy = x^2\cos xdx$
Ответ
$dy = x^2\cos xdx$
Задача
Найти дифференциал функции $ y = \sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x} $
Решение
Найдём производную данной функции.
В этом примере квадратный корень извлекается из суммы $ {\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x $. Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
$ y’ = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4] $
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$:
$dy = (\frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4])dx$
Ответ
$dy = (\frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4])dx$
Задача
Найти дифференциал функции $ y = \frac{a^2 – x^2}{a^2 + x^2}, a = const $
Решение
Найдём производную данной функции.
Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$ y’ = \frac{(a^2 – x^2)'(a^2 + x^2) – (a^2 + x^2)'(a^2 – x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = \frac{-2x(a^2 + x^2) – 2x(a^2 – x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2} $
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$:
$dy = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}dx$
Ответ
$dy = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}dx$
Задача
Найти дифференциал функции $ y = \arcsin^2x $
Решение
Найдём производную данной функции.
Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
$ y’ = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} $
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$:
$dy = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}dx$
Ответ
$dy = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}dx$
Задача
Найти дифференциал функции $ y = e^{\sqrt{\sin x}} $
Решение
Найдём производную данной функции.
По правилам дифференцирования показательной функции с основанием $ e $, производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
$ y’ = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x $
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$:
$dy = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos xdx$
Ответ
$dy = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos xdx$
Задача
Найти дифференциал функции $ y = e^{\sin x} $
Решение
Найдём производную данной функции.
По правилам дифференцирования показательной функции с основанием $ e $, производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
$ y’ = e^{\sin x}\cdot(\sin x)’ = e^{\sin x}\cdot\cos x $
Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$:
$dy = e^{\sin x}\cdot(\sin x)’ = e^{\sin x}\cdot\cos xdx$
Ответ
$dy = e^{\sin x}\cdot(\sin x)’ = e^{\sin x}\cdot\cos xdx$