Примеры решения интегрирования иррациональных функций с ответами

Задача

Вычислить интеграл: $$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} – \sqrt{x}}dx$$

Решение

Представим интеграл в виде:

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} – \sqrt{x}}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} – x^{\frac{1}{2}}}dx

$$

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ и $\frac{1}{2}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{6},\ dx = 6y^{5}dy$

$x^{\frac{1}{3}} = (y^{6})^{\frac{1}{3}} = y^{2},\ x^{\frac{2}{3}} = (y^{6})^{\frac{2}{3}} = y^{4},\ x^{\frac{1}{2}} = (y^{6})^{\frac{1}{2}} = y^{3}$

$$\int \frac{y^{2}}{y^{4} – y^{3}}6y^{5}dy = 6\int \frac{y^{7}}{y^{3}(y – 1)}dy = 6\int \frac{y^{4}}{y – 1}dy$$

Выделим целую часть в $\frac{y^{4}}{y – 1}$:

$\frac{y^{4}}{y – 1} = y^{3} + y^{2} + y + 1 + \frac{1}{y – 1}$

$$ = 6\left[\frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y – 1|\right] + C$$

Сделаем обратную подстановку $y = \sqrt[6]{x}$

$6\left[\frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y – 1|\right] + C = 6\left[\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[6]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} – 1|\right] + C$

Ответ

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} – \sqrt{x}}dx = 6\left[\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[6]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} – 1|\right] + C$$

Задача

Вычислить интеграл: $$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} – \sqrt{x}}dx$$

Решение

Представим интеграл в виде:

$$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} – \sqrt{x}}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}} – x^{\frac{1}{2}}}dx$$

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{6},\ dx = 6y^{5}dy$

$x^{\frac{1}{2}} = (y^{6})^{\frac{1}{2}} = y^{3},\ x^{\frac{2}{3}} = (y^{6})^{\frac{2}{3}} = y^{4}$

$$\int \frac{y^{3}}{y^{4} – y^{3}}6y^{5}dy = 6\int \frac{y^{8}}{y^{3}(y – 1)}dy = 6\int \frac{y^{5}}{y – 1}dy$$

Выделим целую часть в $\frac{y^{5}}{y – 1}$:

$\frac{y^{5}}{y – 1} = y^{4} + y^{3} + y^{2} + y + 1 + \frac{1}{y – 1}$

$$6\int\frac{y^{5}}{y – 1}dy = 6\int\left[y^{4} + y^{3} + y^{2} + y + 1 + \frac{1}{y – 1}\right]dy = $$

$$ = 6\left[\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y – 1|\right] + C$$

Сделаем обратную подстановку $y = \sqrt[6]{x}$

$6\left[\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{4} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + y + \ln|y – 1|\right] + C = 6\left[\frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{5} + \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[3]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} – 1|\right] + C$

Ответ

$$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}} – \sqrt{x}}dx = 6\left[\frac{\sqrt[6]{x^{5}}}{5} + \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \sqrt[3]{x} + \ln|\sqrt[6]{x} – 1|\right] + C$$

Задача

Вычислить интеграл: $$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})}dx$$

Решение

Представим интеграл в виде:

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})}dxdx = \int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x(x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}})}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4}{3}}}dx$$

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{6},\ dx = 6y^{5}dy$

$x^{\frac{1}{3}} = (y^{6})^{\frac{1}{3}} = y^{2},\ x^{\frac{3}{2}} = (y^{6})^{\frac{3}{2}} = y^{9},\ x^{\frac{4}{3}} = (y^{6})^{\frac{4}{3}} = y^{8}$

$$\int \frac{y^{2}}{y^{9} + y^{8}}6y^{5}dy = 6\int \frac{y^{7}}{y^{9} + y^{8}}dy = 6\int \frac{1}{y^{2} + y}dy$$

Преобразуем подынтегральную функцию:

$$6\int \frac{1}{y^{2} + y}dy = 6\int \frac{y + 1 – y}{y(y + 1)}dy$$

$$6\int \frac{1}{y^{2} + y}dy = 6\left[\int\frac{dy}{y} – \int\frac{dy}{y+1}\right]$$

$$6\left[\int\frac{dy}{y} – \int\frac{dy}{y+1}\right] = 6\left[\ln|y| – \ln|y + 1|\right] + C$$

Сделаем обратную подстановку $y = \sqrt[6]{x}$

$$6\left[\ln|y| – \ln|y + 1|\right] + C = 6\left[\ln|\sqrt[6]{x}| – \ln|\sqrt[6]{x} + 1|\right] + C = $$

$$ = 6\ln\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} + 1} + C$$

Ответ

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})}dx = 6\ln\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} + 1} + C$$

Задача

Вычислить интеграл: $$\int \frac{\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x})}dx$$

Решение

Представим интеграл в виде:

$$\int \frac{\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x})}dx = \int \frac{x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{5}{4}}}dx$$

Наименьшим общим кратным знаменателей дробей $\frac{1}{6},\ \frac{4}{3}$ и$\frac{5}{4}$ является 6.

Сделаем подстановку $x = y^{12},\ dx = 12y^{11}dy$

$x^{\frac{1}{6}} = (y^{12})^{\frac{1}{6}} = y^{2},\ x^{\frac{4}{3}} = (y^{12})^{\frac{4}{3}} = y^{16},\ x^{\frac{5}{4}} = (y^{12})^{\frac{5}{4}} = y^{15}$

$$\int \frac{y^{2}}{y^{16} + y^{15}}12y^{11}dy = 12\int\frac{y^{13}}{y^{15}(y + 1)}dy = 12\int\frac{1}{y^{2}(y + 1)}dy$$

Преобразуем подынтегральную функцию:

$$12\int\frac{1}{y^{2}(y + 1)}dy = -12\int\frac{y^{2} – 1 – y^{2}}{y^{2}(y + 1)}dy = $$

$$-12\left[\int\frac{y – 1}{y^{2}}dy – \int\frac{1}{y + 1}dy\right] = $$

$$ = -12\left[\int\frac{1}{y}dy – \int\frac{1}{y^{2}}dy – \int\frac{1}{y + 1}dy\right] = $$

$$ = -12\left[\ln{y} + \frac{1}{y} + \ln{(y + 1)}\right] + C$$

Сделаем обратную подстановку $y = \sqrt[12]{x}$

$-12\left[\ln{y} + \frac{1}{y} + \ln{(y + 1)}\right] + C =-12\left[\ln{\sqrt[12]{x}} + \frac{1}{\sqrt[12]{x}} + \ln{(\sqrt[12]{x} + 1)}\right] + C = -12\left[\ln({\sqrt[12]{x}\cdot(\sqrt[12]{x} + 1)}) + \frac{1}{\sqrt[12]{x}}\right] + C = -12\left[\ln({\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x})}) + \frac{1}{\sqrt[12]{x}}\right] + C$

Ответ

$$\int \frac{\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x})}dx = -12\left[\ln({\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x})}) + \frac{1}{\sqrt[12]{x}}\right] + C$$

Задача

Вычислить интеграл: $$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}dx$$

Решение

Преобразуем $4x^{2} + 2x + 1$:

$4x^{2} + 2x + 1 = 4(x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}) = 4((x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16})$

$$\int\frac{dx}{\sqrt{4((x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16})}} = \frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16}}}$$

Подставим вместо $x + \frac{1}{4},\ t$:

$x + \frac{1}{4} = t,\ x = t – \frac{1}{4},\ dx = dt$

$$\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16}}} = \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}}$$

$$\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}} = \frac{1}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}|\right| + C$$

Делаем обратную замену $t = x + \frac{1}{4}$:

$$\frac{1}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^{2} + \frac{3}{16}}|\right| + C = \frac{1}{2}\ln\left|x + \frac{1}{4} + \sqrt{(x + \frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{16}}\right| + C$$

Ответ

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}dx = \frac{1}{2}\ln\left|x + \frac{1}{4} + \sqrt{(x + \frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{16}}\right| + C$$

Задача

Вычислить интеграл: $$\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 – 2x – x^{2}}}dx$$

Решение

Преобразуем $6 – 2x – x^{2}$:

$6 – 2x – x^{2} = -(x^{2} + 2x – 6) = -((x + 1)^2 – 7) = 7 – (x + 1)^2$

Подставим вместо $x + 1,\ t$:

$x + 1 = t,\ x = t – 1,\ dx = dt$

$$\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 – 2x – x^{2}}}dx = \int\frac{t – 1 + 4}{\sqrt{7 – t^{2}}}dt$$

$$\int\frac{t – 1 + 4}{\sqrt{7 – t^{2}}}dt = \int\frac{tdt}{\sqrt{7 – t^{2}}} + 3\int\frac{dt}{\sqrt{7 – t^{2}}} = $$

$$ = -\frac{1}{2}\int(7 – t^{2})^{-\frac{1}{2}}d(7 – t^{2}) + 3\int\frac{dt}{\sqrt{{(\sqrt{7})^{2}} – t^2}} = $$

$$ = -\sqrt{7 – t^{2}} + 3\arcsin{\frac{t}{\sqrt{7}}} + C$$

Делаем обратную замену $t = x + 1$:

$-\sqrt{7 – t^{2}} + 3\arcsin{\frac{t}{\sqrt{7}}} + C = 3\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{7}}} – \sqrt{6 – 2x – x^{2}} + C$

Ответ

$$\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 – 2x – x^{2}}}dx = 3\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{7}}} – \sqrt{6 – 2x – x^{2}} + C$$

Задача

Вычислить интеграл: $$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 – 2x – x^{2}}}dx$$

Решение

Применим формулу

$$\int\frac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x)\cdot\sqrt{ax^{2} + bx + c} + \lambda\int\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}$$

$$\int \frac{x + 4}{\sqrt{6 – 2x – x^{2}}}dx = 3\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{7}}} – \sqrt{6 – 2x – x^{2}} + C$$

$$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 – 2x – x^{2}}}dx = (Ax + B)\sqrt{1 – 2x – x^{2}} + \lambda\cdot\int \frac{dx}{\sqrt{1 – 2x – x^{2}}}$$

Дифференцируя равенство по $x$, получаем:

$$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 – 2x – x^{2}}} \equiv A\cdot\sqrt{1 – 2x – x^{2}} + (Ax + B)\cdot\frac{-2 – 2x}{2\sqrt{1 – 2x – x^{2}}} + \frac{\lambda}{\sqrt{1 – 2x – x^{2}}}$$

$x^{2} \equiv A(1 – 2x – x^{2}) + (Ax + B)(-1 – x) + \lambda$

$x^{2} \equiv A – 2Ax – Ax^{2}) – Ax – B – Ax^{2} – Bx + \lambda$

Сопоставим коэффициенты слагаемых с $x$ в одинаковой степени:

$1 = -A – A$ – коэффициент при $x^{2}$

$0 = -2A – A – B$ – коэффициент при $x$

$0 = A – B + \lambda$ – коэффициент при $x^{0}$

Находим значения $A,\ B$ и $\lambda$:

$A = -\frac{1}{2},\ B = \frac{3}{2},\ \lambda = 2$

Подставляем найденные значения в

$$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 – 2x – x^{2}}} \equiv A\cdot\sqrt{1 – 2x – x^{2}} + (Ax + B)\cdot\frac{-2 – 2x}{2\sqrt{1 – 2x – x^{2}}} + \frac{\lambda}{\sqrt{1 – 2x – x^{2}}}$$

Получаем

$$(-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})\sqrt{1 – 2x – x^{2}} + 2\int\frac{dx}{\sqrt{2 – (x + 1)^{2}}} = $$

$$ = (-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})\sqrt{1 – 2x – x^{2}} + 2\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{2}}} + C$$

Ответ

$$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 – 2x – x^{2}}}dx = (-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})\sqrt{1 – 2x – x^{2}} + 2\arcsin{\frac{x + 1}{\sqrt{2}}} + C$$

Задача

Вычислить интеграл: $$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}dx$$

Решение

Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку $x = a\sin{t}$

Найдём dx:

$dx = a\cos{t}dt$

С учётом подстановки $x = a\sin{t}$ подынтегральная функция примет следующий вид:

$\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2} – a^{2}\sin^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}(1 – \sin^{2}{t})}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}$

В результате искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$$\int \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}a\cos{t}dt = a^{2}\int \sin^{2}{t}dt$$

Данный интеграл относится к табличным и равен:

$$\int \sin^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t – \sin{t}\cos{t}) + C$$

Поэтому:

$$a^{2}\int \sin^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t – \sin{t}\cos{t}) + C$$

Перейдём к переменной $x$, для этого из подстановки $x = a\sin{t}$ выразим $t,\ sin{t},\ cos{t}$ через $x$:

$t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 – \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 – \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}{a}$

В итоге получим:

$$a^{2}\frac{1}{2}(t – \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}(\arcsin\frac{x}{a} – \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}{a}) + C$$

$$a^{2}\frac{1}{2}(t – \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} – \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} – x^{2}} + C$$

Ответ

$$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2ax – x^{2}}}dx = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} – \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} – x^{2}} + C$$

Задача

Вычислить интеграл: $$\int \frac{\sqrt{4 – x^{2}}}{x^{2}}dx$$

Решение

Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку $x = 2\sin{t},\ t = \arcsin\frac{x}{2}$

Найдём dx:

$dx = 2\cos{t}dt$

С учётом подстановки $x = 2\sin{t}$ подынтегральная функция примет следующий вид:

$$\frac{\sqrt{4 – x^{2}}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{4 – 4\sin^{2}{t}}}{4\sin^{2}{t}}\cdot2\cos{t}dt = $$

$$ = \int\frac{4\cos^{2}{t}}{4\sin^{2}{t}}dt = \int\frac{1 – \sin^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}dt = \int\frac{dt}{\sin^{2}{t}} – \int dt = $$

$ = -\ ctgt – t + C$

Делаем обратную подстановку $t = \arcsin\frac{x}{2}$ и учитываем, что $\ ctgt = \frac{\sqrt{1 – \sin^{2}{t}}}{\sin{t}} = \frac{\sqrt{1 – (\frac{x}{2})^{2}}}{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{4 – x^{2}}}{x}$:

$-\ ctgt – t + C = -\frac{\sqrt{4 – x^{2}}}{x} – \arcsin\frac{x}{2} + C$

Ответ

$$\int \frac{\sqrt{4 – x^{2}}}{x^{2}}dx = -\frac{\sqrt{4 – x^{2}}}{x} – \arcsin\frac{x}{2} + C$$

Задача

Вычислить интеграл: $$\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2x – 4}}{(x + 1)^{3}}dx$$

Решение

$x^{2} + 2x – 4 = (x + 1)^{2} – 5$

$x + 1 = t,\ x = t – 1,\ dx = dt$

Сделаем подстановку $x + 1 = t$:

$$\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2x – 4}}{(x + 1)^{3}}dx = \int\frac{\sqrt{t^{2} – 5}}{t^{3}}dt$$

Сделаем подстановку $t = \frac{sqrt{5}}{\sin{z}},\ dt = \frac{-\sqrt{5}\cdot\cos{z}}{\sin^{2}{z}}dz,\ z = \arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}$:

$$\int\frac{\sqrt{t^{2} – 5}}{t^{3}}dt = \int\frac{\sqrt{\frac{5}{\sin^{2}{z}} – 5}}{\frac{5\sqrt{5}}{\sin^{3}{z}}}\cdot\frac{-\sqrt{5}\cos{z}}{\sin^{2}{z}}dz = -\frac{1}{\sqrt{5}}\int\cos^{2}{z}dz = $$

$$ = -\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{2}\int(1 + \cos{2z})dz = -\frac{5}{\sqrt{10}}(z + \frac{1}{2}\sin{2z}) + C$$

Переходим к переменной $t$ через подстановку $z = \arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}$:

$-\frac{5}{\sqrt{10}}(z + \frac{1}{2}\sin{2z}) + C = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}} + \frac{1}{2}\sin{2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}}) + C$

Переходим к переменной $x$ через подстановку $t = x + 1$:

$-\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}} + \frac{1}{2}\sin{2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{t}}}) + C = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}} + \frac{1}{2}\sin{2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}}}) + C = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}} + \frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{x^{2} + 2x – 4}}{(x + 1)^2} + C$

Ответ

$$\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2x – 4}}{(x + 1)^{3}}dx = -\frac{5}{\sqrt{10}}(\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{x + 1}} + \frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{x^{2} + 2x – 4}}{(x + 1)^2} + C$$