Алгоритм решения линейных уравнений по методу Крамера

Теорема

Метод Крамера – способ решения системы линейных уравнений с помощью определителя матрицы при условии, что он не равен нулю. Если мы говорим об определителе, то, соответственно, матрица данной системы может быть только квадратной (число переменных в данной системе уравнений должно быть равно числу её строк).

Алгоритм

1. Находим общий определитель матрицы

$\Delta,$

убеждаемся, что он не равен нулю.

2. Для каждой переменной

$x_i$

находим определитель матрицы

$\Delta_i.$

Здесь вместо столбца коэффициентов

$x_i$

подставляем столбец свободных членов системы.

3. Находим значения неизвестных по формуле

$x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}, (i \in N)$

Примеры решений линейных уравнений по методу Крамера

Пример 1

Задание 1

Решить систему уравнений методом Крамера:

$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 = 2\\ - x_1 + x_2 = 0\end{matrix}\right.$

Решение

Найдем определитель матрицы $\Delta$ :

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 &1 \\ -1 &1 \end{vmatrix} = 1\cdot1 - 1\cdot(-1) = 2$

Теперь заменим первый столбец свободными членами системы:

$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 2 &1 \\ 0 &1 \end{vmatrix} = 2\cdot1-1\cdot(0) = 2$

Найдем значение

$x_{1}:$

$x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{2}{2} = 1$

Заменим второй столбец и то же самое проделаем для

$x_1:$

$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 &2 \\ -1 &0 \end{vmatrix} = 1\cdot0 - 2\cdot(-1) = 2$

Найдем значение

$x_{2}:$

$x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ:

$x_1 = x_2 = 1$

Пример 2

Задание 2

Решить систему уравнений с помощью метода Крамера:

$\left\{\begin{matrix} 5x_1 + 2x_2 = 7\\ 2x_1 + x_2 = 9 \end{matrix}\right.$

Решение

Находим определитель матрицы

$\Delta:$

$\Delta = \begin{vmatrix} 5 &2 \\ 2 &1 \end{vmatrix} = 5\cdot1 - 2\cdot2 = 5-4= 1$

Заменяем первый столбец

$x_1$

свободными членами и находим определитель

$\Delta_1:$

$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 7 &2 \\ 9 &1 \end{vmatrix} = 7\cdot1 - 2\cdot9 = 7-18= -11$

Найдем значение

$x_1:$

$x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-11}{1} = -11$

Теперь заменим на свободные члены второй столбец матрицы и найдём определитель

$\Delta_2$

для

$x_2:$

$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 5 &7 \\ 2 &9 \end{vmatrix} = 5\cdot9 - 7\cdot2 = 45-14= 31$

Найдем

$x_2:$

$x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{31}{1} = 31$

Ответ

$x_1 = -11, \: x_2 = 31$

Пример 3

Задание 3

С помощью метода Крамера решить систему уравнений:

$\left\{\begin{matrix} 3x_1 - 2x_2 = \frac{5}{6}\\ 2x_1 + 3x_2 = 2 \end{matrix}\right.$

Решение

Как и в предыдущих примерах, сначала находим общий определитель матрицы

$\Delta:$

$\Delta = \begin{vmatrix} 3 &-2 \\ 2 &3 \end{vmatrix} = 3\cdot3 - (-2)\cdot2 = 9+4= 13$

Заменяем первый столбец свободными членами:

$\Delta_1 = \begin{vmatrix} \frac{5}{6}&-2 \\ 2 &3 \end{vmatrix} = \frac{5}{6}\cdot3 - (-2)\cdot2 = \frac{5}{2} + 4 = \frac{13}{2}$

Найдем значение

$x_1$

согласно формуле:

$x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{\frac{13}{2}}{13} =\frac{13}{2\cdot13}= \frac{1}{2}$

Найдем определитель матрицы для

$x_{2},$

заменив на свободные члены второй столбец:

$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 3 &\frac{5}{6} \\ 2 &2 \end{vmatrix} = 3\cdot2 - \frac{5}{6}\cdot2 = 6-\frac{5}{3}= \frac{13}{3}$

Найдем значение

$x_2:$

$x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{\frac{13}{3}}{13} =\frac{13}{3\cdot13}= \frac{1}{3}$

Ответ

$x_1 = \frac{1}{2}, \: x_2 =\frac{1}{3}$

Пример 4

Задание 4

Решить систему уравнений методом Крамера:

$\left\{\begin{matrix} 2x_1 - x_2 + 2x_3 = -1\\ x_1 + 2x_2 + x_3 = 1 \\ 3x_1 + x_2 + x_3 = 2 \end{matrix}\right.$

Решение

Здесь видим матрицу 3х3, следовательно определитель матрицы находим методом треугольников:

$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2\\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot2\cdot1 + (-1)\cdot3\cdot3 + 2\cdot1\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot3\cdot2 - 3\cdot2\cdot2 = 4-9+2+1-6-12 = -20$

Определитель не равен 0, а значит можем продолжать решение.

Замени первый столбец матрицы на свободные члены и найдем её определитель для

$x_1:$

$\Delta_{x_{1}} = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 2\\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)\cdot2\cdot1 + (-1)\cdot3\cdot2 + 2\cdot1\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot3\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot2 = -2-6+2+1+3-8 = -10$

Таким образом, определим значение

$x_1:$

$x_1 = \frac{\Delta_{x_{1}} }{\Delta} = \frac{\-10}{-20} = -\frac{1}{2}$

Таким же способом получим определитель матрицы для

$x_2,$

заменив на свободные члены второй столбец:

$\Delta_{x_{2}} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot1\cdot1 + (-1)\cdot3\cdot3 + 2\cdot2\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 2\cdot3\cdot2 - 3\cdot1\cdot2 = 2-9+4+1-12-6 = -20$

Найдем

$x_2:$

$x_2 = \frac{\Delta_{x_{2}} }{\Delta} = \frac{\-20}{-20} = 1$

Также заменим на свободные члены значения третьего столбца и получим определитель матрицы для

$x_3:$

$\Delta_{x_{3}} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1\\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot2\cdot2 + (-1)\cdot1\cdot3 + (-1)\cdot1\cdot1 - 2\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot1\cdot2 - 3\cdot2\cdot(-1) = 8-3-1+2-2+6 = 10$

Найдем

$x_3:$

$x_3 = \frac{\Delta_{x_{3}} }{\Delta} = \frac{10}{-20} = -\frac{1}{2}$

Ответ

$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 1, x_3 = -\frac{1}{2}$

Пример 5

Задание 5

Решить методом Крамера систему уравнений:

$\left\{\begin{matrix} 3x + y + z = 2\\ x + 3y + z = 2 \\ x + y + 3z = -1\end{matrix}\right.$

Решение

Аналогично, как в предыдущем примере, найдём определитель матрицы

$\Delta$

методом треугольников:

$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3\cdot3\cdot3 + 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 - 3\cdot1\cdot1 - 1\cdot1\cdot1 - 1\cdot3\cdot1 = 27+1+1-3-3-3=20$

$20\neq 0,$

следовательно, можем продолжать.

Найдем определитель матрицы для

$x.$

Заменяем коэффициенты первого столбца:

$\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2\cdot3\cdot3 + 1\cdot1\cdot(-1) + 1\cdot1\cdot2 - 3\cdot2\cdot1 - 1\cdot1\cdot2 - (-1)\cdot3\cdot1 = 18 -1 + 2 - 6 - 2 + 3 = 14$

Найдем

$x:$

$x = \frac{14}{20} = 0,7$

Найдем определитель матрицы для

$y.$

Проделаем то же самое, но заменив коэффициенты второго столбца.

$\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3\cdot2\cdot3 + 2\cdot1\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot1 - 3\cdot2\cdot1 - (-1)\cdot1\cdot3 - 1\cdot2\cdot1 = 18 + 12 - 1 - 6 + 3 -2 = 14$

Найдем значение

$y:$

$y = \frac{14}{20} = 0,7$

Найдем определитель матрицы для

$z,$

заменив на свободные члены третий столбец:

$\Delta_{z} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3\cdot3\cdot(-1) + 1\cdot1\cdot2 + 1\cdot1\cdot2 - (-)\cdot1\cdot1 - 2\cdot1\cdot1 - 2\cdot3\cdot1 = -9 + 2 + 2 + 1 - 6 - 6 = -16$

Найдем значение

$z:$

$z = \frac{-16}{20} = -0,8$

Ответ

$x=y=0,7, \: z = -0,8$

Пример 6

Задание 6

Решить систему уравнений методом Крамера:

$\left\{\begin{matrix} x + z = 4\\ 2y - z = 1 \\ 3x-y = 1\end{matrix}\right.$

Решение

Здесь мы видим, что в строках отсутствуют некоторые перемененные. Преобразим вид системы уравнений в квадратный:

$\left\{\begin{matrix} 1\cdotx + 0\cdoty + 1\cdotz = 4\\ 0\cdotx + 2\cdoty + (-1)\cdotz = 1 \\ 3\cdotx + (-1)\cdoty + 0\cdotz = 1\end{matrix}\right.$

Таким образом, наша матрица будет следующего вида:

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

Найдем определитель матрицы:

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot2\cdot0 + 0\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot(-1)\cdot0 - 1\cdot2\cdot3 - 0\cdot0\cdot0 - 1\cdot(-1)\cdot(-1) = -6-1 = -7$

Найдем определитель матрицы для

$x:$

$\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1\\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 4\cdot2\cdot0 + 0\cdot(-1)\cdot(-1) + 1\cdot(-1)\cdot1 - 0\cdot1\cdot0 - (-1)\cdot(-1)\cdot4 - 1\cdot2\cdot1 = -1-4-2 = -7$

Найдем значение

$x:$

$x = \frac{-7}{-7} = 1$

Найдем определитель матрицы для

$y,$

заменив на свободные члены второй столбец:

$\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot1\cdot0 + 4\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot1\cdot0 - 0\cdot0\cdot4 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 3\cdot1\cdot1 = -12+1-3 = -14$

Найдем значение

$y:$

$y = \frac{-14}{-7} = 2$

Заменим третий столбец и найдем определитель матрицы для

$z:$

$\Delta_{z} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4\\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot2\cdot1 + 0\cdot1\cdot3 + 4\cdot(-1)\cdot0 - 1\cdot0\cdot0 - (-1)\cdot1\cdot1 - 3\cdot2\cdot4 = 2+1-24 = -21$

Найдем

$z:$

$z = \frac{-21}{-7} = 3$

Ответ

$x = 1, \: y = 2, \: z = 3$

Пример 7

Задание 7

С помощью метода Крамера решить систему уравнений:

$\left\{\begin{matrix} x +y - 2z = 2\\ 2x - 3y - z = 1 \\ x-4y + z = 3\end{matrix}\right.$

Решение

Найдем определитель матрицы

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-3)\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot1 + 2\cdot(-4)\cdot(-2) - 1\cdot2\cdot1 - (-4)\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot(-3)\cdot(-2) = -3-1+16-6-4-2 = 0$

Определитель

$\Delta = 0.$

Это значит, что данную систему нельзя решить методом Крамера, и мы не можем продолжать решение согласно нашему алгоритму.

Ответ

Метод Крамера нельзя применить к данной системе линейных уравнений

Пример 8

Задание 8

Решить систему уравнений методом Крамера:

$\left\{\begin{matrix} ax - 3y = 1\\ 2x + ay = 2\end{matrix}\right.$

Решение

Здесь a – это некоторое реальное число.

Найдем общий определитель матрицы

$\Delta$

$\Delta = \begin{vmatrix} a & 2 \\ -3 &a \end{vmatrix} = a^2 + 6$

Найдем определитель матрицы

$\Delta_{x}.$

Для этого подставим в первый столбец матрицы свободные члены системы уравнений.

$\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 &a \end{vmatrix} = a + 6$

Найдем значение

$x:$

$x = \frac{a+6}{a^2+6}$

Таким же способом найдем определитель матрицы

$\Delta_{y}:$

$\Delta_{y} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 2 &2 \end{vmatrix} = 2a -2$

Найдем

$y:$

$y = \frac{2a-1}{2^2+6}$

Ответ

$x = \frac{a+6}{a^2+6}, \: y = \frac{2a-1}{2^2+6}$

Пример 9

Задание 9

Решить систему уравнений методом Крамера:

$\left\{\begin{matrix} 2ax - 3by + cz = 0\\ 3ax - 6by + 5cz = 2abc \\ 5ax - 4aby + 2cz = 3abc \end{matrix}\right.$

Решение

Найдем определитель матрицы:

$\Delta= \begin{vmatrix} 2a & -3b & c \\ 3a & -6b & 5c \\ 5a & -4b & 2c \end{vmatrix} = 2a\cdot(-6b)\cdot 2c + (-3b)\cdot5c\cdot5a + c\cdot(-4b)\cdot3a - 2c\cdot3a\cdot(-3b)-(-4b)\cdot5c\cdot2a - 5a\cdot(-6b)\cdot c = -24abc-75abc-12abc+18abc + 40 abc + 30 abc = -23abc$

Найдем определитель матрицы для

$x,$

заменив на свободные члены первый столбец:

$\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 0 & -3b & c \\ 2bc & -6b & 5c \\ 3abc & -4b & 2c \end{vmatrix} = 0\cdot(-6b)\cdot 2c + (-3b)\cdot5c\cdot3abc + c\cdot(-4b)\cdot2abc - 2c\cdot2abc\cdot(-3b)-(-4b)\cdot5c\cdot0 - 3abc\cdot(-6b)\cdot c = -45ab^2c^2 - 8ab^2c^2 + 18ab^2c^2 + 12ab^2c^2 = -23ab^2c^2$

Найдем значение

$x:$

$x = \frac{-23ab^2c^2}{-23abc} = bc$

Найдем определитель матрицы для

$y$

:, заменив на свободные члены второй столбец:

$\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 2a & 0 & c \\ 3a & 2abc & 5c \\ 5a & 3abc & 2c \end{vmatrix} = 8a^2bc^2 + 9a^2bc^2 - 10a^2bc^2 - 30a^2bc^2 = -23a^2bc^2$

Найдем значение

$y:$

$y = \frac{-23a^2bc^2}{-23abc} = ac$

Найдем определитель матрицы для

$z,$

заменив на свободные члены третий столбец:

$\Delta_{z} = \begin{vmatrix} 2a & -3b & 0 \\ 3a & -6b & 2abc \\ 5a & -4b & 3abc \end{vmatrix} = -36a^2b^2c - 30a^2b^2c + 27a^2b^2c + 16a^2b^2c = -23a^2b^2c$

Найдем значение

$z:$

$z = \frac{-23a^2b^2c}{-23abc} = ab$

Ответ

$x= bc, \: y = ac, \: z = ab$

Пример 10

Задание 10

Решить систему уравнений методом Крамера:

$\left\{\begin{matrix} 2x + 3by - 3z = 15\\ -9x - 2y + 5z = -7 \end{matrix}\right.$

Решение

Преобразим вид системы уравнений в квадратный. Для этого перенесём одну из переменных в свободные члены. Так как, количество строк в системе уравнений меньше, чем количество переменных, то значение одной из переменных будет с параметром. Следовательно, система может выглядеть так:

$\left\{\begin{matrix} 2x + 3by = 15+3z \\ -9x - 2y = -7 - 5z \end{matrix}\right.$

Таким образом, наша матрица будет следующего вида:

$\begin{vmatrix} 2 &3 \\ -9 & -2 \end{vmatrix}$

Найдем определитель матрицы:

$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{vmatrix} = -4 + 27 = 23$

Если значение определителя будет равно 0, то можно попробовать перенести в свободные члены другую переменную.

Найдем определитель матрицы для переменной

$x$

. Здесь заменяем первый столбец на получившуюся сумму свободных членов:

$\Delta_{x} = \begin{vmatrix} z+15 & 3 \\ -5z-7 & -2 \end{vmatrix} = -2z - 30 - (-15z-21) = 13z - 9$

Найдем значение

$x:$

$x=\frac{13z-9}{23}, z \in R$

Найдем определитель матрицы для переменной

$y$

тем же способом:

$\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 2 & z+15 \\ -9 & -5z-7 \end{vmatrix} = -10z-14 - (-9z-135) = -z+121$

Найдем

$y:$

$y=\frac{-z+121}{23}, z \in R$

Ответ

$x=\frac{13z-9}{23}, \: y=\frac{-z+121}{23}, z \in R$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Елена М.

Редактор.

Сертифицированный копирайтер, автор текстов для публичных выступлений и презентаций.

Илья:

28 ноября 2022 в 22:39

в задании 4 из примеров по решению методом крамера ошибка, вторая строка третий столбец, коэффициент не 3, а 1

Ответить

Добавить комментарий Отменить ответ

Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.
валентин на Свойства пространства и времени: открываем тайны физической реальностиСкорость света это скорость течения времени и в каждой точке пространства разная. Градиент сжатия пространства по вертикали определяет скорость течения

Примеры решения линейных уравнений по методу Крамера с ответами

Алгоритм решения линейных уравнений по методу Крамера

Примеры решений линейных уравнений по методу Крамера