Примеры решения сложных интегралов с ответами

Простое объяснение принципов решения сложных интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
0 6652
Помощь в написании работы

Алгоритм решения сложных интегралов

Теорема

Сложными являются интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.

Алгоритм

Сложные интегралы вычисляются методом введения дополнительной переменной. Этот приём позволяет преобразовать подынтегральную функцию к виду, характерному для табличных интегралов.

При вычислении сложных интегралов также применяются свойства интеграла и таблица основных интегралов.

Таблица основных интегралов

C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений сложных интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}}\]

при помощи подстановки x = \frac{a}{t}

Решение

Найдём dx:

dx = -\frac{a}{t^{2}}dt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = \frac{a}{t}:

\frac{1}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{\frac{a}{t}\sqrt{\frac{a^{2}}{t^{2}} - a^{2}}} = \frac{t^{2}}{a^{2}\sqrt{1 - t^{2}}}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \frac{t^{2}}{a^{2}\sqrt{1 - t^{2}}}(-\frac{a}{t^{2}}dt) = -\frac{1}{a}\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}} = -\frac{1}{a}\arcsin{t} + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = \frac{a}{t} выразим t через x:

t = \frac{a}{x}

В итоге получим:

-\frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C

Преобразуем полученный результат с учётом, что \frac{\pi}{2} - \arcsin{\alpha} = \arccos{\alpha}

Считая, что C = \frac{1}{a}\frac{\pi}{2} + C_{1}, получим

-\frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C = \frac{1}{a}\frac{\pi}{2} - \frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C_{1} = \frac{1}{a}(\frac{\pi}{2} - \arcsin{\frac{a}{x}}) + C_{1}

Индекс C_{1} можно обозначить через C

Окончательно, получим:

\frac{1}{a}(\frac{\pi}{2} - \arcsin{\frac{a}{x}}) + C_{1} = \frac{1}{a}\arccos{\frac{a}{x}} + C

Ответ

    \[\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a}\arccos{\frac{a}{x}} + C\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{{\sqrt{2ax - x^{2}}}}\]

при помощи подстановки x = a(1 - t)

Решение

Найдём dx:

dx = -adt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = a(1 - t):

\sqrt{2ax - x^{2}} = \sqrt{2a\cdot a(1 - t) - a^{2}{(1 - t)}^{2}} = \sqrt{a^{2}{(1 - t)}^{2}} = |a|{(1 - t)}^{2}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \frac{-adt}{|a|\sqrt{1 - t^{2}}} = -\frac{a}{|a|}\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}} = \frac{a}{|a|}\arccos{t} + C = \pm\arccos{t} + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = a(1 - t) выразим t через x:

t = 1 - \frac{x}{a} = \frac{a - x}{a}

В итоге получим:

    \[\int \frac{-adt}{|a|\sqrt{1 - t^{2}}} = \pm\arccos{\frac{a - x}{a}} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{{\sqrt{2ax - x^{2}}}} = \pm\arccos{\frac{a - x}{a}} + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл от дроби:

    \[\int \frac{dx}{2x -1}\]

Решение

    \[\int \frac{dx}{2x -1} = \frac{1}{2}\int\frac{2dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{2x -1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt{2ax - x^{2}}dx\]

при помощи тригонометрической подстановки x = a\sin{t}

Решение

Найдём dx:

dx = a\cos{t}dt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = a\sin{t}:

\sqrt{a^{2} - x^{2}} = \sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}{t}} = \sqrt{a^{2}(1 - \sin^{2}{t})} = \sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}} = a\cos{t}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int a\cos{t}(a\cos{t}dt) = a^{2}\int \cos^{2}{t}dt\]

Интеграл вида относится к табличным и равен:

    \[\int \cos^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C\]

Поэтому:

    \[a^{2}\int \cos^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = a\sin{t} выразим t,\ sin{t},\ cos{t} через x:

t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 - \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}

В итоге получим:

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C = a^{2}\frac{1}{2}(\arcsin\frac{x}{a} + \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C\]

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin{\frac{x}{a}} + C\]

Ответ

    \[\int \sqrt{2ax - x^{2}}dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin{\frac{x}{a}} + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx\]

при помощи тригонометрической подстановки x = a\sin{t}

Решение

Найдём dx:

dx = a\cos{t}dt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = a\sin{t}:

\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}(1 - \sin^{2}{t})}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}a\cos{t}dt = a^{2}\int \sin^{2}{t}dt\]

Интеграл вида относится к табличным и равен:

    \[\int \sin^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C\]

Поэтому:

    \[a^{2}\int \sin^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = a\sin{t} выразим t,\ sin{t},\ cos{t} через x:

t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 - \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}

В итоге получим:

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}(\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C\]

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2ax - x^{2}}}dx = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx\]

при помощи подстановки x = \sin{t}

Решение

Найдём dx:

dx = \cos{t}dt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = \sin{t}:

\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} = \sqrt{\frac{1 - \sin{t}}{1 + \sin{t}}} = \sqrt{\frac{{(1 - \sin{t})}^{2}}{(1 + \sin{t})(1 - \sin{t})}} = \frac{\sqrt{{(1 - \sin{t})}^2}}{\sqrt{1 - \sin^2{t}}} = \frac{1 - \sin{t}}{\cos{t}}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx = \int \frac{1 - \sin{t}}{\cos{t}}\cos{t}dt = \int (1 - \sin{t})dt\]

    \[\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx = t + \cos{t} + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = \sin{t} выразим t через x:

t = \arcsin{x}

В итоге получим:

t + \cos{t} + C = \arcsin{x} + \cos{(\arcsin{x})} + C

Т.к. \cos{(\arcsin{x})} = \sqrt{1 - x^{2}}, то

\arcsin{x} + \cos{(\arcsin{x})} + C = \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C

Ответ

    \[\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx = \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}}\]

при помощи подстановки x = \ ctg{t}

Решение

Найдём dx:

dx = -\frac{1}{\sin^2{t}}dt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = \ ctg{t}:

\sqrt{1 + x^{2}} = \sqrt{1 + \ ctg^{2}{t}} = \sqrt{1 + \frac{\cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}} = \sqrt{\frac{\sin^{2}{t} + \cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}} = \frac{1}{\sin{t}}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = -\int \frac{dt}{\sin{t}} = -\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C\]

-\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C = \ln\ {\left(tg{\frac{t}{2}}\right)}^{-1} + C

-\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C = \ln\ {ctg{\frac{t}{2}}} + C

\ ctg{\frac{t}{2}} = \frac{\cos{\frac{t}{2}}}{\sin{\frac{t}{2}}} = \frac{2\cos^{2}{\frac{t}{2}}}{2\sin{\frac{t}{2}}\cos{\frac{t}{2}}} = \frac{1 - \cos{t}}{\sin{t}} = \frac{1}{\sin{t}} + \ ctg{t}

Перейдём к от t к переменной x:

\frac{1}{\sin{t}} = \sqrt{1 + x^{2}},\ ctg{t} = x

\ln\ {ctg{\frac{t}{2}}} + C = \ln (\frac{1}{\sin{t}} + \ ctg{t}) + C = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}}\]

при помощи подстановки z = \sqrt{x^{2} - a^{2}}

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную z:

x^{2} - a^{2} = z^{2},\ x^{2} = a^{2} + z^{2},\ 2xdx = 2zdz,\ xdx = zdz

Разделим обе части равенства xdx = zdz на x^{2}:

\frac{xdx}{x^{2}} = \frac{zdz}{x^{2}}

В правой части равенства заменим a^{2} + z^{2} на x^{2}:

\frac{xdx}{x} = \frac{zdz}{a^{2} + z^{2}}

\frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{zdz}{(a^{2} + z^{2})z} = \frac{dz}{a^{2} + z^{2}}

    \[\int\frac{dz}{a^{2} + z^{2}} = \frac{1}{a}\ arctg\frac{z}{a} + C\]

Переходя к переменной x, получаем:

\frac{1}{a}\ arctg\frac{z}{a} + C = \frac{1}{a}\ arctg\frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a} + C

Ответ

\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a}\ arctg\frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a} + C

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3}\]

при помощи подстановки t = \sqrt{x + 2}

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную t:

x + 2 = t^{2},\ x = t^{2} - 2,\ dx = 2tdt

\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3} = \frac{2tdt}{t + 3}

    \[\int\frac{2tdt}{t + 3} = 2\int\frac{t + 3 - 3}{t + 3}dt\]

    \[2\int\frac{t + 3 - 3}{t + 3}dt = 2\int\left(1 - \frac{t}{t + 3}\right)dt\]

    \[2\int\left(1 - \frac{t}{t + 3}\right)dt = 2[t - 3\ln(t + 3)] + C\]

Переходя к переменной x, и учитывая, что t = \sqrt{x + 2} получаем:

2[t - 3\ln(t + 3)] + C = 2[\sqrt{x + 2} - 3\ln||\sqrt{x + 2} + 3] + C

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3} = 2[\sqrt{x + 2} - 3\ln||\sqrt{x + 2} + 3] + C\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\]

при помощи подстановки t(a - x) = \sqrt{a^{2} - x^{2}}

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную t:

a^{2} - x^{2} = t^{2}{(a - x)}^{2},\ a + x = t^{2}(a - x)

x = a\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1},\ dx = \frac{4atdt}{{(t^{2} + 1)}^{2}}

\sqrt{a^{2} - x^{2}} = \frac{2at}{t^{2} + 1}

    \[2\int\frac{\frac{4atdt}{{(t^{2} + 1)}^{2}}}{\frac{2at}{t^{2} + 1}} = \int\frac{2dt}{t^{2} + 1}\]

    \[\int\frac{2dt}{t^{2} + 1} = 2\ arctg{t} + C\]

Переходя к переменной x, и учитывая, что t = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a - x} получаем:

2\ arctg{t} + C = 2\ arctg{\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a - x}} + C = 2\ arctg{\sqrt{\frac{a + x}{a - x}}} + C

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = 2\ arctg{\sqrt{\frac{a + x}{a - x}}} + C\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 4 / 5. Количество оценок: 4

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *