Алгоритм решения тригонометрических уравнений

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Тригонометрические уравнение – это уравнения, неизвестные в которых являются аргументами тригонометрических функций.
Алгоритм
Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Примеры решений тригонометрических уравнений

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{4\ ctg x}{1 + \ ctg^{2} x} + \sin^{2}2x + 1 = 0\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\sin x \neq 0

    \[\frac{\frac{4\cos x}{\sin x}}{{1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}} + \sin^{2}2x + 1 = 0\]

    \[\frac{\frac{4\cos x}{\sin x}}{{1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}} + \sin^{2}2x + 1 = 0\]

    \[\sin^{2}2x + 2\sin2x + 1 = 0\]

    \[(\sin2x + 1)^{2} = 0\]

    \[\sin^2x + 1)^{2} = 0\]

    \[\sin2x = -1\]

    \[2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in Z,\ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4}(4k - 1),\ k \in Z\]

Ответ

x = \frac{\pi}{4}(4k - 1),\ k \in Z

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

    \[\cos^{-1}3t - 6\cos3t = 4\sin3t\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\cos3t \neq 0

    \[1 - 6\cos^{2}3t - 4\cos3t\sin3t = 0\]

    \[\cos^{2}3t + \sin^{2}3t - 6\cos^{2}3t - 4\cos3t\sin3t = 0\]

    \[5\cos^{2}3t - \sin^{2}3t + 4\cos3t\sin3t = 0\]

Разделим уравнение на -\cos^{2}3t \neq 0

Получим:

    \[\ tg^{2}3t - 4 \ tg3t - 5 = 0\]

Отсюда:

    \[\ tg3t = -1,\ \ tg3t = 5\]

    \[\ tg3t = -1,\ 3t = -\frac{\pi}{4} + \pi k,\ t = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{12}(4k - 1),\ k \in Z\]

    \[\ tg3t = 5,\ 3t = \ arctg5 + \pi n,\ t = -\frac{\ arctg5}{3} + \frac{\pi n}{3},\ n \in Z\]

Ответ

t_{1} = \frac{\pi}{12}(4k - 1),\ t_{2} = -\frac{\ arctg5}{3} + \frac{\pi n}{3},\ k,\ n \in Z

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

Важно! Когда работу писать становится сложно, можно обратиться с вопросом к экспертам. Это поможет сделать работу быстро.

Подробнее

    \[\cos z\cos(60^{\circ} - z)\cos(60^{\circ} + z) + 1 = 0\]

Решение

    \[4\cos z(\cos2z + \cos120^{\circ}) + 1 = 0\]

    \[4\cos z\cos2z - 2\cos z + 1 = 0\]

    \[2\cos z + 2\cos3z - 2\cos z + 1 = 0\]

    \[\cos3z = -\frac{1}{2}\]

    \[3z = \pm\frac{2}{3}\pi + 2\pi k\]

    \[z = \pm\frac{2}{9}\pi + \frac{2\pi k}{3},\ k \in Z\]

Ответ

    \[z = \pm\frac{2}{9}\pi + \frac{2\pi k}{3},\ k \in Z\]

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

    \[\sin x\cos2x + \cos x\cos4x = \sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right)\]

Решение

    \[-\sin x + \cos3x + \cos3x + \cos5x = \cos5x - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\]

    \[\sin3x + \cos3x = 0\]

    \[\sin3x = -\cos3x\]

    \[\ tg3x = -1\]

    \[3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n\]

    \[x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi}{12}(4n - 1),\ n \in Z\]

Ответ

    \[x = \frac{\pi}{12}(4n - 1),\ n \in Z\]

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

    \[\sin(15^{\circ} + x) + \sin(45^{\circ} - x) = 1\]

Решение

    \[2\sin\frac{15^{\circ} + x + 45^{\circ} - x}{2}\cos\frac{15^{\circ} + x - 45^{\circ} + x}{2} = 1\]

    \[\cos(x - 15^{\circ}) = 1\]

    \[x - 15^{\circ} = 360^{\circ}k\]

    \[x = 15^{\circ} + 360^{\circ}k,\ k \in Z\]

Ответ

    \[x = 15^{\circ} + 360^{\circ}k,\ k \in Z\]

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

    \[2(\cos4x - \sin x\cos3x) = \sin4x + \sin2x\]

Решение

    \[2(\cos4x - \sin x\cos3x) - \sin4x - \sin2x = 0\]

    \[2\cos4x - \sin(x - 3x) - \sin(x + 3x) - \sin4x - \sin2x = 0\]

    \[2\cos4x + \sin2x - \sin4x - \sin4x - \sin2x = 0\]

    \[2\cos4x - 2\sin4x = 0\]

    \[\ tg4x = 1\]

    \[4x = \frac{\pi}{4} + \pi k\]

    \[x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4} = \frac{\pi}{16}(4k + 1),\ k \in Z\]

Ответ

    \[x = \frac{\pi}{16}(4k + 1),\ k \in Z\]

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

    \[3\sin^{2}2x + 7\cos2x - 3 = 0\]

Решение

    \[3(1 - \cos^{2}2x) + 7\cos2x - 3 = 0\]

    \[3\cos^{2}2x) - 7\cos2x = 0\]

    \[cos2x(3\cos2x - 7) = 0\]

    \[cos2x = 0,\ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\ x_{1} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4}(2k + 1),\ k \in Z\]

3cos2x -7 = 0,\ \cos2x = \frac{7}{3} > 0 – решений нет

Ответ

    \[x = \frac{\pi}{4}(2k + 1),\ k \in Z\]

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

    \[\cos2x - 5\sin x - 3 = 0\]

Решение

    \[1 - 2\sin^{2}x - 5\sin x - 3 = 0\]

    \[2\sin^{2}x + 5\sin x + 2 = 0\]

Отсюда:

\sin x = -2 – решений нет

\sin x = -\frac{1}{2},\ x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in Z

Ответ

x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in Z

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

    \[\sin3z - \cos3z = \sqrt{\frac{3}{2}}\]

Решение

    \[\sin3z\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos3z\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[\sin3z\cos45^{\circ} - \cos3z\sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[\sin(3z - 45^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[3z - 45^{\circ} = 60^{\circ} + 360^{\circ}k\]

    \[3z - 45^{\circ} = 120^{\circ} + 360^{\circ}k\]

    \[z_{1} = 35^{\circ} + 120^{\circ}k,\ z_{2} = 55^{\circ} + 120^{\circ}k,\ k\in Z\]

Ответ

    \[z_{1} = 35^{\circ} + 120^{\circ}k,\ z_{2} = 55^{\circ} + 120^{\circ}k,\ k\in Z\]

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

    \[2\cos^{2}x + 5\sin x - 4 = 0\]

Решение

    \[2(1 - \sin^{2}x) + 5\sin x - 4 = 0\]

    \[2\sin^{2}x - 5\sin x + 2 = 0\]

\sin x = 2 – решений нет

\sin x = \frac{1}{2},\ x = (-1)^{k}\frac{\pi}{6} + \pi k, k\in Z

Ответ

x = (-1)^{k}\frac{\pi}{6} + \pi k, k\in Z

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 1

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

514

Решение для вас

Помощь с работой Список услуг

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также