Примеры решения пределов тригонометрических функций с ответами

Простое объяснение принципов решения пределов тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
0 17614
Помощь в написании работы

Алгоритм решения пределов тригонометрических функций

Теорема

Для тригонометрических функций существует много разных пределов, но как правило, все они вычисляются, опираясь на первый замечательный предел и его следствия.

Первый замечательный предел выглядит следующим образом:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1\]

Следствия первого замечательного предела

Главным следствием первого замечательного предела считают:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=1\]

Также следствиями являются:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1 - cosx}{x^2}=1\]

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=1\]

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arctgx}{x}=1\]

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решения пределов тригонометрических функций

Пример 1

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(10x)}{3x}=\]

Решение

Заменим значение х на число, к которому стремится функция:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(10x)}{3x}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=?\]

Так как мы пришли на неопределённость вида 0/0, преобразуем синус так, чтобы он стал вида первого замечательного предела:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sin(10x)}{10x}\cdot 10x}{3x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sin(10x)}{10x}\cdot 10}{3}\]

Мы знаем, что первый замечательный предел равен единице, следовательно

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(10x)}{10x}=1\]

Таким образом найдём предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sin(10x)}{10x}\cdot 10}{3}=\frac{1\cdot 10}{3}=\frac{10}{3}\]

Пример 2

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2-5x}{sin3x}=\]

Решение

При замене х на число, к которому он стремится, снова получаем неопределённость

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2-5x}{sin3x}=\begin{bmatrix}\frac{0}{0}\end{bmatrix}\]

Данную задачу можно решить, применив правило Лопиталя.

Найдём производные числителя и знаменателя функции и решим задачу:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{6x-5}{3cos3x}=\frac{0-5}{3\cdot 1}=-\frac{5}{3}\]

Пример 3

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos2x}{4x^2}\]

Решение

При подстановке нуля получим неопределённость типа 0/0:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos2x}{4x^2}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}\]

Воспользуемся свойством

    \[\frac{1-cost}{2}=sin^2\left(\frac{t}{2} \right)\]

Преобразуем функцию и упростим её:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos2x}{4x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{2\cdot (1-cos2x)}{2}}{4x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^2x}{4x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x}{2x^2}\]

Вынесем константу ½ за лимит и, пользуюсь свойством первого замечательного предела, найдём передел данной функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x}{2x^2}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{sinx}{x} \right)^2=\frac{1}{2}\cdot 1^2=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}\]

Пример 4

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin7x}{x^2+\pi x}=\]

Решение

Если заменить x на число, придём к неопределённости 0/0:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin7x}{x^2+\pi x}=\left[ \frac{0}{0}\right]\]

Для решения данного примера применим правило Лопиталя и заменим х на число в производных:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{7cos7x}{2x+\pi}=\left[ \frac{7cos0}{2 \cdot0 + \pi } =\frac{7\cdot 1}{\pi }\right]=\frac{7}{\pi}\]

Пример 5

Задание

Вычислить предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-cos5x}{2x^2}=\]

Решение

Для решения данного примера воспользуемся свойством разности косинусов:

    \[cos\alpha -cos\beta =-2\cdot sin\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot sin\frac{\alpha -\beta }{2}\]

и получим

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2\cdot sin3x\cdot sin2x}{2x^2}=\]

Вынесем минус за лимит, дабы не потерять и продолжим решение. Для решения задачи приведём функцию к виду первого замечательного предела. Для этого нужно разделить дробь на множители и добавить в знаменатель коэффициент, равный коэффициенту в числителе. А потом упростим выражение:

    \[-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{x}\cdot \frac{sin2x}{x}=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{\frac{3x}{3}}\cdot \frac{sin2x}{\frac{2x}{2}}=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3sin3x}{3x}\cdot \frac{2sin2x}{2x}=\]

Снова вынесем константы за лимит и получим вид первого замечательного предела, с помощью которого приходим к искомому решению:

    \[-6\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{3x}\cdot \frac{sin2x}{2x}=-6\cdot 1\cdot 1=-6\]

Пример 6

Задание

Вычислить предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-tgx}{x^3}=\]

Решение

При подстановке х снова получаем неопределённость

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-tgx}{x^3}=\left[ \frac{0}{0} \right]\]

Значит будем искать передел путём приведения к виду первого замечательного предела.

Представим тангенс в виде частного синуса х и косинуса х

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-tgx}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-\frac{sinx}{cosx}}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx(1-\frac{1}{cosx})}{x^3}=\]

Приведём к общему знаменателю и разделим выражение на множители следующим образом:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx(1-\frac{1}{cosx})}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{cosx}}{x^2}\]

Мы видим первый замечательный предел, а значит, можем упростить до:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1\]

Далее снова приведём числитель к общему знаменателю:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{cosx}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{cosx-1}{cosx}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{x^2\cdot cosx}=\]

Вновь разделим на множители и подставим значение х во второй косинус:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{x^2}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{cosx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{x^2}\cdot 1=\]

Таким образом нам остаётся разобраться с первым числителем. Поменяем местами 1 и косинус и вынесем минус за лимит.

Далее воспользуемся формулой понижения степени и найдём решение:

    \[-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^2}=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=-\lim_{x\rightarrow 0}2\cdot  \left( \frac{sin\frac{x}{2}}{x}\right)^2=-2\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{2x}{2}}\right)^2=-\frac{1}{2}\cdot 1^2=-\frac{1}{2}\]

Пример 7

Задание

Вычислить предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{tg2x}\]

Решение

При простом вычислении получаем неопределённость

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{tg2x}=\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Следовательно, будем вычислять предел, опираясь на правило первого замечательного предела. Приведём тангенс к виду частного синуса и косинуса:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{tg2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{\frac{sin2x}{cos2x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x \cdot cos2x}{sin2x}=\]

Разделим пример на множители.

Приведём синусы к виду первого замечательного предела и получим ответ:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{sin2x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}cos2x=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{3x\cdot sin3x}{3x}}{\frac{2x\cdot sin2x}{2x}}\cdot 1=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x}{2x}\cdot \frac{\frac{sin3x}{3x}}{\frac{sin2x}{2x}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{3}{2}\]

Пример 8

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x-tg^2x}{x^4}=\]

Решение

При подставлении числа на место х приходим к неопределённости типа 0/0:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x-tg^2x}{x^4}=\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Преобразуем tg, приведем выражение к общему знаменателю cos x, вынесем общий множитель – sin x за скобку:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x-tg^2x}{x^4}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x-\frac{sin^2x}{cos^2x}}{x^4}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sin^2x\cdot cos^2x-sin^2x}{cos^2x}}{x^4}=\]

    \[= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-sin^2x(1-cos^2x)}{cos^2x}}{x^4}=\]

Используя следствие из первого замечательного предела, преобразим выражение и избавимся от тангенса.

Затем вновь приведем функцию к следствию первого замечательного предела и найдем ответ:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-tg^2x}{x^2}\cdot \frac{\frac{1-cos^2x}{cos^2x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}- \left(\frac{tgx}{x} \right)^2\cdot \frac{\frac{sin^2x}{cos^2x}}{x^2}=\]

    \[= \lim_{x\rightarrow 0} \left(-1^2 \cdot \frac{tg^2x}{x^2} \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(-\left(\frac{tgx}{x} \right)^2 \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(-\left(1 \right )^2 \right )=-1\]

Пример 9

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0} \left(1-x \right) \cdot tg\frac{\pi x}{2}\]

Решение

При подстановке числа видим неопределённость.

    \[\lim_{x\rightarrow 0} \left(1-x \right) \cdot tg\frac{\pi x}{2}=\left[ 0 \cdot \infty \right ]\]

Следовательно, искать предел будем, опираясь на правило первого замечательного предела. Для этого заменим переменную, которая будет стремиться к нулю:

    \[1-x=t,t\rightarrow 0\]

    \[x=1-t\]

Подставим в функцию:

    \[\lim_{t\rightarrow 0}t\cdot tg\frac{\pi\left(1-t \right)}{2}=\lim_{t\rightarrow 0}t \cdot tg \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi t}{2} \right)=\]

Опираясь на свойства тригонометрии, заменим тангенс.

    \[\lim_{t\rightarrow 0}t \cdot tg \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi t}{2} \right)=\lim_{t\rightarrow 0}t \cdot ctg \left(\frac{\pi t}{2} \right)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t \cdot cos \left(\frac{\pi t}{2} \right )}{sin \left(\frac{\pi t}{2} \right )}=\]

Зная, что предел косинуса нуля = 1, преобразуем пример и приведём к виду первого замечательного предела.

Найдём ответ.

    \[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t \cdot cos \left(\frac{\pi t}{2} \right )}{sin \left(\frac{\pi t}{2} \right )}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{\pi}}{sin \left(\frac{\pi t}{2} \right )}=\frac{2}{\pi}\lim_{t\rightarrow 0}\left(\frac{sin\left(\frac{\pi t}{2} \right )}{\frac{\pi t}{2}} \right )^{-1}=\frac{2}{\pi} \cdot \left(1 \right )^{-1}=\frac{2}{\pi}\]

Пример 10

Задание

Вычислить предел функции:

    \[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{arcsin3x}{2x}=\]

Решение

Здесь так же получим неопределённость:

    \[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{arcsin3x}{2x}=\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Значит, введём новую переменную t:

    \[arcsin3x=t, x\rightarrow 0, t\rightarrow 0\]

    \[3x=sint\]

    \[x=\frac{1}{3}sint\]

Подставим получившиеся значения в пример и найдём предел:

    \[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{2 \cdot sin3x}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{2 \cdot \frac{1}{3}sint}=\frac{3}{2}\lim_{t\rightarrow 0}\left( \frac{sint}{t}\right )^{-1}=\frac{3}{2}\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 4.5 / 5. Количество оценок: 2

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *