Примеры решения уравнений с модулем с ответами

Задача

Решить уравнение: $$|x| = x + 10$$

Решение

$$|x| – x = 10$$

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = 0$.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq 0$ исходное уравнение принимает вид:

$$x – x = 10$$

Отсюда $0 = 10$ – решений нет

Второй случай:

При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:

$$-x – x = 10$$

Отсюда $x = -5$

Ответ

$x = -5$

Задача

Решить уравнение: $$|x – 3| = 7$$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = 3$.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq -3$ исходное уравнение принимает вид:

$$x – 3 = 7$$

Отсюда $x = 10$

Второй случай:

При $x < 3$ исходное уравнение принимает вид:

$$x – 3 = -7$$

Отсюда $x = -4$

Ответ

$x_{1} = -4,\ x_{2} = 10$

Задача

Решить уравнение: $$|x + 5| = 4 – x$$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -5$.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq -5$ исходное уравнение принимает вид:

$$x + 5 = 4 – x$$

Отсюда $x = -\frac{1}{2}$

Второй случай:

При $x < -5$ исходное уравнение принимает вид:

$$x + 5 = x – 4$$

Отсюда $0 = -9$ – решений нет

Ответ

$x = -\frac{1}{2}$

Задача

Решить уравнение: $$|x| = 4 – x$$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = 0$.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq 0$ исходное уравнение принимает вид:

$$x = 4 – x$$

Отсюда $x = 2$

Второй случай:

При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:

$$x = x – 4$$

Отсюда $0 = -4$ – решений нет

Ответ

$x = 2$

Задача

Решить уравнение: $$2|x + 1| = 2 – x$$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -1$.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq -1$ исходное уравнение принимает вид:

$$2(x + 1) = 2 – x$$

Отсюда $x = 0$

Второй случай:

При $x < -1$ исходное уравнение принимает вид:

$$-2(x + 1) = 2 – x$$

Отсюда $x = -4$

Ответ

$x_{1} = 0,\ x_{2} = -4$

Задача

Решить уравнение: $$|x + 4| = 2$$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -4$.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq -4$ исходное уравнение принимает вид:

$$x + 4 = 2$$

Отсюда $x = -2$

Второй случай:

При $x < -1$ исходное уравнение принимает вид:

$-x – 4 = 2$ – не подходит по условию $x < -1$

Ответ

$x = -2$

Задача

Решить уравнение: $$||3 – x| – x + 1| + x = 6$$

Решение

$$||3 – x| – x + 1| = 6 – x$$

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -1$.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq 3, \\
|x – 3 – x + 1| = 6 – x;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq 3, \\
2 = 6 – x;
\end{array} \right.$$

Отсюда $x = 4$

Второй случай:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < 3, \\
|3 – x – x + 1| = 6 – x;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < 3, \\
|2x – 4| = 6 – x;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < 3, \\
\left[ \begin{array}{ccc}
2x – 4 = 6 – x, \\
2x – 4 = x – 6;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < 3, \\
\left[ \begin{array}{ccc}
x = \frac{10}{3}, \\
x = -2;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$

Отсюда $x = -2$

Ответ

$x_{1} = -2,\ x_{2} = 4$

Задача

Решить уравнение: $$|2x – 3| + x = 3 – 2x$$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = \frac{3}{2}$.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq \frac{3}{2}, \\
|2x – 3| + x = 3 – 2x;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq \frac{3}{2}, \\
2x – 3 + x = 3 – 2x;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq \frac{3}{2}, \\
x = \frac{6}{5};
\end{array} \right.$$

Решений нет

Второй случай:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < \frac{3}{2}, \\
|2x – 3| + x = 3 – 2x;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < \frac{3}{2}, \\
-2x + 3 + x = 3x – 3;
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < \frac{3}{2}, \\
x = \frac{3}{2};
\end{array} \right.$$

Решений нет

Ответ

Решений нет

Задача

Решить уравнение: $$2|3x + 1| = 4 + x$$

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -\frac{1}{3}$.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При $x \geq -\frac{1}{3}$ исходное уравнение принимает вид:

$$2(3x + 1) = 4 + x$$

Отсюда $x = \frac{2}{5}$

Второй случай:

При $x < -\frac{1}{3}$ исходное уравнение принимает вид:

$$2(-1 – 3x) = 4 + x$$

Отсюда $x = -\frac{6}{7}$

Ответ

$x_{1} = \frac{2}{5},\ x_{2} = -\frac{-6}{7}$

Задача

Решить уравнение: $$|x| + |x – 1| = 1$$

Решение

Рассмотрим три случая.

Первый случай:

При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:

$$- x -x + 1 = 1$$

Отсюда $x = 0$ – решений нет, т.к. по условию $x < 0$

Второй случай:

При $0 \leq x < 1$ исходное уравнение принимает вид:

$$x – x + 1 = 1$$

$$1 = 1$$

Отсюда $x \in [0; 1)$

Третий случай:

При $x \geq 1$ исходное уравнение принимает вид:

$$x + x – 1 = 1$$

Отсюда $x = 1$

Ответ

$x \in [0; 1]$