Алгоритм решения сложных производных

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Производная сложной функции y = f(\varphi(x)) равна произведению функции по промежуточной переменной и производной промежуточной переменной по независимой переменной:y' = f'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x).
Алгоритм
Суть алгоритма нахождения производной сложной функции состоит в следующем: считая промежуточную функцию аргументом, находят производную сложной функции по промежуточной функции. Затем производят вычисление производной промежуточной функции по независимому аргументу. Окончательный результат равен произведению найденных производных.

Разберем алгоритм с помощью примера

Найдём производные фукнции u = \sin{4y} + z^{3} по y и z.

Производная функции по y. Пи этом считаем z постоянной величиной.

Производная \sin{4y} равна \cos{4y}. Аргумент синуса является сложной функцией, её производная равна 4. Окончательный результат равен произведению двух производных:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = 4\cos{4y}

Производная функции по z. Пи этом считаем y постоянной величиной.

\frac{\partial{u}}{\partial{z}} = 3z^{2}

Рассмотрим также случай, при котором функция u зависит от независимой переменной x через функции y = x^{2} и z = x^{3}. В подобных задачах чаще всего требуется нахождение полной производной по независимой переменной x.

Также, как и в предыдущем случае, вначале требуется найти частные производные:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}

В отличие оп предыдушего случая, частная производная будет иметь дополнительный множитель \frac{\partial{y}}{\partial{x}} – производную промежуточной функции по независимому аргументу:

\frac{\partial{y}}{\partial{x}}  = 2x

Производная u = \sin{4y} + z^{3} по y равна 4\cos{4y}. При этом z считаем постоянной.

Частная производная по y будет определяться как произведение 2x и 4\cos{4y}:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = 4\cos{4y}\cdot{2x} = 8x\cos{4y}

По аналогии найдём \frac{\partial{u}}{\partial{z}}:

Производная z = x^{3} по x равна 3x^{2}.

Производная u = \sin{4y} + z^{3} по z равна 3z^{2} При этом y считаем постоянной.

\frac{\partial{u}}{\partial{z}} = \frac{\partial{u}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 3z^{2}\cdot{3x^{2}} = 9z^{2}x^{2}

Полная производная равна сумме частных производных:

\frac{du}{dx} = 8x\cos{4y} + 9z^{2}x^{2}

Примеры решения сложных производных

Пример 1

Задание

Найти полную производную функции \frac{dz}{dx}, если z = \sin{u} + cos{2v},\ u = x^{3},\ v = 5x^{7}.

Решение

Функция z = \sin{u} + cos{2v} является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь вид:

\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции \sin(3u + 2v - 4w) по u и v:

\frac{\partial{z}}{\partial{u}} = \cos{u}

\frac{\partial{z}}{\partial{v}} = -2\sin{2v}

Далее найдём производные каждой из функций u и v по независимой переменной x:

\frac{du}{dx} = 3x^{2}

\frac{dv}{dx} = 35x^{6}

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

\frac{dz}{dx} = \cos{u}\cdot{3x^{2}} -2\sin{2v}\cdot{35x^{6}}

Подставляем вместо u,\ v,\ u = x^{3},\ v = 5x^{7} получаем:

\cos{x^{3}}\cdot{3x^{2}} -2\sin{(2\cdot{5x^{7}})}\cdot{35x^{6}} = 3x^{2}\cos{x^{3}} - 70{x^{6}}\sin{10x^{7}}

Ответ

\frac{dz}{dx} = 3x^{2}\cos{x^{3}} - 70{x^{6}}\sin{10x^{7}}

Пример 2

Задание

Найти полную производную функции \frac{dz}{dx}, если z = \sin{u^{2} + v},\ u = x^{2},\ v = x^{3}.

Решение

Функция z = \sin{u} + cos{2v} является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь вид:

\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции \sin{u^{2} + y} по u и v:

\frac{\partial{z}}{\partial{u}} = 2u\cos{u^{2}}

\frac{\partial{z}}{\partial{v}} = 1

Далее найдём производные каждой из функций u и v по независимой переменной x:

\frac{du}{dx} = 2x

\frac{dv}{dx} = 3x^{2}

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

\frac{dz}{dx} = 2u\cos{u^{2}}\cdot{2x} + 3x^{2}

Подставляем вместо u,\ v,\ u = x^{2},\ v = x^{3} получаем:

2\cdot{x^{2}}\cos{{(x^{2})}^2}\cdot{2x} + 3x^{2} = 4x^{3}\cos{x^{4}} + 3x^{2}

Ответ

\frac{dz}{dx} = 4x^{3}\cos{x^{4}} + 3x^{2}

Пример 3

Задание

Найти полную производную функции \frac{dz}{dx}, если z = \sin(3u + 2v - 4w) ,\ u = 2x^{3},\ v = 3x^{2},\ w = x^{4}.

Решение

Т.к. функция z = \sin(3u + 2v - 4w) является сложной функцией трёх переменных, то выражение её общей производной будет иметь вид:

\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{w}}\frac{\partial{w}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции \sin(3u + 2v - 4w) по u,\ v,\ w:

\frac{\partial{z}}{\partial{u}} = 3\cos(3u + 2v - 4w)

\frac{\partial{z}}{\partial{v}} = 2\cos(3u + 2v - 4w)

\frac{\partial{z}}{\partial{w}} = -4\cos(3u + 2v - 4w)

Далее найдём производные каждой из функций u,\ v,\ w по независимой переменной x:

\frac{du}{dx} = 6x^{2}

\frac{dv}{dx} = 6x

\frac{dw}{dx} = 4x^{3}

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

\frac{dz}{dx} = 3\cos(3u + 2v - 4w)6x^{2} + 2\cos(3u + 2v - 4w)6x -4\cos(3u + 2v - 4w)4x^{3}

Вынося за скобки \cos(3u + 2v - 4w) и подставляя вместо u,\ v,\ w,\ u = 2x^{3},\ v = 3x^{2},\ w = x^{4} получаем:

3\cos(3u + 2v - 4w)6x^{2} + 2\cos(3u + 2v - 4w)6x -4\cos(3u + 2v - 4w)4x^{3} = \cos(3u + 2v - 4w)(18x^{2} + 12x - 16x^{3}) = \cos(6x^{3} + 6x^{2} - 4x^{4})(18x^{2} + 12x - 16x^{3})

Ответ

\frac{dz}{dx} = \cos(6x^{3} + 6x^{2} - 4x^{4})(18x^{2} + 12x - 16x^{3})

Пример 4

Задание

Найти полную производную функции \frac{du}{dt}, если u = \sin{\frac{x}{y}},\ x = e^{t},\ y = t^{2}.

Решение

Функция z = \sin{u} + cos{2v} является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь следующий вид:

\frac{du}{dt} = \frac{\partial{u}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{t}}

Найдём частные производные функции \sin{\frac{x}{y}} по x и y:

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \frac{1}{y}\cos{\frac{x}{y}}

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = -\frac{x}{y^{2}}\cos{\frac{x}{y}}

Далее найдём производные каждой из функций x и y по независимой переменной t:

\frac{dx}{dt} = e^{t}

\frac{dy}{dt} = 2t

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

\frac{du}{dt} = \frac{1}{y}\cos{\frac{x}{y}}e^{t} - \frac{x}{y^{2}}\cos{\frac{x}{y}}2t

Подставляем вместо x,\ y,\ x = e^{t},\ y = t^{2} получаем:

\frac{du}{dt} = \frac{1}{t^{2}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}\cdot{e^{t}} - \frac{e^{t}}{t^{4}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}\cdot{2t} = \frac{e^{t}}{t^{2}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}(1 - \frac{2}{t}) = \frac{e^{t}}{t^{3}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}(t - 2)

Ответ

\frac{du}{dt} = \frac{e^{t}}{t^{3}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}(t - 2)

Пример 5

Задание

Найти полную производную функции \frac{du}{dx}, если u = z^{2} + y^{2} + zy,\ z = \sin{x},\ y = e^{x}.

Решение

Функция z = \sin{u} + cos{2v} является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь следующий вид:

\frac{du}{dx} = \frac{\partial{u}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции z^{2} + y^{2} + zy по z и y:

\frac{\partial{u}}{\partial{z}} = 2z + y

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = 2y + z

Далее найдём производные каждой из функций z и y по независимой переменной x:

\frac{dz}{dx} = \cos{x}

\frac{dy}{dx} = e^{x}

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

\frac{du}{dx} = (2z + y)\cos{x} + (2y + z)e^{x}

Подставляем вместо z,\ y,\ z = \sin{x},\ y = e^{x}. В итоге получаем:

\frac{du}{dx} = (2\sin{x} + e^{x})\cos{x} + (2e^{x} + \sin{x})e^{x} = 2\sin{x}\cos{x} + e^{x}\cos{x} + 2e^{2x} + e^{x}\sin{x} = \sin{2x} + e^{x}(\sin{x} + \cos{x}) + 2e^{2x}

Ответ

\frac{du}{dx} = \sin{2x} + e^{x}(\sin{x} + \cos{x}) + 2e^{2x}

Пример 6

Задание

Найти полную производную функции \frac{du}{dx}, если u = v^{2} + vy,\ v = \ln{x},\ y = e^{x}.

Решение

Функция u = v^{2} + vy является сложной функцией, зависящей от двух переменных. Полная производная будет равна сумме двух частных производных по v и y:

\frac{du}{dx} = \frac{\partial{u}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции v^{2} + vy по v и y:

\frac{\partial{u}}{\partial{v}} = 2v + y

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = v

Далее найдём производные каждой из функций v и y по независимой переменной x:

\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}

\frac{dy}{dx} = e^{x}

Подставим найденные выражения для частных производных в выражение для полной производной:

\frac{du}{dx} = (2v + y)\frac{1}{x} + ve^{x}

Подставляем вместо v,\ y,\ v = \ln{x},\ y = e^{x}. В итоге получаем:

\frac{du}{dx} = (2\ln{x} + e^{x})\frac{1}{x} + e^{x}\ln{x} = \frac{2\ln{x} + e^{x}}{x} + e^{x}\ln{x}

Ответ

\frac{du}{dx} = \frac{2\ln{x} + e^{x}}{x} + e^{x}\ln{x}

Пример 7

Задание

Дана функция z = \sqrt{x^{2} + y^{2}},\ y = {\sin}^2{x}. Найти полную производную \frac{dz}{dx}, а также частную производную \frac{\partial{x}}{\partial{x}} .

Решение

Функция z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} является сложной функцией, зависящей от двух переменных. Обратите внимание, что в данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента x, так и от промежуточной переменной y.

Полная производная будет равна сумме двух частных производных по x и y:

\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции \sqrt{x^{2} + y^{2}} по x и y:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 2x\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = 2y\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Далее найдём производную функции y по независимой переменной x:

\frac{dy}{dx} = 2\sin{x}\cos{x}

Подставим найденные выражения для частных производных в выражение для полной производной:

\frac{dz}{dx} = 2x\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + (2y\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}})2\sin{x}\cos{x}

Подставляем вместо y {\sin}^2{x} и учитываем, что 2\sin{x}\cos{x} = \sin2x. В итоге получаем:

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}} + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}}\sin{2x}

Ответ

\frac{dz}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}} + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}}\sin{2x}

Пример 8

Задание

z = x^{y},\ y = \ln{x}. Найти полную и частную производные \frac{dz}{dx},\ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}.

Решение

Функция z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} является сложной функцией, зависящей от двух переменных. В данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента x, так и от промежуточной переменной y.

Вначале найдём частную производную \frac{\partial{z}}{\partial{x}}

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = yx^{y-1}

Для поиска полной производной необходимо найти частные производные \frac{\partial{z}}{\partial{x}} и \frac{\partial{z}}{\partial{y}}

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = yx^{y-1}

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = x^{y}\ln{x}\cdot{\frac{1}{x}}

Зная частные производные, найдём полную производную \frac{dz}{dx}:

\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} =yx^{y-1} + x^{y}\ln{x}\cdot{\frac{1}{x}}

Подставляя вместо y \ln{x} получаем:

\ln{x}\cdot{x^{(\ln{x} - 1)}} + x^{\ln{x}}\ln{x}\cdot{\frac{1}{x}} = \frac{yx^{y}}{x} + \frac{x^{y}\ln{x}}{x} = x^{y}(\frac{y}{x} + \frac{\ln{x}}{x})

Ответ

\frac{dz}{dx} = x^{y}(\frac{y}{x} + \frac{\ln{x}}{x})

Пример 9

Задание

Найти полную производную функции z = e^{\frac{x}{y}},\ y = \sin^{3}{x}.

Решение

Функция z = e^{\frac{x}{y}} представляет собой сложную функцию, зависящую от двух переменных. В данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента x, так и от промежуточной переменной y.

Для поиска полной производной необходимо найти частные производные \frac{\partial{z}}{\partial{x}} и \frac{\partial{z}}{\partial{y}}

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{1}{y}}

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = e^{\frac{x}{y}}\cdot{-\frac{x}{y^{2}}}\cdot{3}\cdot{\sin^{2}{x}}\cdot{\cos{x}}

Зная частные производные, найдём полную производную \frac{dz}{dx}:

\frac{dz}{dx} = e^{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{1}{y}} + e^{\frac{x}{y}}\cdot{-\frac{x}{y^{2}}}\cdot{3}\cdot{\sin^{2}{x}}\cdot{\cos{x}} = \frac{1}{y}\cdot{e^{\frac{x}{y}}}(1 - \frac{3x\sin^{2}{x}\cos{x}}{y})

Подставляя вместо y \sin^{3}{x} получаем:

\frac{1}{\sin^{3}{x}}\cdot{e^{\frac{x}{\sin^{3}{x}}}}(1 - \frac{3x\sin^{2}{x}\cos{x}}{\sin^{3}{x}})

Ответ

\frac{dz}{dx} = \frac{1}{\sin^{3}{x}}\cdot{e^{\frac{x}{\sin^{3}{x}}}}(1 - \frac{3x\sin^{2}{x}\cos{x}}{\sin^{3}{x}})

Пример 10

Задание

Найти частные производные \frac{\partial{z}}{\partial{x}} и \frac{\partial{z}}{\partial{y}}. z = \ arctg\frac{u}{v},\ u = x\sin{y},\ v = x\cos{y}.

Решение

Функция z = \ arctg\frac{u}{v} представляет собой сложную функцию, зависящую от двух переменных u и v, каждая из которых, в свою очередь, зависит от независимых аргументов x и y.

Выражения для частных производных будут иметь вид:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}}

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{y}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{y}}

Находим \frac{\partial{z}}{\partial{u}}:

\frac{\partial{z}}{\partial{u}}  = \frac{1}{1 + \frac{u^{2}}{v^{2}}}\cdot{\frac{1}{v}} = \frac{v}{u^{2} + v^{2}}

Находим \frac{\partial{z}}{\partial{v}}:

\frac{\partial{z}}{\partial{v}}  = \frac{1}{1 + \frac{u^{2}}{v^{2}}}\cdot{-\frac{u}{v^{2}}} = -\frac{u}{u^{2} + v^{2}}

Находим \frac{\partial{u}}{\partial{x}}:

\frac{\partial{u}}{\partial{x}}  = \sin{y}

Находим \frac{\partial{v}}{\partial{x}}:

\frac{\partial{v}}{\partial{x}}  = \cos{y}

Находим \frac{\partial{u}}{\partial{y}}:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}}  = x\cos{y}

Находим \frac{\partial{v}}{\partial{y}}:

\frac{\partial{v}}{\partial{y}}  = x\sin{y}

Подставляем найдённые выражения в выражения для частных производных \frac{\partial{z}}{\partial{x}} и \frac{\partial{z}}{\partial{y}}:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{v}{u^{2} + v^{2}}\sin{y}-\frac{u}{u^{2} + v^{2}}\cos{y} = \frac{1}{u^{2} + v^{2}}(v\sin{y} - u\cos{y}) = \frac{1}{x^{2}\sin^{2}{y} + x^{2}\cos^{2}{y}}(x\sin{y}\cos{y} - x\sin{y}\cos{y}) = 0

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{v}{u^{2} + v^{2}}x\cos{y} + \frac{u}{u^{2} + v^{2}}x\sin{y} = \frac{2x\cos{y}}{x^{2}\sin^{2}{y} + x^{2}\cos^{2}{y}} + \frac{2x\sin{y}}{x^{2}\sin^{2}{y} + x^{2}\cos^{2}{y}} = \frac{2\cos{y}}{x} + \frac{2\sin{y}}{x} = \frac{2}{x}(\sin{y} + cos{y})

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 0,\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{2}{x}(\sin{y} + cos{y})

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

566

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также