Примеры решения уравнений с модулем с ответами

Алгоритм решения уравнений с модулем

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Уравнения с модулем – это уравнения, содержащее неизвестные под знаком модуля.

Алгоритм

При решении уравнений с модулем используется определение модуля числа.

Определение модуля числа.

$|x| = \left\{ \begin{array}{ll} x,\ \ x \geq 0, \\ -x,\ \ x < 0; \end{array} \right.$

Примеры решений уравнений с модулем

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

$|x| = x + 10$

Решение

$|x| - x = 10$

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = 0$ .

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq 0$ исходное уравнение принимает вид:

$x - x = 10$

Отсюда $0 = 10$ – решений нет

Второй случай:

При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:

$-x - x = 10$

Отсюда $x = -5$

Ответ

$x = -5$

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

$|x - 3| = 7$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = 3$ .

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq -3$ исходное уравнение принимает вид:

$x - 3 = 7$

Отсюда $x = 10$

Второй случай:

При $x < 3$ исходное уравнение принимает вид:

$x - 3 = -7$

Отсюда $x = -4$

Ответ

$x_{1} = -4,\ x_{2} = 10$

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

$|x + 5| = 4 - x$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -5$ .

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq -5$ исходное уравнение принимает вид:

$x + 5 = 4 - x$

Отсюда $x = -\frac{1}{2}$

Второй случай:

При $x < -5$ исходное уравнение принимает вид:

$x + 5 = x - 4$

Отсюда $0 = -9$ – решений нет

Ответ

$x = -\frac{1}{2}$

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

$|x| = 4 - x$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = 0$ .

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq 0$ исходное уравнение принимает вид:

$x = 4 - x$

Отсюда $x = 2$

Второй случай:

При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:

$x = x - 4$

Отсюда $0 = -4$ – решений нет

Ответ

$x = 2$

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

$2|x + 1| = 2 - x$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -1$ .

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq -1$ исходное уравнение принимает вид:

$2(x + 1) = 2 - x$

Отсюда $x = 0$

Второй случай:

При $x < -1$ исходное уравнение принимает вид:

$-2(x + 1) = 2 - x$

Отсюда $x = -4$

Ответ

$x_{1} = 0,\ x_{2} = -4$

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

$|x + 4| = 2$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -4$ .

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq -4$ исходное уравнение принимает вид:

$x + 4 = 2$

Отсюда $x = -2$

Второй случай:

При $x < -1$ исходное уравнение принимает вид:

$-x - 4 = 2$ – не подходит по условию $x < -1$

Ответ

$x = -2$

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

$||3 - x| - x + 1| + x = 6$

Решение

$||3 - x| - x + 1| = 6 - x$

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -1$ .

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

$\left\{ \begin{array}{ll} x \geq 3, \\ |x - 3 - x + 1| = 6 - x; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x \geq 3, \\ 2 = 6 - x; \end{array} \right.$

Отсюда $x = 4$

Второй случай:

$\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ |3 - x - x + 1| = 6 - x; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ |2x - 4| = 6 - x; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ \left[ \begin{array}{ccc} 2x - 4 = 6 - x, \\ 2x - 4 = x - 6; \end{array}\right. \end{array}\right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x = \frac{10}{3}, \\ x = -2; \end{array}\right. \end{array}\right.$

Отсюда $x = -2$

Ответ

$x_{1} = -2,\ x_{2} = 4$

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

$|2x - 3| + x = 3 - 2x$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = \frac{3}{2}$ .

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

$\left\{ \begin{array}{ll} x \geq \frac{3}{2}, \\ |2x - 3| + x = 3 - 2x; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x \geq \frac{3}{2}, \\ 2x - 3 + x = 3 - 2x; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x \geq \frac{3}{2}, \\ x = \frac{6}{5}; \end{array} \right.$

Решений нет

Второй случай:

$\left\{ \begin{array}{ll} x < \frac{3}{2}, \\ |2x - 3| + x = 3 - 2x; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x < \frac{3}{2}, \\ -2x + 3 + x = 3x - 3; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x < \frac{3}{2}, \\ x = \frac{3}{2}; \end{array} \right.$

Решений нет

Ответ

Решений нет

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

$2|3x + 1| = 4 + x$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -\frac{1}{3}$ .

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq -\frac{1}{3}$ исходное уравнение принимает вид:

$2(3x + 1) = 4 + x$

Отсюда $x = \frac{2}{5}$

Второй случай:

При $x < -\frac{1}{3}$ исходное уравнение принимает вид:

$2(-1 - 3x) = 4 + x$

Отсюда $x = -\frac{6}{7}$

Ответ

$x_{1} = \frac{2}{5},\ x_{2} = -\frac{-6}{7}$

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

$|x| + |x - 1| = 1$

Решение

Рассмотрим три случая.

Первый случай:

При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:

$- x -x + 1 = 1$

Отсюда $x = 0$ – решений нет, т.к. по условию $x < 0$

Второй случай:

При $0 \leq x < 1$ исходное уравнение принимает вид:

$x - x + 1 = 1$

$1 = 1$

Отсюда $x \in [0; 1)$

Третий случай:

При $x \geq 1$ исходное уравнение принимает вид:

$x + x - 1 = 1$

Отсюда $x = 1$

Ответ

$x \in [0; 1]$