Алгоритм решения уравнений с модулем
При решении уравнений с модулем используется определение модуля числа.
Определение модуля числа.
$$|x| = \left\{ \begin{array}{ll}
x,\ \ x \geq 0, \\
-x,\ \ x < 0;
\end{array} \right.$$
Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Примеры решений уравнений с модулем
Задача
Решить уравнение: $$|x| = x + 10$$
Решение
$$|x| – x = 10$$
Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = 0$.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При $x \geq 0$ исходное уравнение принимает вид:
$$x – x = 10$$
Отсюда $0 = 10$ – решений нет
Второй случай:
При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:
$$-x – x = 10$$
Отсюда $x = -5$
Ответ
$x = -5$
Задача
Решить уравнение: $$|x – 3| = 7$$
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = 3$.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При $x \geq -3$ исходное уравнение принимает вид:
$$x – 3 = 7$$
Отсюда $x = 10$
Второй случай:
При $x < 3$ исходное уравнение принимает вид:
$$x – 3 = -7$$
Отсюда $x = -4$
Ответ
$x_{1} = -4,\ x_{2} = 10$
Задача
Решить уравнение: $$|x + 5| = 4 – x$$
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -5$.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При $x \geq -5$ исходное уравнение принимает вид:
$$x + 5 = 4 – x$$
Отсюда $x = -\frac{1}{2}$
Второй случай:
При $x < -5$ исходное уравнение принимает вид:
$$x + 5 = x – 4$$
Отсюда $0 = -9$ – решений нет
Ответ
$x = -\frac{1}{2}$
Задача
Решить уравнение: $$|x| = 4 – x$$
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = 0$.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При $x \geq 0$ исходное уравнение принимает вид:
$$x = 4 – x$$
Отсюда $x = 2$
Второй случай:
При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:
$$x = x – 4$$
Отсюда $0 = -4$ – решений нет
Ответ
$x = 2$
Задача
Решить уравнение: $$2|x + 1| = 2 – x$$
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -1$.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При $x \geq -1$ исходное уравнение принимает вид:
$$2(x + 1) = 2 – x$$
Отсюда $x = 0$
Второй случай:
При $x < -1$ исходное уравнение принимает вид:
$$-2(x + 1) = 2 – x$$
Отсюда $x = -4$
Ответ
$x_{1} = 0,\ x_{2} = -4$
Задача
Решить уравнение: $$|x + 4| = 2$$
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -4$.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При $x \geq -4$ исходное уравнение принимает вид:
$$x + 4 = 2$$
Отсюда $x = -2$
Второй случай:
При $x < -1$ исходное уравнение принимает вид:
$-x – 4 = 2$ – не подходит по условию $x < -1$
Ответ
$x = -2$
Задача
Решить уравнение: $$||3 – x| – x + 1| + x = 6$$
Решение
$$||3 – x| – x + 1| = 6 – x$$
Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -1$.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq 3, \\
|x – 3 – x + 1| = 6 – x;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq 3, \\
2 = 6 – x;
\end{array} \right.$$
Отсюда $x = 4$
Второй случай:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < 3, \\
|3 – x – x + 1| = 6 – x;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < 3, \\
|2x – 4| = 6 – x;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < 3, \\
\left[ \begin{array}{ccc}
2x – 4 = 6 – x, \\
2x – 4 = x – 6;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < 3, \\
\left[ \begin{array}{ccc}
x = \frac{10}{3}, \\
x = -2;
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$
Отсюда $x = -2$
Ответ
$x_{1} = -2,\ x_{2} = 4$
Задача
Решить уравнение: $$|2x – 3| + x = 3 – 2x$$
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = \frac{3}{2}$.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq \frac{3}{2}, \\
|2x – 3| + x = 3 – 2x;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq \frac{3}{2}, \\
2x – 3 + x = 3 – 2x;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq \frac{3}{2}, \\
x = \frac{6}{5};
\end{array} \right.$$
Решений нет
Второй случай:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < \frac{3}{2}, \\
|2x – 3| + x = 3 – 2x;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < \frac{3}{2}, \\
-2x + 3 + x = 3x – 3;
\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ll}
x < \frac{3}{2}, \\
x = \frac{3}{2};
\end{array} \right.$$
Решений нет
Ответ
Решений нет
Задача
Решить уравнение: $$2|3x + 1| = 4 + x$$
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке $x = -\frac{1}{3}$.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При $x \geq -\frac{1}{3}$ исходное уравнение принимает вид:
$$2(3x + 1) = 4 + x$$
Отсюда $x = \frac{2}{5}$
Второй случай:
При $x < -\frac{1}{3}$ исходное уравнение принимает вид:
$$2(-1 – 3x) = 4 + x$$
Отсюда $x = -\frac{6}{7}$
Ответ
$x_{1} = \frac{2}{5},\ x_{2} = -\frac{-6}{7}$
Задача
Решить уравнение: $$|x| + |x – 1| = 1$$
Решение
Рассмотрим три случая.
Первый случай:
При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:
$$- x -x + 1 = 1$$
Отсюда $x = 0$ – решений нет, т.к. по условию $x < 0$
Второй случай:
При $0 \leq x < 1$ исходное уравнение принимает вид:
$$x – x + 1 = 1$$
$$1 = 1$$
Отсюда $x \in [0; 1)$
Третий случай:
При $x \geq 1$ исходное уравнение принимает вид:
$$x + x – 1 = 1$$
Отсюда $x = 1$
Ответ
$x \in [0; 1]$