Алгоритм решения сложных интегралов

Теорема

Сложными являются интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.

Алгоритм

Сложные интегралы вычисляются методом введения дополнительной переменной. Этот приём позволяет преобразовать подынтегральную функцию к виду, характерному для табличных интегралов.

При вычислении сложных интегралов также применяются свойства интеграла и таблица основных интегралов.

Таблица основных интегралов

C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений сложных интегралов

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}}\]

при помощи подстановки x = \frac{a}{t}

Решение

Найдём dx:

dx = -\frac{a}{t^{2}}dt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = \frac{a}{t}:

\frac{1}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{\frac{a}{t}\sqrt{\frac{a^{2}}{t^{2}} - a^{2}}} = \frac{t^{2}}{a^{2}\sqrt{1 - t^{2}}}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \frac{t^{2}}{a^{2}\sqrt{1 - t^{2}}}(-\frac{a}{t^{2}}dt) = -\frac{1}{a}\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}} = -\frac{1}{a}\arcsin{t} + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = \frac{a}{t} выразим t через x:

t = \frac{a}{x}

В итоге получим:

-\frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C

Преобразуем полученный результат с учётом, что \frac{\pi}{2} - \arcsin{\alpha} = \arccos{\alpha}

Считая, что C = \frac{1}{a}\frac{\pi}{2} + C_{1}, получим

-\frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C = \frac{1}{a}\frac{\pi}{2} - \frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C_{1} = \frac{1}{a}(\frac{\pi}{2} - \arcsin{\frac{a}{x}}) + C_{1}

Индекс C_{1} можно обозначить через C

Окончательно, получим:

\frac{1}{a}(\frac{\pi}{2} - \arcsin{\frac{a}{x}}) + C_{1} = \frac{1}{a}\arccos{\frac{a}{x}} + C

Ответ

    \[\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a}\arccos{\frac{a}{x}} + C\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{{\sqrt{2ax - x^{2}}}}\]

при помощи подстановки x = a(1 - t)

Решение

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Найдём dx:

dx = -adt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = a(1 - t):

\sqrt{2ax - x^{2}} = \sqrt{2a\cdot a(1 - t) - a^{2}{(1 - t)}^{2}} = \sqrt{a^{2}{(1 - t)}^{2}} = |a|{(1 - t)}^{2}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \frac{-adt}{|a|\sqrt{1 - t^{2}}} = -\frac{a}{|a|}\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}} = \frac{a}{|a|}\arccos{t} + C = \pm\arccos{t} + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = a(1 - t) выразим t через x:

t = 1 - \frac{x}{a} = \frac{a - x}{a}

В итоге получим:

    \[\int \frac{-adt}{|a|\sqrt{1 - t^{2}}} = \pm\arccos{\frac{a - x}{a}} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{{\sqrt{2ax - x^{2}}}} = \pm\arccos{\frac{a - x}{a}} + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл от дроби:

    \[\int \frac{dx}{2x -1}\]

Решение

    \[\int \frac{dx}{2x -1} = \frac{1}{2}\int\frac{2dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{2x -1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt{2ax - x^{2}}dx\]

при помощи тригонометрической подстановки x = a\sin{t}

Решение

Найдём dx:

dx = a\cos{t}dt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = a\sin{t}:

\sqrt{a^{2} - x^{2}} = \sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}{t}} = \sqrt{a^{2}(1 - \sin^{2}{t})} = \sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}} = a\cos{t}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int a\cos{t}(a\cos{t}dt) = a^{2}\int \cos^{2}{t}dt\]

Интеграл вида относится к табличным и равен:

    \[\int \cos^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C\]

Поэтому:

    \[a^{2}\int \cos^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = a\sin{t} выразим t,\ sin{t},\ cos{t} через x:

t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 - \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

В итоге получим:

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C = a^{2}\frac{1}{2}(\arcsin\frac{x}{a} + \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C\]

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin{\frac{x}{a}} + C\]

Ответ

    \[\int \sqrt{2ax - x^{2}}dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin{\frac{x}{a}} + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx\]

при помощи тригонометрической подстановки x = a\sin{t}

Решение

Найдём dx:

dx = a\cos{t}dt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = a\sin{t}:

\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}(1 - \sin^{2}{t})}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}a\cos{t}dt = a^{2}\int \sin^{2}{t}dt\]

Интеграл вида относится к табличным и равен:

    \[\int \sin^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C\]

Поэтому:

    \[a^{2}\int \sin^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = a\sin{t} выразим t,\ sin{t},\ cos{t} через x:

t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 - \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}

В итоге получим:

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}(\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C\]

    \[a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2ax - x^{2}}}dx = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx\]

при помощи подстановки x = \sin{t}

Решение

Найдём dx:

dx = \cos{t}dt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = \sin{t}:

\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} = \sqrt{\frac{1 - \sin{t}}{1 + \sin{t}}} = \sqrt{\frac{{(1 - \sin{t})}^{2}}{(1 + \sin{t})(1 - \sin{t})}} = \frac{\sqrt{{(1 - \sin{t})}^2}}{\sqrt{1 - \sin^2{t}}} = \frac{1 - \sin{t}}{\cos{t}}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx = \int \frac{1 - \sin{t}}{\cos{t}}\cos{t}dt = \int (1 - \sin{t})dt\]

    \[\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx = t + \cos{t} + C\]

Перейдём к переменной x, для этого из подстановки x = \sin{t} выразим t через x:

t = \arcsin{x}

В итоге получим:

t + \cos{t} + C = \arcsin{x} + \cos{(\arcsin{x})} + C

Т.к. \cos{(\arcsin{x})} = \sqrt{1 - x^{2}}, то

\arcsin{x} + \cos{(\arcsin{x})} + C = \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C

Ответ

    \[\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx = \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}}\]

при помощи подстановки x = \ ctg{t}

Решение

Найдём dx:

dx = -\frac{1}{\sin^2{t}}dt

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки x = \ ctg{t}:

\sqrt{1 + x^{2}} = \sqrt{1 + \ ctg^{2}{t}} = \sqrt{1 + \frac{\cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}} = \sqrt{\frac{\sin^{2}{t} + \cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}} = \frac{1}{\sin{t}}

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = -\int \frac{dt}{\sin{t}} = -\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C\]

-\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C = \ln\ {\left(tg{\frac{t}{2}}\right)}^{-1} + C

-\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C = \ln\ {ctg{\frac{t}{2}}} + C

\ ctg{\frac{t}{2}} = \frac{\cos{\frac{t}{2}}}{\sin{\frac{t}{2}}} = \frac{2\cos^{2}{\frac{t}{2}}}{2\sin{\frac{t}{2}}\cos{\frac{t}{2}}} = \frac{1 - \cos{t}}{\sin{t}} = \frac{1}{\sin{t}} + \ ctg{t}

Перейдём к от t к переменной x:

\frac{1}{\sin{t}} = \sqrt{1 + x^{2}},\ ctg{t} = x

\ln\ {ctg{\frac{t}{2}}} + C = \ln (\frac{1}{\sin{t}} + \ ctg{t}) + C = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}}\]

при помощи подстановки z = \sqrt{x^{2} - a^{2}}

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную z:

x^{2} - a^{2} = z^{2},\ x^{2} = a^{2} + z^{2},\ 2xdx = 2zdz,\ xdx = zdz

Разделим обе части равенства xdx = zdz на x^{2}:

\frac{xdx}{x^{2}} = \frac{zdz}{x^{2}}

В правой части равенства заменим a^{2} + z^{2} на x^{2}:

\frac{xdx}{x} = \frac{zdz}{a^{2} + z^{2}}

\frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{zdz}{(a^{2} + z^{2})z} = \frac{dz}{a^{2} + z^{2}}

    \[\int\frac{dz}{a^{2} + z^{2}} = \frac{1}{a}\ arctg\frac{z}{a} + C\]

Переходя к переменной x, получаем:

\frac{1}{a}\ arctg\frac{z}{a} + C = \frac{1}{a}\ arctg\frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a} + C

Ответ

\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a}\ arctg\frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a} + C

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3}\]

при помощи подстановки t = \sqrt{x + 2}

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную t:

x + 2 = t^{2},\ x = t^{2} - 2,\ dx = 2tdt

\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3} = \frac{2tdt}{t + 3}

    \[\int\frac{2tdt}{t + 3} = 2\int\frac{t + 3 - 3}{t + 3}dt\]

    \[2\int\frac{t + 3 - 3}{t + 3}dt = 2\int\left(1 - \frac{t}{t + 3}\right)dt\]

    \[2\int\left(1 - \frac{t}{t + 3}\right)dt = 2[t - 3\ln(t + 3)] + C\]

Переходя к переменной x, и учитывая, что t = \sqrt{x + 2} получаем:

2[t - 3\ln(t + 3)] + C = 2[\sqrt{x + 2} - 3\ln||\sqrt{x + 2} + 3] + C

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3} = 2[\sqrt{x + 2} - 3\ln||\sqrt{x + 2} + 3] + C\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\]

при помощи подстановки t(a - x) = \sqrt{a^{2} - x^{2}}

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную t:

a^{2} - x^{2} = t^{2}{(a - x)}^{2},\ a + x = t^{2}(a - x)

x = a\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1},\ dx = \frac{4atdt}{{(t^{2} + 1)}^{2}}

\sqrt{a^{2} - x^{2}} = \frac{2at}{t^{2} + 1}

    \[2\int\frac{\frac{4atdt}{{(t^{2} + 1)}^{2}}}{\frac{2at}{t^{2} + 1}} = \int\frac{2dt}{t^{2} + 1}\]

    \[\int\frac{2dt}{t^{2} + 1} = 2\ arctg{t} + C\]

Переходя к переменной x, и учитывая, что t = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a - x} получаем:

2\ arctg{t} + C = 2\ arctg{\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a - x}} + C = 2\ arctg{\sqrt{\frac{a + x}{a - x}}} + C

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = 2\ arctg{\sqrt{\frac{a + x}{a - x}}} + C\]

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 1

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1411

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также