Алгоритм решения сложных интегралов

Теорема

Сложными являются интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.

Алгоритм

Сложные интегралы вычисляются методом введения дополнительной переменной. Этот приём позволяет преобразовать подынтегральную функцию к виду, характерному для табличных интегралов.

При вычислении сложных интегралов также применяются свойства интеграла и таблица основных интегралов.

Таблица основных интегралов

$C$ – постоянная величина

$\int 0\cdot dx = C$

$\int dx = x + C$

$\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$

$\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$

$\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C$

$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)$

$\int e^{x}dx = e^{x} + C$

$\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}dx = \sin{x} + C$

$\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C$

$\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C$

$\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C$

$\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C$

$\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C$

$\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C$

$\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C$

$\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C$

$\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C$

$\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C$

Примеры решений сложных интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}}$

при помощи подстановки $x = \frac{a}{t}$

Решение

Найдём dx:

$dx = -\frac{a}{t^{2}}dt$

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = \frac{a}{t}$ :

$\frac{1}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{\frac{a}{t}\sqrt{\frac{a^{2}}{t^{2}} - a^{2}}} = \frac{t^{2}}{a^{2}\sqrt{1 - t^{2}}}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$\int \frac{t^{2}}{a^{2}\sqrt{1 - t^{2}}}(-\frac{a}{t^{2}}dt) = -\frac{1}{a}\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}} = -\frac{1}{a}\arcsin{t} + C$

Перейдём к переменной $x$ , для этого из подстановки $x = \frac{a}{t}$ выразим $t$ через $x$ :

$t = \frac{a}{x}$

В итоге получим:

$-\frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C$

Преобразуем полученный результат с учётом, что $\frac{\pi}{2} - \arcsin{\alpha} = \arccos{\alpha}$

Считая, что $C = \frac{1}{a}\frac{\pi}{2} + C_{1}$ , получим

$-\frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C = \frac{1}{a}\frac{\pi}{2} - \frac{1}{a}\arcsin{\frac{a}{x}} + C_{1} = \frac{1}{a}(\frac{\pi}{2} - \arcsin{\frac{a}{x}}) + C_{1}$

Индекс $C_{1}$ можно обозначить через $C$

Окончательно, получим:

$\frac{1}{a}(\frac{\pi}{2} - \arcsin{\frac{a}{x}}) + C_{1} = \frac{1}{a}\arccos{\frac{a}{x}} + C$

Ответ

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a}\arccos{\frac{a}{x}} + C$

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \frac{dx}{{\sqrt{2ax - x^{2}}}}$

при помощи подстановки $x = a(1 - t)$

Решение

Найдём dx:

$dx = -adt$

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = a(1 - t)$ :

$\sqrt{2ax - x^{2}} = \sqrt{2a\cdot a(1 - t) - a^{2}{(1 - t)}^{2}} = \sqrt{a^{2}{(1 - t)}^{2}} = |a|{(1 - t)}^{2}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$\int \frac{-adt}{|a|\sqrt{1 - t^{2}}} = -\frac{a}{|a|}\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}} = \frac{a}{|a|}\arccos{t} + C = \pm\arccos{t} + C$

Перейдём к переменной $x$ , для этого из подстановки $x = a(1 - t)$ выразим $t$ через $x$ :

$t = 1 - \frac{x}{a} = \frac{a - x}{a}$

В итоге получим:

$\int \frac{-adt}{|a|\sqrt{1 - t^{2}}} = \pm\arccos{\frac{a - x}{a}} + C$

Ответ

$\int \frac{dx}{{\sqrt{2ax - x^{2}}}} = \pm\arccos{\frac{a - x}{a}} + C$

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл от дроби:

$\int \frac{dx}{2x -1}$

Решение

$\int \frac{dx}{2x -1} = \frac{1}{2}\int\frac{2dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C$

Ответ

$\int \frac{dx}{2x -1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C$

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \sqrt{2ax - x^{2}}dx$

при помощи тригонометрической подстановки $x = a\sin{t}$

Решение

Найдём dx:

$dx = a\cos{t}dt$

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = a\sin{t}$ :

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} = \sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}{t}} = \sqrt{a^{2}(1 - \sin^{2}{t})} = \sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}} = a\cos{t}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$\int a\cos{t}(a\cos{t}dt) = a^{2}\int \cos^{2}{t}dt$

Интеграл вида относится к табличным и равен:

$\int \cos^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C$

Поэтому:

$a^{2}\int \cos^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C$

Перейдём к переменной $x$ , для этого из подстановки $x = a\sin{t}$ выразим $t,\ sin{t},\ cos{t}$ через $x$ :

$t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 - \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}$

В итоге получим:

$a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C = a^{2}\frac{1}{2}(\arcsin\frac{x}{a} + \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C$

$a^{2}\frac{1}{2}(t + \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin{\frac{x}{a}} + C$

Ответ

$\int \sqrt{2ax - x^{2}}dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin{\frac{x}{a}} + C$

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx$

при помощи тригонометрической подстановки $x = a\sin{t}$

Решение

Найдём dx:

$dx = a\cos{t}dt$

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = a\sin{t}$ :

$\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}(1 - \sin^{2}{t})}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{t}}} = \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$\int \frac{a^{2}\sin^{2}t}{a\cos{t}}a\cos{t}dt = a^{2}\int \sin^{2}{t}dt$

Интеграл вида относится к табличным и равен:

$\int \sin^{2}{t}dt = \frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C$

Поэтому:

$a^{2}\int \sin^{2}{t}dt = a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C$

Перейдём к переменной $x$ , для этого из подстановки $x = a\sin{t}$ выразим $t,\ sin{t},\ cos{t}$ через $x$ :

$t = \arcsin{\frac{x}{a}},\ \sin{t} = \frac{x}{a},\ \cos{t} = \sqrt{1 - \sin^{2}{t}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}$

В итоге получим:

$a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}(\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}) + C$

$a^{2}\frac{1}{2}(t - \sin{t}\cos{t}) + C = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + C$

Ответ

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2ax - x^{2}}}dx = \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + C$

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx$

при помощи подстановки $x = \sin{t}$

Решение

Найдём dx:

$dx = \cos{t}dt$

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = \sin{t}$ :

$\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} = \sqrt{\frac{1 - \sin{t}}{1 + \sin{t}}} = \sqrt{\frac{{(1 - \sin{t})}^{2}}{(1 + \sin{t})(1 - \sin{t})}} = \frac{\sqrt{{(1 - \sin{t})}^2}}{\sqrt{1 - \sin^2{t}}} = \frac{1 - \sin{t}}{\cos{t}}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx = \int \frac{1 - \sin{t}}{\cos{t}}\cos{t}dt = \int (1 - \sin{t})dt$

$\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx = t + \cos{t} + C$

Перейдём к переменной $x$ , для этого из подстановки $x = \sin{t}$ выразим $t$ через $x$ :

$t = \arcsin{x}$

В итоге получим:

$t + \cos{t} + C = \arcsin{x} + \cos{(\arcsin{x})} + C$

Т.к. $\cos{(\arcsin{x})} = \sqrt{1 - x^{2}}$ , то

$\arcsin{x} + \cos{(\arcsin{x})} + C = \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C$

Ответ

$\int \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx = \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C$

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

при помощи подстановки $x = \ ctg{t}$

Решение

Найдём dx:

$dx = -\frac{1}{\sin^2{t}}dt$

Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки $x = \ ctg{t}$ :

$\sqrt{1 + x^{2}} = \sqrt{1 + \ ctg^{2}{t}} = \sqrt{1 + \frac{\cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}} = \sqrt{\frac{\sin^{2}{t} + \cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}}$ = $\frac{1}{\sin{t}}$

Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = -\int \frac{dt}{\sin{t}} = -\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C$

$-\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C = \ln\ {\left(tg{\frac{t}{2}}\right)}^{-1} + C$

$-\ln\ tg{\frac{t}{2}} + C = \ln\ {ctg{\frac{t}{2}}} + C$

$\ ctg{\frac{t}{2}} = \frac{\cos{\frac{t}{2}}}{\sin{\frac{t}{2}}} = \frac{2\cos^{2}{\frac{t}{2}}}{2\sin{\frac{t}{2}}\cos{\frac{t}{2}}} = \frac{1 - \cos{t}}{\sin{t}}$ = $\frac{1}{\sin{t}} + \ ctg{t}$

Перейдём к от $t$ к переменной $x$ :

$\frac{1}{\sin{t}} = \sqrt{1 + x^{2}},\ ctg{t} = x$

$\ln\ {ctg{\frac{t}{2}}} + C = \ln (\frac{1}{\sin{t}} + \ ctg{t}) + C = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C$

Ответ

$\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C$

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}}$

при помощи подстановки $z = \sqrt{x^{2} - a^{2}}$

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную $z$ :

$x^{2} - a^{2} = z^{2},\ x^{2} = a^{2} + z^{2},\ 2xdx = 2zdz,\ xdx = zdz$

Разделим обе части равенства $xdx = zdz$ на $x^{2}$ :

$\frac{xdx}{x^{2}} = \frac{zdz}{x^{2}}$

В правой части равенства заменим $a^{2} + z^{2}$ на $x^{2}$ :

$\frac{xdx}{x} = \frac{zdz}{a^{2} + z^{2}}$

$\frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{zdz}{(a^{2} + z^{2})z} = \frac{dz}{a^{2} + z^{2}}$

$\int\frac{dz}{a^{2} + z^{2}} = \frac{1}{a}\ arctg\frac{z}{a} + C$

Переходя к переменной $x$ , получаем:

$\frac{1}{a}\ arctg\frac{z}{a} + C = \frac{1}{a}\ arctg\frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a} + C$

Ответ

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a}\ arctg\frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a} + C$

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3}$

при помощи подстановки $t = \sqrt{x + 2}$

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную $t$ :

$x + 2 = t^{2},\ x = t^{2} - 2,\ dx = 2tdt$

$\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3} = \frac{2tdt}{t + 3}$

$\int\frac{2tdt}{t + 3} = 2\int\frac{t + 3 - 3}{t + 3}dt$

$2\int\frac{t + 3 - 3}{t + 3}dt = 2\int\left(1 - \frac{t}{t + 3}\right)dt$

$2\int\left(1 - \frac{t}{t + 3}\right)dt = 2[t - 3\ln(t + 3)] + C$

Переходя к переменной $x$ , и учитывая, что $t = \sqrt{x + 2}$ получаем:

$2[t - 3\ln(t + 3)] + C = 2[\sqrt{x + 2} - 3\ln||\sqrt{x + 2} + 3] + C$

Ответ

$\int \frac{dx}{\sqrt{x + 2} + 3} = 2[\sqrt{x + 2} - 3\ln||\sqrt{x + 2} + 3] + C$

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$

при помощи подстановки $t(a - x) = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Решение

Выразим подынтегральную функцию через переменную $t$ :

$a^{2} - x^{2} = t^{2}{(a - x)}^{2},\ a + x = t^{2}(a - x)$

$x = a\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1},\ dx = \frac{4atdt}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} = \frac{2at}{t^{2} + 1}$

$2\int\frac{\frac{4atdt}{{(t^{2} + 1)}^{2}}}{\frac{2at}{t^{2} + 1}} = \int\frac{2dt}{t^{2} + 1}$

$\int\frac{2dt}{t^{2} + 1} = 2\ arctg{t} + C$

Переходя к переменной $x$ , и учитывая, что $t = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a - x}$ получаем:

$2\ arctg{t} + C = 2\ arctg{\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a - x}} + C = 2\ arctg{\sqrt{\frac{a + x}{a - x}}} + C$

Ответ

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = 2\ arctg{\sqrt{\frac{a + x}{a - x}}} + C$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Герман К.

Редактор.

Автор статей, сценариев и перевода текстов в разных сферах.

Добавить комментарий Отменить ответ

Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.

Примеры решения сложных интегралов с ответами

Алгоритм решения сложных интегралов

Примеры решений сложных интегралов