Примеры решения сложных производных с ответами

Простое объяснение принципов решения сложных производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Тагир
0 2642
Помощь в написании работы

Алгоритм решения сложных производных

Теорема
Производная сложной функции y = f(\varphi(x)) равна произведению функции по промежуточной переменной и производной промежуточной переменной по независимой переменной:y' = f'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x).
Алгоритм
Суть алгоритма нахождения производной сложной функции состоит в следующем: считая промежуточную функцию аргументом, находят производную сложной функции по промежуточной функции. Затем производят вычисление производной промежуточной функции по независимому аргументу. Окончательный результат равен произведению найденных производных.

Разберем алгоритм с помощью примера

Найдём производные фукнции u = \sin{4y} + z^{3} по y и z.

Производная функции по y. Пи этом считаем z постоянной величиной.

Производная \sin{4y} равна \cos{4y}. Аргумент синуса является сложной функцией, её производная равна 4. Окончательный результат равен произведению двух производных:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = 4\cos{4y}

Производная функции по z. Пи этом считаем y постоянной величиной.

\frac{\partial{u}}{\partial{z}} = 3z^{2}

Рассмотрим также случай, при котором функция u зависит от независимой переменной x через функции y = x^{2} и z = x^{3}. В подобных задачах чаще всего требуется нахождение полной производной по независимой переменной x.

Также, как и в предыдущем случае, вначале требуется найти частные производные:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}

В отличие оп предыдушего случая, частная производная будет иметь дополнительный множитель \frac{\partial{y}}{\partial{x}} – производную промежуточной функции по независимому аргументу:

\frac{\partial{y}}{\partial{x}}  = 2x

Производная u = \sin{4y} + z^{3} по y равна 4\cos{4y}. При этом z считаем постоянной.

Частная производная по y будет определяться как произведение 2x и 4\cos{4y}:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = 4\cos{4y}\cdot{2x} = 8x\cos{4y}

По аналогии найдём \frac{\partial{u}}{\partial{z}}:

Производная z = x^{3} по x равна 3x^{2}.

Производная u = \sin{4y} + z^{3} по z равна 3z^{2} При этом y считаем постоянной.

\frac{\partial{u}}{\partial{z}} = \frac{\partial{u}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 3z^{2}\cdot{3x^{2}} = 9z^{2}x^{2}

Полная производная равна сумме частных производных:

\frac{du}{dx} = 8x\cos{4y} + 9z^{2}x^{2}

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решения сложных производных

Пример 1

Задание

Найти полную производную функции \frac{dz}{dx}, если z = \sin{u} + cos{2v},\ u = x^{3},\ v = 5x^{7}.

Решение

Функция z = \sin{u} + cos{2v} является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь вид:

\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции \sin(3u + 2v - 4w) по u и v:

\frac{\partial{z}}{\partial{u}} = \cos{u}

\frac{\partial{z}}{\partial{v}} = -2\sin{2v}

Далее найдём производные каждой из функций u и v по независимой переменной x:

\frac{du}{dx} = 3x^{2}

\frac{dv}{dx} = 35x^{6}

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

\frac{dz}{dx} = \cos{u}\cdot{3x^{2}} -2\sin{2v}\cdot{35x^{6}}

Подставляем вместо u,\ v,\ u = x^{3},\ v = 5x^{7} получаем:

\cos{x^{3}}\cdot{3x^{2}} -2\sin{(2\cdot{5x^{7}})}\cdot{35x^{6}} = 3x^{2}\cos{x^{3}} - 70{x^{6}}\sin{10x^{7}}

Ответ

\frac{dz}{dx} = 3x^{2}\cos{x^{3}} - 70{x^{6}}\sin{10x^{7}}

Пример 2

Задание

Найти полную производную функции \frac{dz}{dx}, если z = \sin{u^{2} + v},\ u = x^{2},\ v = x^{3}.

Решение

Функция z = \sin{u} + cos{2v} является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь вид:

\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции \sin{u^{2} + y} по u и v:

\frac{\partial{z}}{\partial{u}} = 2u\cos{u^{2}}

\frac{\partial{z}}{\partial{v}} = 1

Далее найдём производные каждой из функций u и v по независимой переменной x:

\frac{du}{dx} = 2x

\frac{dv}{dx} = 3x^{2}

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

\frac{dz}{dx} = 2u\cos{u^{2}}\cdot{2x} + 3x^{2}

Подставляем вместо u,\ v,\ u = x^{2},\ v = x^{3} получаем:

2\cdot{x^{2}}\cos{{(x^{2})}^2}\cdot{2x} + 3x^{2} = 4x^{3}\cos{x^{4}} + 3x^{2}

Ответ

\frac{dz}{dx} = 4x^{3}\cos{x^{4}} + 3x^{2}

Пример 3

Задание

Найти полную производную функции \frac{dz}{dx}, если z = \sin(3u + 2v - 4w) ,\ u = 2x^{3},\ v = 3x^{2},\ w = x^{4}.

Решение

Т.к. функция z = \sin(3u + 2v - 4w) является сложной функцией трёх переменных, то выражение её общей производной будет иметь вид:

\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{w}}\frac{\partial{w}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции \sin(3u + 2v - 4w) по u,\ v,\ w:

\frac{\partial{z}}{\partial{u}} = 3\cos(3u + 2v - 4w)

\frac{\partial{z}}{\partial{v}} = 2\cos(3u + 2v - 4w)

\frac{\partial{z}}{\partial{w}} = -4\cos(3u + 2v - 4w)

Далее найдём производные каждой из функций u,\ v,\ w по независимой переменной x:

\frac{du}{dx} = 6x^{2}

\frac{dv}{dx} = 6x

\frac{dw}{dx} = 4x^{3}

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

\frac{dz}{dx} = 3\cos(3u + 2v - 4w)6x^{2} + 2\cos(3u + 2v - 4w)6x -4\cos(3u + 2v - 4w)4x^{3}

Вынося за скобки \cos(3u + 2v - 4w) и подставляя вместо u,\ v,\ w,\ u = 2x^{3},\ v = 3x^{2},\ w = x^{4} получаем:

3\cos(3u + 2v - 4w)6x^{2} + 2\cos(3u + 2v - 4w)6x -4\cos(3u + 2v - 4w)4x^{3} = \cos(3u + 2v - 4w)(18x^{2} + 12x - 16x^{3}) = \cos(6x^{3} + 6x^{2} - 4x^{4})(18x^{2} + 12x - 16x^{3})

Ответ

\frac{dz}{dx} = \cos(6x^{3} + 6x^{2} - 4x^{4})(18x^{2} + 12x - 16x^{3})

Пример 4

Задание

Найти полную производную функции \frac{du}{dt}, если u = \sin{\frac{x}{y}},\ x = e^{t},\ y = t^{2}.

Решение

Функция z = \sin{u} + cos{2v} является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь следующий вид:

\frac{du}{dt} = \frac{\partial{u}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{t}}

Найдём частные производные функции \sin{\frac{x}{y}} по x и y:

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \frac{1}{y}\cos{\frac{x}{y}}

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = -\frac{x}{y^{2}}\cos{\frac{x}{y}}

Далее найдём производные каждой из функций x и y по независимой переменной t:

\frac{dx}{dt} = e^{t}

\frac{dy}{dt} = 2t

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

\frac{du}{dt} = \frac{1}{y}\cos{\frac{x}{y}}e^{t} - \frac{x}{y^{2}}\cos{\frac{x}{y}}2t

Подставляем вместо x,\ y,\ x = e^{t},\ y = t^{2} получаем:

\frac{du}{dt} = \frac{1}{t^{2}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}\cdot{e^{t}} - \frac{e^{t}}{t^{4}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}\cdot{2t} = \frac{e^{t}}{t^{2}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}(1 - \frac{2}{t}) = \frac{e^{t}}{t^{3}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}(t - 2)

Ответ

\frac{du}{dt} = \frac{e^{t}}{t^{3}}\cos{\frac{e^{t}}{t^{2}}}(t - 2)

Пример 5

Задание

Найти полную производную функции \frac{du}{dx}, если u = z^{2} + y^{2} + zy,\ z = \sin{x},\ y = e^{x}.

Решение

Функция z = \sin{u} + cos{2v} является сложной функцией двух переменных, выражение её общей производной будет иметь следующий вид:

\frac{du}{dx} = \frac{\partial{u}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции z^{2} + y^{2} + zy по z и y:

\frac{\partial{u}}{\partial{z}} = 2z + y

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = 2y + z

Далее найдём производные каждой из функций z и y по независимой переменной x:

\frac{dz}{dx} = \cos{x}

\frac{dy}{dx} = e^{x}

Подставим найденные значения в выражение для полной производной:

\frac{du}{dx} = (2z + y)\cos{x} + (2y + z)e^{x}

Подставляем вместо z,\ y,\ z = \sin{x},\ y = e^{x}. В итоге получаем:

\frac{du}{dx} = (2\sin{x} + e^{x})\cos{x} + (2e^{x} + \sin{x})e^{x} = 2\sin{x}\cos{x} + e^{x}\cos{x} + 2e^{2x} + e^{x}\sin{x} = \sin{2x} + e^{x}(\sin{x} + \cos{x}) + 2e^{2x}

Ответ

\frac{du}{dx} = \sin{2x} + e^{x}(\sin{x} + \cos{x}) + 2e^{2x}

Пример 6

Задание

Найти полную производную функции \frac{du}{dx}, если u = v^{2} + vy,\ v = \ln{x},\ y = e^{x}.

Решение

Функция u = v^{2} + vy является сложной функцией, зависящей от двух переменных. Полная производная будет равна сумме двух частных производных по v и y:

\frac{du}{dx} = \frac{\partial{u}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции v^{2} + vy по v и y:

\frac{\partial{u}}{\partial{v}} = 2v + y

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = v

Далее найдём производные каждой из функций v и y по независимой переменной x:

\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}

\frac{dy}{dx} = e^{x}

Подставим найденные выражения для частных производных в выражение для полной производной:

\frac{du}{dx} = (2v + y)\frac{1}{x} + ve^{x}

Подставляем вместо v,\ y,\ v = \ln{x},\ y = e^{x}. В итоге получаем:

\frac{du}{dx} = (2\ln{x} + e^{x})\frac{1}{x} + e^{x}\ln{x} = \frac{2\ln{x} + e^{x}}{x} + e^{x}\ln{x}

Ответ

\frac{du}{dx} = \frac{2\ln{x} + e^{x}}{x} + e^{x}\ln{x}

Пример 7

Задание

Дана функция z = \sqrt{x^{2} + y^{2}},\ y = {\sin}^2{x}. Найти полную производную \frac{dz}{dx}, а также частную производную \frac{\partial{x}}{\partial{x}} .

Решение

Функция z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} является сложной функцией, зависящей от двух переменных. Обратите внимание, что в данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента x, так и от промежуточной переменной y.

Полная производная будет равна сумме двух частных производных по x и y:

\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}}

Найдём частные производные функции \sqrt{x^{2} + y^{2}} по x и y:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 2x\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = 2y\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Далее найдём производную функции y по независимой переменной x:

\frac{dy}{dx} = 2\sin{x}\cos{x}

Подставим найденные выражения для частных производных в выражение для полной производной:

\frac{dz}{dx} = 2x\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + (2y\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}})2\sin{x}\cos{x}

Подставляем вместо y {\sin}^2{x} и учитываем, что 2\sin{x}\cos{x} = \sin2x. В итоге получаем:

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}} + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}}\sin{2x}

Ответ

\frac{dz}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}} + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + {\sin}^4{x}}}\sin{2x}

Пример 8

Задание

z = x^{y},\ y = \ln{x}. Найти полную и частную производные \frac{dz}{dx},\ \frac{\partial{z}}{\partial{x}}.

Решение

Функция z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} является сложной функцией, зависящей от двух переменных. В данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента x, так и от промежуточной переменной y.

Вначале найдём частную производную \frac{\partial{z}}{\partial{x}}

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = yx^{y-1}

Для поиска полной производной необходимо найти частные производные \frac{\partial{z}}{\partial{x}} и \frac{\partial{z}}{\partial{y}}

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = yx^{y-1}

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = x^{y}\ln{x}\cdot{\frac{1}{x}}

Зная частные производные, найдём полную производную \frac{dz}{dx}:

\frac{dz}{dx} = \frac{\partial{z}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} =yx^{y-1} + x^{y}\ln{x}\cdot{\frac{1}{x}}

Подставляя вместо y \ln{x} получаем:

\ln{x}\cdot{x^{(\ln{x} - 1)}} + x^{\ln{x}}\ln{x}\cdot{\frac{1}{x}} = \frac{yx^{y}}{x} + \frac{x^{y}\ln{x}}{x} = x^{y}(\frac{y}{x} + \frac{\ln{x}}{x})

Ответ

\frac{dz}{dx} = x^{y}(\frac{y}{x} + \frac{\ln{x}}{x})

Пример 9

Задание

Найти полную производную функции z = e^{\frac{x}{y}},\ y = \sin^{3}{x}.

Решение

Функция z = e^{\frac{x}{y}} представляет собой сложную функцию, зависящую от двух переменных. В данном случае сложная функция зависит как от независимого аргумента x, так и от промежуточной переменной y.

Для поиска полной производной необходимо найти частные производные \frac{\partial{z}}{\partial{x}} и \frac{\partial{z}}{\partial{y}}

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{1}{y}}

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = e^{\frac{x}{y}}\cdot{-\frac{x}{y^{2}}}\cdot{3}\cdot{\sin^{2}{x}}\cdot{\cos{x}}

Зная частные производные, найдём полную производную \frac{dz}{dx}:

\frac{dz}{dx} = e^{\frac{x}{y}}\cdot{\frac{1}{y}} + e^{\frac{x}{y}}\cdot{-\frac{x}{y^{2}}}\cdot{3}\cdot{\sin^{2}{x}}\cdot{\cos{x}} = \frac{1}{y}\cdot{e^{\frac{x}{y}}}(1 - \frac{3x\sin^{2}{x}\cos{x}}{y})

Подставляя вместо y \sin^{3}{x} получаем:

\frac{1}{\sin^{3}{x}}\cdot{e^{\frac{x}{\sin^{3}{x}}}}(1 - \frac{3x\sin^{2}{x}\cos{x}}{\sin^{3}{x}})

Ответ

\frac{dz}{dx} = \frac{1}{\sin^{3}{x}}\cdot{e^{\frac{x}{\sin^{3}{x}}}}(1 - \frac{3x\sin^{2}{x}\cos{x}}{\sin^{3}{x}})

Пример 10

Задание

Найти частные производные \frac{\partial{z}}{\partial{x}} и \frac{\partial{z}}{\partial{y}}. z = \ arctg\frac{u}{v},\ u = x\sin{y},\ v = x\cos{y}.

Решение

Функция z = \ arctg\frac{u}{v} представляет собой сложную функцию, зависящую от двух переменных u и v, каждая из которых, в свою очередь, зависит от независимых аргументов x и y.

Выражения для частных производных будут иметь вид:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}}

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{\partial{z}}{\partial{u}}\frac{\partial{u}}{\partial{y}} + \frac{\partial{z}}{\partial{v}}\frac{\partial{v}}{\partial{y}}

Находим \frac{\partial{z}}{\partial{u}}:

\frac{\partial{z}}{\partial{u}}  = \frac{1}{1 + \frac{u^{2}}{v^{2}}}\cdot{\frac{1}{v}} = \frac{v}{u^{2} + v^{2}}

Находим \frac{\partial{z}}{\partial{v}}:

\frac{\partial{z}}{\partial{v}}  = \frac{1}{1 + \frac{u^{2}}{v^{2}}}\cdot{-\frac{u}{v^{2}}} = -\frac{u}{u^{2} + v^{2}}

Находим \frac{\partial{u}}{\partial{x}}:

\frac{\partial{u}}{\partial{x}}  = \sin{y}

Находим \frac{\partial{v}}{\partial{x}}:

\frac{\partial{v}}{\partial{x}}  = \cos{y}

Находим \frac{\partial{u}}{\partial{y}}:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}}  = x\cos{y}

Находим \frac{\partial{v}}{\partial{y}}:

\frac{\partial{v}}{\partial{y}}  = x\sin{y}

Подставляем найдённые выражения в выражения для частных производных \frac{\partial{z}}{\partial{x}} и \frac{\partial{z}}{\partial{y}}:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = \frac{v}{u^{2} + v^{2}}\sin{y}-\frac{u}{u^{2} + v^{2}}\cos{y} = \frac{1}{u^{2} + v^{2}}(v\sin{y} - u\cos{y}) = \frac{1}{x^{2}\sin^{2}{y} + x^{2}\cos^{2}{y}}(x\sin{y}\cos{y} - x\sin{y}\cos{y}) = 0

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{v}{u^{2} + v^{2}}x\cos{y} + \frac{u}{u^{2} + v^{2}}x\sin{y} = \frac{2x\cos{y}}{x^{2}\sin^{2}{y} + x^{2}\cos^{2}{y}} + \frac{2x\sin{y}}{x^{2}\sin^{2}{y} + x^{2}\cos^{2}{y}} = \frac{2\cos{y}}{x} + \frac{2\sin{y}}{x} = \frac{2}{x}(\sin{y} + cos{y})

Ответ

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = 0,\ \frac{\partial{z}}{\partial{y}} = \frac{2}{x}(\sin{y} + cos{y})

Автор статьи

Тагир
Тагир
Редактор сайта, автор научных работ

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *