Основные свойства пределов с корнями

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Для нахождения предела функции необходимо подставить в предел вместо Х то значение переменной, к которому стремится Х.

Примеры решений пределов с корнями

Пример №1

Задание

Найти предел

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}-3x-4}{\sqrt{4x^{4}+1}}\]

Решение

Мы имеем неопределенность вида

    \[\left[\frac{\infty}{\infty} \right]\]

Первый шаг – разделить числитель и знаменатель на ”х” в высшей степени. Старшая степень для числителя в данном случае равна двум.
Со знаменателем немного сложнее.  Так как у нас корень, обращаем внимание только на самое ”старшее” слагаемое –

    \[\sqrt{4x^{4}}.\]

Число (4) – это константа, его тоже отбрасываем. Находим корень

    \[\sqrt{x^{4}}=x^{2}.\]

Так как числитель и знаменатель оказываются одного порядка роста, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}}{2x^{2}}=1\]

Видим, что функции эквивалентны на бесконечности.

Оформляем решение:

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^{2}-3x-4}{\sqrt{4x^{4}+1}}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{{}\frac{2x^{2}-3x-4}{x^{2}}} {\frac{\sqrt{4x^{4}+1}}{\sqrt{x^{4}}}}=\frac{2}{\sqrt{4}}=\frac{2}{2}=1\]

Ответ: 1

Пример № 2

Задание

Найти предел с корнем

    \[\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}}\]

Решение

Подставляем

    \[x\rightarrow 4\]

в подпредельную функцию:

    \[\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}}=\frac{0}{0}=\]

Получаем неопределенность

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к нему –

    \[(4+\sqrt{x+12}),\]

так как он содержит корень.
Далее, пользуясь формулой разности квадратов

    \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]

и раскрывая скобки, упрощаем предел. Последний шаг – сокращение функции на

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[x-4\]

    \[\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{(4-\sqrt{x+12})(4+\sqrt{x+12})}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{16-(x+12)}=\]

 

    \[= \lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{4-x}=-\lim_{x\rightarrow 4}(4+\sqrt{x+12})=-(4+\sqrt{4+12})=-8\]

Ответ: -8

Пример №3

Задание

Решить предел с корнем

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{2}+5x+2}{\sqrt{x+6}}\]

Решение

Подставляем

    \[x\rightarrow \infty\]

в предел и получаем неопределённость вида

    \[\left[\frac{\infty}{\infty} \right ]\]

Как и в предыдущих примерах, находим старшую степень для числителя и знаменателя, и выносим её за скобки.

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2 \left(1+\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2(\sqrt{\frac{x}{x^4}+\frac{6}{x^4}})}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1+\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\sqrt{\frac{1}{x^3}+\frac{6}{x^4}}}=\]

И опять подставляем

    \[x\rightarrow \infty\]

в предел и решаем:

    \[=\frac{1+0+0}{\sqrt{0+0}}=\left[\frac{1}{0}\right]=\infty\]

Ответ:

    \[\infty\]

Пример №4

Задание

Вычислить предел корня:

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^2-3x}-x\]

Решение

Аналогично предыдущим примерам, подставляем

    \[x\rightarrow \infty\]

  в предел и видим:

    \[[\infty - \infty]\]

Находим сопряженное, в данном случае это

    \[(\sqrt{x^2-3x}+x).\]

Как и в примере №2, пользуясь формулой разности квадратов

    \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]

и раскрывая скобки, упрощаем предел:

    \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{x^2-3x}-x)(\sqrt{x^2-3x}+x)}{(\sqrt{x^2-3x}+x)}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(x^2-3x)-x^2}{(\sqrt{x^2-3x}+x)}\]

Раскрываем скобки и упрощаем. Затем выносим х за скобки и сокращаем:

    \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2-3x}+x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-3x}{x(\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1)}=\]

Как и в начале, подставляем  в предел, получаем:

    \[=\frac{-3}{\sqrt{1-0}+1}=-\frac{3}{2}\]

Ответ:

    \[- \frac{3}{2}\]

Пример №5

Задание

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Вычислить предел функции

    \[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{3-\sqrt{x+8}}\]

Решение

Если подставить х=1, видно, что и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Получаем неопределенность вида

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Как и в предыдущих примерах, первым шагом находим сопряжённое –

    \[3+\sqrt{x+8}\]

и домножаем на него числитель и знаменатель.

    \[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{3-\sqrt{x+8}}\cdot\frac{3+\sqrt{x+8}}{3+\sqrt{x+8}}\]

Применяем правило разности квадратов

    \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]

и преобразовываем предел:

    \[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}{3^2-(\sqrt{x+8})^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}{9-(x+8)}=\]

    \[= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}{-(x-1)}\]

Сокращаем числитель и знаменатель на (x-1) и приходим к конечному ответу:

    \[-\lim_{x\rightarrow 1}(3+\sqrt{x+8})=3+\sqrt{x+8}=6\]

Ответ: 6

Пример № 6

Задание

Вычислить предел:

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x^2-5}-2}{x-3}\]

Решение:

Первый шаг – подставить в предел выражение

    \[х=3\]

и убедиться, что выходит неопределённость вида

    \[\left[\frac{0}{0} \right]\]

Шаг второй – раскрываем нашу неопределенность путём умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, в данном случае –

    \[(\sqrt{x^2-5}+2)\]

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{x^2-5}-2}{x-3}\cdot \frac{\sqrt{x^2-5}+2}{\sqrt{x^2-5}+2}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^2-9)}{(x-3)(\sqrt{x^2-5}+2)}\]

Далее, пользуясь формулой разности квадратов раскладываем числитель:

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(\sqrt{x^2-5}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x+3)}{\sqrt{x^2-5}+2}\]

Подставляем х=3 в предел и вычисляем:

    \[=\frac{3+3}{(\sqrt{9-5}+2)}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\]

Ответ:

    \[\frac{3}{2}\]

Пример №7

Задание

Вычислить предел

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-1}{\sqrt{x+3}-2}\]

Решение

Как и в предыдущих заданиях, подставляем

    \[х=3\]

и убеждаемся, что имеем дело с неопределённостью вида

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Порядок действий стандартный. Избавляемся от иррациональности в знаменателе с помощью домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. В данном примере сопряжённое выражение имеет вид –

    \[\sqrt{x+3}+2\]

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-1}{\sqrt{x+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2}\]

Перемножаем знаменатель и сокращаем в числителе и знаменателе

    \[(х-1)\]

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x^2-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x+3-4}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}\]

Подставляем, как и ранее, х=3 и находим ответ:

    \[(3+1)(\sqrt{3+3}+2)=17,8\]

Ответ: 17,8

Пример №8

Задание

Определить предел функции

    \[\lim_{x\rightarrow \infty}(\sqrt{x^2-4x}-\sqrt{x^2+1})\]

Решение

Смотрим на функцию, подставляем

    \[x\rightarrow \infty,\]

мы имеем дело с неопределённостью вида:

    \[[\infty - \infty]\]

Начинаем работать с функциями, содержащими корень. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение и упрощаем предел:

    \[\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2-4x-(x^2+1)}{\sqrt{x^2-4x}+\sqrt{x^2+1}}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x(-4-\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1-\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}})}\]

После преобразований получаем ответ:

    \[=\frac{-4}{1+1}=-2\]

Ответ: -2

Пример №9

Задание

Решить предел

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}\]

Решение:

Подставляя

    \[х=3\]

в выражение лимита, подтверждаем догадки, что перед нами неопределённость вида

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Как и раньше, первый шаг – избавиться от иррациональности с помощью домножения числителя и знаменателя на соответствующее сопряженное выражение.

Раскрываем скобки и сокращаем выражения на

    \[(х-3)\]

    \[\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\]

    \[\lim_{x\rightarrow 3} \frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}\]

Неопределённости

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

больше нет и ничего нам не мешает вычислить пример:

    \[\lim_{x\rightarrow 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}=\frac{-1}{\sqrt{7-3}+2}=-\frac{1}{\sqrt{4}+2}=-\frac{1}{4}\]

Ответ:

    \[- \frac{1}{4}\]

Пример №10

Задание

Вычислить предел

    \[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}\]

Решение

Оба лимита числителя и знаменателя равны нулю, значит опять неопределённость вида

    \[\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Находим сопряжённое к числителю и знаменателю число:

    \[\sqrt[4]{(5x+6)^3}+\sqrt[4]{(5x+6)^2}\cdot2+\sqrt[4]{5x+6}\cdot 2^2+2^3 =\]

    \[=\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^2}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\]

Домножаем на полученное выражение числитель и знаменатель, раскрываем скобки и упрощаем:

    \[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=\]

    \[= \left | \frac{0}{0} \right |=\]

    \[= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2)\cdot \left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=\]

    \[=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{5x+6-16}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=\]

    \[= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}\]

Раскладываем числитель и знаменатель:

    \[5x-10=5 \cdot (x-2)\]

    \[x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\]

Вычисляем предел:

    \[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )} *\]

    \[* \lim_{x\rightarrow 2}\frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{5}{(x^2+2x+4)\cdot\left( \sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5x+6}+8\right )}=\frac{5}{(2^2+2 \cdot 2 +4)\cdot\left( \sqrt[4]{(5 \cdot 2+6)^3}+2 \cdot \sqrt[4]{(5 \cdot 2 +6)^3}+4 \cdot \sqrt[4]{5 \cdot 2+6}+8\right )}=\frac{5}{384}\]

Ответ:

    \[\frac{5}{384}\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1925

Решение для вас

Помощь с работой Список услуг

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также