Алгоритм решения уравнений с модулем

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Уравнения с модулем – это уравнения, содержащее неизвестные под знаком модуля.
Алгоритм

При решении уравнений с модулем используется определение модуля числа.

Определение модуля числа.

    \[|x| = \left\{ \begin{array}{ll} x,\ \ x \geq 0, \\ -x,\ \ x < 0; \end{array} \right.\]

Примеры решений уравнений с модулем

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

    \[|x| = x + 10\]

Решение

    \[|x| - x = 10\]

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = 0.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[x - x = 10\]

Отсюда 0 = 10 – решений нет

Второй случай:

При x < 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[-x - x = 10\]

Отсюда x = -5

Ответ

x = -5

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

    \[|x - 3| = 7\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = 3.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

При x \geq -3 исходное уравнение принимает вид:

    \[x - 3 = 7\]

Отсюда x = 10

Второй случай:

При x < 3 исходное уравнение принимает вид:

    \[x - 3 = -7\]

Отсюда x = -4

Ответ

x_{1} = -4,\ x_{2} = 10

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

    \[|x + 5| = 4 - x\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = -5.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq -5 исходное уравнение принимает вид:

    \[x + 5 = 4 - x\]

Отсюда x = -\frac{1}{2}

Второй случай:

При x < -5 исходное уравнение принимает вид:

    \[x + 5 = x - 4\]

Отсюда 0 = -9 – решений нет

Ответ

x = -\frac{1}{2}

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

    \[|x| = 4 - x\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = 0.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[x = 4 - x\]

Отсюда x = 2

Второй случай:

При x < 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[x = x - 4\]

Отсюда 0 = -4 – решений нет

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Ответ

x = 2

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

    \[2|x + 1| = 2 - x\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = -1.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq -1 исходное уравнение принимает вид:

    \[2(x + 1) = 2 - x\]

Отсюда x = 0

Второй случай:

При x < -1 исходное уравнение принимает вид:

    \[-2(x + 1) = 2 - x\]

Отсюда x = -4

Ответ

x_{1} = 0,\ x_{2} = -4

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

    \[|x + 4| = 2\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = -4.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq -4 исходное уравнение принимает вид:

    \[x + 4 = 2\]

Отсюда x = -2

Второй случай:

При x < -1 исходное уравнение принимает вид:

-x - 4 = 2 – не подходит по условию x < -1

Ответ

x = -2

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

    \[||3 - x| - x + 1| + x = 6\]

Решение

    \[||3 - x| - x + 1| = 6 - x\]

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = -1.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \geq 3, \\ |x - 3 - x + 1| = 6 - x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \geq 3, \\ 2 = 6 - x; \end{array} \right.\]

Отсюда x = 4

Второй случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ |3 - x - x + 1| = 6 - x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ |2x - 4| = 6 - x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ \left[ \begin{array}{ccc} 2x - 4 = 6 - x, \\ 2x - 4 = x - 6; \end{array}\right. \end{array}\right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x = \frac{10}{3}, \\ x = -2; \end{array}\right. \end{array}\right.\]

Отсюда x = -2

Ответ

x_{1} = -2,\ x_{2} = 4

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

    \[|2x - 3| + x = 3 - 2x\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = \frac{3}{2}.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \geq \frac{3}{2}, \\ |2x - 3| + x = 3 - 2x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \geq \frac{3}{2}, \\ 2x - 3 + x = 3 - 2x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \geq \frac{3}{2}, \\ x = \frac{6}{5}; \end{array} \right.\]

Решений нет

Второй случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < \frac{3}{2}, \\ |2x - 3| + x = 3 - 2x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < \frac{3}{2}, \\ -2x + 3 + x = 3x - 3; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < \frac{3}{2}, \\ x = \frac{3}{2}; \end{array} \right.\]

Решений нет

Ответ

Решений нет

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

    \[2|3x + 1| = 4 + x\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = -\frac{1}{3}.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq -\frac{1}{3} исходное уравнение принимает вид:

    \[2(3x + 1) = 4 + x\]

Отсюда x = \frac{2}{5}

Второй случай:

При x < -\frac{1}{3} исходное уравнение принимает вид:

    \[2(-1 - 3x) = 4 + x\]

Отсюда x = -\frac{6}{7}

Ответ

x_{1} = \frac{2}{5},\ x_{2} = -\frac{-6}{7}

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

    \[|x| + |x - 1| = 1\]

Решение

Рассмотрим три случая.

Первый случай:

При x < 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[- x -x + 1 = 1\]

Отсюда x = 0 – решений нет, т.к. по условию x < 0

Второй случай:

При 0 \leq x < 1 исходное уравнение принимает вид:

    \[x - x + 1 = 1\]

    \[1 = 1\]

Отсюда x \in [0; 1)

Третий случай:

При x \geq 1 исходное уравнение принимает вид:

    \[x + x - 1 = 1\]

Отсюда x = 1

Ответ

x \in [0; 1]

Средняя оценка 3 / 5. Количество оценок: 2

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

8428

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также