Алгоритм решения пределов тригонометрических функций

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Для тригонометрических функций существует много разных пределов, но как правило, все они вычисляются, опираясь на первый замечательный предел и его следствия.

Первый замечательный предел выглядит следующим образом:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1\]

Следствия первого замечательного предела

Главным следствием первого замечательного предела считают:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=1\]

Также следствиями являются:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1 - cosx}{x^2}=1\]

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=1\]

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arctgx}{x}=1\]

Примеры решения пределов тригонометрических функций

Пример 1

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(10x)}{3x}=\]

Решение

Заменим значение х на число, к которому стремится функция:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(10x)}{3x}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=?\]

Так как мы пришли на неопределённость вида 0/0, преобразуем синус так, чтобы он стал вида первого замечательного предела:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sin(10x)}{10x}\cdot 10x}{3x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sin(10x)}{10x}\cdot 10}{3}\]

Мы знаем, что первый замечательный предел равен единице, следовательно

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(10x)}{10x}=1\]

Таким образом найдём предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sin(10x)}{10x}\cdot 10}{3}=\frac{1\cdot 10}{3}=\frac{10}{3}\]

Пример 2

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2-5x}{sin3x}=\]

Решение

При замене х на число, к которому он стремится, снова получаем неопределённость

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2-5x}{sin3x}=\begin{bmatrix}\frac{0}{0}\end{bmatrix}\]

Данную задачу можно решить, применив правило Лопиталя.

Найдём производные числителя и знаменателя функции и решим задачу:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{6x-5}{3cos3x}=\frac{0-5}{3\cdot 1}=-\frac{5}{3}\]

Пример 3

Задание

Найти предел функции:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos2x}{4x^2}\]

Решение

При подстановке нуля получим неопределённость типа 0/0:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos2x}{4x^2}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}\]

Воспользуемся свойством

    \[\frac{1-cost}{2}=sin^2\left(\frac{t}{2} \right)\]

Преобразуем функцию и упростим её:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos2x}{4x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{2\cdot (1-cos2x)}{2}}{4x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^2x}{4x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x}{2x^2}\]

Вынесем константу ½ за лимит и, пользуюсь свойством первого замечательного предела, найдём передел данной функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x}{2x^2}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{sinx}{x} \right)^2=\frac{1}{2}\cdot 1^2=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}\]

Пример 4

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin7x}{x^2+\pi x}=\]

Решение

Если заменить x на число, придём к неопределённости 0/0:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin7x}{x^2+\pi x}=\left[ \frac{0}{0}\right]\]

Для решения данного примера применим правило Лопиталя и заменим х на число в производных:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{7cos7x}{2x+\pi}=\left[ \frac{7cos0}{2 \cdot0 + \pi } =\frac{7\cdot 1}{\pi }\right]=\frac{7}{\pi}\]

Пример 5

Задание

Вычислить предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-cos5x}{2x^2}=\]

Решение

Для решения данного примера воспользуемся свойством разности косинусов:

    \[cos\alpha -cos\beta =-2\cdot sin\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot sin\frac{\alpha -\beta }{2}\]

и получим

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2\cdot sin3x\cdot sin2x}{2x^2}=\]

Вынесем минус за лимит, дабы не потерять и продолжим решение. Для решения задачи приведём функцию к виду первого замечательного предела. Для этого нужно разделить дробь на множители и добавить в знаменатель коэффициент, равный коэффициенту в числителе. А потом упростим выражение:

    \[-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{x}\cdot \frac{sin2x}{x}=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{\frac{3x}{3}}\cdot \frac{sin2x}{\frac{2x}{2}}=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3sin3x}{3x}\cdot \frac{2sin2x}{2x}=\]

Снова вынесем константы за лимит и получим вид первого замечательного предела, с помощью которого приходим к искомому решению:

    \[-6\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{3x}\cdot \frac{sin2x}{2x}=-6\cdot 1\cdot 1=-6\]

Пример 6

Задание

Вычислить предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-tgx}{x^3}=\]

Решение

При подстановке х снова получаем неопределённость

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-tgx}{x^3}=\left[ \frac{0}{0} \right]\]

Значит будем искать передел путём приведения к виду первого замечательного предела.

Представим тангенс в виде частного синуса х и косинуса х

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-tgx}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-\frac{sinx}{cosx}}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx(1-\frac{1}{cosx})}{x^3}=\]

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Приведём к общему знаменателю и разделим выражение на множители следующим образом:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx(1-\frac{1}{cosx})}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{cosx}}{x^2}\]

Мы видим первый замечательный предел, а значит, можем упростить до:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1\]

Далее снова приведём числитель к общему знаменателю:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{cosx}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{cosx-1}{cosx}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{x^2\cdot cosx}=\]

Вновь разделим на множители и подставим значение х во второй косинус:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{x^2}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{cosx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{x^2}\cdot 1=\]

Таким образом нам остаётся разобраться с первым числителем. Поменяем местами 1 и косинус и вынесем минус за лимит.

Далее воспользуемся формулой понижения степени и найдём решение:

    \[-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^2}=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=-\lim_{x\rightarrow 0}2\cdot  \left( \frac{sin\frac{x}{2}}{x}\right)^2=-2\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{2x}{2}}\right)^2=-\frac{1}{2}\cdot 1^2=-\frac{1}{2}\]

Пример 7

Задание

Вычислить предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{tg2x}\]

Решение

При простом вычислении получаем неопределённость

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{tg2x}=\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Следовательно, будем вычислять предел, опираясь на правило первого замечательного предела. Приведём тангенс к виду частного синуса и косинуса:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{tg2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{\frac{sin2x}{cos2x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x \cdot cos2x}{sin2x}=\]

Разделим пример на множители.

Приведём синусы к виду первого замечательного предела и получим ответ:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{sin2x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}cos2x=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{3x\cdot sin3x}{3x}}{\frac{2x\cdot sin2x}{2x}}\cdot 1=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x}{2x}\cdot \frac{\frac{sin3x}{3x}}{\frac{sin2x}{2x}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{3}{2}\]

Пример 8

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x-tg^2x}{x^4}=\]

Решение

При подставлении числа на место х приходим к неопределённости типа 0/0:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x-tg^2x}{x^4}=\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Преобразуем tg, приведем выражение к общему знаменателю cos x, вынесем общий множитель – sin x за скобку:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x-tg^2x}{x^4}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x-\frac{sin^2x}{cos^2x}}{x^4}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sin^2x\cdot cos^2x-sin^2x}{cos^2x}}{x^4}=\]

    \[= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-sin^2x(1-cos^2x)}{cos^2x}}{x^4}=\]

Используя следствие из первого замечательного предела, преобразим выражение и избавимся от тангенса.

Затем вновь приведем функцию к следствию первого замечательного предела и найдем ответ:

    \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-tg^2x}{x^2}\cdot \frac{\frac{1-cos^2x}{cos^2x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}- \left(\frac{tgx}{x} \right)^2\cdot \frac{\frac{sin^2x}{cos^2x}}{x^2}=\]

    \[= \lim_{x\rightarrow 0} \left(-1^2 \cdot \frac{tg^2x}{x^2} \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(-\left(\frac{tgx}{x} \right)^2 \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(-\left(1 \right )^2 \right )=-1\]

Пример 9

Задание

Найти предел функции:

    \[\lim_{x\rightarrow 0} \left(1-x \right) \cdot tg\frac{\pi x}{2}\]

Решение

При подстановке числа видим неопределённость.

    \[\lim_{x\rightarrow 0} \left(1-x \right) \cdot tg\frac{\pi x}{2}=\left[ 0 \cdot \infty \right ]\]

Следовательно, искать предел будем, опираясь на правило первого замечательного предела. Для этого заменим переменную, которая будет стремиться к нулю:

    \[1-x=t,t\rightarrow 0\]

    \[x=1-t\]

Подставим в функцию:

    \[\lim_{t\rightarrow 0}t\cdot tg\frac{\pi\left(1-t \right)}{2}=\lim_{t\rightarrow 0}t \cdot tg \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi t}{2} \right)=\]

Опираясь на свойства тригонометрии, заменим тангенс.

    \[\lim_{t\rightarrow 0}t \cdot tg \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi t}{2} \right)=\lim_{t\rightarrow 0}t \cdot ctg \left(\frac{\pi t}{2} \right)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t \cdot cos \left(\frac{\pi t}{2} \right )}{sin \left(\frac{\pi t}{2} \right )}=\]

Зная, что предел косинуса нуля = 1, преобразуем пример и приведём к виду первого замечательного предела.

Найдём ответ.

    \[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t \cdot cos \left(\frac{\pi t}{2} \right )}{sin \left(\frac{\pi t}{2} \right )}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{\pi}}{sin \left(\frac{\pi t}{2} \right )}=\frac{2}{\pi}\lim_{t\rightarrow 0}\left(\frac{sin\left(\frac{\pi t}{2} \right )}{\frac{\pi t}{2}} \right )^{-1}=\frac{2}{\pi} \cdot \left(1 \right )^{-1}=\frac{2}{\pi}\]

Пример 10

Задание

Вычислить предел функции:

    \[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{arcsin3x}{2x}=\]

Решение

Здесь так же получим неопределённость:

    \[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{arcsin3x}{2x}=\left[\frac{0}{0} \right ]\]

Значит, введём новую переменную t:

    \[arcsin3x=t, x\rightarrow 0, t\rightarrow 0\]

    \[3x=sint\]

    \[x=\frac{1}{3}sint\]

Подставим получившиеся значения в пример и найдём предел:

    \[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{2 \cdot sin3x}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{2 \cdot \frac{1}{3}sint}=\frac{3}{2}\lim_{t\rightarrow 0}\left( \frac{sint}{t}\right )^{-1}=\frac{3}{2}\]

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 1

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2938

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также