Алгоритм решения уравнений с модулем

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Уравнения с модулем – это уравнения, содержащее неизвестные под знаком модуля.
Алгоритм

При решении уравнений с модулем используется определение модуля числа.

Определение модуля числа.

    \[|x| = \left\{ \begin{array}{ll} x,\ \ x \geq 0, \\ -x,\ \ x < 0; \end{array} \right.\]

Примеры решений уравнений с модулем

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

    \[|x| = x + 10\]

Решение

    \[|x| - x = 10\]

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = 0.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[x - x = 10\]

Отсюда 0 = 10 – решений нет

Второй случай:

При x < 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[-x - x = 10\]

Отсюда x = -5

Ответ

x = -5

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

    \[|x - 3| = 7\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = 3.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

При x \geq -3 исходное уравнение принимает вид:

    \[x - 3 = 7\]

Отсюда x = 10

Второй случай:

При x < 3 исходное уравнение принимает вид:

    \[x - 3 = -7\]

Отсюда x = -4

Ответ

x_{1} = -4,\ x_{2} = 10

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

    \[|x + 5| = 4 - x\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = -5.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq -5 исходное уравнение принимает вид:

    \[x + 5 = 4 - x\]

Отсюда x = -\frac{1}{2}

Второй случай:

При x < -5 исходное уравнение принимает вид:

    \[x + 5 = x - 4\]

Отсюда 0 = -9 – решений нет

Ответ

x = -\frac{1}{2}

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

    \[|x| = 4 - x\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = 0.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[x = 4 - x\]

Отсюда x = 2

Второй случай:

При x < 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[x = x - 4\]

Отсюда 0 = -4 – решений нет

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Ответ

x = 2

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

    \[2|x + 1| = 2 - x\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = -1.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq -1 исходное уравнение принимает вид:

    \[2(x + 1) = 2 - x\]

Отсюда x = 0

Второй случай:

При x < -1 исходное уравнение принимает вид:

    \[-2(x + 1) = 2 - x\]

Отсюда x = -4

Ответ

x_{1} = 0,\ x_{2} = -4

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

    \[|x + 4| = 2\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = -4.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq -4 исходное уравнение принимает вид:

    \[x + 4 = 2\]

Отсюда x = -2

Второй случай:

При x < -1 исходное уравнение принимает вид:

-x - 4 = 2 – не подходит по условию x < -1

Ответ

x = -2

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

    \[||3 - x| - x + 1| + x = 6\]

Решение

    \[||3 - x| - x + 1| = 6 - x\]

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = -1.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \geq 3, \\ |x - 3 - x + 1| = 6 - x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \geq 3, \\ 2 = 6 - x; \end{array} \right.\]

Отсюда x = 4

Второй случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ |3 - x - x + 1| = 6 - x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ |2x - 4| = 6 - x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ \left[ \begin{array}{ccc} 2x - 4 = 6 - x, \\ 2x - 4 = x - 6; \end{array}\right. \end{array}\right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < 3, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x = \frac{10}{3}, \\ x = -2; \end{array}\right. \end{array}\right.\]

Отсюда x = -2

Ответ

x_{1} = -2,\ x_{2} = 4

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

    \[|2x - 3| + x = 3 - 2x\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = \frac{3}{2}.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \geq \frac{3}{2}, \\ |2x - 3| + x = 3 - 2x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \geq \frac{3}{2}, \\ 2x - 3 + x = 3 - 2x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \geq \frac{3}{2}, \\ x = \frac{6}{5}; \end{array} \right.\]

Решений нет

Второй случай:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < \frac{3}{2}, \\ |2x - 3| + x = 3 - 2x; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < \frac{3}{2}, \\ -2x + 3 + x = 3x - 3; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x < \frac{3}{2}, \\ x = \frac{3}{2}; \end{array} \right.\]

Решений нет

Ответ

Решений нет

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

    \[2|3x + 1| = 4 + x\]

Решение

Подмодульное выражение меняет знак в точке x = -\frac{1}{3}.

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

При x \geq -\frac{1}{3} исходное уравнение принимает вид:

    \[2(3x + 1) = 4 + x\]

Отсюда x = \frac{2}{5}

Второй случай:

При x < -\frac{1}{3} исходное уравнение принимает вид:

    \[2(-1 - 3x) = 4 + x\]

Отсюда x = -\frac{6}{7}

Ответ

x_{1} = \frac{2}{5},\ x_{2} = -\frac{-6}{7}

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

    \[|x| + |x - 1| = 1\]

Решение

Рассмотрим три случая.

Первый случай:

При x < 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[- x -x + 1 = 1\]

Отсюда x = 0 – решений нет, т.к. по условию x < 0

Второй случай:

При 0 \leq x < 1 исходное уравнение принимает вид:

    \[x - x + 1 = 1\]

    \[1 = 1\]

Отсюда x \in [0; 1)

Третий случай:

При x \geq 1 исходное уравнение принимает вид:

    \[x + x - 1 = 1\]

Отсюда x = 1

Ответ

x \in [0; 1]

Средняя оценка 3 / 5. Количество оценок: 2

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

3037

Решение для вас

Помощь с работой Список услуг

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также