Алгоритм решения интегрирования тригонометрических функций

Для нахождения интегралов тригонометрических функций используются свойства интегралов, а также таблица неопределённых интегралов и, в частности, табличные интегралы тригонометрических функций.

Интегралы, содержащие произведения тригонометрических функций, вычисляются путём преобразования к сумме нескольких функций с помощью следующих формул.

Формулы

\sin kx\cos lx = \frac{1}{2}[\sin(k - l)x + \sin(k + l)x]

\cos kx\cos lx = \frac{1}{2}[\cos(k - l)x + \cos(k + l)x]

\sin kx\sin lx = \frac{1}{2}[\cos(k - l)x - \cos(k + l)x]

 

    \[\sin nxdx = -\frac{1}{n}\cos nx + C\]

    \[\cos nxdx = \frac{1}{n}\sin nx + C\]

    \[\frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tgx + C\]

    \[\frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctgx + C\]

    \[\frac{dx}{\sin x} = \ln\left|\ tg\frac{x}{2}\right| + C\]

    \[\frac{dx}{\cos x} = \ln\left|\ tg\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right| + C\]

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов, C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений интегрирования тригонометрических функций

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin6xcos7xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию: \sin6xcos7xdx

    \[\int \sin6xcos7xdx = \frac{1}{2}\int\sin-x + \sin13xdx =\]

    \[= \frac{1}{2}\int(-\sin x + \sin13x)dx = \frac{1}{2}(\cos x - \frac{1}{13}\cos13x) + C\]

Ответ

    \[\int \sin6xcos7xdx = \frac{1}{2}(\cos x - \frac{1}{13}\cos13x) + C\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \cos3x\cos9xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию: \cos3x\cos9x

    \[\int \cos3x\cos9xdx = \frac{1}{2}\int(\cos(-6x) + \cos12x)dx =\]

    \[= \frac{1}{2}\int(\cos6x + \cos12x)dx = \frac{1}{2}(\frac{1}{6}\sin6x + \frac{1}{12}\sin12x) + C\]

Ответ

    \[\int \cos3xcos9xdx = \frac{1}{2}(\frac{1}{6}\sin6x + \frac{1}{12}\sin12x) + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin2x\sin5xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию: \sin2x\sin5x

    \[\int \sin2x\sin5xdx = \frac{1}{2}\int(\cos(-3x) - \cos7x)dx =\]

    \[= \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\sin3x + \frac{1}{7}\sin7x) + C\]

Ответ

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\int \sin2x\sin5xdx = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\sin3x + \frac{1}{7}\sin7x) + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin^{3}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\sin^{3}x = \sin^{3}x\sin x = (1 - \cos^{2}x)\sin x

    \[\int(1 - \cos^{2}x)\sin xdx\]

Сделаем подстановку \cos x = z

    \[-\int(1 - z^{2})dz = -z + \frac{z^{3}}{3} + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

-\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3} + C

Ответ

    \[\int \sin^{3}xdx = -\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3} + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \cos^{5}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\cos^{5}x = \cos^{4}x\cos x = (cos^{2}x)^{2}\cos x = (1 - \sin^{2}x)^{2}\cos x = (1 - 2\sin^{2}x + \sin^{4})\cos x

    \[\int(1 - 2\sin^{2}x + \sin^{4})\cos xdx\]

Сделаем подстановку \sin x = z,\ \cos xdx = dz

    \[-\int(1 - 2z^{2} + z^{4})dz = z - \frac{2z^{3}}{3} + \frac{z^{5}}{5} + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

\sin x - \frac{2\sin^{3}x}{3} + \frac{\sin^{5}}x{5} + C

Ответ

    \[\int \cos^{5}xdx = \sin x - \frac{2\sin^{3}x}{3} + \frac{\sin^{5}}x{5} + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin^{7}xdx\]

Решение

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Преобразуем подынтегральную функцию:

\sin^{7}x = \sin^{6}x\sin x = (sin^{2}x)^{3}\sin x = (1 - \cos^{2}x)^{3}\sin x

    \[\int(1 - \cos^{2}x)^{3}\sin xdx\]

Сделаем подстановку \cos x = z,\ -\sin xdx = dz

    \[-\int(1 - z^{2})^{3}dz = -\int(1 - 3z^{2} + 3z^{4} - z^{6})dz =\]

    \[= -(z - z^{3} + \frac{3}{5}z^{5} - \frac{1}{7}z^{7}) + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

-(\cos x - \cos^{3}x + \frac{3}{5}\cos^{5}x - \frac{1}{7}\cos^{7}x) + C

Ответ

    \[\int \sin^{7}xdx = -(\cos x - \cos^{3}x + \frac{3}{5}\cos^{5}x - \frac{1}{7}\cos^{7}x) + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \cos^{9}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\cos^{7}x = \cos^{8}x\cos x = (cos^{2}x)^{4}\cos x = (1 - \sin^{2}x)^{4}\cos x

    \[\int(1 - \sin^{2}x)^{4}\cos xdx\]

Сделаем подстановку \sin x = z,\ \cos xdx = dz

    \[-\int(1 - z^{2})^{4}dz = -\int(1 - 4z^{2} + 6z^{4} - 4z^{6} + z^{8})dz =\]

    \[= z - \frac{4}{3}z^{3} + \frac{6}{5}z^{5} - \frac{4}{7}z^{7} + \frac{1}{9}z^{9} + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

\sin x - \frac{4}{3}\sin^{3}x + \frac{6}{5}\cos^{5}x - \frac{4}{7}\cos^{7}x) + \frac{1}{9}\sin^{9}x + C

Ответ

    \[\int \cos^{9}xdx = \sin x - \frac{4}{3}\sin^{3}x + \frac{6}{5}\cos^{5}x - \frac{4}{7}\cos^{7}x + \frac{1}{9}\sin^{9}x + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin^{4}x\cos^{3}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\sin^{4}x\cos^{3}x = \sin^{4}x\cos^{2}x\cos x = \sin^{4}x(1 - \sin^{2})\cos x = (\sin^{4} - \sin^{6})\cos x

    \[\int(\sin^{4} - \sin^{6})\cos xdx\]

Сделаем подстановку \sin x = z,\ \cos xdx = dz

    \[\int(z^{4} - z^{6})dz = \frac{z^{5}}{5} - \frac{z^{7}}{7} + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

\frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{\sin^{7}x}{7} + C

Ответ

    \[\int \sin^{4}x\cos^{3}xdx = \frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{\sin^{7}x}{7} + C\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin^{2}x\sin^{5}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\sin^{2}x\sin^{5}x = \cos^{2}x\sin^{4}x\sin x = \cos^{2}x(\sin^{2})^{2}\sin x = \cos^{2}x(1 - \cos^{2}x)^{2}\sin x = \cos^{2}x(1 - 2\cos^{2}x + \cos^{4}x)\sin x = (\cos^{2}x - 2\cos^{4}x + \cos^{6}x)\sin x

    \[\int(\cos^{2}x - 2\cos^{4}x + \cos^{6}x)\sin xdx\]

Сделаем подстановку \cos x = z,\ -\sin xdx = dz

    \[-\int(z^{2} - 2z^{4} + z^{6})dz = -(\frac{z^{3}}{3} - \frac{2z^{5}}{5} + \frac{z^{7}}{7}) + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

-(\frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{2\cos^{5}x}{5} + \frac{\cos^{7}x}{7}) + C

Ответ

    \[\int \sin^{2}x\sin^{5}xdx = -(\frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{2\cos^{5}x}{5} + \frac{\cos^{7}x}{7}) + C\]

Пример10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin^{4}x\cos^{7}xdx\]

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\sin^{4}x\cos^{7}x = \sin^{4}x\cos^{6}x\cos x = \sin^{4}x(\cos^{2}x)^{3}\cos x = \sin^{4}x(1 - \sin^{2}x)^{3}\cos x = \sin^{4}x(1 - 3\sin^{2}x + 3\sin^{4}x - \sin^{6}x)^{3}\cos x = (\sin^{4}x - 3\sin^{6}x + 3\sin^{8}x - \sin^{10}x)^{3}\cos x

    \[\int(\sin^{4}x - 3\sin^{6}x + 3\sin^{8}x - \sin^{10}x)^{3}\cos xdx\]

Сделаем подстановку \sin x = z,\ \cos xdx = dz

    \[\int(z^{4} - 3z^{6} + 3z^{8} - z^{10})dz = \frac{z^{5}}{5} - \frac{3z^{7}}{7} + \frac{z^{9}}{3} - \frac{z^{11}}{11} + C\]

Производя обратную подстановку получаем:

\frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{3\sin^{7}x}{7} + \frac{\sin^{9}x}{3} - \frac{\sin^{11}x}{11} + C

Ответ

    \[\int \sin^{4}x\cos^{7}xdx = \frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{3\sin^{7}x}{7} + \frac{\sin^{9}x}{3} - \frac{\sin^{11}x}{11} + C\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

328

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также