Алгоритм решения сложных интегралов
[stextbox id=’info’ caption=’Теорема’]
Сложными являются интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.
[/stextbox]
[stextbox id=’info’ caption=’Алгоритм’]
Сложные интегралы вычисляются методом введения дополнительной переменной. Этот приём позволяет преобразовать подынтегральную функцию к виду, характерному для табличных интегралов.
При вычислении сложных интегралов также применяются свойства интеграла и таблица основных интегралов.
[/stextbox]
[stextbox id=’info’ caption=’Таблица основных интегралов’]
— постоянная величина
[/stextbox]
Примеры решений сложных интегралов
[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 1′]
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки
выразим
через
:
В итоге получим:
Преобразуем полученный результат с учётом, что
Считая, что , получим
Индекс можно обозначить через
Окончательно, получим:
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 2′]
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки
выразим
через
:
В итоге получим:
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 3′]
Задача
Вычислить интеграл от дроби:
Решение
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 4′]
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи тригонометрической подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Интеграл вида относится к табличным и равен:
Поэтому:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки
выразим
через
:
В итоге получим:
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 5′]
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи тригонометрической подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Интеграл вида относится к табличным и равен:
Поэтому:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки
выразим
через
:
В итоге получим:
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 6′]
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки
выразим
через
:
В итоге получим:
Т.к. , то
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 7′]
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
=
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
=
Перейдём к от к переменной
:
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 8′]
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Разделим обе части равенства на
:
В правой части равенства заменим на
:
Переходя к переменной , получаем:
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 9′]
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Переходя к переменной , и учитывая, что
получаем:
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 10′]
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Переходя к переменной , и учитывая, что
получаем:
Ответ
[/stextbox]