Алгоритм решения линейных уравнений по методу Крамера

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Метод Крамера – способ решения системы линейных уравнений с помощью определителя матрицы при условии, что он не равен нулю. Если мы говорим об определителе, то, соответственно, матрица данной системы может быть только квадратной (число переменных в данной системе уравнений должно быть равно числу её строк).

Алгоритм

1. Находим общий определитель матрицы

    \[\Delta,\]

убеждаемся, что он не равен нулю.

2. Для каждой переменной

    \[x_i\]

находим определитель матрицы

    \[\Delta_i.\]

Здесь вместо столбца коэффициентов

    \[x_i\]

подставляем столбец свободных членов системы.

3. Находим значения неизвестных по формуле

    \[x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}, (i \in N)\]

Примеры решений линейных уравнений по методу Крамера

Пример 1

Задание 1

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2  = 2\\  - x_1 + x_2  = 0\end{matrix}\right.\]

Решение

Найдем определитель матрицы \Delta:

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 1 &1 \\ -1 &1 \end{vmatrix} = 1\cdot1 - 1\cdot(-1) = 2\]

Теперь заменим первый столбец свободными членами системы:

    \[\Delta_1 = \begin{vmatrix} 2 &1 \\ 0 &1 \end{vmatrix} = 2\cdot1-1\cdot(0) = 2\]

Найдем значение

    \[x_{1}:\]

    \[x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{2}{2} = 1\]

Заменим второй столбец и то же самое проделаем для

    \[x_1:\]

    \[\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 &2 \\ -1 &0 \end{vmatrix} = 1\cdot0 - 2\cdot(-1) = 2\]

Найдем значение

    \[x_{2}:\]

    \[x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{2}{2} = 1\]

Ответ:

    \[x_1 = x_2 = 1\]

Пример 2

Задание 2

Решить систему уравнений с помощью метода Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix}  5x_1 + 2x_2  = 7\\  2x_1 + x_2  = 9 \end{matrix}\right.\]

Решение

Находим определитель матрицы

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\Delta:\]

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 5 &2 \\ 2 &1 \end{vmatrix} = 5\cdot1 - 2\cdot2 = 5-4= 1\]

Заменяем первый столбец

    \[x_1\]

свободными членами и находим определитель

    \[\Delta_1:\]

    \[\Delta_1 = \begin{vmatrix} 7 &2 \\ 9 &1 \end{vmatrix} = 7\cdot1 - 2\cdot9 = 7-18= -11\]

Найдем значение

    \[x_1:\]

    \[x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-11}{1} = -11\]

Теперь заменим на свободные члены второй столбец матрицы и найдём определитель

    \[\Delta_2\]

для 

    \[x_2:\]

    \[\Delta_2 = \begin{vmatrix} 5 &7 \\ 2 &9 \end{vmatrix} = 5\cdot9 - 7\cdot2 = 45-14= 31\]

Найдем

    \[x_2:\]

    \[x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{31}{1} = 31\]

Ответ

    \[x_1 = -11, \: x_2 = 31\]

Пример 3

Задание 3

С помощью метода Крамера решить систему уравнений:

    \[\left\{\begin{matrix} 3x_1 - 2x_2  = \frac{5}{6}\\  2x_1 + 3x_2  = 2 \end{matrix}\right.\]

Решение

Как и в предыдущих примерах, сначала находим общий определитель матрицы

    \[\Delta:\]

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 3 &-2 \\ 2 &3 \end{vmatrix} = 3\cdot3 - (-2)\cdot2 = 9+4= 13\]

Заменяем первый столбец свободными членами:

    \[\Delta_1 = \begin{vmatrix} \frac{5}{6}&-2 \\ 2 &3 \end{vmatrix} = \frac{5}{6}\cdot3 - (-2)\cdot2 = \frac{5}{2} + 4 = \frac{13}{2}\]

Найдем значение

    \[x_1\]

согласно формуле:

    \[x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{\frac{13}{2}}{13} =\frac{13}{2\cdot13}= \frac{1}{2}\]

Найдем определитель матрицы для 

    \[x_{2},\]

заменив на свободные члены второй столбец:

    \[\Delta_2 = \begin{vmatrix} 3 &\frac{5}{6} \\ 2 &2 \end{vmatrix} = 3\cdot2 - \frac{5}{6}\cdot2 = 6-\frac{5}{3}= \frac{13}{3}\]

Найдем значение

    \[x_2:\]

    \[x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{\frac{13}{3}}{13} =\frac{13}{3\cdot13}= \frac{1}{3}\]

Ответ

    \[x_1 = \frac{1}{2}, \: x_2 =\frac{1}{3}\]

Пример 4

Задание 4

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} 2x_1 -  x_2  + 2x_3 = -1\\  x_1 + 2x_2 + x_3  = 1 \\ 3x_1 + x_2 + x_3 = 2 \end{matrix}\right.\]

Решение

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Здесь видим матрицу 3х3, следовательно определитель матрицы  находим методом треугольников:

    \[\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & -1  & 2\\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot2\cdot1 + (-1)\cdot3\cdot3 + 2\cdot1\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot3\cdot2 - 3\cdot2\cdot2 = 4-9+2+1-6-12 = -20\]

Определитель не равен 0, а значит можем продолжать решение.

Замени первый столбец матрицы на свободные члены и найдем её определитель для 

    \[x_1:\]

    \[\Delta_{x_{1}} = \begin{vmatrix} -1 & -1  & 2\\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)\cdot2\cdot1 + (-1)\cdot3\cdot2 + 2\cdot1\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot3\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot2 = -2-6+2+1+3-8 = -10\]

Таким образом, определим значение

    \[x_1:\]

    \[x_1 = \frac{\Delta_{x_{1}} }{\Delta} = \frac{\-10}{-20} = -\frac{1}{2}\]

Таким же способом получим определитель матрицы для

    \[x_2,\]

заменив на свободные члены второй столбец:

    \[\Delta_{x_{2}} = \begin{vmatrix} 2 & -1  & 2\\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot1\cdot1 + (-1)\cdot3\cdot3 + 2\cdot2\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 2\cdot3\cdot2 - 3\cdot1\cdot2 = 2-9+4+1-12-6 = -20\]

Найдем

    \[x_2:\]

    \[x_2 = \frac{\Delta_{x_{2}} }{\Delta} = \frac{\-20}{-20} = 1\]

Также заменим на свободные члены значения третьего столбца и получим определитель матрицы для 

    \[x_3:\]

    \[\Delta_{x_{3}} = \begin{vmatrix} 2 & -1  & -1\\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot2\cdot2 + (-1)\cdot1\cdot3 + (-1)\cdot1\cdot1 - 2\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot1\cdot2 - 3\cdot2\cdot(-1) = 8-3-1+2-2+6 = 10\]

Найдем

    \[x_3:\]

    \[x_3 = \frac{\Delta_{x_{3}} }{\Delta} = \frac{10}{-20} = -\frac{1}{2}\]

Ответ

    \[x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 1,  x_3 = -\frac{1}{2}\]

Пример 5

Задание 5

Решить методом Крамера систему уравнений:

    \[\left\{\begin{matrix} 3x + y + z  = 2\\ x + 3y + z  = 2 \\ x + y + 3z = -1\end{matrix}\right.\]

Решение

Аналогично, как в предыдущем примере, найдём определитель матрицы

    \[\Delta\]

методом треугольников:

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3\cdot3\cdot3 + 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 - 3\cdot1\cdot1 - 1\cdot1\cdot1 - 1\cdot3\cdot1 = 27+1+1-3-3-3=20\]

    \[20\neq 0,\]

следовательно, можем продолжать.

Найдем определитель матрицы для 

    \[x.\]

Заменяем коэффициенты первого столбца:

    \[\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2\cdot3\cdot3 + 1\cdot1\cdot(-1) + 1\cdot1\cdot2 - 3\cdot2\cdot1 - 1\cdot1\cdot2 - (-1)\cdot3\cdot1 = 18 -1 + 2 - 6 - 2 + 3 = 14\]

Найдем

    \[x:\]

    \[x = \frac{14}{20} = 0,7\]

Найдем определитель матрицы для 

    \[y.\]

Проделаем то же самое, но заменив коэффициенты второго столбца.

    \[\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3\cdot2\cdot3 + 2\cdot1\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot1 - 3\cdot2\cdot1 - (-1)\cdot1\cdot3 - 1\cdot2\cdot1 = 18 + 12 - 1 - 6 + 3 -2 = 14\]

Найдем значение

    \[y:\]

    \[y = \frac{14}{20} = 0,7\]

Найдем определитель матрицы для 

    \[z,\]

заменив на свободные члены третий столбец:

    \[\Delta_{z} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3\cdot3\cdot(-1) + 1\cdot1\cdot2 + 1\cdot1\cdot2 - (-)\cdot1\cdot1 - 2\cdot1\cdot1 - 2\cdot3\cdot1 = -9 + 2 + 2 + 1 - 6 - 6 = -16\]

Найдем значение

    \[z:\]

    \[z = \frac{-16}{20} = -0,8\]

Ответ

    \[x=y=0,7, \: z = -0,8\]

Пример 6

Задание 6

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} x  + z  = 4\\ 2y - z  = 1 \\ 3x-y = 1\end{matrix}\right.\]

Решение

Здесь мы видим, что в строках отсутствуют некоторые перемененные. Преобразим вид системы уравнений в квадратный:

    \[\left\{\begin{matrix} 1\cdotx + 0\cdoty + 1\cdotz  = 4\\ 0\cdotx + 2\cdoty + (-1)\cdotz  = 1 \\ 3\cdotx + (-1)\cdoty + 0\cdotz = 1\end{matrix}\right.\]

Таким образом, наша матрица будет следующего вида:

    \[  \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix} \]

Найдем определитель матрицы:

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot2\cdot0 + 0\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot(-1)\cdot0 - 1\cdot2\cdot3 - 0\cdot0\cdot0 - 1\cdot(-1)\cdot(-1) = -6-1 = -7 \]

Найдем определитель матрицы для 

    \[x:\]

    \[\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1\\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 4\cdot2\cdot0 + 0\cdot(-1)\cdot(-1) + 1\cdot(-1)\cdot1 - 0\cdot1\cdot0 - (-1)\cdot(-1)\cdot4 - 1\cdot2\cdot1 = -1-4-2 = -7\]

Найдем значение

    \[x:\]

    \[x = \frac{-7}{-7} = 1\]

Найдем определитель матрицы для 

    \[y,\]

заменив на свободные члены второй столбец:

    \[\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot1\cdot0 + 4\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot1\cdot0 - 0\cdot0\cdot4 - 1\cdot(-1)\cdot1 - 3\cdot1\cdot1 = -12+1-3 = -14 \]

Найдем значение

    \[y:\]

    \[y = \frac{-14}{-7} = 2\]

Заменим третий столбец и найдем определитель матрицы для 

    \[z:\]

    \[\Delta_{z} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4\\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot2\cdot1 + 0\cdot1\cdot3 + 4\cdot(-1)\cdot0 - 1\cdot0\cdot0 - (-1)\cdot1\cdot1 - 3\cdot2\cdot4 = 2+1-24 = -21 \]

Найдем

    \[z:\]

    \[z = \frac{-21}{-7} = 3\]

Ответ

    \[x = 1, \: y = 2, \: z = 3\]

Пример 7

Задание 7

С помощью метода Крамера решить систему уравнений:

    \[\left\{\begin{matrix} x  +y -  2z  = 2\\ 2x - 3y - z  = 1 \\ x-4y + z = 3\end{matrix}\right.\]

Решение

Найдем определитель матрицы

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-3)\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot1 + 2\cdot(-4)\cdot(-2) - 1\cdot2\cdot1 - (-4)\cdot(-1)\cdot1 - 1\cdot(-3)\cdot(-2) = -3-1+16-6-4-2 = 0\]

Определитель

    \[\Delta = 0.\]

Это значит, что данную систему нельзя решить методом Крамера, и мы не можем продолжать решение согласно нашему алгоритму.

Ответ

Метод Крамера нельзя применить к данной системе линейных уравнений

Пример 8

Задание 8

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} ax - 3y = 1\\ 2x + ay = 2\end{matrix}\right.\]

Решение

Здесь a – это некоторое реальное число.

Найдем общий определитель матрицы

    \[\Delta\]

:

    \[\Delta = \begin{vmatrix} a & 2 \\ -3 &a  \end{vmatrix} = a^2 + 6\]

Найдем определитель матрицы

    \[\Delta_{x}.\]

Для этого подставим в первый столбец матрицы свободные члены системы уравнений.

    \[\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 &a  \end{vmatrix} = a + 6\]

Найдем значение

    \[x:\]

    \[x = \frac{a+6}{a^2+6}\]

Таким же способом найдем определитель матрицы

    \[\Delta_{y}:\]

    \[\Delta_{y} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 2 &2  \end{vmatrix} = 2a -2\]

Найдем

    \[y:\]

    \[y = \frac{2a-1}{2^2+6}\]

Ответ

    \[x = \frac{a+6}{a^2+6}, \: y = \frac{2a-1}{2^2+6}\]

Пример 9

Задание 9

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} 2ax - 3by + cz = 0\\ 3ax - 6by + 5cz = 2abc \\ 5ax - 4aby + 2cz = 3abc \end{matrix}\right.\]

Решение

Найдем определитель матрицы:

    \[\Delta= \begin{vmatrix} 2a & -3b & c \\ 3a & -6b & 5c \\ 5a & -4b & 2c \end{vmatrix} = 2a\cdot(-6b)\cdot 2c + (-3b)\cdot5c\cdot5a + c\cdot(-4b)\cdot3a - 2c\cdot3a\cdot(-3b)-(-4b)\cdot5c\cdot2a - 5a\cdot(-6b)\cdot c =  -24abc-75abc-12abc+18abc + 40 abc + 30 abc = -23abc\]

Найдем определитель матрицы для

    \[x,\]

заменив на свободные члены первый столбец:

    \[\Delta_{x} = \begin{vmatrix} 0 & -3b & c \\ 2bc & -6b & 5c \\ 3abc & -4b & 2c \end{vmatrix} = 0\cdot(-6b)\cdot 2c + (-3b)\cdot5c\cdot3abc + c\cdot(-4b)\cdot2abc - 2c\cdot2abc\cdot(-3b)-(-4b)\cdot5c\cdot0 - 3abc\cdot(-6b)\cdot c =  -45ab^2c^2 - 8ab^2c^2 + 18ab^2c^2 + 12ab^2c^2 = -23ab^2c^2\]

Найдем значение

    \[x:\]

    \[x = \frac{-23ab^2c^2}{-23abc} = bc\]

Найдем определитель матрицы для

    \[y\]

:, заменив на свободные члены второй столбец:

    \[\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 2a & 0 & c \\ 3a & 2abc & 5c \\ 5a & 3abc & 2c \end{vmatrix} = 8a^2bc^2 + 9a^2bc^2 - 10a^2bc^2 - 30a^2bc^2 = -23a^2bc^2\]

Найдем значение

    \[y:\]

    \[y = \frac{-23a^2bc^2}{-23abc} = ac\]

Найдем определитель матрицы для

    \[z,\]

заменив на свободные члены третий столбец:

    \[\Delta_{z} = \begin{vmatrix} 2a & -3b & 0 \\ 3a & -6b & 2abc \\ 5a & -4b & 3abc \end{vmatrix} = -36a^2b^2c - 30a^2b^2c + 27a^2b^2c + 16a^2b^2c = -23a^2b^2c\]

Найдем значение

    \[z:\]

    \[z = \frac{-23a^2b^2c}{-23abc} = ab\]

Ответ

    \[x= bc, \: y = ac, \: z = ab\]

Пример 10

Задание 10

Решить систему уравнений методом Крамера:

    \[\left\{\begin{matrix} 2x + 3by - 3z = 15\\ -9x - 2y + 5z = -7 \end{matrix}\right.\]

Решение

Преобразим вид системы уравнений в квадратный. Для этого перенесём одну из переменных в свободные члены. Так как, количество строк в системе уравнений меньше, чем количество переменных, то значение одной из переменных будет с параметром. Следовательно, система может выглядеть так:

    \[\left\{\begin{matrix} 2x + 3by  = 15+3z \\ -9x - 2y = -7 - 5z \end{matrix}\right.\]

Таким образом, наша матрица будет следующего вида:

    \[\begin{vmatrix} 2 &3  \\ -9 & -2 \end{vmatrix}\]

Найдем определитель матрицы:

    \[\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{vmatrix} = -4 + 27 = 23\]

Если значение определителя будет равно 0, то можно попробовать перенести в свободные члены другую переменную.

Найдем определитель матрицы для переменной

    \[x\]

. Здесь заменяем первый столбец на получившуюся сумму свободных членов:

    \[\Delta_{x} = \begin{vmatrix} z+15 & 3 \\ -5z-7 & -2 \end{vmatrix} = -2z - 30 - (-15z-21) = 13z - 9\]

Найдем значение

    \[x:\]

    \[x=\frac{13z-9}{23}, z \in R\]

Найдем определитель матрицы для переменной

    \[y\]

тем же способом:

    \[\Delta_{y} = \begin{vmatrix} 2 & z+15 \\ -9 & -5z-7 \end{vmatrix} = -10z-14 - (-9z-135) = -z+121\]

Найдем

    \[y:\]

    \[y=\frac{-z+121}{23}, z \in R\]

Ответ

    \[x=\frac{13z-9}{23}, \: y=\frac{-z+121}{23}, z \in R\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

341

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также