Примеры решения тригонометрических уравнений с ответами

Задача

Решить уравнение: $$\frac{4\ ctg x}{1 + \ ctg^{2} x} + \sin^{2}2x + 1 = 0$$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$\sin x \neq 0$

$$\frac{\frac{4\cos x}{\sin x}}{{1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}} + \sin^{2}2x + 1 = 0$$

$$\frac{\frac{4\cos x}{\sin x}}{{1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}} + \sin^{2}2x + 1 = 0$$

$$\sin^{2}2x + 2\sin2x + 1 = 0$$

$$(\sin2x + 1)^{2} = 0$$

$$\sin^2x + 1)^{2} = 0$$

$$\sin2x = -1$$

$$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in Z,\ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4}(4k – 1),\ k \in Z$$

Ответ

$x = \frac{\pi}{4}(4k – 1),\ k \in Z$

Задача

Решить уравнение: $$\cos^{-1}3t – 6\cos3t = 4\sin3t$$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$\cos3t \neq 0$

$$1 – 6\cos^{2}3t – 4\cos3t\sin3t = 0$$

$$\cos^{2}3t + \sin^{2}3t – 6\cos^{2}3t – 4\cos3t\sin3t = 0$$

$$5\cos^{2}3t – \sin^{2}3t + 4\cos3t\sin3t = 0$$

Разделим уравнение на $-\cos^{2}3t \neq 0$

Получим:

$$\ tg^{2}3t – 4 \ tg3t – 5 = 0$$

Отсюда:

$$\ tg3t = -1,\ \ tg3t = 5$$

$$\ tg3t = -1,\ 3t = -\frac{\pi}{4} + \pi k,\ t = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{12}(4k – 1),\ k \in Z$$

$$\ tg3t = 5,\ 3t = \ arctg5 + \pi n,\ t = -\frac{\ arctg5}{3} + \frac{\pi n}{3},\ n \in Z$$

Ответ

$t_{1} = \frac{\pi}{12}(4k – 1),\ t_{2} = -\frac{\ arctg5}{3} + \frac{\pi n}{3},\ k,\ n \in Z$

Задача

Решить уравнение: $$\cos z\cos(60^{\circ} – z)\cos(60^{\circ} + z) + 1 = 0$$

Решение

$$4\cos z(\cos2z + \cos120^{\circ}) + 1 = 0$$

$$4\cos z\cos2z – 2\cos z + 1 = 0$$

$$2\cos z + 2\cos3z – 2\cos z + 1 = 0$$

$$\cos3z = -\frac{1}{2}$$

$$3z = \pm\frac{2}{3}\pi + 2\pi k$$

$$z = \pm\frac{2}{9}\pi + \frac{2\pi k}{3},\ k \in Z$$

Ответ

$$z = \pm\frac{2}{9}\pi + \frac{2\pi k}{3},\ k \in Z$$

Задача

Решить уравнение: $$\sin x\cos2x + \cos x\cos4x = \sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} – 3x\right)$$

Решение

$$-\sin x + \cos3x + \cos3x + \cos5x = \cos5x – \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right)$$

$$\sin3x + \cos3x = 0$$

$$\sin3x = -\cos3x$$

$$\ tg3x = -1$$

$$3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

$$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi}{12}(4n – 1),\ n \in Z$$

Ответ

$$x = \frac{\pi}{12}(4n – 1),\ n \in Z$$

Задача

Решить уравнение: $$\sin(15^{\circ} + x) + \sin(45^{\circ} – x) = 1$$

Решение

$$2\sin\frac{15^{\circ} + x + 45^{\circ} – x}{2}\cos\frac{15^{\circ} + x – 45^{\circ} + x}{2} = 1$$

$$\cos(x – 15^{\circ}) = 1$$

$$x – 15^{\circ} = 360^{\circ}k$$

$$x = 15^{\circ} + 360^{\circ}k,\ k \in Z$$

Ответ

$$x = 15^{\circ} + 360^{\circ}k,\ k \in Z$$

Задача

Решить уравнение: $$2(\cos4x – \sin x\cos3x) = \sin4x + \sin2x$$

Решение

$$2(\cos4x – \sin x\cos3x) – \sin4x – \sin2x = 0$$

$$2\cos4x – \sin(x – 3x) – \sin(x + 3x) – \sin4x – \sin2x = 0$$

$$2\cos4x + \sin2x – \sin4x – \sin4x – \sin2x = 0$$

$$2\cos4x – 2\sin4x = 0$$

$$\ tg4x = 1$$

$$4x = \frac{\pi}{4} + \pi k$$

$$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4} = \frac{\pi}{16}(4k + 1),\ k \in Z$$

Ответ

$$x = \frac{\pi}{16}(4k + 1),\ k \in Z$$

Задача

Решить уравнение: $$3\sin^{2}2x + 7\cos2x – 3 = 0$$

Решение

$$3(1 – \cos^{2}2x) + 7\cos2x – 3 = 0$$

$$3\cos^{2}2x) – 7\cos2x = 0$$

$$cos2x(3\cos2x – 7) = 0$$

$$cos2x = 0,\ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\ x_{1} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4}(2k + 1),\ k \in Z$$

$3cos2x -7 = 0,\ \cos2x = \frac{7}{3} > 0$ – решений нет

Ответ

$$x = \frac{\pi}{4}(2k + 1),\ k \in Z$$

Задача

Решить уравнение: $$\cos2x – 5\sin x – 3 = 0$$

Решение

$$1 – 2\sin^{2}x – 5\sin x – 3 = 0$$

$$2\sin^{2}x + 5\sin x + 2 = 0$$

Отсюда:

$\sin x = -2$ – решений нет

$\sin x = -\frac{1}{2},\ x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in Z$

Ответ

$x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in Z$

Задача

Решить уравнение: $$\sin3z – \cos3z = \sqrt{\frac{3}{2}}$$

Решение

$$\sin3z\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} – \cos3z\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sin3z\cos45^{\circ} – \cos3z\sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sin(3z – 45^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$3z – 45^{\circ} = 60^{\circ} + 360^{\circ}k$$

$$3z – 45^{\circ} = 120^{\circ} + 360^{\circ}k$$

$$z_{1} = 35^{\circ} + 120^{\circ}k,\ z_{2} = 55^{\circ} + 120^{\circ}k,\ k\in Z$$

Ответ

$$z_{1} = 35^{\circ} + 120^{\circ}k,\ z_{2} = 55^{\circ} + 120^{\circ}k,\ k\in Z$$

Задача

Решить уравнение: $$2\cos^{2}x + 5\sin x – 4 = 0$$

Решение

$$2(1 – \sin^{2}x) + 5\sin x – 4 = 0$$

$$2\sin^{2}x – 5\sin x + 2 = 0$$

$\sin x = 2$ – решений нет

$\sin x = \frac{1}{2},\ x = (-1)^{k}\frac{\pi}{6} + \pi k, k\in Z$

Ответ

$x = (-1)^{k}\frac{\pi}{6} + \pi k, k\in Z$