Примеры решения двойных интегралов с ответами

Простое объяснение принципов решения двойных интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
1 9249
Помощь в написании работы

Алгоритм решения двойных интегралов

Теорема
Двойными называются определенные интегралы, подынтегральная функция которых зависит од двух независимых переменных. Т.к. вычисление двойных интегралов сводится к вычислению интегралов от функций одной переменной, для решения задач необходимо также помнить таблицу основных интегралов.

Таблица основных интегралов

C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx =\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений двойных интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}},\]

распространённый на прямоугольник D = [3,4; 1,2]

Решение

    \[\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \int_{1}^{2}\int_{3}^{4}\frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \int_{1}^{2}dy\int_{3}^{4}\frac{dx}{(x + y)^{2}}\]

Вычислим внутренний интеграл

    \[\int_{3}^{4}\frac{dx}{(x + y)^{2}}\]

    \[\int_{3}^{4}\frac{dx}{(x + y)^{2}} = \frac{1}{y + 3} - \frac{1}{y + 4}\]

Искомый интеграл равен:

    \[\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{y + 3} - \frac{1}{y + 4}\right]dy = \ln\frac{25}{4}\]

Ответ

    \[\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \ln\frac{25}{4}\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int\limits_{D}\int (x + 2y)dxdy,\]

область D ограничена линиями y = x^{2}, y = 0, x + y - 2 = 0

Решение

    \[\int\limits_{D}\int (x + 2y)dxdy = \int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt y}^{2 - y}(x + 2y)dx =\]

    \[= \int_{0}^{1}dy \Bigl. \left(\frac{x^{2}}{2} + 2xy\right) \Bigr|_{\sqrt y}^{2 - y} = \int_{0}^{1}\left(\frac{(2 - y)^{2}}{2} + 4y - 2y^{2} - \frac{y}{2} - 2y^{\frac{3}{2}}\right)dy =\]

    \[= \Bigl. \left(\frac{(y - 2)^{3}}{6} + \frac{7y^{2}}{2\cdot 2} - 2\cdot \frac{y^{3}}{3} - 2\cdot 2\cdot \frac{y^{\frac{5}{2}}}{5}\right) \Bigr|_{0}^{1} =\]

    \[= -\frac{1}{6} + \frac{8}{6} + \frac{7}{4} - \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{29}{20}\]

Ответ

    \[\int\limits_{D}\int (x + 2y)dxdy = \frac{29}{20}\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{1}^{3}\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dxdy\]

Решение

Вычислим внутренний интеграл

    \[\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx\]

    \[\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx = 159y - 6y^{3}\]

    \[\int_{1}^{3}dy\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx = \int_{1}^{3}(159y - 6y^{3})dy = 660\]

Ответ

    \[\int_{1}^{3}dy\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx = 660\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int\limits_{D}\int (9- x^{2} - y^{2})dxdy,\]

область D – круг, задаваемый уравнением x^{2} + y^{2} \leq 9

Решение

Перейдём к полярным координатам, применив формулу

    \[\int\limits_{D}\int f(x;y)dxdy = \int\limits_{D^{*}}\int f(r\cos\varphi;r\sin\varphi)\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi\]

    \[\int\limits_{D}\int (9- x^{2} - y^{2})dxdy = \int\limits_{D}\int \sqrt{9 - (r\cos\varphi)^{2} - (r\sin\varphi)^{2}}\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi =\]

    \[= \int\limits_{D}\int r\cdot\sqrt{9 - r^{2}}drd\varphi\]

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\ 0 \leq r \leq 3

Применим формулу

    \[\int\limits_{D^{*}}\int r\cdot f(r\cos\varphi;r\sin\varphi)drd\varphi = \int_{\alpha}^{\beta}d\varphi\int_{r_{1}(\varphi)}^{r_{2}(\varphi)}r\cdot f(r\cos\varphi;r\sin\varphi)dr\]

    \[\int\limits_{D}\int r\cdot\sqrt{9 - r^{2}}drd\varphi = \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{3}r\cdot\sqrt{9 - r^{2}}dr =\]

    \[-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{3}r\cdot(9 - r^{2})^{\frac{1}{2}}\cdot d(9 - r^{2}) = -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\Bigl. \left(\frac{(9 - r^{2})^\frac{3}{2}\cdot 2}{3}\right) \Bigr|_{0}^{3} =\]

    \[= -\frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}(0 - 27)d\varphi = \Bigl. 9\varphi \Bigr|_{0}^{2\pi} = 18\pi\]

Ответ

    \[\int\limits_{D}\int (9- x^{2} - y^{2})dxdy = 18\pi\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{x^{2}dxdy}{1 + y^{2}}\]

Решение

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{x^{2}dxdy}{1 + y^{2}} = \int_{0}^{1}x^{2}dx\cdot\int_{0}^{1}\frac{dy}{1 + y^{2}}\]

Итегралы

    \[\int x^{2}dx\]

и

    \[\int\frac{dy}{1 + y^{2}}\]

являются табличными и равны:

    \[\int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3} + C\]

    \[\int\frac{dy}{1 + y^{2}} = \ arctgy + C\]

    \[\int_{0}^{1}x^{2}dx\cdot\int_{0}^{1}\frac{dy}{1 + y^{2}} = \Bigl. \frac{x^{3}}{3} \Bigr|_{0}^{1}\cdot\Bigl. \ arctgy \Bigr|_{0}^{1} = \frac{\pi}{12}\]

Ответ

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{x^{2}dxdy}{1 + y^{2}} = \frac{\pi}{12}\]

Пример 6

Задача

Найти объём тела, ограниченного поверхностями, заданных уравнениями x^{2} + y^{2} - z + 1 = 0,\ x^{2} + y^{2} + 3z - 7 = 0

Решение

Найдём уравнение линии пересечения двух поверхностей. Для этого составим систему уравнений:

\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} + y^{2} = z - 1, \\ x^{2} + y^{2} = -3z + 7; \end{array} \right.

Уравнение линии пересечения поверхностей будет иметь следующий вид:

x^{2} + y^{2} =1,\ z = 2

Искомый объём тела равен разности двух тел цилиндрической формы, имеющих в основании круг, задаваемый уравнением x^{2} + y^{2} \leq 1 и ограниченных поверхностями z = \frac{1}{3}(7 - x^{2} - y^{2}) и z = x^{2} + y^{2} + 1

    \[V = V_{1} - V_{2} = \int\limits_{D}\int \frac{1}{3}(7 - x^{2} - y^{2})dxdy - \int\limits_{D}\int (x^{2} + y^{2} + 1)dxdy\]

Перейдём к полярным координатам:

    \[V = \frac{1}{3}\int\limits_{D}\int (7 - r^{2})rdxd\varphi - \int\limits_{D}\int (7 + r^{2})rdxd\varphi =\]

    \[= \frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}(7r - r^{3})dr - \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}(7r + r^{3})dr =\]

    \[= \Bigl. \frac{1}{3}\left(\frac{7}{2} - \frac{1}{4}\cdot\varphi\right) \Bigr|_{0}^{2\pi} - \Bigl. \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\cdot\varphi\right) \Bigr|_{0}^{2\pi} = \frac{13}{12}\cdot 2\pi - \frac{3}{4}\cdot 2\pi = \frac{2}{3}\pi\]

Ответ

Объём тела, ограниченного поверхностями, заданных уравнениями x^{2} + y^{2} - z + 1 = 0,\ x^{2} + y^{2} + 3z - 7 = 0 равен \frac{2}{3}\pi

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{ydxdy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}}\]

Решение

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{ydxdy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}} = \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}\frac{ydy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}}\]

    \[\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}\frac{ydy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}\]

    \[\int_{0}^{1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}})dx = \Bigl. \ln\frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 2}} \Bigr|_{0}^{1} =\]

    \[= \ln\frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3}}\]

Ответ

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{ydxdy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}} = \ln\frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3}}\]

Пример 8

Задача

Найти массу тела, моменты S_{x},\ S_{y} и центр тяжести фигур, лежащей в первой четверти координатной плоскости и ограниченной эллипсом, заданным уравнением \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1, а также координатными осями.

Решение

Найдём массу тела:

    \[m = \int\limits_{D}\int kxydxdy = k\int_{0}^{2}xdx\int_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}}ydy =\]

    \[= \frac{k}{2}\int_{0}^{2}xdx\cdot \Bigl. y^{2} \Bigr|_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}} = \frac{k}{2}\cdot\frac{1}{4}\int_{0}^{2}x(4 - x^{2})dx =\]

    \[= \Bigl. \frac{k}{8}\left(2x^{2} - \frac{x^{4}}{4}\right) \Bigr|_{0}^{2} = \frac{k}{2}\]

Найдём статические моменты:

    \[S_{x} = \int\limits_{D}\int ykxydxdy = k\int_{0}^{2}xdx\int_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}}y^{2}dy = \frac{4}{15}k\]

    \[S_{y} = \int\limits_{D}\int ykxydxdy = k\int_{0}^{2}x^{2}dx\int_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}}ydy = \frac{8}{15}k\]

Найдём координаты центра тяжести:

x_{c} = \frac{S_{y}}{m} = \frac{16}{5},\ y_{c} = \frac{S_{y}}{m} = \frac{8}{15}

Ответ

m = \frac{k}{2},\ S_{x} = \frac{4}{15}k,\ S_{y} = \frac{8}{15}k,\ x_{c} = \frac{16}{5},\ y_{c} = \frac{8}{15}

Пример 9

Задача

Найти объём тела V, ограниченного сверху поверхностью xy, с боков плоскостями x = 0,\ x = a,\ y = 0,\ y = b, сверху эллиптическим параболоидом

    \[z = \frac{x^{2}}{2p} + \frac{y^{2}}{2q}\]

Решение

Искомый объём равен

    \[V = \int\limits_{[0,a;0,b]}\int (\frac{x^{2}}{2p} + \frac{y^{2}}{2q})dP\]

    \[V = \int_{0}^{b}dy\int_{0}^{a}\left(\frac{x^{2}}{2p} + \frac{y^{2}}{2q}\right)dx =\]

    \[= \int_{0}^{b}\left(\frac{a^{3}}{6p} + \frac{ay^{2}}{2q}\right)dy = \frac{ab}{6}\left(\frac{a^{2}}{p} + \frac{b^{2}}{q}\right)\]

Ответ

    \[V = \frac{ab}{6}\left(\frac{a^{2}}{p} + \frac{b^{2}}{q}\right)\]

Пример 10

Задача

Найти объём тела V, ограниченного сверху поверхностью xy, поверхностью x^{2} + z^{2} = R^{2},\ Z > 0 и плоскостями y = 0,\ y = H.

Решение

Примем за основание тела прямоугольник [-R,R;0,H].

Тогда искомый объём V будет равен:

    \[V = \int_{0}^{H}\int_{-R}^{R}\sqrt{R^{2} - x^{2}}dxdy = 2H\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2} - x^{2}}dx = \frac{\pi R^{2}H}{2}\]

Ответ

    \[V = \frac{\pi R^{2}H}{2}\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 2 / 5. Количество оценок: 4

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Комментарии

  1. В задаче номер 4 ошибка: неверно переведено уравнение в полярные координаты. Правильным подынтегральным выражением было бы (9r-r^3). И ответ в таком случае 81pi/2

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *