Алгоритм решения матриц

Теорема

Матрица – это математическая таблица с числовыми значениями. Обозначаются матрицы латинскими буквами.

Есть два отличия между матрицами:

  1. Комплексные матрицы.  Это когда хотя бы одно число равно  комплексному.
  2. Действительные матрицы. Это когда в матрице содержаться действительные числа.

С матрицей можно выполнять самые наипростейшие действия: умножение, деление, сложение, вычитание и трансформация.

Сложение и вычитание

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы равны между собой, чтобы в конце получилось выражение аналогичной размерности. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг друга.

Пример 1

Задание

Даны две матрицы, найдите их  сумму.

    \[A=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 & 0 \end{pmatrix}\]

    \[B=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -3 & 4 \end{pmatrix}\]

Решение

Элемент первой строки складывается с элементом второй. Абсолютно также совершается вычитание, только вместо плюса, нужно поставить минус.

    \[C=A+B=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 & 0 \end{pmatrix}&+\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -3 & 4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 4+3 & 2+1\\ 0+(-3) & 0+4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 & 3\\ 6 & 4 \end{pmatrix}\]

Пример 2

Задание

Даны две матрицы, найдите их разность.

    \[A=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 & 0 \end{pmatrix}&;B=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -3 & 4 \end{pmatrix}\]

Решение

    \[C=A-B\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 &0 \\ \end{pmatrix}-\]

    \[-\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -3 &4\\ \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 4-3 & 2-1\\ 9-(-3)&0-4\\ \end{pmatrix}=\]

    \[=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 12 &-4\\ \end{pmatrix}\]

Пример 3

Задание

Найдите C=2A +3B, если :

    \[A=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 &0 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\]

    \[B=\begin{pmatrix} 3 &1 \\ -3 & 4\\ 9 & 1 \end{pmatrix}\]

Решение

    \[C=2A+3B=2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 & 0\\ 4 & -6 \end{pmatrix}&-3\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -3 & 4\\ 9 & 1 \\ \end{pmatrix}&=\]

    \[&= \begin{pmatrix} 2*4+3*3 & 2*2-3*1\\ 2*9+3*(-3) & 2*0-3*4\\ 2*4+3*9 & 2*(-6)-3*1 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 17 & 7\\ 9& 12\\ 35 & -9 \end{pmatrix}\]

Умножение

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

В математике умножать таблицу с числами можно абсолютно любую. В таком случае число умножается с показателем. Умножаем первое число на первой строке с числом второго столбца и так далее.

Пример

Задание

Даны две матрицы. Умножьте их друг на друга.

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 &2  &1 \end{pmatrix}\]

    \[B=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\ 4 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}\]

Решение

    \[A*B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 &2  &1 \end{pmatrix}&*\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\ 4 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}\]

=

    \[=\begin{pmatrix} 1*5+4*4+3*2 & 1*2+4*3+3*1 & 1*1+4*2+3*5\\ 2*5+1*4+5*2 & 2*2+1*3+5*1 & 2*1+1*2+5*5\\ 3*5+2*4+1*2 & 2*3+2*3+1*1 & 3*1+2*2+1*5 \end{pmatrix}=\]

    \[=\begin{pmatrix} 27 & 17 & 24\\ 24 & 12 & 29\\ 25& 13 & 12 \end{pmatrix}\]

    \[B*A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\ 4 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}&*\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 &2  &1 \end{pmatrix}=\]

    \[=\begin{pmatrix} 5*1+2*2+1*2 & 5*4+3*1+1*2 & 5*3+2*5+1*1\\ 4*1+3*2+2*3 & 4*4+2*1+2*2 & 4*3+3*5+2*1\\ 2*1+1*2+5*3 & 2*4+1*1+5*2 & 2*3+1*5+5*1 \end{pmatrix}=\]

    \[=\begin{pmatrix} 11 & 24 & 26\\ 16 & 23 & 29\\ 19 & 19 & 16 \end{pmatrix}\]

Матрицы можно перемножать друг на друга, только если количество столбцов в первой матрице, равно количеству строк второй. Элемент матрицы будет равняться сумме произведений (Aji), где i – строки в таблице; j – строки чисел второй таблицы.

Возведение матрицы в степень

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Данную формулу используют лишь в случаях, если матрица стоит в квадратном выражении. Важно  знать, что степень должна быть у таких выражений натуральной!

    \[A^{n}=n\left \{A*A*A...*A}\]

Если число не будет натуральным, то это усложняет возведение матрицы в степень, так как степень n придётся умножить саму на себя n количество раз. Но если у Вас такой случай, то используется следующая формула.

    \[A^{n+m}=A^{n}*A^{m}\]

Пример

Задание

Найдите

    \[A^{4}\]

матрицы.

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 4 & -2 & 3\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\]

Решение

В первую очередь найдём, для этого нужно будет просто умножить её саму на себя.

    \[A^{2}=A*A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 4 &-2  &2 \\ 0 &1  &-1 \end{pmatrix}&*\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 4 & -2 & 3\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}=\]

    \[=\begin{pmatrix} 1*1+0*4+2*0 & 1*0+0*(-2)+2*1\\ 4*1+(-2)*4+3*0 & 4*0+(-2)*(-2)+3*1\\ 0*1+1*4+(-1)*0& 0*0+1*(-2)+(-1)*1 \end{pmatrix}=\]

    \[=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -4 &7  & -1\\ 4 &-3  & 4 \end{pmatrix}\]

После по формуле подставляем числовые значения.

    \[A^{4}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -4 &7  & -1\\ 4 &-3  & 4 \end{pmatrix}&*\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -4 & 7 & -1\\ 4 & -3 & 4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -7 & 16 & -2\\ -36 & 44 & -11\\ 32 & -25 & 19 \end{pmatrix}\]

Расчёт определителя

В математике линейной есть два понятия – определитель и детерминант. Определитель – это какое-либо число, которое ставится в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется при решении многих задач. Найти его можно с помощью формулы.

А детерминант находиться с помощью перемножения простых матриц, используются числа только с побочной и главной диагоналях.

Есть вероятность, что произведения матрицы будут значительно отличаться друг от друга. Если индекс чётный, то число будет со знаком плюс, если нечётный, то число будет со знаком минус. Обозначается определитель det А, а круглые скобки меняются на квадратные.

Пример 1

Дано

    \[A=\begin{pmatrix} 2 &0 &1 \\ 1 & -1 &0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}\]

Решение

Пользуемся свойствам степеней – A^{3}=A^{2}*A

Возведём А в A^{2}

    \[A^{2}=\begin{pmatrix} 2 &0 &1 \\ 1 & -1 &0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 &0 &1 \\ 1 & -1 &0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}=\]

    \[=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 3\\ 1 & 1 &1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Далее используем свойство степеней

    \[A^{3}=A^{2}*A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 3\\ 1 & 1 &1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 &0 &1 \\ 1 & -1 &0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}=\]

    \[=\begin{pmatrix} 8+3+0 & 0-3+9 & 4+0+3\\ 2+1+0 & 0-1+3 & 1+0+1\\ 6+0+0 & 0+0+3 & 3+0+1 \end{pmatrix}=\]

    \[=\begin{pmatrix} 11 & 6 & 7\\ 3 & 2 & 2\\ 6 & 3 & 4 \end{pmatrix}\]

Ответ

    \[A^{3}=\begin{pmatrix} 11 & 6 & 7\\ 3 & 2 & 2\\ 6 & 3 & 4 \end{pmatrix}\]

Пример 2

Задание

Найдите определитель матрицы А.

    \[A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 &3 \\ 4 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}\]

Решение

    \[(det)A=\begin{vmatrix} 2 &  4& 1 &1 \\ 0 & 2 &0  & 0\\ 2 & 1 & 1 &3 \\ 4 &  0& 2 &3 \end{vmatrix}=\]

    \[=-0*\begin{vmatrix} 4 &1  &1 \\ 1 &1  &3 \\ 0& 2 & 3 \end{vmatrix}&+2*\begin{vmatrix} 2 & 1 &1 \\ 2 & 1 & 3\\ 4 & 2 &3 \end{vmatrix}&-0*\begin{vmatrix} 2 &4  &1 \\ 2 &  1&3 \\ 4& 0 & 3 \end{vmatrix}&+0*\begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\\ 2 & 1 &1 \\ 4 &0  &2 \end{vmatrix}=\]

    \[=2(2*1*3*4+1*2*2-1/1/4-2**3*2-1*2*3)=2*(6+12+4-4-12-6)2*0=0\]

Обратная матрица

Перед тем, как речь непосредственно пойдёт о самой обратной связи матрицы, давайте разберём алгоритм трансформирования матрицы. Во время трансформации столбцы и строки меняются местами.

Пример

Задание

Найти обратную матрицу А.

    \[A=\begin{pmatrix} 2 & 4 &1 \\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

Решение

Приписываем к матрице А матрицу третьего ряда.

    \[A|E=\begin{pmatrix} 2 & 4 &1 && 1& 0&0\\ 0 & 2 & 1&& 0& 1 &0\\ 2 & 1 & 1&&0 &0 &1 \end{pmatrix}\]

Переводим всё в единичную матрицу.

    \[\begin{pmatrix} 2 &4  & 1&& 1&0 &0\\ 0 & 2 & 1&& 0&1 &0\\ 2-2 & 1-4 & 1-1&& 0-1& 0-0&1-0 \end{pmatrix}\]

    \[\begin{pmatrix} 2 & 4 &1&& 1&0 & 0\\ 0 & 2 &1&&0 &1 &0  \\ 0 &-3  &0 &&-1 & 0&1 \end{pmatrix}\]

    \[\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1&& 1& 0&0\\ 0& 2 &1 && \frac{1}{3}&0 &-\frac{1}{3}\\ 0& 1 & 0&& 0&1 &0 \end{pmatrix}\]

    \[\begin{pmatrix} 2-4*0& 4-4*1 & 1-4*0 && 1-4*(\frac{1}{3}) & 0-4*0 &0-4*(-\frac{1}{3}) \\ 0 & 1 & 0 && \frac{1}{3} & 0 &-\frac{1}{3} \\ 0-3*0 & 2-2*1 & 2-2*1 && 0-2*\frac{1}{3} & 1-2*0 & 0-2*(-\frac{1}{3}) \end{pmatrix}\]

    \[\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 && -\frac{1}{3} & 0 & \frac{4}{3}\\ 0 & 1 &0  && \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 1 && -\frac{2}{3} & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}\]

    \[\begin{pmatrix} 2-0 & 0-0 & 1-1 && -\frac{1}{3} -(-\frac{2}{3})& 0-1 &\frac{4}{3}-\frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 && \frac{1}{3} & 0 &-\frac{1}{3} \\ 0& 0 & 1 && -\frac{2}{3} & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}\]

    \[\begin{pmatrix} 2& 0 & 0 &&\frac{1}{3}  & -1 & \frac{2}{3}\\ 0& 1 & 0 && \frac{1}{3} &0  & -\frac{1}{3}\\ 0& 0 &1  && -\frac{2}{3} & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}\]

    \[\begin{bmatrix} 1 &0  & 0 && \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} &\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 && \frac{1}{3} & 0 &-\frac{1}{3} \\ 0& 0 & 1 &&-\frac{2}{3}  &  1& \frac{2}{3} \end{bmatrix}\]

Ответ

    \[A^{1}=\begin{bmatrix} 1 &0  & 0 && \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} &\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 && \frac{1}{3} & 0 &-\frac{1}{3} \\ 0& 0 & 1 &&-\frac{2}{3}  &  1& \frac{2}{3} \end{bmatrix}\]

    \[A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

Обратная матрица

Обратная матрица схожа с алгоритмом нахождения обратных чисел. К примеру, если умножить матричную таблицу на обратную матрицу, то в итоге мы получаем A*A(-1)=E. Но чтобы перейти уже к нахождению обратной матрицы, нам придётся найти её определитель. Мы рассмотрим самый простой способ – алгебраических дополнений.

Пример 1

Задание

В пример возьмём квадратную матрицу, она находиться с помощью следующей формулы:

    \[A^{-1}=\frac{1}{|A|}*A^{T}\]

, где

    \[A^{T} , A^{-1}\]

-транспортированные матрицы;|А| – определитель.

Рассмотрим самый простейший пример, где размер таблицы  2*2.

Найти обратную матрицу

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]

Решение

Для начала находим определитель матрицы.

    \[|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{vmatrix}&=1*4-3*2=4*6=-2\]

Если ответ равен нулю, то обратной матрицы нет! Так как наш ответ равен -2, то всё в порядке. Следующим действием нам нужно будет рассчитать матрицу миронов. Таблица элементов при этом не изменяется. Где прописан нужным нам элемент, нужно вычеркнуть строчку или столбец, оставшееся число и будет являться мироном.

    \[M=\begin{pmatrix} * &* \\ *&* \end{pmatrix}\]

Подставляем числа, возвращаясь к матрица, которая указана выше.

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]

Всегда начинаем с левого верхнего угла и делаем следующее:

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]

← линиями показано, что нужно и как зачеркнуть.

Как итог, у нас остаётся число 4

    \[M=\begin{pmatrix} * &* \\ *&4 \end{pmatrix}\]

    \[M=\begin{pmatrix} 4 & 3\\ 2& 1 \end{pmatrix}\]

Теперь мы переходим к нахождению алгебраических дополнений.

Первым делом нужно поменять знаки у двух чисел в мироне.

    \[M=\begin{pmatrix} 4 & 3\\ 2& 1 \end{pmatrix}\]

  ← подчёркнуты те числа, у которых мы будем менять знаки.

    \[A=\begin{pmatrix} 4 & -3\\ -2& 1 \end{pmatrix}\]

, вот что у нас получилось.

И наконец-то мы переходим к завершающему этапу, к нахождению транспортированной матрице.

    \[A^{T}=\begin{pmatrix} 4 & -3\\ -2& 1 \end{pmatrix}\]

, вспоминаем формулу нахождения, и подставляем числовые значения

    \[A^{-1} = \frac{1}{|A|}*A^{T}\]

    \[A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -3\\ -2 & 1 \end{pmatrix}\]

В завершении желательно проверить правильно ли мы нашли числовую таблицу. Это делать не обязательно, но рекомендуется, чтобы удостовериться в том, то ответ верный.

Пример 2

Задание

Найдите матрицу А.

    \[A=\begin{pmatrix} 2& 4 & 1\\ 0 & 2& 1\\ 2 &2  &1 \end{pmatrix}\]

Решение

Начинаем с определения матрицы.

    \[det(A)=\begin{vmatrix} 2 & 4 &1 \\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}=2*2*1+4*1*2+1*0*1-1*2*2-2*2*2-4*0*1=\]

    \[=4+8+0-4-2-0=6\]

Дело осталось за малым – осталось начти алгебраическое дополнение матрицы А:

    \[A_{11}=(-1)^{1+1}*\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 1&1 \end{vmatrix}=2*1-1*1=1\]

    \[A_{12}=(-1)^{1+2}*\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 2&1 \end{vmatrix}=(0*1-1*2)=2\]

    \[A_{13}=(-1)^{1+3}*\begin{vmatrix} 0 &1\2 \\ 2&1 \end{vmatrix}=0*1-2*2=-4\]

    \[A_{21}=(-1)^{2+1}*\begin{vmatrix} 4 &1 \\ 1&1 \end{vmatrix}=-(4*1-1*1)=-3\]

    \[A_{22}=(-1)^{2+2}*\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 2&1 \end{vmatrix}=2*1-1*2=0\]

    \[A_{23}=(-1)^{2+3}*\begin{vmatrix} 2 &4 \\ 2&1 \end{vmatrix}=-(2*1-4*2)=6\]

    \[A_{31}=(-1)^{3+1}*\begin{vmatrix} 4 &1 \\ 2&1 \end{vmatrix}=4*1-1*2=2\]

    \[A_{32}=(-1)^{3+2}*\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 0&1 \end{vmatrix}=-(2*1-1*0)=-2\]

    \[A_{33}=(-1)^{3+3}*\begin{vmatrix} 2 &4 \\ 0&2 \end{vmatrix}=2*2-4*0=4\]

Не забываем записать союзную матрицу:

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 &-4 \\ -3 & 0 &6 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}\]

И уже из неё находим обратную матрицу:

    \[A^{-1}-\frac{-1}{det(A)}A^{T}=\frac{1}{6}=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\ 2 &0  &-2 \\ -4 & 6 & 4 \end{pmatrix}\]

    \[\begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}\]

Получаем ответ

    \[A^{-1}=}\begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}\]

Средняя оценка 1.8 / 5. Количество оценок: 11

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

18231

Помощь в написании работы

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также