Алгоритм решения сложных интегралов
Сложными являются интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.
Сложные интегралы вычисляются методом введения дополнительной переменной. Этот приём позволяет преобразовать подынтегральную функцию к виду, характерному для табличных интегралов.
При вычислении сложных интегралов также применяются свойства интеграла и таблица основных интегралов.
$ C $ – постоянная величина
$$\int 0\cdot dx = C$$
$$\int dx = x + C$$
$$\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$$
$$\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n – 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C$$
$$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)$$
$$\int e^{x}dx = e^{x} + C$$
$$\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C$$
$$\int \cos{x}dx = \sin{x} + C$$
$$\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C$$
$$\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C$$
$$\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 – x^{2}}} = \arcsin{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{1 – x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 – x} \right | + C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C$$
$$\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C$$
$$\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C$$
Примеры решений сложных интегралов
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} – a^{2}}}$$ при помощи подстановки $x = \frac{a}{t}$
Решение
Найдём dx:
$dx = -\frac{a}{t^{2}}dt$
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = \frac{a}{t}$:
$\frac{1}{x\sqrt{x^{2} – a^{2}}} = \frac{1}{\frac{a}{t}\sqrt{\frac{a^{2}}{t^{2}} – a^{2}}} = \frac{t^{2}}{a^{2}\sqrt{1 – t^{2}}}$
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
$$\int \frac{t^{2}}{a^{2}\sqrt{1 – t^{2}}}(-\frac{a}{t^{2}}dt) = -\frac{1}{a}\int \frac{dt}{\sqrt{1 – t^{2}}} = -\frac{1}{a}\arcsin{t} + C$$
Перейдём к переменной $x$, для этого из подстановки $x = \frac{a}{t}$ выразим $t$ через $x$:
$t = \frac{a}{x}$
В итоге получим:
$-\frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C$
Преобразуем полученный результат с учётом, что $\frac{\pi}{2} – \arcsin{\alpha} = \arccos{\alpha}$
Считая, что $C = \frac{1}{a}\frac{\pi}{2} + C_{1}$, получим
$-\frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C = \frac{1}{a}\frac{\pi}{2} – \frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C_{1} = \frac{1}{a}(\frac{\pi}{2} – \arcsin{\frac{a}{x}}) + C_{1}$
Индекс $C_{1}$ можно обозначить через $C$
Окончательно, получим:
$\frac{1}{a}(\frac{\pi}{2} – \arcsin{\frac{a}{x}}) + C_{1} = \frac{1}{a}\arccos{\frac{a}{x}} + C$
Ответ
$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} – a^{2}}} = \frac{1}{a}\arccos{\frac{a}{x}} + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \frac{dx}{{\sqrt{2ax – x^{2}}}}$$ при помощи подстановки $x = a(1 – t)$
Решение
Найдём dx:
$dx = -adt$
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = a(1 – t)$:
$\sqrt{2ax – x^{2}} = \sqrt{2a\cdot a(1 – t) – a^{2}{(1 – t)}^{2}} = \sqrt{a^{2}{(1 – t)}^{2}} = |a|{(1 – t)}^{2}$
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
$$\int \frac{-adt}{|a|\sqrt{1 – t^{2}}} = -\frac{a}{|a|}\int \frac{dt}{\sqrt{1 – t^{2}}} = \frac{a}{|a|}\arccos{t} + C = \pm\arccos{t} + C$$
Перейдём к переменной $x$, для этого из подстановки $x = a(1 – t)$ выразим $t$ через $x$:
$t = 1 – \frac{x}{a} = \frac{a – x}{a}$
В итоге получим:
$$\int \frac{-adt}{|a|\sqrt{1 – t^{2}}} = \pm\arccos{\frac{a – x}{a}} + C$$
Ответ
$$\int \frac{dx}{{\sqrt{2ax – x^{2}}}} = \pm\arccos{\frac{a – x}{a}} + C$$
Задача
Вычислить интеграл от дроби: $$\int \frac{dx}{2x -1}$$
Решение
$$\int \frac{dx}{2x -1} = \frac{1}{2}\int\frac{2dx}{2x – 1} = \frac{1}{2}\ln|2x – 1| + C$$
Ответ
$$\int \frac{dx}{2x -1} = \frac{1}{2}\ln|2x – 1| + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \sqrt{2ax – x^{2}}dx$$ при помощи тригонометрической подстановки $x = a\sin{t}$
Решение
Найдём dx:
$dx = a\cos{t}dt$
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = a\sin{t}$:
$\sqrt{a^{2} – x^{2}} = \sqrt{a^{2} – a^{2}\sin^{2}{t}} = \sqrt{a^{2}(1 – \sin^{2}{t})} = \sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}} = a\cos{t}$
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
$$\int a\cos{t}(a\cos{t}dt) = a^{2}\int \cos^{2}{t}dt$$
Интеграл вида относится к табличным и равен:
$$\int \cos^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C$$
Поэтому:
$$a^{2}\int \cos^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C$$
Перейдём к переменной $x$, для этого из подстановки $x = a\sin{t}$ выразим $t,\ sin{t},\ cos{t}$ через $x$:
$t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 – \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 – \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}{a}$
В итоге получим:
$$a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C = a^{2}\frac{1}{2}(\arcsin\frac{x}{a} + \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}{a}) + C$$
$$a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} – x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin{\frac{x}{a}} + C$$
Ответ
$$\int \sqrt{2ax – x^{2}}dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} – x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin{\frac{x}{a}} + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}dx$$ при помощи тригонометрической подстановки $x = a\sin{t}$
Решение
Найдём dx:
$dx = a\cos{t}dt$
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = a\sin{t}$:
$\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2} – a^{2}\sin^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}(1 – \sin^{2}{t})}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}$
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
$$\int \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}a\cos{t}dt = a^{2}\int \sin^{2}{t}dt$$
Интеграл вида относится к табличным и равен:
$$\int \sin^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t – \sin{t}\cos{t}) + C$$
Поэтому:
$$a^{2}\int \sin^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t – \sin{t}\cos{t}) + C$$
Перейдём к переменной $x$, для этого из подстановки $x = a\sin{t}$ выразим $t,\ sin{t},\ cos{t}$ через $x$:
$t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 – \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 – \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}{a}$
В итоге получим:
$$a^{2}\frac{1}{2}(t – \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}(\arcsin\frac{x}{a} – \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}{a}) + C$$
$$a^{2}\frac{1}{2}(t – \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} – \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} – x^{2}} + C$$
Ответ
$$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2ax – x^{2}}}dx = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} – \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} – x^{2}} + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \sqrt{\frac{1 – x}{1 + x}}dx$$ при помощи подстановки $x = \sin{t}$
Решение
Найдём dx:
$dx = \cos{t}dt$
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = \sin{t}$:
$\sqrt{\frac{1 – x}{1 + x}} = \sqrt{\frac{1 – \sin{t}}{1 + \sin{t}}} = \sqrt{\frac{{(1 – \sin{t})}^{2}}{(1 + \sin{t})(1 – \sin{t})}} = \frac{\sqrt{{(1 – \sin{t})}^2}}{\sqrt{1 – \sin^2{t}}} = \frac{1 – \sin{t}}{\cos{t}}$
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
$$\int \sqrt{\frac{1 – x}{1 + x}}dx = \int \frac{1 – \sin{t}}{\cos{t}}\cos{t}dt = \int (1 – \sin{t})dt$$
$$\int \sqrt{\frac{1 – x}{1 + x}}dx = t + \cos{t} + C$$
Перейдём к переменной $x$, для этого из подстановки $x = \sin{t}$ выразим $t$ через $x$:
$t = \arcsin{x}$
В итоге получим:
$t + \cos{t} + C = \arcsin{x} + \cos{(\arcsin{x})} + C$
Т.к. $\cos{(\arcsin{x})} = \sqrt{1 – x^{2}}$, то
$\arcsin{x} + \cos{(\arcsin{x})} + C = \arcsin{x} + \sqrt{1 – x^{2}} + C$
Ответ
$$\int \sqrt{\frac{1 – x}{1 + x}}dx = \arcsin{x} + \sqrt{1 – x^{2}} + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}}$$ при помощи подстановки $x = \ ctg{t}$
Решение
Найдём dx:
$dx = -\frac{1}{\sin^2{t}}dt$
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = \ ctg{t}$:
$\sqrt{1 + x^{2}} = \sqrt{1 + \ ctg^{2}{t}} = \sqrt{1 + \frac{\cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}} = \sqrt{\frac{\sin^{2}{t} + \cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}}$ = $\frac{1}{\sin{t}}$
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = -\int \frac{dt}{\sin{t}} = -\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C$$
$-\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C = \ln\ {\left(tg{\frac{t}{2}}\right)}^{-1} + C$
$-\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C = \ln\ {ctg{\frac{t}{2}}} + C$
$\ ctg{\frac{t}{2}} = \frac{\cos{\frac{t}{2}}}{\sin{\frac{t}{2}}} = \frac{2\cos^{2}{\frac{t}{2}}}{2\sin{\frac{t}{2}}\cos{\frac{t}{2}}} = \frac{1 – \cos{t}}{\sin{t}}$ = $\frac{1}{\sin{t}} + \ ctg{t}$
Перейдём к от $t$ к переменной $x$:
$\frac{1}{\sin{t}} = \sqrt{1 + x^{2}},\ ctg{t} = x$
$\ln\ {ctg{\frac{t}{2}}} + C = \ln (\frac{1}{\sin{t}} + \ ctg{t}) + C = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C$
Ответ
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} – a^{2}}}$$ при помощи подстановки $z = \sqrt{x^{2} – a^{2}}$
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную $z$:
$x^{2} – a^{2} = z^{2},\ x^{2} = a^{2} + z^{2},\ 2xdx = 2zdz,\ xdx = zdz$
Разделим обе части равенства $xdx = zdz$ на $x^{2}$:
$\frac{xdx}{x^{2}} = \frac{zdz}{x^{2}}$
В правой части равенства заменим $a^{2} + z^{2}$ на $x^{2}$:
$\frac{xdx}{x} = \frac{zdz}{a^{2} + z^{2}}$
$\frac{dx}{x\sqrt{x^{2} – a^{2}}} = \frac{zdz}{(a^{2} + z^{2})z} = \frac{dz}{a^{2} + z^{2}}$
$$\int\frac{dz}{a^{2} + z^{2}} = \frac{1}{a}\ arctg\frac{z}{a} + C$$
Переходя к переменной $x$, получаем:
$\frac{1}{a}\ arctg\frac{z}{a} + C = \frac{1}{a}\ arctg\frac{\sqrt{x^{2} – a^{2}}}{a} + C$
Ответ
$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} – a^{2}}} = \frac{1}{a}\ arctg\frac{\sqrt{x^{2} – a^{2}}}{a} + C$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3}$$ при помощи подстановки $t = \sqrt{x + 2}$
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную $t$:
$x + 2 = t^{2},\ x = t^{2} – 2,\ dx = 2tdt$
$\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3} = \frac{2tdt}{t + 3}$
$$\int\frac{2tdt}{t + 3} = 2\int\frac{t + 3 – 3}{t + 3}dt$$
$$2\int\frac{t + 3 – 3}{t + 3}dt = 2\int\left(1 – \frac{t}{t + 3}\right)dt$$
$$2\int\left(1 – \frac{t}{t + 3}\right)dt = 2[t – 3\ln(t + 3)] + C$$
Переходя к переменной $x$, и учитывая, что $t = \sqrt{x + 2}$ получаем:
$2[t – 3\ln(t + 3)] + C = 2[\sqrt{x + 2} – 3\ln||\sqrt{x + 2} + 3] + C$
Ответ
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3} = 2[\sqrt{x + 2} – 3\ln||\sqrt{x + 2} + 3] + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$$ при помощи подстановки $t(a – x) = \sqrt{a^{2} – x^{2}}$
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную $t$:
$a^{2} – x^{2} = t^{2}{(a – x)}^{2},\ a + x = t^{2}(a – x)$
$x = a\frac{t^{2} – 1}{t^{2} + 1},\ dx = \frac{4atdt}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$
$\sqrt{a^{2} – x^{2}} = \frac{2at}{t^{2} + 1}$
$$2\int\frac{\frac{4atdt}{{(t^{2} + 1)}^{2}}}{\frac{2at}{t^{2} + 1}} = \int\frac{2dt}{t^{2} + 1}$$
$$\int\frac{2dt}{t^{2} + 1} = 2\ arctg{t} + C$$
Переходя к переменной $x$, и учитывая, что $t = \frac{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}{a – x}$ получаем:
$2\ arctg{t} + C = 2\ arctg{\frac{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}{a – x}} + C = 2\ arctg{\sqrt{\frac{a + x}{a – x}}} + C$
Ответ
$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} = 2\ arctg{\sqrt{\frac{a + x}{a – x}}} + C$$