Основные свойства пределов с корнями

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Для нахождения предела функции необходимо подставить в предел вместо Х то значение переменной, к которому стремится Х.

Примеры решений пределов с корнями

Пример №1

Задание

Найти предел

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}-3x-4}{\sqrt{4x^{4}+1}}\]

Решение

Мы имеем неопределенность вида

    \[\left[\frac{\infty}{\infty} \right]\]

Первый шаг – разделить числитель и знаменатель на ”х” в высшей степени. Старшая степень для числителя в данном случае равна двум.
Со знаменателем немного сложнее.  Так как у нас корень, обращаем внимание только на самое ”старшее” слагаемое –

    \[\sqrt{4x^{4}}.\]

Число (4) – это константа, его тоже отбрасываем. Находим корень

    \[\sqrt{x^{4}}=x^{2}.\]

Так как числитель и знаменатель оказываются одного порядка роста, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}}{2x^{2}}=1\]

Видим, что функции эквивалентны на бесконечности.

Оформляем решение:

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}-3x-4}{\sqrt{4x^{4}+1}}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{{}\frac{2x^{2}-3x-4}{x^{2}}} {\frac{\sqrt{4x^{4}+1}}{\sqrt{x^{4}}}}=\frac{2}{\sqrt{4}}=\frac{2}{2}=1\]

Ответ: 1

Пример № 2

Задание

Найти предел с корнем

    \[\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}}\]

Решение

Подставляем

    \[x\rightarrow 4\]

в подпредельную функцию:

    \[\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}}=\frac{0}{0}=\]

Получаем неопределенность

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к нему –

    \[(4+\sqrt{x+12}),\]

так как он содержит корень.
Далее, пользуясь формулой разности квадратов

    \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]

и раскрывая скобки, упрощаем предел. Последний шаг – сокращение функции на

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[x-4\]

    \[\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{(4-\sqrt{x+12})(4+\sqrt{x+12})}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{16-(x+12)}=\]

 

    \[= \lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{4-x}=-\lim_{x\rightarrow 4}(4+\sqrt{x+12})=-(4+\sqrt{4+12})=-8\]

Ответ: -8

Пример №3

Задание

Решить предел с корнем

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{2}+5x+2}{\sqrt{x+6}}\]

Решение

Подставляем

    \[x\rightarrow \infty\]

в предел и получаем неопределённость вида

    \[\left[\frac{\infty}{\infty} \right ]\]

Как и в предыдущих примерах, находим старшую степень для числителя и знаменателя, и выносим её за скобки.

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2 \left(1+\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2(\sqrt{\frac{x}{x^4}+\frac{6}{x^4}})}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1+\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\sqrt{\frac{1}{x^3}+\frac{6}{x^4}}}=\]

И опять подставляем

    \[x\rightarrow \infty\]

в предел и решаем:

    \[=\frac{1+0+0}{\sqrt{0+0}}=\left[\frac{1}{0}\right]=\infty\]

Ответ:

    \[\infty\]

Пример №4

Задание

Вычислить предел корня:

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^2-3x}-x\]

Решение

Аналогично предыдущим примерам, подставляем

    \[x\rightarrow \infty\]

  в предел и видим:

    \[[\infty - \infty]\]

Находим сопряженное, в данном случае это

    \[(\sqrt{x^2-3x}+x).\]

Как и в примере №2, пользуясь формулой разности квадратов

    \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]

и раскрывая скобки, упрощаем предел:

    \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{x^2-3x}-x)(\sqrt{x^2-3x}+x)}{(\sqrt{x^2-3x}+x)}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(x^2-3x)-x^2}{(\sqrt{x^2-3x}+x)}\]

Раскрываем скобки и упрощаем. Затем выносим х за скобки и сокращаем:

    \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2-3x}+x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-3x}{x(\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1)}=\]

Как и в начале, подставляем  в предел, получаем:

    \[=\frac{-3}{\sqrt{1-0}+1}=-\frac{3}{2}\]

Ответ:

    \[- \frac{3}{2}\]

Пример №5

Задание

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Вычислить предел функции

    \[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{3-\sqrt{x+8}}\]

Решение

Если подставить х=1, видно, что и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Получаем неопределенность вида

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Как и в предыдущих примерах, первым шагом находим сопряжённое –

    \[3+\sqrt{x+8}\]

и домножаем на него числитель и знаменатель.

    \[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{3-\sqrt{x+8}}\cdot\frac{3+\sqrt{x+8}}{3+\sqrt{x+8}}\]

Применяем правило разности квадратов

    \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]

и преобразовываем предел:

    \[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}{3^2-(\sqrt{x+8})^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}{9-(x+8)}=\]

    \[= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}{-(x-1)}\]

Сокращаем числитель и знаменатель на (x-1) и приходим к конечному ответу:

    \[-\lim_{x\rightarrow 1}(3+\sqrt{x+8})=3+\sqrt{x+8}=6\]

Ответ: 6

Пример № 6

Задание

Вычислить предел:

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x^2-5}-2}{x-3}\]

Решение:

Первый шаг – подставить в предел выражение

    \[х=3\]

и убедиться, что выходит неопределённость вида

    \[\left[\frac{0}{0} \right]\]

Шаг второй – раскрываем нашу неопределенность путём умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, в данном случае –

    \[(\sqrt{x^2-5}+2)\]

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x^2-5}-2}{x-3}\cdot \frac{\sqrt{x^2-5}+2}{\sqrt{x^2-5}+2}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^2-9)}{(x-3)(\sqrt{x^2-5}+2)}\]

Далее, пользуясь формулой разности квадратов раскладываем числитель:

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(\sqrt{x^2-5}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x+3)}{\sqrt{x^2-5}+2}\]

Подставляем х=3 в предел и вычисляем:

    \[=\frac{3+3}{(\sqrt{9-5}+2)}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\]

Ответ:

    \[\frac{3}{2}\]

Пример №7

Задание

Вычислить предел

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-1}{\sqrt{x+3}-2}\]

Решение

Как и в предыдущих заданиях, подставляем

    \[х=3\]

и убеждаемся, что имеем дело с неопределённостью вида

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Порядок действий стандартный. Избавляемся от иррациональности в знаменателе с помощью домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. В данном примере сопряжённое выражение имеет вид –

    \[\sqrt{x+3}+2\]

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-1}{\sqrt{x+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2}\]

Перемножаем знаменатель и сокращаем в числителе и знаменателе

    \[(х-1)\]

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^2-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x+3-4}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}\]

Подставляем, как и ранее, х=3 и находим ответ:

    \[(3+1)(\sqrt{3+3}+2)=17,8\]

Ответ: 17,8

Пример №8

Задание

Определить предел функции

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}(\sqrt{x^2-4x}-\sqrt{x^2+1})\]

Решение

Смотрим на функцию, подставляем

    \[x\rightarrow \infty,\]

мы имеем дело с неопределённостью вида:

    \[[\infty - \infty]\]

Начинаем работать с функциями, содержащими корень. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение и упрощаем предел:

    \[\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2-4x-(x^2+1)}{\sqrt{x^2-4x}+\sqrt{x^2+1}}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x(-4-\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1-\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}})}\]

После преобразований получаем ответ:

    \[=\frac{-4}{1+1}=-2\]

Ответ: -2

Пример №9

Задание

Решить предел

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}\]

Решение:

Подставляя

    \[х=3\]

в выражение лимита, подтверждаем догадки, что перед нами неопределённость вида

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Как и раньше, первый шаг – избавиться от иррациональности с помощью домножения числителя и знаменателя на соответствующее сопряженное выражение.

Раскрываем скобки и сокращаем выражения на

    \[(х-3)\]

    \[\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\]

    \[\lim_{x\rightarrow 3} \frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}\]

Неопределённости

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

больше нет и ничего нам не мешает вычислить пример:

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}=\frac{-1}{\sqrt{7-3}+2}=-\frac{1}{\sqrt{4}+2}=-\frac{1}{4}\]

Ответ:

    \[- \frac{1}{4}\]

Пример №10

Задание

Вычислить предел

    \[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}\]

Решение

Оба лимита числителя и знаменателя равны нулю, значит опять неопределённость вида

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Находим сопряжённое к числителю и знаменателю число:

    \[\sqrt[4]{(5x+6)^3}+\sqrt[4]{(5x+6)^2}\cdot2+\sqrt[4]{5x+6}\cdot 2^2+2^3 =\]

    \[=\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^2}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\]

Домножаем на полученное выражение числитель и знаменатель, раскрываем скобки и упрощаем:

    \[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=\]

    \[= \left | \frac{0}{0} \right |=\]

    \[= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2)\cdot \left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=\]

    \[=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{5x+6-16}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=\]

    \[= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}\]

Раскладываем числитель и знаменатель:

    \[5x-10=5 \cdot (x-2)\]

    \[x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\]

Вычисляем предел:

    \[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )} *\]

    \[* \lim_{x\rightarrow 2}\frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{5}{(x^2+2x+4)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=\frac{5}{(2^2+2 \cdot 2 +4)\cdot\left( \sqrt[4]{(5 \cdot 2+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5 \cdot 2 +6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5 \cdot 2+6}+8\right )}=\frac{5}{384}\]

Ответ:

    \[\frac{5}{384}\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2633

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также