Примеры решения интегрирования тригонометрических функций с ответами

Простое объяснение принципов нахождения интегралов тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
0 2063

Алгоритм решения интегрирования тригонометрических функций

Для нахождения интегралов тригонометрических функций используются свойства интегралов, а также таблица неопределённых интегралов и, в частности, табличные интегралы тригонометрических функций.

Интегралы, содержащие произведения тригонометрических функций, вычисляются путём преобразования к сумме нескольких функций с помощью следующих формул.

Формулы

\sin kx\cos lx = \frac{1}{2}[\sin(k - l)x + \sin(k + l)x]

\cos kx\cos lx = \frac{1}{2}[\cos(k - l)x + \cos(k + l)x]

\sin kx\sin lx = \frac{1}{2}[\cos(k - l)x - \cos(k + l)x]

 

    \[\sin nxdx = -\frac{1}{n}\cos nx + C\]

    \[\cos nxdx = \frac{1}{n}\sin nx + C\]

    \[\frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tgx + C\]

    \[\frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctgx + C\]

    \[\frac{dx}{\sin x} = \ln\left|\ tg\frac{x}{2}\right| + C\]

    \[\frac{dx}{\cos x} = \ln\left|\ tg\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right| + C\]

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов, C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений интегрирования тригонометрических функций

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin6xcos7xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию: \sin6xcos7xdx

    \[\int \sin6xcos7xdx = \frac{1}{2}\int\sin-x + \sin13xdx =\]

    \[= \frac{1}{2}\int(-\sin x + \sin13x)dx = \frac{1}{2}(\cos x - \frac{1}{13}\cos13x) + C\]

Ответ

    \[\int \sin6xcos7xdx = \frac{1}{2}(\cos x - \frac{1}{13}\cos13x) + C\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \cos3x\cos9xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию: \cos3x\cos9x

    \[\int \cos3x\cos9xdx = \frac{1}{2}\int(\cos(-6x) + \cos12x)dx =\]

    \[= \frac{1}{2}\int(\cos6x + \cos12x)dx = \frac{1}{2}(\frac{1}{6}\sin6x + \frac{1}{12}\sin12x) + C\]

Ответ

    \[\int \cos3xcos9xdx = \frac{1}{2}(\frac{1}{6}\sin6x + \frac{1}{12}\sin12x) + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin2x\sin5xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию: \sin2x\sin5x

    \[\int \sin2x\sin5xdx = \frac{1}{2}\int(\cos(-3x) - \cos7x)dx =\]

    \[= \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\sin3x + \frac{1}{7}\sin7x) + C\]

Ответ

    \[\int \sin2x\sin5xdx = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\sin3x + \frac{1}{7}\sin7x) + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin^{3}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\sin^{3}x = \sin^{3}x\sin x = (1 - \cos^{2}x)\sin x

    \[\int(1 - \cos^{2}x)\sin xdx\]

Сделаем подстановку \cos x = z

    \[-\int(1 - z^{2})dz = -z + \frac{z^{3}}{3} + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

-\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3} + C

Ответ

    \[\int \sin^{3}xdx = -\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3} + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \cos^{5}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\cos^{5}x = \cos^{4}x\cos x = (cos^{2}x)^{2}\cos x = (1 - \sin^{2}x)^{2}\cos x = (1 - 2\sin^{2}x + \sin^{4})\cos x

    \[\int(1 - 2\sin^{2}x + \sin^{4})\cos xdx\]

Сделаем подстановку \sin x = z,\ \cos xdx = dz

    \[-\int(1 - 2z^{2} + z^{4})dz = z - \frac{2z^{3}}{3} + \frac{z^{5}}{5} + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

\sin x - \frac{2\sin^{3}x}{3} + \frac{\sin^{5}}x{5} + C

Ответ

    \[\int \cos^{5}xdx = \sin x - \frac{2\sin^{3}x}{3} + \frac{\sin^{5}}x{5} + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin^{7}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\sin^{7}x = \sin^{6}x\sin x = (sin^{2}x)^{3}\sin x = (1 - \cos^{2}x)^{3}\sin x

    \[\int(1 - \cos^{2}x)^{3}\sin xdx\]

Сделаем подстановку \cos x = z,\ -\sin xdx = dz

    \[-\int(1 - z^{2})^{3}dz = -\int(1 - 3z^{2} + 3z^{4} - z^{6})dz =\]

    \[= -(z - z^{3} + \frac{3}{5}z^{5} - \frac{1}{7}z^{7}) + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

-(\cos x - \cos^{3}x + \frac{3}{5}\cos^{5}x - \frac{1}{7}\cos^{7}x) + C

Ответ

    \[\int \sin^{7}xdx = -(\cos x - \cos^{3}x + \frac{3}{5}\cos^{5}x - \frac{1}{7}\cos^{7}x) + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \cos^{9}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\cos^{7}x = \cos^{8}x\cos x = (cos^{2}x)^{4}\cos x = (1 - \sin^{2}x)^{4}\cos x

    \[\int(1 - \sin^{2}x)^{4}\cos xdx\]

Сделаем подстановку \sin x = z,\ \cos xdx = dz

    \[-\int(1 - z^{2})^{4}dz = -\int(1 - 4z^{2} + 6z^{4} - 4z^{6} + z^{8})dz =\]

    \[= z - \frac{4}{3}z^{3} + \frac{6}{5}z^{5} - \frac{4}{7}z^{7} + \frac{1}{9}z^{9} + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

\sin x - \frac{4}{3}\sin^{3}x + \frac{6}{5}\cos^{5}x - \frac{4}{7}\cos^{7}x) + \frac{1}{9}\sin^{9}x + C

Ответ

    \[\int \cos^{9}xdx = \sin x - \frac{4}{3}\sin^{3}x + \frac{6}{5}\cos^{5}x - \frac{4}{7}\cos^{7}x + \frac{1}{9}\sin^{9}x + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin^{4}x\cos^{3}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\sin^{4}x\cos^{3}x = \sin^{4}x\cos^{2}x\cos x = \sin^{4}x(1 - \sin^{2})\cos x = (\sin^{4} - \sin^{6})\cos x

    \[\int(\sin^{4} - \sin^{6})\cos xdx\]

Сделаем подстановку \sin x = z,\ \cos xdx = dz

    \[\int(z^{4} - z^{6})dz = \frac{z^{5}}{5} - \frac{z^{7}}{7} + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

\frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{\sin^{7}x}{7} + C

Ответ

    \[\int \sin^{4}x\cos^{3}xdx = \frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{\sin^{7}x}{7} + C\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin^{2}x\sin^{5}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\sin^{2}x\sin^{5}x = \cos^{2}x\sin^{4}x\sin x = \cos^{2}x(\sin^{2})^{2}\sin x = \cos^{2}x(1 - \cos^{2}x)^{2}\sin x = \cos^{2}x(1 - 2\cos^{2}x + \cos^{4}x)\sin x = (\cos^{2}x - 2\cos^{4}x + \cos^{6}x)\sin x

    \[\int(\cos^{2}x - 2\cos^{4}x + \cos^{6}x)\sin xdx\]

Сделаем подстановку \cos x = z,\ -\sin xdx = dz

    \[-\int(z^{2} - 2z^{4} + z^{6})dz = -(\frac{z^{3}}{3} - \frac{2z^{5}}{5} + \frac{z^{7}}{7}) + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

-(\frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{2\cos^{5}x}{5} + \frac{\cos^{7}x}{7}) + C

Ответ

    \[\int \sin^{2}x\sin^{5}xdx = -(\frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{2\cos^{5}x}{5} + \frac{\cos^{7}x}{7}) + C\]

Пример10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin^{4}x\cos^{7}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\sin^{4}x\cos^{7}x = \sin^{4}x\cos^{6}x\cos x = \sin^{4}x(\cos^{2}x)^{3}\cos x = \sin^{4}x(1 - \sin^{2}x)^{3}\cos x = \sin^{4}x(1 - 3\sin^{2}x + 3\sin^{4}x - \sin^{6}x)^{3}\cos x = (\sin^{4}x - 3\sin^{6}x + 3\sin^{8}x - \sin^{10}x)^{3}\cos x

    \[\int(\sin^{4}x - 3\sin^{6}x + 3\sin^{8}x - \sin^{10}x)^{3}\cos xdx\]

Сделаем подстановку \sin x = z,\ \cos xdx = dz

    \[\int(z^{4} - 3z^{6} + 3z^{8} - z^{10})dz = \frac{z^{5}}{5} - \frac{3z^{7}}{7} + \frac{z^{9}}{3} - \frac{z^{11}}{11} + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

\frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{3\sin^{7}x}{7} + \frac{\sin^{9}x}{3} - \frac{\sin^{11}x}{11} + C

Ответ

    \[\int \sin^{4}x\cos^{7}xdx = \frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{3\sin^{7}x}{7} + \frac{\sin^{9}x}{3} - \frac{\sin^{11}x}{11} + C\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *