Алгоритм решения второго замечательного предела

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Вторым замечательным пределом называются пределы вида

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e,\ \ \lim_{\alpha \to 0}(1 + \alpha)^{\frac{1}{\alpha}} = e\]

Теорема о переходе к пределу в показателе степени при постоянном основании:

    \[\lim_{x \to a}b^{f(x)} = b^{\lim_{x \to a}f(x)}\]

Второй замечательный предел используется для вычисления пределов тригонометрических функций.

Алгоритм

Используются также следующие формулы:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{k},\ \ \lim_{x \to 0}(1 + kx)^{\frac{1}{x}} = e^{k}\]

При отыскании пределов вида

    \[\lim_{x \to a}[{f(x)}]^{\varphi(x)} = b^{\lim_{x \to a}f(x)}\]

в случае, когда существуют конечные пределы

    \[\lim_{x \to a}f(x)\]

и

    \[\lim_{x \to a}\varphi(x)\]

, имеет место формула:

    \[\lim_{x \to a}[{j(x)}]^{\varphi(x)} = [\lim_{x \to a}f(x)]^{\lim_{x \to a}\varphi(x)}\]

Примеры решений второго замечательного предела

Пример 1

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 2}4^{\frac{2x}{x + 1}}\]

.

Решение

    \[\lim_{x \to 2}4^{\frac{2x}{x + 1}} = 4^{\lim_{x \to 2}\frac{2x}{x + 1}} = 4^{\frac{2\cdot 2}{2 + 1}} = 4^{\frac{4}{3}} = 4\sqrt[3]{4}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 2}4^{\frac{2x}{x + 1}} = 4\sqrt[3]{4}\]

Пример 2

Задача

Найти предел:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\lim_{x \to \infty}2^{\frac{3x}{x + 2}}\]

.

Решение

    \[\lim_{x \to \infty}2^{\frac{3x}{x + 2}} = 2^{\lim_{x \to \infty}\frac{3x}{x + 2}} = 2^{\lim_{x \to \infty}\frac{3}{1 + \frac{2}{x}}} = 2^{3} = 8\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}2^{\frac{3x}{x + 2}} = 8\]

Пример 3

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 2}a^{\frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}},\ (a > 0)\]

.

Решение

    \[\lim_{x \to 2}a^{\frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}} = a^{\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}} =\]

    \[= a^{\lim_{x \to 2}\frac{2 + x - 4}{(x - 2)(\sqrt{2 + x} + 2)}} = a^{\lim_{x \to 2}\frac{1}{\sqrt{2 + x} + 2}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 2}a^{\frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}} = \sqrt[4]{a}\]

Пример 4

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{k}\]

:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1} = \frac{1}{e}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \frac{1}{e}\]

Пример 5

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{k}{x}\right)^{x}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{k}\]

:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{-k} = \frac{1}{e^{k}}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{k}{x}\right)^{x} = \frac{1}{e^{k}}\]

Пример 6

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{2}{3x}\right)^{x}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{k}\]

:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{2}{3x}\right)^{x} = e^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{e^{2}}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{2}{3x}\right)^{x} = \sqrt[3]{e^{2}}\]

Пример 7

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}(1 + 2x)^{\frac{1}{x}}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to 0}(1 + kx)^{\frac{1}{x}} = e^{k}\]

:

    \[\lim_{x \to 0}(1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = e^{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}(1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = e^{2}\]

Пример 8

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{3x}}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to 0}(1 + kx)^{\frac{1}{x}} = e^{k}\]

:

    \[\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{3x}} = \lim_{x \to 0}((1 + x)^{\frac{1}{x}})^{\frac{1}{3}} = (e^{1})^{\frac{1}{3}} = e^{\frac{1}{3}}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{3x}} = e^{\frac{1}{3}}\]

Пример 9

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{k}\]

, учитывая, что в данном случае x является постоянной величиной, а n переменной:

    \[\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = e^{x}\]

Ответ

    \[\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = e^{x}\]

Пример 10

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{x}{x + 1}}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to a}[{j(x)}]^{\varphi(x)} = [\lim_{x \to a}f(x)]^{\lim_{x \to a}\varphi(x)}\]

:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{x}{x + 1}} = \left(\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{3}}\right)^{\lim_{x \to \infty}\frac{x}{X + 1}}\]

    \[\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{3}} = 0\]

    \[\lim_{x \to \infty}\frac{x}{x + 1} = 1\]

    \[\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{x}{x + 1}} = 0^{1} = 0\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{x}{x + 1}} = 0\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

543

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также