Алгоритм решения уравнений

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Алгебраическое уравнение – это уравнение вида f_{1}(x) = g_{1}(x).

Решить уравнение – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Примеры решений уравнений

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{1}{x^{3} + 2} - \frac{1}{x^{3} + 3} = \frac{1}{12}\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \neq \sqrt[3]{2}, \\ x \neq \sqrt[3]{3}; \end{array} \right.\]

    \[\frac{x^{6} + 5x^{3} - 6}{12(x^{3} + 2)(x^{3} + 3)} = 0\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x^{6} + 5x^{3} - 6 = 0, \\ (x^{3} + 2)(x^{3} + 3) \neq 0; \end{array} \right.\]

Обозначим x^{3} = y

Уравнение x^{6} + 5x^{3} - 6 = 0 преобразуется к виду

    \[y^{2} + 5y - 6 = 0\]

    \[y_{1} = -6,\ y_{2} = 1\]

Отсюда x^{3} = -6,\ x^{3} = 1,\ x_{1} = -\sqrt[3]{6},\ x_{2} = 1

Ответ

x_{1} = -\sqrt[3]{6},\ x_{2} = 1

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

    \[\log_{4x + 1}7 + \log_{9x}7 = 0\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\left\{ \begin{array}{ll} 0 < 4x + 1 \neq 1, \\ 0 < 9x \neq 1; \end{array} \right. или 0 < x \neq \frac{1}{9}

Перейдём к логарифмам по основанию 7:

    \[\frac{1}{\log_{7}(4x + 1)} + \frac{1}{\log_{7}9x} = 0\]

    \[\log_{7}9x = -\log_{7}(4x + 1)\]

    \[9x = \frac{1}{4x + 1}\]

    \[36x^{2} + 9x - 1 = 0\]

    \[x_{1} = \frac{1}{12},\ x_{2} = -\frac{1}{3}\]

x_{2} = -\frac{1}{3} не подходит по ОДЗ

Ответ

x = \frac{1}{12}

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

    \[x^{2} - 1 = \frac{x + 1}{4}\]

Решение

    \[4(x^{2} - 1) = x + 1\]

    \[4x^{2} - x - 2 = 0\]

Найдём дискриминант:

    \[D = (-1)^{2} - 4\cdot4\cdot(-2) = 33\]

    \[x_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}\]

    \[x_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}\]

Ответ

x_{1} = \frac{1 + \sqrt{33}}{8},\ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

    \[2\lg x^{2} - (\lg(-x))^{2} = 4\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

x < 0

    \[4\lg(-x) - \lg^{2}(-x) - 4 = 0\]

    \[\lg^{2}(-x) - 4\lg(-x) + 4 = 0\]

    \[(\lg(-x) - 2)^{2} = 0\]

    \[(\lg(-x) = 2,\ x = 100\]

Ответ

x = 100

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{b}{x - a} - \frac{a}{x - b} = 2\]

Решение

ОДЗ: x \neq a, x \neq b

    \[\frac{2x^{2} - 3(a + b)x + (a + b)^{2}}{(x - a)(x - b)} = 0\]

    \[2x^{2} - 3(a + b)x + (a + b)^{2} = 0\]

    \[x_{1} = \frac{-(- 3(a + b)) + \sqrt{(- 3(a + b))^{2} - 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = \frac{a + b}{2}\]

    \[x_{2} = \frac{-(- 3(a + b)) - \sqrt{(- 3(a + b))^{2} - 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = a + b\]

Ответ

x_{1} = \frac{a + b}{2},\ x_{2} = a + b

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{\log_{2}(9 - 2^{x})}{3 - x} = 1\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

\left\{ \begin{array}{ll} 9 - 2^{x} > 0, \\ 3 - x \neq 0; \end{array} \right. или 3 \neq x < \log_{2}9

    \[\log_{2}(9 - 2^{x}) = 3 - x\]

    \[9 - 2^{x} = 2^{3 - x}\]

    \[2^{2x} -9\cdot2^{x} + 8 = 0\]

    \[2^{x} = 1,\ x_{1} = 0\]

    \[2^{x} = 8,\ x_{2} = 3\]

x_{2} = 3 не подходит по ОДЗ

Ответ

    \[x = 0\]

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{4}{x^{2} + 4} - \frac{5}{x^{2} + 5} = 2\]

Решение

    \[\frac{2x^{4} + 9^x{2}}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 5)} = 0\]

    \[2x^{4} + 9x^{2} = 0\]

    \[x^{2}(2x^{2} + 9) = 0\]

x^{2} = 0,\ x_{1} = 0 или 2x^{2} + 9 = 0,\ x^{2} = -\frac{9}{2} – решений нет

Ответ

x = 0

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

    \[\log_{a^{2}}x^{3} + \log_{a}(x - 1) = \log_{a}\log_{\sqrt{5}}5\]

Решение

Найдём область допустимых значений:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x > 1, \\ 0 < a \neq 1; \end{array} \right.\]

    \[\log_{a}x + \log_{a}(x - 1) = \log_{a}2\]

    \[\log_{a}x(x - 1) = \log_{a}2\]

    \[x^{2} - x - 2 = 0,\ x_{1} = 2,\ x_{2} = -1\]

x_{2} = -1 не подходит по ОДЗ

Ответ

    \[x = 2\]

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

    \[|x| + |x - 1| = 1\]

Решение

Рассмотрим три случая.

Первый случай:

При x < 0 исходное уравнение принимает вид:

    \[- x -x + 1 = 1\]

Отсюда x = 0 – решений нет, т.к. по условию x < 0

Второй случай:

При 0 \leq x < 1 исходное уравнение принимает вид:

    \[x - x + 1 = 1\]

    \[1 = 1\]

Отсюда x \in [0; 1)

Третий случай:

При x \geq 1 исходное уравнение принимает вид:

    \[x + x - 1 = 1\]

Отсюда x = 1

Ответ

x \in [0; 1]

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{1}{x(x + 2)} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{12}\]

Решение

ОДЗ: x \neq 0,\ x \neq -1,\ x \neq -2

Обозначим:

    \[x^{2} + 2x = z\]

Тогда:

    \[\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = \frac{1}{12}\]

    \[\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = 0\]

    \[-z^{2} - z + 12 = 0\]

    \[z_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = -4\]

    \[z_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = 3\]

    \[x^{2} + 2x = -4\]

    \[x^{2} + 2x + 4 = 0\]

D = 2^{2} - 4\cdot1\cdot4 = -12 < 0 – корней нет

    \[x^{2} + 2x = 3\]

    \[x^{2} + 2x - 3 = 0\]

    \[x_{1} = \frac{-2 + \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = 1\]

    \[x_{2} = \frac{-2 - \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = -3\]

Ответ

x_{1} = 1,\ x_{2} = -3

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

529

Помощь в написании работы

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также