Алгоритм решения двойных интегралов

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Двойными называются определенные интегралы, подынтегральная функция которых зависит од двух независимых переменных. Т.к. вычисление двойных интегралов сводится к вычислению интегралов от функций одной переменной, для решения задач необходимо также помнить таблицу основных интегралов.

Таблица основных интегралов

C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx =\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений двойных интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}},\]

распространённый на прямоугольник D = [3,4; 1,2]

Решение

    \[\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \int_{1}^{2}\int_{3}^{4}\frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \int_{1}^{2}dy\int_{3}^{4}\frac{dx}{(x + y)^{2}}\]

Вычислим внутренний интеграл

    \[\int_{3}^{4}\frac{dx}{(x + y)^{2}}\]

    \[\int_{3}^{4}\frac{dx}{(x + y)^{2}} = \frac{1}{y + 3} - \frac{1}{y + 4}\]

Искомый интеграл равен:

    \[\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{y + 3} - \frac{1}{y + 4}\right]dy = \ln\frac{25}{4}\]

Ответ

    \[\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \ln\frac{25}{4}\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int\limits_{D}\int (x + 2y)dxdy,\]

область D ограничена линиями y = x^{2}, y = 0, x + y - 2 = 0

Решение

    \[\int\limits_{D}\int (x + 2y)dxdy = \int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt y}^{2 - y}(x + 2y)dx =\]

    \[= \int_{0}^{1}dy \Bigl. \left(\frac{x^{2}}{2} + 2xy\right) \Bigr|_{\sqrt y}^{2 - y} = \int_{0}^{1}\left(\frac{(2 - y)^{2}}{2} + 4y - 2y^{2} - \frac{y}{2} - 2y^{\frac{3}{2}}\right)dy =\]

    \[= \Bigl. \left(\frac{(y - 2)^{3}}{6} + \frac{7y^{2}}{2\cdot 2} - 2\cdot \frac{y^{3}}{3} - 2\cdot 2\cdot \frac{y^{\frac{5}{2}}}{5}\right) \Bigr|_{0}^{1} =\]

    \[= -\frac{1}{6} + \frac{8}{6} + \frac{7}{4} - \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{29}{20}\]

Ответ

    \[\int\limits_{D}\int (x + 2y)dxdy = \frac{29}{20}\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{1}^{3}\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dxdy\]

Решение

Вычислим внутренний интеграл

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx\]

    \[\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx = 159y - 6y^{3}\]

    \[\int_{1}^{3}dy\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx = \int_{1}^{3}(159y - 6y^{3})dy = 660\]

Ответ

    \[\int_{1}^{3}dy\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx = 660\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int\limits_{D}\int (9- x^{2} - y^{2})dxdy,\]

область D – круг, задаваемый уравнением x^{2} + y^{2} \leq 9

Решение

Перейдём к полярным координатам, применив формулу

    \[\int\limits_{D}\int f(x;y)dxdy = \int\limits_{D^{*}}\int f(r\cos\varphi;r\sin\varphi)\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi\]

    \[\int\limits_{D}\int (9- x^{2} - y^{2})dxdy = \int\limits_{D}\int \sqrt{9 - (r\cos\varphi)^{2} - (r\sin\varphi)^{2}}\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi =\]

    \[= \int\limits_{D}\int r\cdot\sqrt{9 - r^{2}}drd\varphi\]

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\ 0 \leq r \leq 3

Применим формулу

    \[\int\limits_{D^{*}}\int r\cdot f(r\cos\varphi;r\sin\varphi)drd\varphi = \int_{\alpha}^{\beta}d\varphi\int_{r_{1}(\varphi)}^{r_{2}(\varphi)}r\cdot f(r\cos\varphi;r\sin\varphi)dr\]

    \[\int\limits_{D}\int r\cdot\sqrt{9 - r^{2}}drd\varphi = \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{3}r\cdot\sqrt{9 - r^{2}}dr =\]

    \[-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{3}r\cdot(9 - r^{2})^{\frac{1}{2}}\cdot d(9 - r^{2}) = -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\Bigl. \left(\frac{(9 - r^{2})^\frac{3}{2}\cdot 2}{3}\right) \Bigr|_{0}^{3} =\]

    \[= -\frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}(0 - 27)d\varphi = \Bigl. 9\varphi \Bigr|_{0}^{2\pi} = 18\pi\]

Ответ

    \[\int\limits_{D}\int (9- x^{2} - y^{2})dxdy = 18\pi\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{x^{2}dxdy}{1 + y^{2}}\]

Решение

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{x^{2}dxdy}{1 + y^{2}} = \int_{0}^{1}x^{2}dx\cdot\int_{0}^{1}\frac{dy}{1 + y^{2}}\]

Итегралы

    \[\int x^{2}dx\]

и

    \[\int\frac{dy}{1 + y^{2}}\]

являются табличными и равны:

    \[\int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3} + C\]

    \[\int\frac{dy}{1 + y^{2}} = \ arctgy + C\]

    \[\int_{0}^{1}x^{2}dx\cdot\int_{0}^{1}\frac{dy}{1 + y^{2}} = \Bigl. \frac{x^{3}}{3} \Bigr|_{0}^{1}\cdot\Bigl. \ arctgy \Bigr|_{0}^{1} = \frac{\pi}{12}\]

Ответ

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{x^{2}dxdy}{1 + y^{2}} = \frac{\pi}{12}\]

Пример 6

Задача

Найти объём тела, ограниченного поверхностями, заданных уравнениями x^{2} + y^{2} - z + 1 = 0,\ x^{2} + y^{2} + 3z - 7 = 0

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Решение

Найдём уравнение линии пересечения двух поверхностей. Для этого составим систему уравнений:

\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} + y^{2} = z - 1, \\ x^{2} + y^{2} = -3z + 7; \end{array} \right.

Уравнение линии пересечения поверхностей будет иметь следующий вид:

x^{2} + y^{2} =1,\ z = 2

Искомый объём тела равен разности двух тел цилиндрической формы, имеющих в основании круг, задаваемый уравнением x^{2} + y^{2} \leq 1 и ограниченных поверхностями z = \frac{1}{3}(7 - x^{2} - y^{2}) и z = x^{2} + y^{2} + 1

    \[V = V_{1} - V_{2} = \int\limits_{D}\int \frac{1}{3}(7 - x^{2} - y^{2})dxdy - \int\limits_{D}\int (x^{2} + y^{2} + 1)dxdy\]

Перейдём к полярным координатам:

    \[V = \frac{1}{3}\int\limits_{D}\int (7 - r^{2})rdxd\varphi - \int\limits_{D}\int (7 + r^{2})rdxd\varphi =\]

    \[= \frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}(7r - r^{3})dr - \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}(7r + r^{3})dr =\]

    \[= \Bigl. \frac{1}{3}\left(\frac{7}{2} - \frac{1}{4}\cdot\varphi\right) \Bigr|_{0}^{2\pi} - \Bigl. \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\cdot\varphi\right) \Bigr|_{0}^{2\pi} = \frac{13}{12}\cdot 2\pi - \frac{3}{4}\cdot 2\pi = \frac{2}{3}\pi\]

Ответ

Объём тела, ограниченного поверхностями, заданных уравнениями x^{2} + y^{2} - z + 1 = 0,\ x^{2} + y^{2} + 3z - 7 = 0 равен \frac{2}{3}\pi

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{ydxdy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}}\]

Решение

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{ydxdy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}} = \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}\frac{ydy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}}\]

    \[\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}\frac{ydy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}\]

    \[\int_{0}^{1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}})dx = \Bigl. \ln\frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 2}} \Bigr|_{0}^{1} =\]

    \[= \ln\frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3}}\]

Ответ

    \[\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{ydxdy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}} = \ln\frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3}}\]

Пример 8

Задача

Найти массу тела, моменты S_{x},\ S_{y} и центр тяжести фигур, лежащей в первой четверти координатной плоскости и ограниченной эллипсом, заданным уравнением \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1, а также координатными осями.

Решение

Найдём массу тела:

    \[m = \int\limits_{D}\int kxydxdy = k\int_{0}^{2}xdx\int_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}}ydy =\]

    \[= \frac{k}{2}\int_{0}^{2}xdx\cdot \Bigl. y^{2} \Bigr|_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}} = \frac{k}{2}\cdot\frac{1}{4}\int_{0}^{2}x(4 - x^{2})dx =\]

    \[= \Bigl. \frac{k}{8}\left(2x^{2} - \frac{x^{4}}{4}\right) \Bigr|_{0}^{2} = \frac{k}{2}\]

Найдём статические моменты:

    \[S_{x} = \int\limits_{D}\int ykxydxdy = k\int_{0}^{2}xdx\int_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}}y^{2}dy = \frac{4}{15}k\]

    \[S_{y} = \int\limits_{D}\int ykxydxdy = k\int_{0}^{2}x^{2}dx\int_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}}ydy = \frac{8}{15}k\]

Найдём координаты центра тяжести:

x_{c} = \frac{S_{y}}{m} = \frac{16}{5},\ y_{c} = \frac{S_{y}}{m} = \frac{8}{15}

Ответ

m = \frac{k}{2},\ S_{x} = \frac{4}{15}k,\ S_{y} = \frac{8}{15}k,\ x_{c} = \frac{16}{5},\ y_{c} = \frac{8}{15}

Пример 9

Задача

Найти объём тела V, ограниченного сверху поверхностью xy, с боков плоскостями x = 0,\ x = a,\ y = 0,\ y = b, сверху эллиптическим параболоидом

    \[z = \frac{x^{2}}{2p} + \frac{y^{2}}{2q}\]

Решение

Искомый объём равен

    \[V = \int\limits_{[0,a;0,b]}\int (\frac{x^{2}}{2p} + \frac{y^{2}}{2q})dP\]

    \[V = \int_{0}^{b}dy\int_{0}^{a}\left(\frac{x^{2}}{2p} + \frac{y^{2}}{2q}\right)dx =\]

    \[= \int_{0}^{b}\left(\frac{a^{3}}{6p} + \frac{ay^{2}}{2q}\right)dy = \frac{ab}{6}\left(\frac{a^{2}}{p} + \frac{b^{2}}{q}\right)\]

Ответ

    \[V = \frac{ab}{6}\left(\frac{a^{2}}{p} + \frac{b^{2}}{q}\right)\]

Пример 10

Задача

Найти объём тела V, ограниченного сверху поверхностью xy, поверхностью x^{2} + z^{2} = R^{2},\ Z > 0 и плоскостями y = 0,\ y = H.

Решение

Примем за основание тела прямоугольник [-R,R;0,H].

Тогда искомый объём V будет равен:

    \[V = \int_{0}^{H}\int_{-R}^{R}\sqrt{R^{2} - x^{2}}dxdy = 2H\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2} - x^{2}}dx = \frac{\pi R^{2}H}{2}\]

Ответ

    \[V = \frac{\pi R^{2}H}{2}\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2780

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также