Алгоритм решения линейных уравнений по методу Крамера

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Метод Крамера – способ решения системы линейных уравнений с помощью определителя матрицы при условии, что он не равен нулю. Если мы говорим об определителе, то, соответственно, матрица данной системы может быть только квадратной (число переменных в данной системе уравнений должно быть равно числу её строк).

Алгоритм

1. Находим общий определитель матрицы

    \[\Delta,\]

убеждаемся, что он не равен нулю.

2. Для каждой переменной

    \[x_i\]

находим определитель матрицы

    \[\Delta_i.\]

Здесь вместо столбца коэффициентов

    \[x_i\]

подставляем столбец свободных членов системы.

3. Находим значения неизвестных по формуле

    \[x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}, (i \in N)\]

Примеры решений линейных уравнений по методу Крамера

Пример 1

Задание 1

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2  = 2\\  - x_1 + x_2  = 0\end{matrix}\right.\]

Решение

Найдем определитель матрицы \Delta:

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 1 &1 \\ -1 &1 \end{vmatrix} = 1\cdot1 - 1\cdot(-1) = 2\]

Теперь заменим первый столбец свободными членами системы:

    \[\Delta_1 = \begin{vmatrix} 2 &1 \\ 0 &1 \end{vmatrix} = 2\cdot1-1\cdot(0) = 2\]

Найдем значение

    \[x_{1}:\]

    \[x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{2}{2} = 1\]

Заменим второй столбец и то же самое проделаем для

    \[x_1:\]

    \[\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 &2 \\ -1 &0 \end{vmatrix} = 1\cdot0 - 2\cdot(-1) = 2\]

Найдем значение

    \[x_{2}:\]

    \[x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{2}{2} = 1\]

Ответ:

    \[x_1 = x_2 = 1\]

Пример 2

Задание 2

Решить систему уравнений с помощью метода Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix}  5x_1 + 2x_2  = 7\\  2x_1 + x_2  = 9 \end{matrix}\right.\]

Решение

Находим определитель матрицы

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\Delta:\]

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 5 &2 \\ 2 &1 \end{vmatrix} = 5\cdot1 - 2\cdot2 = 5-4= 1\]

Заменяем первый столбец

    \[x_1\]

свободными членами и находим определитель

    \[\Delta_1:\]

    \[\Delta_1 = \begin{vmatrix} 7 &2 \\ 9 &1 \end{vmatrix} = 7\cdot1 - 2\cdot9 = 7-18= -11\]

Найдем значение

    \[x_1:\]

    \[x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-11}{1} = -11\]

Теперь заменим на свободные члены второй столбец матрицы и найдём определитель

    \[\Delta_2\]

для 

    \[x_2:\]

    \[\Delta_2 = \begin{vmatrix} 5 &7 \\ 2 &9 \end{vmatrix} = 5\cdot9 - 7\cdot2 = 45-14= 31\]

Найдем

    \[x_2:\]

    \[x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{31}{1} = 31\]

Ответ

    \[x_1 = -11, \: x_2 = 31\]

Пример 3

Задание 3

С помощью метода Крамера решить систему уравнений:

    \[\left\{\begin{matrix} 3x_1 - 2x_2  = \frac{5}{6}\\  2x_1 + 3x_2  = 2 \end{matrix}\right.\]

Решение

Как и в предыдущих примерах, сначала находим общий определитель матрицы

    \[\Delta:\]

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 3 &-2 \\ 2 &3 \end{vmatrix} = 3\cdot3 - (-2)\cdot2 = 9+4= 13\]

Заменяем первый столбец свободными членами:

    \[\Delta_1 = \begin{vmatrix} \frac{5}{6}&-2 \\ 2 &3 \end{vmatrix} = \frac{5}{6}\cdot3 - (-2)\cdot2 = \frac{5}{2} + 4 = \frac{13}{2}\]

Найдем значение

    \[x_1\]

согласно формуле:

    \[x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{\frac{13}{2}}{13} =\frac{13}{2\cdot13}= \frac{1}{2}\]

Найдем определитель матрицы для 

    \[x_{2},\]

заменив на свободные члены второй столбец:

    \[\Delta_2 = \begin{vmatrix} 3 &\frac{5}{6} \\ 2 &2 \end{vmatrix} = 3\cdot2 - \frac{5}{6}\cdot2 = 6-\frac{5}{3}= \frac{13}{3}\]

Найдем значение

    \[x_2:\]

    \[x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{\frac{13}{3}}{13} =\frac{13}{3\cdot13}= \frac{1}{3}\]

Ответ

    \[x_1 = \frac{1}{2}, \: x_2 =\frac{1}{3}\]

Пример 4

Задание 4

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} 2x_1 -  x_2  + 2x_3 = -1\\  x_1 + 2x_2 + x_3  = 1 \\ 3x_1 + x_2 + x_3 = 2 \end{matrix}\right.\]

Решение

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Здесь видим матрицу 3х3, следовательно определитель матрицы  находим методом треугольников:

    \[\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & -1  & 2\\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot2\cdot1 + (-1)\cdot3\cdot3 + 2\cdot1\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot3\cdot2 - 3\cdot2\cdot2 = 4-9+2+1-6-12 = -20\]

Определитель не равен 0, а значит можем продолжать решение.

Замени первый столбец матрицы на свободные члены и найдем её определитель для 

    \[x_1:\]

    \[\Delta_{x_{1}} = \begin{vmatrix} -1 & -1  & 2\\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)\cdot2\cdot1 + (-1)\cdot3\cdot2 + 2\cdot1\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot3\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot2 = -2-6+2+1+3-8 = -10\]

Таким образом, определим значение

    \[x_1:\]

    \[x_1 = \frac{\Delta_{x_{1}} }{\Delta} = \frac{\-10}{-20} = -\frac{1}{2}\]

Таким же способом получим определитель матрицы для

    \[x_2,\]

заменив на свободные члены второй столбец:

    \[\Delta_{x_{2}} = \begin{vmatrix} 2 & -1  & 2\\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot1\cdot1 + (-1)\cdot3\cdot3 + 2\cdot2\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 2\cdot3\cdot2 - 3\cdot1\cdot2 = 2-9+4+1-12-6 = -20\]

Найдем

    \[x_2:\]

    \[x_2 = \frac{\Delta_{x_{2}} }{\Delta} = \frac{\-20}{-20} = 1\]

Также заменим на свободные члены значения третьего столбца и получим определитель матрицы для 

    \[x_3:\]

    \[\Delta_{x_{3}} = \begin{vmatrix} 2 & -1  & -1\\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot2\cdot2 + (-1)\cdot1\cdot3 + (-1)\cdot1\cdot1 - 2\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot1\cdot2 - 3\cdot2\cdot(-1) = 8-3-1+2-2+6 = 10\]

Найдем

    \[x_3:\]

    \[x_3 = \frac{\Delta_{x_{3}} }{\Delta} = \frac{10}{-20} = -\frac{1}{2}\]

Ответ

    \[x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 1,  x_3 = -\frac{1}{2}\]

Пример 5

Задание 5

Решить методом Крамера систему уравнений:

    \[\left\{\begin{matrix} 3x + y + z  = 2\\ x + 3y + z  = 2 \\ x + y + 3z = -1\end{matrix}\right.\]

Решение

Аналогично, как в предыдущем примере, найдём определитель матрицы

    \[\Delta\]

методом треугольников:

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3\cdot3\cdot3 + 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 - 3\cdot1\cdot1 - 1\cdot1\cdot1 - 1\cdot3\cdot1 = 27+1+1-3-3-3=20\]

    \[20\neq 0,\]

следовательно, можем продолжать.

Найдем определитель матрицы для 

    \[x.\]

Заменяем коэффициенты первого столбца:

    \[\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2\cdot3\cdot3 + 1\cdot1\cdot(-1) + 1\cdot1\cdot2 - 3\cdot2\cdot1 - 1\cdot1\cdot2 - (-1)\cdot3\cdot1 = 18 -1 + 2 - 6 - 2 + 3 = 14\]

Найдем

    \[x:\]

    \[x = \frac{14}{20} = 0,7\]

Найдем определитель матрицы для 

    \[y.\]

Проделаем то же самое, но заменив коэффициенты второго столбца.

    \[\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3\cdot2\cdot3 + 2\cdot1\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot1 - 3\cdot2\cdot1 - (-1)\cdot1\cdot3 - 1\cdot2\cdot1 = 18 + 12 - 1 - 6 + 3 -2 = 14\]

Найдем значение

    \[y:\]

    \[y = \frac{14}{20} = 0,7\]

Найдем определитель матрицы для 

    \[z,\]

заменив на свободные члены третий столбец:

    \[\Delta_{z} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3\cdot3\cdot(-1) + 1\cdot1\cdot2 + 1\cdot1\cdot2 - (-)\cdot1\cdot1 - 2\cdot1\cdot1 - 2\cdot3\cdot1 = -9 + 2 + 2 + 1 - 6 - 6 = -16\]

Найдем значение

    \[z:\]

    \[z = \frac{-16}{20} = -0,8\]

Ответ

    \[x=y=0,7, \: z = -0,8\]

Пример 6

Задание 6

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} x  + z  = 4\\ 2y - z  = 1 \\ 3x-y = 1\end{matrix}\right.\]

Решение

Здесь мы видим, что в строках отсутствуют некоторые перемененные. Преобразим вид системы уравнений в квадратный:

    \[\left\{\begin{matrix} 1\cdotx + 0\cdoty + 1\cdotz  = 4\\ 0\cdotx + 2\cdoty + (-1)\cdotz  = 1 \\ 3\cdotx + (-1)\cdoty + 0\cdotz = 1\end{matrix}\right.\]

Таким образом, наша матрица будет следующего вида:

    \[  \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix} \]

Найдем определитель матрицы:

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot2\cdot0 + 0\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot(-1)\cdot0 - 1\cdot2\cdot3 - 0\cdot0\cdot0 - 1\cdot(-1)\cdot(-1) = -6-1 = -7 \]

Найдем определитель матрицы для 

    \[x:\]

    \[\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1\\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 4\cdot2\cdot0 + 0\cdot(-1)\cdot(-1) + 1\cdot(-1)\cdot1 - 0\cdot1\cdot0 - (-1)\cdot(-1)\cdot4 - 1\cdot2\cdot1 = -1-4-2 = -7\]

Найдем значение

    \[x:\]

    \[x = \frac{-7}{-7} = 1\]

Найдем определитель матрицы для 

    \[y,\]

заменив на свободные члены второй столбец:

    \[\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot1\cdot0 + 4\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot1\cdot0 - 0\cdot0\cdot4 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 3\cdot1\cdot1 = -12+1-3 = -14 \]

Найдем значение

    \[y:\]

    \[y = \frac{-14}{-7} = 2\]

Заменим третий столбец и найдем определитель матрицы для 

    \[z:\]

    \[\Delta_{z} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4\\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot2\cdot1 + 0\cdot1\cdot3 + 4\cdot(-1)\cdot0 - 1\cdot0\cdot0 - (-1)\cdot1\cdot1 - 3\cdot2\cdot4 = 2+1-24 = -21 \]

Найдем

    \[z:\]

    \[z = \frac{-21}{-7} = 3\]

Ответ

    \[x = 1, \: y = 2, \: z = 3\]

Пример 7

Задание 7

С помощью метода Крамера решить систему уравнений:

    \[\left\{\begin{matrix} x  +y -  2z  = 2\\ 2x - 3y - z  = 1 \\ x-4y + z = 3\end{matrix}\right.\]

Решение

Найдем определитель матрицы

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-3)\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot1 + 2\cdot(-4)\cdot(-2) - 1\cdot2\cdot1 - (-4)\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot(-3)\cdot(-2) = -3-1+16-6-4-2 = 0\]

Определитель

    \[\Delta = 0.\]

Это значит, что данную систему нельзя решить методом Крамера, и мы не можем продолжать решение согласно нашему алгоритму.

Ответ

Метод Крамера нельзя применить к данной системе линейных уравнений

Пример 8

Задание 8

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} ax - 3y = 1\\ 2x + ay = 2\end{matrix}\right.\]

Решение

Здесь a – это некоторое реальное число.

Найдем общий определитель матрицы

    \[\Delta\]

:

    \[\Delta = \begin{vmatrix} a & 2 \\ -3 &a  \end{vmatrix} = a^2 + 6\]

Найдем определитель матрицы

    \[\Delta_{x}.\]

Для этого подставим в первый столбец матрицы свободные члены системы уравнений.

    \[\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 &a  \end{vmatrix} = a + 6\]

Найдем значение

    \[x:\]

    \[x = \frac{a+6}{a^2+6}\]

Таким же способом найдем определитель матрицы

    \[\Delta_{y}:\]

    \[\Delta_{y} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 2 &2  \end{vmatrix} = 2a -2\]

Найдем

    \[y:\]

    \[y = \frac{2a-1}{2^2+6}\]

Ответ

    \[x = \frac{a+6}{a^2+6}, \: y = \frac{2a-1}{2^2+6}\]

Пример 9

Задание 9

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} 2ax - 3by + cz = 0\\ 3ax - 6by + 5cz = 2abc \\ 5ax - 4aby + 2cz = 3abc \end{matrix}\right.\]

Решение

Найдем определитель матрицы:

    \[\Delta= \begin{vmatrix} 2a & -3b & c \\ 3a & -6b & 5c \\ 5a & -4b & 2c \end{vmatrix} = 2a\cdot(-6b)\cdot 2c + (-3b)\cdot5c\cdot5a + c\cdot(-4b)\cdot3a - 2c\cdot3a\cdot(-3b)-(-4b)\cdot5c\cdot2a - 5a\cdot(-6b)\cdot c =  -24abc-75abc-12abc+18abc + 40 abc + 30 abc = -23abc\]

Найдем определитель матрицы для

    \[x,\]

заменив на свободные члены первый столбец:

    \[\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 0 & -3b & c \\ 2bc & -6b & 5c \\ 3abc & -4b & 2c \end{vmatrix} = 0\cdot(-6b)\cdot 2c + (-3b)\cdot5c\cdot3abc + c\cdot(-4b)\cdot2abc - 2c\cdot2abc\cdot(-3b)-(-4b)\cdot5c\cdot0 - 3abc\cdot(-6b)\cdot c =  -45ab^2c^2 - 8ab^2c^2 + 18ab^2c^2 + 12ab^2c^2 = -23ab^2c^2\]

Найдем значение

    \[x:\]

    \[x = \frac{-23ab^2c^2}{-23abc} = bc\]

Найдем определитель матрицы для

    \[y\]

:, заменив на свободные члены второй столбец:

    \[\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 2a & 0 & c \\ 3a & 2abc & 5c \\ 5a & 3abc & 2c \end{vmatrix} = 8a^2bc^2 + 9a^2bc^2 - 10a^2bc^2 - 30a^2bc^2 = -23a^2bc^2\]

Найдем значение

    \[y:\]

    \[y = \frac{-23a^2bc^2}{-23abc} = ac\]

Найдем определитель матрицы для

    \[z,\]

заменив на свободные члены третий столбец:

    \[\Delta_{z} = \begin{vmatrix} 2a & -3b & 0 \\ 3a & -6b & 2abc \\ 5a & -4b & 3abc \end{vmatrix} = -36a^2b^2c - 30a^2b^2c + 27a^2b^2c + 16a^2b^2c = -23a^2b^2c\]

Найдем значение

    \[z:\]

    \[z = \frac{-23a^2b^2c}{-23abc} = ab\]

Ответ

    \[x= bc, \: y = ac, \: z = ab\]

Пример 10

Задание 10

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} 2x + 3by - 3z = 15\\ -9x - 2y + 5z = -7 \end{matrix}\right.\]

Решение

Преобразим вид системы уравнений в квадратный. Для этого перенесём одну из переменных в свободные члены. Так как, количество строк в системе уравнений меньше, чем количество переменных, то значение одной из переменных будет с параметром. Следовательно, система может выглядеть так:

    \[\left\{\begin{matrix} 2x + 3by  = 15+3z \\ -9x - 2y = -7 - 5z \end{matrix}\right.\]

Таким образом, наша матрица будет следующего вида:

    \[\begin{vmatrix} 2 &3  \\ -9 & -2 \end{vmatrix}\]

Найдем определитель матрицы:

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{vmatrix} = -4 + 27 = 23\]

Если значение определителя будет равно 0, то можно попробовать перенести в свободные члены другую переменную.

Найдем определитель матрицы для переменной

    \[x\]

. Здесь заменяем первый столбец на получившуюся сумму свободных членов:

    \[\Delta_{x} = \begin{vmatrix} z+15 & 3 \\ -5z-7 & -2 \end{vmatrix} = -2z - 30 - (-15z-21) = 13z - 9\]

Найдем значение

    \[x:\]

    \[x=\frac{13z-9}{23}, z \in R\]

Найдем определитель матрицы для переменной

    \[y\]

тем же способом:

    \[\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 2 & z+15 \\ -9 & -5z-7 \end{vmatrix} = -10z-14 - (-9z-135) = -z+121\]

Найдем

    \[y:\]

    \[y=\frac{-z+121}{23}, z \in R\]

Ответ

    \[x=\frac{13z-9}{23}, \: y=\frac{-z+121}{23}, z \in R\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

195

Решение для вас

Помощь с работой Список услуг

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также