Примеры решения тригонометрических уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения тригонометрических уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения тригонометрических уравнений

Теорема

Тригонометрические уравнение – это уравнения, неизвестные в которых являются аргументами тригонометрических функций.

Алгоритм

Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений тригонометрических уравнений

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

$\frac{4\ ctg x}{1 + \ ctg^{2} x} + \sin^{2}2x + 1 = 0$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$\sin x \neq 0$

$\frac{\frac{4\cos x}{\sin x}}{{1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}} + \sin^{2}2x + 1 = 0$

$\sin^{2}2x + 2\sin2x + 1 = 0$

$(\sin2x + 1)^{2} = 0$

$\sin^2x + 1)^{2} = 0$

$\sin2x = -1$

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in Z,\ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4}(4k - 1),\ k \in Z$

Ответ

$x = \frac{\pi}{4}(4k - 1),\ k \in Z$

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

$\cos^{-1}3t - 6\cos3t = 4\sin3t$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$\cos3t \neq 0$

$1 - 6\cos^{2}3t - 4\cos3t\sin3t = 0$

$\cos^{2}3t + \sin^{2}3t - 6\cos^{2}3t - 4\cos3t\sin3t = 0$

$5\cos^{2}3t - \sin^{2}3t + 4\cos3t\sin3t = 0$

Разделим уравнение на $-\cos^{2}3t \neq 0$

Получим:

$\ tg^{2}3t - 4 \ tg3t - 5 = 0$

Отсюда:

$\ tg3t = -1,\ \ tg3t = 5$

$\ tg3t = -1,\ 3t = -\frac{\pi}{4} + \pi k,\ t = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{12}(4k - 1),\ k \in Z$

$\ tg3t = 5,\ 3t = \ arctg5 + \pi n,\ t = -\frac{\ arctg5}{3} + \frac{\pi n}{3},\ n \in Z$

Ответ

$t_{1} = \frac{\pi}{12}(4k - 1),\ t_{2} = -\frac{\ arctg5}{3} + \frac{\pi n}{3},\ k,\ n \in Z$

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

$\cos z\cos(60^{\circ} - z)\cos(60^{\circ} + z) + 1 = 0$

Решение

$4\cos z(\cos2z + \cos120^{\circ}) + 1 = 0$

$4\cos z\cos2z - 2\cos z + 1 = 0$

$2\cos z + 2\cos3z - 2\cos z + 1 = 0$

$\cos3z = -\frac{1}{2}$

$3z = \pm\frac{2}{3}\pi + 2\pi k$

$z = \pm\frac{2}{9}\pi + \frac{2\pi k}{3},\ k \in Z$

Ответ

$z = \pm\frac{2}{9}\pi + \frac{2\pi k}{3},\ k \in Z$

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

$\sin x\cos2x + \cos x\cos4x = \sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right)$

Решение

$-\sin x + \cos3x + \cos3x + \cos5x = \cos5x - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

$\sin3x + \cos3x = 0$

$\sin3x = -\cos3x$

$\ tg3x = -1$

$3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi}{12}(4n - 1),\ n \in Z$

Ответ

$x = \frac{\pi}{12}(4n - 1),\ n \in Z$

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

$\sin(15^{\circ} + x) + \sin(45^{\circ} - x) = 1$

Решение

$2\sin\frac{15^{\circ} + x + 45^{\circ} - x}{2}\cos\frac{15^{\circ} + x - 45^{\circ} + x}{2} = 1$

$\cos(x - 15^{\circ}) = 1$

$x - 15^{\circ} = 360^{\circ}k$

$x = 15^{\circ} + 360^{\circ}k,\ k \in Z$

Ответ

$x = 15^{\circ} + 360^{\circ}k,\ k \in Z$

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

$2(\cos4x - \sin x\cos3x) = \sin4x + \sin2x$

Решение

$2(\cos4x - \sin x\cos3x) - \sin4x - \sin2x = 0$

$2\cos4x - \sin(x - 3x) - \sin(x + 3x) - \sin4x - \sin2x = 0$

$2\cos4x + \sin2x - \sin4x - \sin4x - \sin2x = 0$

$2\cos4x - 2\sin4x = 0$

$\ tg4x = 1$

$4x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4} = \frac{\pi}{16}(4k + 1),\ k \in Z$

Ответ

$x = \frac{\pi}{16}(4k + 1),\ k \in Z$

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

$3\sin^{2}2x + 7\cos2x - 3 = 0$

Решение

$3(1 - \cos^{2}2x) + 7\cos2x - 3 = 0$

$3\cos^{2}2x) - 7\cos2x = 0$

$cos2x(3\cos2x - 7) = 0$

$cos2x = 0,\ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\ x_{1} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4}(2k + 1),\ k \in Z$

$3cos2x -7 = 0,\ \cos2x = \frac{7}{3} > 0$ – решений нет

Ответ

$x = \frac{\pi}{4}(2k + 1),\ k \in Z$

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

$\cos2x - 5\sin x - 3 = 0$

Решение

$1 - 2\sin^{2}x - 5\sin x - 3 = 0$

$2\sin^{2}x + 5\sin x + 2 = 0$

Отсюда:

$\sin x = -2$ – решений нет

$\sin x = -\frac{1}{2},\ x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in Z$

Ответ

$x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in Z$

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

$\sin3z - \cos3z = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Решение

$\sin3z\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos3z\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin3z\cos45^{\circ} - \cos3z\sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(3z - 45^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$3z - 45^{\circ} = 60^{\circ} + 360^{\circ}k$

$3z - 45^{\circ} = 120^{\circ} + 360^{\circ}k$

$z_{1} = 35^{\circ} + 120^{\circ}k,\ z_{2} = 55^{\circ} + 120^{\circ}k,\ k\in Z$

Ответ

$z_{1} = 35^{\circ} + 120^{\circ}k,\ z_{2} = 55^{\circ} + 120^{\circ}k,\ k\in Z$

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

$2\cos^{2}x + 5\sin x - 4 = 0$

Решение

$2(1 - \sin^{2}x) + 5\sin x - 4 = 0$

$2\sin^{2}x - 5\sin x + 2 = 0$

$\sin x = 2$ – решений нет

$\sin x = \frac{1}{2},\ x = (-1)^{k}\frac{\pi}{6} + \pi k, k\in Z$

Ответ

$x = (-1)^{k}\frac{\pi}{6} + \pi k, k\in Z$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CTRL + Enter

Добавить комментарий Отменить ответ

сагдиана на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно!
акмарал на Более 50 основных формул по физике с пояснениема эти формулы обычно используют в олимпиядах
всем пока на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно. калькулятор не работает.
Великий гей Никола Тесла на Более 50 основных формул по физике с пояснениемСайт параша, я пытался списать ЕГЭ по физике с помощью них, я блять сдал его на 99999 балов, и теперь
некто на Примеры решения матриц с ответамиНеправильные ответы, учите матрицу гении