Алгоритм решения тригонометрических уравнений

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Тригонометрические уравнение – это уравнения, неизвестные в которых являются аргументами тригонометрических функций.
Алгоритм
Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Примеры решений тригонометрических уравнений

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{4\ ctg x}{1 + \ ctg^{2} x} + \sin^{2}2x + 1 = 0\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\sin x \neq 0

    \[\frac{\frac{4\cos x}{\sin x}}{{1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}} + \sin^{2}2x + 1 = 0\]

    \[\frac{\frac{4\cos x}{\sin x}}{{1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}} + \sin^{2}2x + 1 = 0\]

    \[\sin^{2}2x + 2\sin2x + 1 = 0\]

    \[(\sin2x + 1)^{2} = 0\]

    \[\sin^2x + 1)^{2} = 0\]

    \[\sin2x = -1\]

    \[2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in Z,\ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4}(4k - 1),\ k \in Z\]

Ответ

x = \frac{\pi}{4}(4k - 1),\ k \in Z

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

    \[\cos^{-1}3t - 6\cos3t = 4\sin3t\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\cos3t \neq 0

    \[1 - 6\cos^{2}3t - 4\cos3t\sin3t = 0\]

    \[\cos^{2}3t + \sin^{2}3t - 6\cos^{2}3t - 4\cos3t\sin3t = 0\]

    \[5\cos^{2}3t - \sin^{2}3t + 4\cos3t\sin3t = 0\]

Разделим уравнение на -\cos^{2}3t \neq 0

Получим:

    \[\ tg^{2}3t - 4 \ tg3t - 5 = 0\]

Отсюда:

    \[\ tg3t = -1,\ \ tg3t = 5\]

    \[\ tg3t = -1,\ 3t = -\frac{\pi}{4} + \pi k,\ t = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{12}(4k - 1),\ k \in Z\]

    \[\ tg3t = 5,\ 3t = \ arctg5 + \pi n,\ t = -\frac{\ arctg5}{3} + \frac{\pi n}{3},\ n \in Z\]

Ответ

t_{1} = \frac{\pi}{12}(4k - 1),\ t_{2} = -\frac{\ arctg5}{3} + \frac{\pi n}{3},\ k,\ n \in Z

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\cos z\cos(60^{\circ} - z)\cos(60^{\circ} + z) + 1 = 0\]

Решение

    \[4\cos z(\cos2z + \cos120^{\circ}) + 1 = 0\]

    \[4\cos z\cos2z - 2\cos z + 1 = 0\]

    \[2\cos z + 2\cos3z - 2\cos z + 1 = 0\]

    \[\cos3z = -\frac{1}{2}\]

    \[3z = \pm\frac{2}{3}\pi + 2\pi k\]

    \[z = \pm\frac{2}{9}\pi + \frac{2\pi k}{3},\ k \in Z\]

Ответ

    \[z = \pm\frac{2}{9}\pi + \frac{2\pi k}{3},\ k \in Z\]

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

    \[\sin x\cos2x + \cos x\cos4x = \sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right)\]

Решение

    \[-\sin x + \cos3x + \cos3x + \cos5x = \cos5x - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\]

    \[\sin3x + \cos3x = 0\]

    \[\sin3x = -\cos3x\]

    \[\ tg3x = -1\]

    \[3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n\]

    \[x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi}{12}(4n - 1),\ n \in Z\]

Ответ

    \[x = \frac{\pi}{12}(4n - 1),\ n \in Z\]

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

    \[\sin(15^{\circ} + x) + \sin(45^{\circ} - x) = 1\]

Решение

    \[2\sin\frac{15^{\circ} + x + 45^{\circ} - x}{2}\cos\frac{15^{\circ} + x - 45^{\circ} + x}{2} = 1\]

    \[\cos(x - 15^{\circ}) = 1\]

    \[x - 15^{\circ} = 360^{\circ}k\]

    \[x = 15^{\circ} + 360^{\circ}k,\ k \in Z\]

Ответ

    \[x = 15^{\circ} + 360^{\circ}k,\ k \in Z\]

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

    \[2(\cos4x - \sin x\cos3x) = \sin4x + \sin2x\]

Решение

    \[2(\cos4x - \sin x\cos3x) - \sin4x - \sin2x = 0\]

    \[2\cos4x - \sin(x - 3x) - \sin(x + 3x) - \sin4x - \sin2x = 0\]

    \[2\cos4x + \sin2x - \sin4x - \sin4x - \sin2x = 0\]

    \[2\cos4x - 2\sin4x = 0\]

    \[\ tg4x = 1\]

    \[4x = \frac{\pi}{4} + \pi k\]

    \[x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4} = \frac{\pi}{16}(4k + 1),\ k \in Z\]

Ответ

    \[x = \frac{\pi}{16}(4k + 1),\ k \in Z\]

Пример 7

Задача

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Решить уравнение:

    \[3\sin^{2}2x + 7\cos2x - 3 = 0\]

Решение

    \[3(1 - \cos^{2}2x) + 7\cos2x - 3 = 0\]

    \[3\cos^{2}2x) - 7\cos2x = 0\]

    \[cos2x(3\cos2x - 7) = 0\]

    \[cos2x = 0,\ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\ x_{1} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4}(2k + 1),\ k \in Z\]

3cos2x -7 = 0,\ \cos2x = \frac{7}{3} > 0 – решений нет

Ответ

    \[x = \frac{\pi}{4}(2k + 1),\ k \in Z\]

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

    \[\cos2x - 5\sin x - 3 = 0\]

Решение

    \[1 - 2\sin^{2}x - 5\sin x - 3 = 0\]

    \[2\sin^{2}x + 5\sin x + 2 = 0\]

Отсюда:

\sin x = -2 – решений нет

\sin x = -\frac{1}{2},\ x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in Z

Ответ

x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in Z

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

    \[\sin3z - \cos3z = \sqrt{\frac{3}{2}}\]

Решение

    \[\sin3z\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos3z\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[\sin3z\cos45^{\circ} - \cos3z\sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[\sin(3z - 45^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[3z - 45^{\circ} = 60^{\circ} + 360^{\circ}k\]

    \[3z - 45^{\circ} = 120^{\circ} + 360^{\circ}k\]

    \[z_{1} = 35^{\circ} + 120^{\circ}k,\ z_{2} = 55^{\circ} + 120^{\circ}k,\ k\in Z\]

Ответ

    \[z_{1} = 35^{\circ} + 120^{\circ}k,\ z_{2} = 55^{\circ} + 120^{\circ}k,\ k\in Z\]

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

    \[2\cos^{2}x + 5\sin x - 4 = 0\]

Решение

    \[2(1 - \sin^{2}x) + 5\sin x - 4 = 0\]

    \[2\sin^{2}x - 5\sin x + 2 = 0\]

\sin x = 2 – решений нет

\sin x = \frac{1}{2},\ x = (-1)^{k}\frac{\pi}{6} + \pi k, k\in Z

Ответ

x = (-1)^{k}\frac{\pi}{6} + \pi k, k\in Z

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 1

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1019

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также