Примеры решения уравнений с ответами

Задача

Решить уравнение: $$\frac{1}{x^{3} + 2} – \frac{1}{x^{3} + 3} = \frac{1}{12}$$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \neq \sqrt[3]{2}, \\
x \neq \sqrt[3]{3};
\end{array} \right.$$

$$\frac{x^{6} + 5x^{3} – 6}{12(x^{3} + 2)(x^{3} + 3)} = 0$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x^{6} + 5x^{3} – 6 = 0, \\
(x^{3} + 2)(x^{3} + 3) \neq 0;
\end{array} \right.$$

Обозначим $x^{3} = y$

Уравнение $x^{6} + 5x^{3} – 6 = 0$ преобразуется к виду

$$y^{2} + 5y – 6 = 0$$

$$y_{1} = -6,\ y_{2} = 1$$

Отсюда $x^{3} = -6,\ x^{3} = 1,\ x_{1} = -\sqrt[3]{6},\ x_{2} = 1$

Ответ

$x_{1} = -\sqrt[3]{6},\ x_{2} = 1$

Задача

Решить уравнение: $$\log_{4x + 1}7 + \log_{9x}7 = 0$$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$\left\{ \begin{array}{ll}
0 < 4x + 1 \neq 1, \\
0 < 9x \neq 1;
\end{array} \right.$ или $0 < x \neq \frac{1}{9}$

Перейдём к логарифмам по основанию 7:

$$\frac{1}{\log_{7}(4x + 1)} + \frac{1}{\log_{7}9x} = 0$$

$$\log_{7}9x = -\log_{7}(4x + 1)$$

$$9x = \frac{1}{4x + 1}$$

$$36x^{2} + 9x – 1 = 0$$

$$x_{1} = \frac{1}{12},\ x_{2} = -\frac{1}{3}$$

$x_{2} = -\frac{1}{3}$ не подходит по ОДЗ

Ответ

$x = \frac{1}{12}$

Задача

Решить уравнение: $$x^{2} – 1 = \frac{x + 1}{4}$$

Решение

$$4(x^{2} – 1) = x + 1$$

$$4x^{2} – x – 2 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-1)^{2} – 4\cdot4\cdot(-2) = 33$$

$$x_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$$

$$x_{2} = \frac{-(-1) – \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 – \sqrt{33}}{8}$$

Ответ

$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{33}}{8},\ x_{2} = \frac{1 – \sqrt{33}}{8}$

Задача

Решить уравнение: $$2\lg x^{2} – (\lg(-x))^{2} = 4$$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$x < 0$

$$4\lg(-x) – \lg^{2}(-x) – 4 = 0$$

$$\lg^{2}(-x) – 4\lg(-x) + 4 = 0$$

$$(\lg(-x) – 2)^{2} = 0$$

$$(\lg(-x) = 2,\ x = 100$$

Ответ

$x = 100$

Задача

Решить уравнение: $$\frac{b}{x – a} – \frac{a}{x – b} = 2$$

Решение

ОДЗ: $x \neq a, x \neq b$

$$\frac{2x^{2} – 3(a + b)x + (a + b)^{2}}{(x – a)(x – b)} = 0$$

$$2x^{2} – 3(a + b)x + (a + b)^{2} = 0$$

$$x_{1} = \frac{-(- 3(a + b)) + \sqrt{(- 3(a + b))^{2} – 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = \frac{a + b}{2}$$

$$x_{2} = \frac{-(- 3(a + b)) – \sqrt{(- 3(a + b))^{2} – 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = a + b$$

Ответ

$x_{1} = \frac{a + b}{2},\ x_{2} = a + b$

Задача

Решить уравнение: $$\frac{\log_{2}(9 – 2^{x})}{3 – x} = 1$$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$\left\{ \begin{array}{ll}
9 – 2^{x} > 0, \\
3 – x \neq 0;
\end{array} \right.$ или $3 \neq x < \log_{2}9$

$$\log_{2}(9 – 2^{x}) = 3 – x$$

$$9 – 2^{x} = 2^{3 – x}$$

$$2^{2x} -9\cdot2^{x} + 8 = 0$$

$$2^{x} = 1,\ x_{1} = 0$$

$$2^{x} = 8,\ x_{2} = 3$$

$x_{2} = 3$ не подходит по ОДЗ

Ответ

$$x = 0$$

Задача

Решить уравнение: $$\frac{4}{x^{2} + 4} – \frac{5}{x^{2} + 5} = 2$$

Решение

$$\frac{2x^{4} + 9^x{2}}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 5)} = 0$$

$$2x^{4} + 9x^{2} = 0$$

$$x^{2}(2x^{2} + 9) = 0$$

$x^{2} = 0,\ x_{1} = 0$ или $2x^{2} + 9 = 0,\ x^{2} = -\frac{9}{2}$ – решений нет

Ответ

$x = 0$

Задача

Решить уравнение: $$\log_{a^{2}}x^{3} + \log_{a}(x – 1) = \log_{a}\log_{\sqrt{5}}5$$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x > 1, \\
0 < a \neq 1;
\end{array} \right.$$

$$\log_{a}x + \log_{a}(x – 1) = \log_{a}2$$

$$\log_{a}x(x – 1) = \log_{a}2$$

$$x^{2} – x – 2 = 0,\ x_{1} = 2,\ x_{2} = -1$$

$x_{2} = -1$ не подходит по ОДЗ

Ответ

$$x = 2$$

Задача

Решить уравнение: $$|x| + |x – 1| = 1$$

Решение

Рассмотрим три случая.

Первый случай:

При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:

$$- x -x + 1 = 1$$

Отсюда $x = 0$ – решений нет, т.к. по условию $x < 0$

Второй случай:

При $0 \leq x < 1$ исходное уравнение принимает вид:

$$x – x + 1 = 1$$

$$1 = 1$$

Отсюда $x \in [0; 1)$

Третий случай:

При $x \geq 1$ исходное уравнение принимает вид:

$$x + x – 1 = 1$$

Отсюда $x = 1$

Ответ

$x \in [0; 1]$

Задача

Решить уравнение: $$\frac{1}{x(x + 2)} – \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{12}$$

Решение

ОДЗ: $x \neq 0,\ x \neq -1,\ x \neq -2$

Обозначим: $$x^{2} + 2x = z$$

Тогда: $$\frac{1}{z} – \frac{1}{z + 1} = \frac{1}{12}$$

$$\frac{1}{z} – \frac{1}{z + 1} = 0$$

$$-z^{2} – z + 12 = 0$$

$$z_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{(-1)^{2} – 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = -4$$

$$z_{2} = \frac{-(-1) – \sqrt{(-1)^{2} – 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = 3$$

$$x^{2} + 2x = -4$$

$$x^{2} + 2x + 4 = 0$$

$D = 2^{2} – 4\cdot1\cdot4 = -12 < 0$ – корней нет

$$x^{2} + 2x = 3$$

$$x^{2} + 2x – 3 = 0$$

$$x_{1} = \frac{-2 + \sqrt{2^{2} – 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = 1$$

$$x_{2} = \frac{-2 – \sqrt{2^{2} – 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = -3$$

Ответ

$x_{1} = 1,\ x_{2} = -3$