Примеры решения сложных производных с ответами

Алгоритм решения сложных производных

Теорема

Производная сложной функции $y = f(\varphi(x))$ равна произведению функции по промежуточной переменной и производной промежуточной переменной по независимой переменной: $y' = f'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$ .

Алгоритм

Суть алгоритма нахождения производной сложной функции состоит в следующем: считая промежуточную функцию аргументом, находят производную сложной функции по промежуточной функции. Затем производят вычисление производной промежуточной функции по независимому аргументу. Окончательный результат равен произведению найденных производных.

Разберем алгоритм с помощью примера

Найдём производные фукнции $u = \sin{4y} + z^{3}$ по $y$ и $z$ .

Производная функции по $y$ . Пи этом считаем $z$ постоянной величиной.

Производная $\sin{4y}$ равна $\cos{4y}$ . Аргумент синуса является сложной функцией, её производная равна $4$ . Окончательный результат равен произведению двух производных:

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = 4\cos{4y}$

Производная функции по $z$ . Пи этом считаем $y$ постоянной величиной.

$\frac{\partial{u}}{\partial{z}} = 3z^{2}$

Рассмотрим также случай, при котором функция $u$ зависит от независимой переменной $x$ через функции $y = x^{2}$ и $z = x^{3}$ . В подобных задачах чаще всего требуется нахождение полной производной по независимой переменной $x$ .

Также, как и в предыдущем случае, вначале требуется найти частные производные:

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}$

В отличие оп предыдушего случая, частная производная будет иметь дополнительный множитель $\frac{\partial{y}}{\partial{x}}$ – производную промежуточной функции по независимому аргументу:

$\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = 2x$

Производная $u = \sin{4y} + z^{3}$ по $y$ равна $4\cos{4y}$ . При этом $z$ считаем постоянной.

Частная производная по $y$ будет определяться как произведение $2x$ и $4\cos{4y}$ :

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = 4\cos{4y}\cdot{2x} = 8x\cos{4y}$

По аналогии найдём $\frac{\partial{u}}{\partial{z}}$ :

Производная $z = x^{3}$ по $x$ равна $3x^{2}$ .

Производная $u = \sin{4y} + z^{3}$ по $z$ равна $3z^{2}$ При этом $y$ считаем постоянной.

$\frac{\partial{u}}{\partial{z}} = \frac{\partial{u}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 3z^{2}\cdot{3x^{2}} = 9z^{2}x^{2}$

Полная производная равна сумме частных производных:

$\frac{du}{dx} = 8x\cos{4y} + 9z^{2}x^{2}$

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решения сложных производных

Пример 1

Задание

Найти полную производную функции $\frac{dz}{dx}$ , если $z = \sin{u} + cos{2v},\ u = x^{3},\ v = 5x^{7}$ .

Решение

Функция $z = \sin{u} + cos{2v}$ является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь вид:

$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$

Найдём частные производные функции $\sin(3u + 2v - 4w)$ по $u$ и $v$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{u}} = \cos{u}$

$\frac{\partial{z}}{\partial{v}} = -2\sin{2v}$

Далее найдём производные каждой из функций $u$ и $v$ по независимой переменной $x$ :

$\frac{du}{dx} = 3x^{2}$

$\frac{dv}{dx} = 35x^{6}$

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

$\frac{dz}{dx} = \cos{u}\cdot{3x^{2}} -2\sin{2v}\cdot{35x^{6}}$

Подставляем вместо $u,\ v,\ u = x^{3},\ v = 5x^{7}$ получаем:

$\cos{x^{3}}\cdot{3x^{2}} -2\sin{(2\cdot{5x^{7}})}\cdot{35x^{6}} = 3x^{2}\cos{x^{3}} - 70{x^{6}}\sin{10x^{7}}$

Ответ

$\frac{dz}{dx} = 3x^{2}\cos{x^{3}} - 70{x^{6}}\sin{10x^{7}}$

Пример 2

Задание

Найти полную производную функции $\frac{dz}{dx}$ , если $z = \sin{u^{2} + v},\ u = x^{2},\ v = x^{3}$ .

Решение

$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$

Найдём частные производные функции $\sin{u^{2} + y}$ по $u$ и $v$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{u}} = 2u\cos{u^{2}}$

$\frac{\partial{z}}{\partial{v}} = 1$

Далее найдём производные каждой из функций $u$ и $v$ по независимой переменной $x$ :

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dv}{dx} = 3x^{2}$

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

$\frac{dz}{dx} = 2u\cos{u^{2}}\cdot{2x} + 3x^{2}$

Подставляем вместо $u,\ v,\ u = x^{2},\ v = x^{3}$ получаем:

$2\cdot{x^{2}}\cos{{(x^{2})}^2}\cdot{2x} + 3x^{2} = 4x^{3}\cos{x^{4}} + 3x^{2}$

Ответ

$\frac{dz}{dx} = 4x^{3}\cos{x^{4}} + 3x^{2}$

Пример 3

Задание

Найти полную производную функции $\frac{dz}{dx}$ , если $z = \sin(3u + 2v - 4w) ,\ u = 2x^{3},\ v = 3x^{2},\ w = x^{4}$ .

Решение

Т.к. функция $z = \sin(3u + 2v - 4w)$ является сложной функцией трёх переменных, то выражение её общей производной будет иметь вид:

$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{w}}\frac{\partial{w}}{\partial{x}}$

Найдём частные производные функции $\sin(3u + 2v - 4w)$ по $u,\ v,\ w$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{u}} = 3\cos(3u + 2v - 4w)$

$\frac{\partial{z}}{\partial{v}} = 2\cos(3u + 2v - 4w)$

$\frac{\partial{z}}{\partial{w}} = -4\cos(3u + 2v - 4w)$

Далее найдём производные каждой из функций $u,\ v,\ w$ по независимой переменной $x$ :

$\frac{du}{dx} = 6x^{2}$

$\frac{dv}{dx} = 6x$

$\frac{dw}{dx} = 4x^{3}$

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

$\frac{dz}{dx} = 3\cos(3u + 2v - 4w)6x^{2} + 2\cos(3u + 2v - 4w)6x -4\cos(3u + 2v - 4w)4x^{3}$

Вынося за скобки $\cos(3u + 2v - 4w)$ и подставляя вместо $u,\ v,\ w,\ u = 2x^{3},\ v = 3x^{2},\ w = x^{4}$ получаем:

$3\cos(3u + 2v - 4w)6x^{2} + 2\cos(3u + 2v - 4w)6x -4\cos(3u + 2v - 4w)4x^{3} = \cos(3u + 2v - 4w)(18x^{2} + 12x - 16x^{3}) = \cos(6x^{3} + 6x^{2} - 4x^{4})(18x^{2} + 12x - 16x^{3})$

Ответ

$\frac{dz}{dx} = \cos(6x^{3} + 6x^{2} - 4x^{4})(18x^{2} + 12x - 16x^{3})$

Пример 4

Задание

Найти полную производную функции $\frac{du}{dt}$ , если $u = \sin{\frac{x}{y}},\ x = e^{t},\ y = t^{2}$ .

Решение

Функция $z = \sin{u} + cos{2v}$ является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь следующий вид:

$\frac{du}{dt} = \frac{\partial{u}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{t}}$

Найдём частные производные функции $\sin{\frac{x}{y}}$ по $x$ и $y$ :

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \frac{1}{y}\cos{\frac{x}{y}}$

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = -\frac{x}{y^{2}}\cos{\frac{x}{y}}$

Далее найдём производные каждой из функций $x$ и $y$ по независимой переменной $t$ :

$\frac{dx}{dt} = e^{t}$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

$\frac{du}{dt} = \frac{1}{y}\cos{\frac{x}{y}}e^{t} - \frac{x}{y^{2}}\cos{\frac{x}{y}}2t$

Подставляем вместо $x,\ y,\ x = e^{t},\ y = t^{2}$ получаем:

$\frac{du}{dt} = \frac{1}{t^{2}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}\cdot{e^{t}} - \frac{e^{t}}{t^{4}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}\cdot{2t} = \frac{e^{t}}{t^{2}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}(1 - \frac{2}{t}) = \frac{e^{t}}{t^{3}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}(t - 2)$

Ответ

$\frac{du}{dt} = \frac{e^{t}}{t^{3}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}(t - 2)$

Пример 5

Задание

Найти полную производную функции $\frac{du}{dx}$ , если $u = z^{2} + y^{2} + zy,\ z = \sin{x},\ y = e^{x}$ .

Решение

$\frac{du}{dx} = \frac{\partial{u}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}$

Найдём частные производные функции $z^{2} + y^{2} + zy$ по $z$ и $y$ :

$\frac{\partial{u}}{\partial{z}} = 2z + y$

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = 2y + z$

Далее найдём производные каждой из функций $z$ и $y$ по независимой переменной $x$ :

$\frac{dz}{dx} = \cos{x}$

$\frac{dy}{dx} = e^{x}$

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

$\frac{du}{dx} = (2z + y)\cos{x} + (2y + z)e^{x}$

Подставляем вместо $z,\ y,\ z = \sin{x},\ y = e^{x}$ . В итоге получаем:

$\frac{du}{dx} = (2\sin{x} + e^{x})\cos{x} + (2e^{x} + \sin{x})e^{x} = 2\sin{x}\cos{x} + e^{x}\cos{x} + 2e^{2x} + e^{x}\sin{x} = \sin{2x} + e^{x}(\sin{x} + \cos{x}) + 2e^{2x}$

Ответ

$\frac{du}{dx} = \sin{2x} + e^{x}(\sin{x} + \cos{x}) + 2e^{2x}$

Пример 6

Задание

Найти полную производную функции $\frac{du}{dx}$ , если $u = v^{2} + vy,\ v = \ln{x},\ y = e^{x}$ .

Решение

Функция $u = v^{2} + vy$ является сложной функцией, зависящей от двух переменных. Полная производная будет равна сумме двух частных производных по $v$ и $y$ :

$\frac{du}{dx} = \frac{\partial{u}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}$

Найдём частные производные функции $v^{2} + vy$ по $v$ и $y$ :

$\frac{\partial{u}}{\partial{v}} = 2v + y$

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = v$

Далее найдём производные каждой из функций $v$ и $y$ по независимой переменной $x$ :

$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = e^{x}$

Подставим найденные выражения для частных производных в выражение для полной производной:

$\frac{du}{dx} = (2v + y)\frac{1}{x} + ve^{x}$

Подставляем вместо $v,\ y,\ v = \ln{x},\ y = e^{x}$ . В итоге получаем:

$\frac{du}{dx} = (2\ln{x} + e^{x})\frac{1}{x} + e^{x}\ln{x} = \frac{2\ln{x} + e^{x}}{x} + e^{x}\ln{x}$

Ответ

$\frac{du}{dx} = \frac{2\ln{x} + e^{x}}{x} + e^{x}\ln{x}$

Пример 7

Задание

Дана функция $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}},\ y = {\sin}^2{x}$ . Найти полную производную $\frac{dz}{dx}$ , а также частную производную $\frac{\partial{x}}{\partial{x}}$ .

Решение

Функция $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ является сложной функцией, зависящей от двух переменных. Обратите внимание, что в данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента $x$ , так и от промежуточной переменной $y$ .

Полная производная будет равна сумме двух частных производных по $x$ и $y$ :

$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}$

Найдём частные производные функции $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ по $x$ и $y$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 2x\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = 2y\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

Далее найдём производную функции $y$ по независимой переменной $x$ :

$\frac{dy}{dx} = 2\sin{x}\cos{x}$

Подставим найденные выражения для частных производных в выражение для полной производной:

$\frac{dz}{dx} = 2x\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + (2y\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}})2\sin{x}\cos{x}$

Подставляем вместо $y$ ${\sin}^2{x}$ и учитываем, что $2\sin{x}\cos{x} = \sin2x$ . В итоге получаем:

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}} + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}}\sin{2x}$

Ответ

$\frac{dz}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}} + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}}\sin{2x}$

Пример 8

Задание

$z = x^{y},\ y = \ln{x}$ . Найти полную и частную производные $\frac{dz}{dx},\ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}$ .

Решение

Функция $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ является сложной функцией, зависящей от двух переменных. В данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента $x$ , так и от промежуточной переменной $y$ .

Вначале найдём частную производную $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = yx^{y-1}$

Для поиска полной производной необходимо найти частные производные $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$ и $\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = yx^{y-1}$

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = x^{y}\ln{x}\cdot{\frac{1}{x}}$

Зная частные производные, найдём полную производную $\frac{dz}{dx}$ :

$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} =yx^{y-1} + x^{y}\ln{x}\cdot{\frac{1}{x}}$

Подставляя вместо $y$ $\ln{x}$ получаем:

$\ln{x}\cdot{x^{(\ln{x} - 1)}} + x^{\ln{x}}\ln{x}\cdot{\frac{1}{x}} = \frac{yx^{y}}{x} + \frac{x^{y}\ln{x}}{x} = x^{y}(\frac{y}{x} + \frac{\ln{x}}{x})$

Ответ

$\frac{dz}{dx} = x^{y}(\frac{y}{x} + \frac{\ln{x}}{x})$

Пример 9

Задание

Найти полную производную функции $z = e^{\frac{x}{y}},\ y = \sin^{3}{x}$ .

Решение

Функция $z = e^{\frac{x}{y}}$ представляет собой сложную функцию, зависящую от двух переменных. В данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента $x$ , так и от промежуточной переменной $y$ .

Для поиска полной производной необходимо найти частные производные $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$ и $\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{1}{y}}$

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = e^{\frac{x}{y}}\cdot{-\frac{x}{y^{2}}}\cdot{3}\cdot{\sin^{2}{x}}\cdot{\cos{x}}$

Зная частные производные, найдём полную производную $\frac{dz}{dx}$ :

$\frac{dz}{dx} = e^{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{1}{y}} + e^{\frac{x}{y}}\cdot{-\frac{x}{y^{2}}}\cdot{3}\cdot{\sin^{2}{x}}\cdot{\cos{x}} = \frac{1}{y}\cdot{e^{\frac{x}{y}}}(1 - \frac{3x\sin^{2}{x}\cos{x}}{y})$

Подставляя вместо $y$ $\sin^{3}{x}$ получаем:

$\frac{1}{\sin^{3}{x}}\cdot{e^{\frac{x}{\sin^{3}{x}}}}(1 - \frac{3x\sin^{2}{x}\cos{x}}{\sin^{3}{x}})$

Ответ

$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{\sin^{3}{x}}\cdot{e^{\frac{x}{\sin^{3}{x}}}}(1 - \frac{3x\sin^{2}{x}\cos{x}}{\sin^{3}{x}})$

Пример 10

Задание

Найти частные производные $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$ и $\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$ . $z = \ arctg\frac{u}{v},\ u = x\sin{y},\ v = x\cos{y}$ .

Решение

Функция $z = \ arctg\frac{u}{v}$ представляет собой сложную функцию, зависящую от двух переменных $u$ и $v$ , каждая из которых, в свою очередь, зависит от независимых аргументов $x$ и $y$ .

Выражения для частных производных будут иметь вид:

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{y}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{y}}$

Находим $\frac{\partial{z}}{\partial{u}}$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{u}} = \frac{1}{1 + \frac{u^{2}}{v^{2}}}\cdot{\frac{1}{v}} = \frac{v}{u^{2} + v^{2}}$

Находим $\frac{\partial{z}}{\partial{v}}$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{v}} = \frac{1}{1 + \frac{u^{2}}{v^{2}}}\cdot{-\frac{u}{v^{2}}} = -\frac{u}{u^{2} + v^{2}}$

Находим $\frac{\partial{u}}{\partial{x}}$ :

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}$

Находим $\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$ :

$\frac{\partial{v}}{\partial{x}} = \cos{y}$

Находим $\frac{\partial{u}}{\partial{y}}$ :

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x\cos{y}$

Находим $\frac{\partial{v}}{\partial{y}}$ :

$\frac{\partial{v}}{\partial{y}} = x\sin{y}$

Подставляем найдённые выражения в выражения для частных производных $\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$ и $\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{v}{u^{2} + v^{2}}\sin{y}-\frac{u}{u^{2} + v^{2}}\cos{y} = \frac{1}{u^{2} + v^{2}}(v\sin{y} - u\cos{y}) = \frac{1}{x^{2}\sin^{2}{y} + x^{2}\cos^{2}{y}}(x\sin{y}\cos{y} - x\sin{y}\cos{y}) = 0$

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{v}{u^{2} + v^{2}}x\cos{y} + \frac{u}{u^{2} + v^{2}}x\sin{y} = \frac{2x\cos{y}}{x^{2}\sin^{2}{y} + x^{2}\cos^{2}{y}} + \frac{2x\sin{y}}{x^{2}\sin^{2}{y} + x^{2}\cos^{2}{y}} = \frac{2\cos{y}}{x} + \frac{2\sin{y}}{x} = \frac{2}{x}(\sin{y} + cos{y})$

Ответ

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 0,\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{2}{x}(\sin{y} + cos{y})$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Елена М.

Редактор.

Сертифицированный копирайтер, автор текстов для публичных выступлений и презентаций.

Добавить комментарий Отменить ответ

Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.
валентин на Свойства пространства и времени: открываем тайны физической реальностиСкорость света это скорость течения времени и в каждой точке пространства разная. Градиент сжатия пространства по вертикали определяет скорость течения