Основные свойства пределов с корнями

Теорема

Для нахождения предела функции необходимо подставить в предел вместо Х то значение переменной, к которому стремится Х.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений пределов с корнями

Пример №1

Задание

Найти предел

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}-3x-4}{\sqrt{4x^{4}+1}}$

Решение

Мы имеем неопределенность вида

$\left[\frac{\infty}{\infty} \right]$

Первый шаг – разделить числитель и знаменатель на ”х” в высшей степени. Старшая степень для числителя в данном случае равна двум.
Со знаменателем немного сложнее. Так как у нас корень, обращаем внимание только на самое ”старшее” слагаемое –

$\sqrt{4x^{4}}.$

Число (4) – это константа, его тоже отбрасываем. Находим корень

$\sqrt{x^{4}}=x^{2}.$

Так как числитель и знаменатель оказываются одного порядка роста, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}}{2x^{2}}=1$

Видим, что функции эквивалентны на бесконечности.

Оформляем решение:

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}-3x-4}{\sqrt{4x^{4}+1}}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{{}\frac{2x^{2}-3x-4}{x^{2}}} {\frac{\sqrt{4x^{4}+1}}{\sqrt{x^{4}}}}=\frac{2}{\sqrt{4}}=\frac{2}{2}=1$

Ответ: 1

Пример № 2

Задание

Найти предел с корнем

$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}}$

Решение

Подставляем

$x\rightarrow 4$

в подпредельную функцию:

$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}}=\frac{0}{0}=$

Получаем неопределенность

$\left[\frac{0}{0} \right ]$

Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к нему –

$(4+\sqrt{x+12}),$

так как он содержит корень.
Далее, пользуясь формулой разности квадратов

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

и раскрывая скобки, упрощаем предел. Последний шаг – сокращение функции на

$x-4$

$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{(4-\sqrt{x+12})(4+\sqrt{x+12})}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{16-(x+12)}=$

$= \lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{4-x}=-\lim_{x\rightarrow 4}(4+\sqrt{x+12})=-(4+\sqrt{4+12})=-8$

Ответ: -8

Пример №3

Задание

Решить предел с корнем

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{2}+5x+2}{\sqrt{x+6}}$

Решение

Подставляем

$x\rightarrow \infty$

в предел и получаем неопределённость вида

$\left[\frac{\infty}{\infty} \right ]$

Как и в предыдущих примерах, находим старшую степень для числителя и знаменателя, и выносим её за скобки.

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2 \left(1+\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2(\sqrt{\frac{x}{x^4}+\frac{6}{x^4}})}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1+\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\sqrt{\frac{1}{x^3}+\frac{6}{x^4}}}=$

И опять подставляем

$x\rightarrow \infty$

в предел и решаем:

$=\frac{1+0+0}{\sqrt{0+0}}=\left[\frac{1}{0}\right]=\infty$

Ответ:

$\infty$

Пример №4

Задание

Вычислить предел корня:

$\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^2-3x}-x$

Решение

Аналогично предыдущим примерам, подставляем

$x\rightarrow \infty$

в предел и видим:

$[\infty - \infty]$

Находим сопряженное, в данном случае это

$(\sqrt{x^2-3x}+x).$

Как и в примере №2, пользуясь формулой разности квадратов

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

и раскрывая скобки, упрощаем предел:

$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{x^2-3x}-x)(\sqrt{x^2-3x}+x)}{(\sqrt{x^2-3x}+x)}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(x^2-3x)-x^2}{(\sqrt{x^2-3x}+x)}$

Раскрываем скобки и упрощаем. Затем выносим х за скобки и сокращаем:

$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2-3x}+x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-3x}{x(\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1)}=$

Как и в начале, подставляем в предел, получаем:

$=\frac{-3}{\sqrt{1-0}+1}=-\frac{3}{2}$

Ответ:

$- \frac{3}{2}$

Пример №5

Задание

Вычислить предел функции

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{3-\sqrt{x+8}}$

Решение

Если подставить х=1, видно, что и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Получаем неопределенность вида

$\left[\frac{0}{0} \right ]$

Как и в предыдущих примерах, первым шагом находим сопряжённое –

$3+\sqrt{x+8}$

и домножаем на него числитель и знаменатель.

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{3-\sqrt{x+8}}\cdot\frac{3+\sqrt{x+8}}{3+\sqrt{x+8}}$

Применяем правило разности квадратов

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

и преобразовываем предел:

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}{3^2-(\sqrt{x+8})^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}{9-(x+8)}=$

$= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}{-(x-1)}$

Сокращаем числитель и знаменатель на (x-1) и приходим к конечному ответу:

$-\lim_{x\rightarrow 1}(3+\sqrt{x+8})=3+\sqrt{x+8}=6$

Ответ: 6

Пример № 6

Задание

Вычислить предел:

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x^2-5}-2}{x-3}$

Решение:

Первый шаг – подставить в предел выражение

$х=3$

и убедиться, что выходит неопределённость вида

$\left[\frac{0}{0} \right]$

Шаг второй – раскрываем нашу неопределенность путём умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, в данном случае –

$(\sqrt{x^2-5}+2)$

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x^2-5}-2}{x-3}\cdot \frac{\sqrt{x^2-5}+2}{\sqrt{x^2-5}+2}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^2-9)}{(x-3)(\sqrt{x^2-5}+2)}$

Далее, пользуясь формулой разности квадратов раскладываем числитель:

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(\sqrt{x^2-5}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x+3)}{\sqrt{x^2-5}+2}$

Подставляем х=3 в предел и вычисляем:

$=\frac{3+3}{(\sqrt{9-5}+2)}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Ответ:

$\frac{3}{2}$

Пример №7

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-1}{\sqrt{x+3}-2}$

Решение

Как и в предыдущих заданиях, подставляем

$х=3$

и убеждаемся, что имеем дело с неопределённостью вида

$\left[\frac{0}{0} \right ]$

Порядок действий стандартный. Избавляемся от иррациональности в знаменателе с помощью домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. В данном примере сопряжённое выражение имеет вид –

$\sqrt{x+3}+2$

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-1}{\sqrt{x+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2}$

Перемножаем знаменатель и сокращаем в числителе и знаменателе

$(х-1)$

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^2-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x+3-4}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}$

Подставляем, как и ранее, х=3 и находим ответ:

$(3+1)(\sqrt{3+3}+2)=17,8$

Ответ: 17,8

Пример №8

Задание

Определить предел функции

$\lim_{x\rightarrow \infty}(\sqrt{x^2-4x}-\sqrt{x^2+1})$

Решение

Смотрим на функцию, подставляем

$x\rightarrow \infty,$

мы имеем дело с неопределённостью вида:

$[\infty - \infty]$

Начинаем работать с функциями, содержащими корень. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение и упрощаем предел:

$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2-4x-(x^2+1)}{\sqrt{x^2-4x}+\sqrt{x^2+1}}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x(-4-\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1-\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}})}$

После преобразований получаем ответ:

$=\frac{-4}{1+1}=-2$

Ответ: -2

Пример №9

Задание

Решить предел

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$

Решение:

Подставляя

$х=3$

в выражение лимита, подтверждаем догадки, что перед нами неопределённость вида

$\left[\frac{0}{0} \right ]$

Как и раньше, первый шаг – избавиться от иррациональности с помощью домножения числителя и знаменателя на соответствующее сопряженное выражение.

Раскрываем скобки и сокращаем выражения на

$(х-3)$

$\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=$

$\lim_{x\rightarrow 3} \frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}$

Неопределённости

$\left[\frac{0}{0} \right ]$

больше нет и ничего нам не мешает вычислить пример:

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}=\frac{-1}{\sqrt{7-3}+2}=-\frac{1}{\sqrt{4}+2}=-\frac{1}{4}$

Ответ:

$- \frac{1}{4}$

Пример №10

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}$

Решение

Оба лимита числителя и знаменателя равны нулю, значит опять неопределённость вида

$\left[\frac{0}{0} \right ]$

Находим сопряжённое к числителю и знаменателю число:

$\sqrt[4]{(5x+6)^3}+\sqrt[4]{(5x+6)^2}\cdot2+\sqrt[4]{5x+6}\cdot 2^2+2^3 =$

$=\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^2}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8$

Домножаем на полученное выражение числитель и знаменатель, раскрываем скобки и упрощаем:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=$

$= \left | \frac{0}{0} \right |=$

$= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2)\cdot \left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=$

$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{5x+6-16}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=$

$= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}$

Раскладываем числитель и знаменатель:

$5x-10=5 \cdot (x-2)$

$x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$

Вычисляем предел:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )} *$

$* \lim_{x\rightarrow 2}\frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{5}{(x^2+2x+4)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=\frac{5}{(2^2+2 \cdot 2 +4)\cdot\left( \sqrt[4]{(5 \cdot 2+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5 \cdot 2 +6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5 \cdot 2+6}+8\right )}=\frac{5}{384}$

Ответ:

$\frac{5}{384}$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Давид Б.

Редактор.

Кандидат экономических наук, автор множества научных публикаций РИНЦ и ВАК.

Добавить комментарий Отменить ответ

Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.
валентин на Свойства пространства и времени: открываем тайны физической реальностиСкорость света это скорость течения времени и в каждой точке пространства разная. Градиент сжатия пространства по вертикали определяет скорость течения

Примеры решения пределов с корнями с ответами

Основные свойства пределов с корнями

Примеры решений пределов с корнями