Примеры решения дифференциалов с ответам

Алгоритм решения дифференциалов

Теорема

Дифференциалом функции называется произведение её производной и дифференциала независимой переменной.

Таблица дифференциалов

$d(u^{\alpha}) = \alpha\cdot u^{\alpha - 1}\cdot du$
$d(a^{u}) = a^{u}\cdot\ln a\cdot du$
$d(e^{u}) = e^{u}\cdot du$
$d(\log_{a}u) = \frac{1}{u\cdot\ln a}\cdot du$
$d(\ln u) = \frac{1}{u}\cdot du$
$d(\sin u) = \cos udu$
$d(\cos u) = -\sin udu$
$d(\ tgu) = \frac{1}{cos^{2}u}du$
$d(\ ctgu) = -\frac{1}{sin^{2}u}du$
$d(\arcsin u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}du$
$d(\arccos u) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}du$
$d(\ arctg u) = \frac{1}{1 + u^{2}}du$
$d(\ arcctg u) = -\frac{1}{1 + u^{2}}du$
$d(\ shu) = \ chudu$
$d(\ chu) = \ shudu$
$d(\ thu) = \frac{1}{\ ch^{2}u}du$
$d(\ cthu) = -\frac{1}{\ sh^{2}u}du$

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений дифференциалов

Пример 1

Задача

Найти дифференциал функции $y = cos(3x+1)$

Решение

Найдём производную данной функции.

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

$y' = (cos(3x+1))' = -sin(3x+1)\cdot(3x+1)' = -sin(3x+1)\cdot(3\cdot1+0) = -3sin(3x+1)$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = -3sin(3x+1)dx$

Ответ

$dy = -3sin(3x+1)dx$

Пример 2

Задача

Найти дифференциал функции $y = (x^2-2x+3)^5$

Решение

Найдём производную данной функции.

Обозначим $y=u^5$ , где $u = x^2-2x+3$ . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:

$y' = (u^5)'_u(x^2-2x+3)'_x = 5u^4(2x-1) = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4dx$

Ответ

$dy = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4dx$

Пример 3

Задача

Найти дифференциал функции $y = \sqrt{x}$

Решение

Найдём производную данной функции.

$y' = x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$

Ответ

$dy = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$

Пример 4

Задача

Найти дифференциал функции $y = \sin{x} + \cos{x}$

Решение

Найдём производную данной функции.

$y' = (\sin{x} + \cos{x})' = \cos x - \sin x$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = (\cos x - \sin x)dx$

Ответ

$dy = (\cos x - \sin x)dx$

Пример 5

Задача

Найти дифференциал функции $y = x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6\sin x - 6\cos x$

Решение

Найдём производную данной функции.

$y' = 3x^2\sin x + x^3\cos x + 6\cos x - 3x^2\sin x - 6\sin x - 6x\cos x + 6\sin x = x^2\cos x$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = x^2\cos xdx$

Ответ

$dy = x^2\cos xdx$

Пример 6

Задача

Найти дифференциал функции $y = \sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}$

Решение

Найдём производную данной функции.

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы ${\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x$ . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4]$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = (\frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4])dx$

Ответ

$dy = (\frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4])dx$

Пример 7

Задача

Найти дифференциал функции $y = \frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}, a = const$

Решение

Найдём производную данной функции.

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:

$y' = \frac{(a^2 - x^2)'(a^2 + x^2) - (a^2 + x^2)'(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = \frac{-2x(a^2 + x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}dx$

Ответ

$dy = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}dx$

Пример 8

Задача

Найти дифференциал функции $y = \arcsin^2x$

Решение

Найдём производную данной функции.

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:

$y' = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx$

Ответ

$dy = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx$

Пример 9

Задача

Найти дифференциал функции $y = e^{\sqrt{\sin x}}$

Решение

Найдём производную данной функции.

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием $e$ , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:

$y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos xdx$

Ответ

$dy = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos xdx$

Пример 10

Задача

Найти дифференциал функции $y = e^{\sin x}$

Решение

Найдём производную данной функции.

$y' = e^{\sin x}\cdot(\sin x)' = e^{\sin x}\cdot\cos x$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = e^{\sin x}\cdot(\sin x)' = e^{\sin x}\cdot\cos xdx$

Ответ

$dy = e^{\sin x}\cdot(\sin x)' = e^{\sin x}\cdot\cos xdx$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Елена М.

Редактор.

Сертифицированный копирайтер, автор текстов для публичных выступлений и презентаций.

Добавить комментарий Отменить ответ

Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.

Примеры решений дифференциальных уравнений с ответами

Алгоритм решения дифференциалов

Примеры решений дифференциалов