Примеры решения интегрирования иррациональных функций с ответами

Простое объяснение принципов решения интегрирования иррациональных функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
0 4354
Помощь в написании работы

Алгоритм решения интегрирования иррациональных функций

Теория
Интегралы, подынтегральная функция которых представляет собой иррациональное выражение, не могут быть вычислены непосредственно. С помощью тождественных преобразований подынгегральной функции такие интегралы можно свести к табличным интегралам, либо к их алгебраической сумме.

Алгоритм

При решении задач на вычисление интегралов от иррациональных функций, применяются методы подстановки и дробно-линейной подстановки.

Отдельным методом интегрирования иррациональных функций является использование формулы:

    \[\int\frac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x)\cdot\sqrt{ax^{2} + bx + c} + \lambda\int\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}\]

Примеры решений интегрирования иррациональных функций

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx\]

Решение

Представим интеграл в виде:

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{2}}}dx\]

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей \frac{1}{3}, \frac{2}{3} и \frac{1}{2} является 6.

Сделаем подстановку x = y^{6},\ dx = 6y^{5}dy

x^{\frac{1}{3}} = (y^{6})^{\frac{1}{3}} = y^{2},\ x^{\frac{2}{3}} = (y^{6})^{\frac{2}{3}} = y^{4},\ x^{\frac{1}{2}} = (y^{6})^{\frac{1}{2}} = y^{3}

    \[\int \frac{y^{2}}{y^{4} - y^{3}}6y^{5}dy = 6\int \frac{y^{7}}{y^{3}(y - 1)}dy = 6\int \frac{y^{4}}{y - 1}dy\]

Выделим целую часть в \frac{y^{4}}{y - 1}:

\frac{y^{4}}{y - 1} = y^{3} + y^{2} + y + 1 + \frac{1}{y - 1}

    \[= 6\left[\frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y - 1|\right] + C\]

Сделаем обратную подстановку y = \sqrt[6]{x}

6\left[\frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y - 1|\right] + C = 6\left[\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[6]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} - 1|\right] + C

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx = 6\left[\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[6]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} - 1|\right] + C\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx\]

Решение

Представим интеграл в виде:

    \[\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{2}}}dx\]

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей \frac{1}{2} и \frac{2}{3} является 6.

Сделаем подстановку x = y^{6},\ dx = 6y^{5}dy

x^{\frac{1}{2}} = (y^{6})^{\frac{1}{2}} = y^{3},\ x^{\frac{2}{3}} = (y^{6})^{\frac{2}{3}} = y^{4}

    \[\int \frac{y^{3}}{y^{4} - y^{3}}6y^{5}dy = 6\int \frac{y^{8}}{y^{3}(y - 1)}dy = 6\int \frac{y^{5}}{y - 1}dy\]

Выделим целую часть в \frac{y^{5}}{y - 1}:

\frac{y^{5}}{y - 1} = y^{4} + y^{3} + y^{2} + y + 1 + \frac{1}{y - 1}

    \[6\int\frac{y^{5}}{y - 1}dy = 6\int\left[y^{4} + y^{3} + y^{2} + y + 1 + \frac{1}{y - 1}\right]dy =\]

    \[= 6\left[\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y - 1|\right] + C\]

Сделаем обратную подстановку y = \sqrt[6]{x}

6\left[\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y - 1|\right] + C = 6\left[\frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{5} + \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[3]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} - 1|\right] + C

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx = 6\left[\frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{5} + \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[3]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} - 1|\right] + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})}dx\]

Решение

Представим интеграл в виде:

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})}dxdx = \int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x(x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}})}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4}{3}}}dx\]

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей \frac{1}{2} и \frac{2}{3} является 6.

Сделаем подстановку x = y^{6},\ dx = 6y^{5}dy

x^{\frac{1}{3}} = (y^{6})^{\frac{1}{3}} = y^{2},\ x^{\frac{3}{2}} = (y^{6})^{\frac{3}{2}} = y^{9},\ x^{\frac{4}{3}} = (y^{6})^{\frac{4}{3}} = y^{8}

    \[\int \frac{y^{2}}{y^{9} + y^{8}}6y^{5}dy = 6\int \frac{y^{7}}{y^{9} + y^{8}}dy = 6\int \frac{1}{y^{2} + y}dy\]

Преобразуем подынтегральную функцию:

    \[6\int \frac{1}{y^{2} + y}dy = 6\int \frac{y + 1 - y}{y(y + 1)}dy\]

    \[6\int \frac{1}{y^{2} + y}dy = 6\left[\int\frac{dy}{y} - \int\frac{dy}{y+1}\right]\]

    \[6\left[\int\frac{dy}{y} - \int\frac{dy}{y+1}\right] = 6\left[\ln|y| - \ln|y + 1|\right] + C\]

Сделаем обратную подстановку y = \sqrt[6]{x}

    \[6\left[\ln|y| - \ln|y + 1|\right] + C = 6\left[\ln|\sqrt[6]{x}| - \ln|\sqrt[6]{x} + 1|\right] + C =\]

    \[= 6\ln\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} + 1} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})}dx = 6\ln\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} + 1} + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x})}dx\]

Решение

Представим интеграл в виде:

    \[\int \frac{\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x})}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{5}{4}}}dx\]

Наименьшим общим кратным знаменателей дробей \frac{1}{6},\ \frac{4}{3} и\frac{5}{4} является 6.

Сделаем подстановку x = y^{12},\ dx = 12y^{11}dy

x^{\frac{1}{6}} = (y^{12})^{\frac{1}{6}} = y^{2},\ x^{\frac{4}{3}} = (y^{12})^{\frac{4}{3}} = y^{16},\ x^{\frac{5}{4}} = (y^{12})^{\frac{5}{4}} = y^{15}

    \[\int \frac{y^{2}}{y^{16} + y^{15}}12y^{11}dy = 12\int\frac{y^{13}}{y^{15}(y + 1)}dy = 12\int\frac{1}{y^{2}(y + 1)}dy\]

Преобразуем подынтегральную функцию:

    \[12\int\frac{1}{y^{2}(y + 1)}dy = -12\int\frac{y^{2} - 1 - y^{2}}{y^{2}(y + 1)}dy =\]

    \[-12\left[\int\frac{y - 1}{y^{2}}dy - \int\frac{1}{y + 1}dy\right] =\]

    \[= -12\left[\int\frac{1}{y}dy - \int\frac{1}{y^{2}}dy - \int\frac{1}{y + 1}dy\right] =\]

    \[= -12\left[\ln{y} + \frac{1}{y} + \ln{(y + 1)}\right] + C\]

Сделаем обратную подстановку y = \sqrt[12]{x}

-12\left[\ln{y} + \frac{1}{y} + \ln{(y + 1)}\right] + C =-12\left[\ln{\sqrt[12]{x}} + \frac{1}{\sqrt[12]{x}} + \ln{(\sqrt[12]{x} + 1)}\right] + C = -12\left[\ln({\sqrt[12]{x}\cdot(\sqrt[12]{x} + 1)}) + \frac{1}{\sqrt[12]{x}}\right] + C = -12\left[\ln({\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x})}) + \frac{1}{\sqrt[12]{x}}\right] + C

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x})}dx = -12\left[\ln({\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x})}) + \frac{1}{\sqrt[12]{x}}\right] + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}dx\]

Решение

Преобразуем 4x^{2} + 2x + 1:

4x^{2} + 2x + 1 = 4(x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}) = 4((x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16})

    \[\int\frac{dx}{\sqrt{4((x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16})}} = \frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16}}}\]

Подставим вместо x + \frac{1}{4},\ t:

x + \frac{1}{4} = t,\ x = t - \frac{1}{4},\ dx = dt

    \[\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16}}} = \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}}\]

    \[\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}} = \frac{1}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}|\right| + C\]

Делаем обратную замену t = x + \frac{1}{4}:

    \[\frac{1}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}|\right| + C = \frac{1}{2}\ln\left|x + \frac{1}{4} + \sqrt{(x + \frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{16}}\right| + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}dx = \frac{1}{2}\ln\left|x + \frac{1}{4} + \sqrt{(x + \frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{16}}\right| + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx\]

Решение

Преобразуем 6 - 2x - x^{2}:

6 - 2x - x^{2} = -(x^{2} + 2x - 6) = -((x + 1)^2 - 7) = 7 - (x + 1)^2

Подставим вместо x + 1,\ t:

x + 1 = t,\ x = t - 1,\ dx = dt

    \[\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = \int\frac{t - 1 + 4}{\sqrt{7 - t^{2}}}dt\]

    \[\int\frac{t - 1 + 4}{\sqrt{7 - t^{2}}}dt = \int\frac{tdt}{\sqrt{7 - t^{2}}} + 3\int\frac{dt}{\sqrt{7 - t^{2}}} =\]

    \[= -\frac{1}{2}\int(7 - t^{2})^{-\frac{1}{2}}d(7 - t^{2}) + 3\int\frac{dt}{\sqrt{{(\sqrt{7})^{2}} - t^2}} =\]

    \[= -\sqrt{7 - t^{2}} + 3\arcsin{\frac{t}{\sqrt{7}}} + C\]

Делаем обратную замену t = x + 1:

-\sqrt{7 - t^{2}} + 3\arcsin{\frac{t}{\sqrt{7}}} + C = 3\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{7}}} - \sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C

Ответ

    \[\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = 3\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{7}}} - \sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx\]

Решение

Применим формулу

    \[\int\frac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x)\cdot\sqrt{ax^{2} + bx + c} + \lambda\int\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}\]

    \[\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = 3\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{7}}} - \sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C\]

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx = (Ax + B)\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + \lambda\cdot\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}\]

Дифференцируя равенство по x, получаем:

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}} \equiv A\cdot\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + (Ax + B)\cdot\frac{-2 - 2x}{2\sqrt{1 - 2x - x^{2}}} + \frac{\lambda}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}\]

x^{2} \equiv A(1 - 2x - x^{2}) + (Ax + B)(-1 - x) + \lambda

x^{2} \equiv A - 2Ax - Ax^{2}) - Ax - B - Ax^{2} - Bx + \lambda

Сопоставим коэффициенты слагаемых с x в одинаковой степени:

1 = -A - A – коэффициент при x^{2}

0 = -2A - A - B – коэффициент при x

0 = A - B + \lambda – коэффициент при x^{0}

Находим значения A,\ B и \lambda:

A = -\frac{1}{2},\ B = \frac{3}{2},\ \lambda = 2

Подставляем найденные значения в

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}} \equiv A\cdot\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + (Ax + B)\cdot\frac{-2 - 2x}{2\sqrt{1 - 2x - x^{2}}} + \frac{\lambda}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}\]

Получаем

    \[(-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2\int\frac{dx}{\sqrt{2 - (x + 1)^{2}}} =\]

    \[= (-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{2}}} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx = (-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{2}}} + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx\]

Решение

Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку x = a\sin{t}

Найдём dx:

dx = a\cos{t}dt

С учётом подстановки x = a\sin{t} подынтегральная функция примет следующий вид:

\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}(1 - \sin^{2}{t})}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}

В результате искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}a\cos{t}dt = a^{2}\int \sin^{2}{t}dt\]

Данный интеграл относится к табличным и равен:

    \[\int \sin^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C\]

Поэтому:

    \[a^{2}\int \sin^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = a\sin{t} выразим t,\ sin{t},\ cos{t} через x:

t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 - \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}

В итоге получим:

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}(\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C\]

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2ax - x^{2}}}dx = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + C\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}}dx\]

Решение

Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку x = 2\sin{t},\ t = \arcsin\frac{x}{2}

Найдём dx:

dx = 2\cos{t}dt

С учётом подстановки x = 2\sin{t} подынтегральная функция примет следующий вид:

    \[\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{4 - 4\sin^{2}{t}}}{4\sin^{2}{t}}\cdot2\cos{t}dt =\]

    \[= \int\frac{4\cos^{2}{t}}{4\sin^{2}{t}}dt = \int\frac{1 - \sin^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}dt = \int\frac{dt}{\sin^{2}{t}} - \int dt =\]

= -\ ctgt - t + C

Делаем обратную подстановку t = \arcsin\frac{x}{2} и учитываем, что \ ctgt = \frac{\sqrt{1 - \sin^{2}{t}}}{\sin{t}} = \frac{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^{2}}}{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x}:

-\ ctgt - t + C = -\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} - \arcsin\frac{x}{2} + C

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}}dx = -\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} - \arcsin\frac{x}{2} + C\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx\]

Решение

x^{2} + 2x - 4 = (x + 1)^{2} - 5

x + 1 = t,\ x = t - 1,\ dx = dt

Сделаем подстановку x + 1 = t:

    \[\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx = \int\frac{\sqrt{t^{2} - 5}}{t^{3}}dt\]

Сделаем подстановку t = \frac{sqrt{5}}{\sin{z}},\ dt = \frac{-\sqrt{5}\cdot\cos{z}}{\sin^{2}{z}}dz,\ z = \arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}:

    \[\int\frac{\sqrt{t^{2} - 5}}{t^{3}}dt = \int\frac{\sqrt{\frac{5}{\sin^{2}{z}} - 5}}{\frac{5\sqrt{5}}{\sin^{3}{z}}}\cdot\frac{-\sqrt{5}\cos{z}}{\sin^{2}{z}}dz = -\frac{1}{\sqrt{5}}\int\cos^{2}{z}dz =\]

    \[= -\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{2}\int(1 + \cos{2z})dz = -\frac{5}{\sqrt{10}}(z + \frac{1}{2}\sin{2z}) + C\]

Переходим к переменной t через подстановку z = \arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}:

-\frac{5}{\sqrt{10}}(z + \frac{1}{2}\sin{2z}) + C = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}} + \frac{1}{2}\sin{2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}}) + C

Переходим к переменной x через подстановку t = x + 1:

-\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}} + \frac{1}{2}\sin{2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}}) + C = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}} + \frac{1}{2}\sin{2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}}}) + C = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}} + \frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^2} + C

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}} + \frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^2} + C\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *