Алгоритм решения интегрирования иррациональных функций

Теория
Интегралы, подынтегральная функция которых представляет собой иррациональное выражение, не могут быть вычислены непосредственно. С помощью тождественных преобразований подынгегральной функции такие интегралы можно свести к табличным интегралам, либо к их алгебраической сумме.

Алгоритм

При решении задач на вычисление интегралов от иррациональных функций, применяются методы подстановки и дробно-линейной подстановки.

Отдельным методом интегрирования иррациональных функций является использование формулы:

    \[\int\frac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x)\cdot\sqrt{ax^{2} + bx + c} + \lambda\int\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}\]

Примеры решений интегрирования иррациональных функций

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx\]

Решение

Представим интеграл в виде:

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{2}}}dx\]

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей \frac{1}{3}, \frac{2}{3} и \frac{1}{2} является 6.

Сделаем подстановку x = y^{6},\ dx = 6y^{5}dy

x^{\frac{1}{3}} = (y^{6})^{\frac{1}{3}} = y^{2},\ x^{\frac{2}{3}} = (y^{6})^{\frac{2}{3}} = y^{4},\ x^{\frac{1}{2}} = (y^{6})^{\frac{1}{2}} = y^{3}

    \[\int \frac{y^{2}}{y^{4} - y^{3}}6y^{5}dy = 6\int \frac{y^{7}}{y^{3}(y - 1)}dy = 6\int \frac{y^{4}}{y - 1}dy\]

Выделим целую часть в \frac{y^{4}}{y - 1}:

\frac{y^{4}}{y - 1} = y^{3} + y^{2} + y + 1 + \frac{1}{y - 1}

    \[= 6\left[\frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y - 1|\right] + C\]

Сделаем обратную подстановку y = \sqrt[6]{x}

6\left[\frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y - 1|\right] + C = 6\left[\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[6]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} - 1|\right] + C

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx = 6\left[\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[6]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} - 1|\right] + C\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx\]

Решение

Представим интеграл в виде:

    \[\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{2}}}dx\]

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей \frac{1}{2} и \frac{2}{3} является 6.

Сделаем подстановку x = y^{6},\ dx = 6y^{5}dy

x^{\frac{1}{2}} = (y^{6})^{\frac{1}{2}} = y^{3},\ x^{\frac{2}{3}} = (y^{6})^{\frac{2}{3}} = y^{4}

    \[\int \frac{y^{3}}{y^{4} - y^{3}}6y^{5}dy = 6\int \frac{y^{8}}{y^{3}(y - 1)}dy = 6\int \frac{y^{5}}{y - 1}dy\]

Выделим целую часть в \frac{y^{5}}{y - 1}:

\frac{y^{5}}{y - 1} = y^{4} + y^{3} + y^{2} + y + 1 + \frac{1}{y - 1}

    \[6\int\frac{y^{5}}{y - 1}dy = 6\int\left[y^{4} + y^{3} + y^{2} + y + 1 + \frac{1}{y - 1}\right]dy =\]

    \[= 6\left[\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y - 1|\right] + C\]

Сделаем обратную подстановку y = \sqrt[6]{x}

6\left[\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y - 1|\right] + C = 6\left[\frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{5} + \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[3]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} - 1|\right] + C

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt{x}}dx = 6\left[\frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{5} + \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[3]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} - 1|\right] + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})}dx\]

Решение

Представим интеграл в виде:

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})}dxdx = \int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x(x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}})}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4}{3}}}dx\]

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей \frac{1}{2} и \frac{2}{3} является 6.

Сделаем подстановку x = y^{6},\ dx = 6y^{5}dy

x^{\frac{1}{3}} = (y^{6})^{\frac{1}{3}} = y^{2},\ x^{\frac{3}{2}} = (y^{6})^{\frac{3}{2}} = y^{9},\ x^{\frac{4}{3}} = (y^{6})^{\frac{4}{3}} = y^{8}

    \[\int \frac{y^{2}}{y^{9} + y^{8}}6y^{5}dy = 6\int \frac{y^{7}}{y^{9} + y^{8}}dy = 6\int \frac{1}{y^{2} + y}dy\]

Преобразуем подынтегральную функцию:

    \[6\int \frac{1}{y^{2} + y}dy = 6\int \frac{y + 1 - y}{y(y + 1)}dy\]

    \[6\int \frac{1}{y^{2} + y}dy = 6\left[\int\frac{dy}{y} - \int\frac{dy}{y+1}\right]\]

    \[6\left[\int\frac{dy}{y} - \int\frac{dy}{y+1}\right] = 6\left[\ln|y| - \ln|y + 1|\right] + C\]

Сделаем обратную подстановку y = \sqrt[6]{x}

    \[6\left[\ln|y| - \ln|y + 1|\right] + C = 6\left[\ln|\sqrt[6]{x}| - \ln|\sqrt[6]{x} + 1|\right] + C =\]

    \[= 6\ln\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} + 1} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})}dx = 6\ln\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} + 1} + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x})}dx\]

Решение

Представим интеграл в виде:

    \[\int \frac{\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x})}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{5}{4}}}dx\]

Наименьшим общим кратным знаменателей дробей \frac{1}{6},\ \frac{4}{3} и\frac{5}{4} является 6.

Сделаем подстановку x = y^{12},\ dx = 12y^{11}dy

x^{\frac{1}{6}} = (y^{12})^{\frac{1}{6}} = y^{2},\ x^{\frac{4}{3}} = (y^{12})^{\frac{4}{3}} = y^{16},\ x^{\frac{5}{4}} = (y^{12})^{\frac{5}{4}} = y^{15}

    \[\int \frac{y^{2}}{y^{16} + y^{15}}12y^{11}dy = 12\int\frac{y^{13}}{y^{15}(y + 1)}dy = 12\int\frac{1}{y^{2}(y + 1)}dy\]

Преобразуем подынтегральную функцию:

    \[12\int\frac{1}{y^{2}(y + 1)}dy = -12\int\frac{y^{2} - 1 - y^{2}}{y^{2}(y + 1)}dy =\]

    \[-12\left[\int\frac{y - 1}{y^{2}}dy - \int\frac{1}{y + 1}dy\right] =\]

    \[= -12\left[\int\frac{1}{y}dy - \int\frac{1}{y^{2}}dy - \int\frac{1}{y + 1}dy\right] =\]

    \[= -12\left[\ln{y} + \frac{1}{y} + \ln{(y + 1)}\right] + C\]

Сделаем обратную подстановку y = \sqrt[12]{x}

-12\left[\ln{y} + \frac{1}{y} + \ln{(y + 1)}\right] + C =-12\left[\ln{\sqrt[12]{x}} + \frac{1}{\sqrt[12]{x}} + \ln{(\sqrt[12]{x} + 1)}\right] + C = -12\left[\ln({\sqrt[12]{x}\cdot(\sqrt[12]{x} + 1)}) + \frac{1}{\sqrt[12]{x}}\right] + C = -12\left[\ln({\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x})}) + \frac{1}{\sqrt[12]{x}}\right] + C

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x})}dx = -12\left[\ln({\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x})}) + \frac{1}{\sqrt[12]{x}}\right] + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}dx\]

Решение

Преобразуем 4x^{2} + 2x + 1:

4x^{2} + 2x + 1 = 4(x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}) = 4((x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16})

    \[\int\frac{dx}{\sqrt{4((x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16})}} = \frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16}}}\]

Подставим вместо x + \frac{1}{4},\ t:

x + \frac{1}{4} = t,\ x = t - \frac{1}{4},\ dx = dt

    \[\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16}}} = \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}}\]

    \[\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}} = \frac{1}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}|\right| + C\]

Делаем обратную замену t = x + \frac{1}{4}:

    \[\frac{1}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}|\right| + C = \frac{1}{2}\ln\left|x + \frac{1}{4} + \sqrt{(x + \frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{16}}\right| + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}dx = \frac{1}{2}\ln\left|x + \frac{1}{4} + \sqrt{(x + \frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{16}}\right| + C\]

Пример 6

Задача

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx\]

Решение

Преобразуем 6 - 2x - x^{2}:

6 - 2x - x^{2} = -(x^{2} + 2x - 6) = -((x + 1)^2 - 7) = 7 - (x + 1)^2

Подставим вместо x + 1,\ t:

x + 1 = t,\ x = t - 1,\ dx = dt

    \[\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = \int\frac{t - 1 + 4}{\sqrt{7 - t^{2}}}dt\]

    \[\int\frac{t - 1 + 4}{\sqrt{7 - t^{2}}}dt = \int\frac{tdt}{\sqrt{7 - t^{2}}} + 3\int\frac{dt}{\sqrt{7 - t^{2}}} =\]

    \[= -\frac{1}{2}\int(7 - t^{2})^{-\frac{1}{2}}d(7 - t^{2}) + 3\int\frac{dt}{\sqrt{{(\sqrt{7})^{2}} - t^2}} =\]

    \[= -\sqrt{7 - t^{2}} + 3\arcsin{\frac{t}{\sqrt{7}}} + C\]

Делаем обратную замену t = x + 1:

-\sqrt{7 - t^{2}} + 3\arcsin{\frac{t}{\sqrt{7}}} + C = 3\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{7}}} - \sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C

Ответ

    \[\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = 3\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{7}}} - \sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx\]

Решение

Применим формулу

    \[\int\frac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x)\cdot\sqrt{ax^{2} + bx + c} + \lambda\int\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}\]

    \[\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 - 2x - x^{2}}}dx = 3\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{7}}} - \sqrt{6 - 2x - x^{2}} + C\]

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx = (Ax + B)\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + \lambda\cdot\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}\]

Дифференцируя равенство по x, получаем:

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}} \equiv A\cdot\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + (Ax + B)\cdot\frac{-2 - 2x}{2\sqrt{1 - 2x - x^{2}}} + \frac{\lambda}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}\]

x^{2} \equiv A(1 - 2x - x^{2}) + (Ax + B)(-1 - x) + \lambda

x^{2} \equiv A - 2Ax - Ax^{2}) - Ax - B - Ax^{2} - Bx + \lambda

Сопоставим коэффициенты слагаемых с x в одинаковой степени:

1 = -A - A – коэффициент при x^{2}

0 = -2A - A - B – коэффициент при x

0 = A - B + \lambda – коэффициент при x^{0}

Находим значения A,\ B и \lambda:

A = -\frac{1}{2},\ B = \frac{3}{2},\ \lambda = 2

Подставляем найденные значения в

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}} \equiv A\cdot\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + (Ax + B)\cdot\frac{-2 - 2x}{2\sqrt{1 - 2x - x^{2}}} + \frac{\lambda}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}\]

Получаем

    \[(-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2\int\frac{dx}{\sqrt{2 - (x + 1)^{2}}} =\]

    \[= (-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{2}}} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}}}dx = (-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + 2\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{2}}} + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx\]

Решение

Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку x = a\sin{t}

Найдём dx:

dx = a\cos{t}dt

С учётом подстановки x = a\sin{t} подынтегральная функция примет следующий вид:

\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}(1 - \sin^{2}{t})}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}

В результате искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}a\cos{t}dt = a^{2}\int \sin^{2}{t}dt\]

Данный интеграл относится к табличным и равен:

    \[\int \sin^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C\]

Поэтому:

    \[a^{2}\int \sin^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = a\sin{t} выразим t,\ sin{t},\ cos{t} через x:

t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 - \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}

В итоге получим:

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}(\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C\]

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2ax - x^{2}}}dx = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + C\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}}dx\]

Решение

Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку x = 2\sin{t},\ t = \arcsin\frac{x}{2}

Найдём dx:

dx = 2\cos{t}dt

С учётом подстановки x = 2\sin{t} подынтегральная функция примет следующий вид:

    \[\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{4 - 4\sin^{2}{t}}}{4\sin^{2}{t}}\cdot2\cos{t}dt =\]

    \[= \int\frac{4\cos^{2}{t}}{4\sin^{2}{t}}dt = \int\frac{1 - \sin^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}dt = \int\frac{dt}{\sin^{2}{t}} - \int dt =\]

= -\ ctgt - t + C

Делаем обратную подстановку t = \arcsin\frac{x}{2} и учитываем, что \ ctgt = \frac{\sqrt{1 - \sin^{2}{t}}}{\sin{t}} = \frac{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^{2}}}{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x}:

-\ ctgt - t + C = -\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} - \arcsin\frac{x}{2} + C

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}}dx = -\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} - \arcsin\frac{x}{2} + C\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx\]

Решение

x^{2} + 2x - 4 = (x + 1)^{2} - 5

x + 1 = t,\ x = t - 1,\ dx = dt

Сделаем подстановку x + 1 = t:

    \[\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx = \int\frac{\sqrt{t^{2} - 5}}{t^{3}}dt\]

Сделаем подстановку t = \frac{sqrt{5}}{\sin{z}},\ dt = \frac{-\sqrt{5}\cdot\cos{z}}{\sin^{2}{z}}dz,\ z = \arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}:

    \[\int\frac{\sqrt{t^{2} - 5}}{t^{3}}dt = \int\frac{\sqrt{\frac{5}{\sin^{2}{z}} - 5}}{\frac{5\sqrt{5}}{\sin^{3}{z}}}\cdot\frac{-\sqrt{5}\cos{z}}{\sin^{2}{z}}dz = -\frac{1}{\sqrt{5}}\int\cos^{2}{z}dz =\]

    \[= -\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{2}\int(1 + \cos{2z})dz = -\frac{5}{\sqrt{10}}(z + \frac{1}{2}\sin{2z}) + C\]

Переходим к переменной t через подстановку z = \arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}:

-\frac{5}{\sqrt{10}}(z + \frac{1}{2}\sin{2z}) + C = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}} + \frac{1}{2}\sin{2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}}) + C

Переходим к переменной x через подстановку t = x + 1:

-\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}} + \frac{1}{2}\sin{2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}}) + C = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}} + \frac{1}{2}\sin{2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}}}) + C = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}} + \frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^2} + C

Ответ

    \[\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^{3}}dx = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}} + \frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{x^{2} + 2x - 4}}{(x + 1)^2} + C\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1698

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также