Примеры решения второго замечательного предела с ответам

Простое объяснение принципов решения второго замечательного предела и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
0 4607

Алгоритм решения второго замечательного предела

Теорема
Вторым замечательным пределом называются пределы вида

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e,\ \ \lim_{\alpha \to 0}(1 + \alpha)^{\frac{1}{\alpha}} = e\]

Теорема о переходе к пределу в показателе степени при постоянном основании:

    \[\lim_{x \to a}b^{f(x)} = b^{\lim_{x \to a}f(x)}\]

Второй замечательный предел используется для вычисления пределов тригонометрических функций.

Алгоритм

Используются также следующие формулы:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{k},\ \ \lim_{x \to 0}(1 + kx)^{\frac{1}{x}} = e^{k}\]

При отыскании пределов вида

    \[\lim_{x \to a}[{f(x)}]^{\varphi(x)} = b^{\lim_{x \to a}f(x)}\]

в случае, когда существуют конечные пределы

    \[\lim_{x \to a}f(x)\]

и

    \[\lim_{x \to a}\varphi(x)\]

, имеет место формула:

    \[\lim_{x \to a}[{j(x)}]^{\varphi(x)} = [\lim_{x \to a}f(x)]^{\lim_{x \to a}\varphi(x)}\]

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений второго замечательного предела

Пример 1

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 2}4^{\frac{2x}{x + 1}}\]

.

Решение

    \[\lim_{x \to 2}4^{\frac{2x}{x + 1}} = 4^{\lim_{x \to 2}\frac{2x}{x + 1}} = 4^{\frac{2\cdot 2}{2 + 1}} = 4^{\frac{4}{3}} = 4\sqrt[3]{4}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 2}4^{\frac{2x}{x + 1}} = 4\sqrt[3]{4}\]

Пример 2

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}2^{\frac{3x}{x + 2}}\]

.

Решение

    \[\lim_{x \to \infty}2^{\frac{3x}{x + 2}} = 2^{\lim_{x \to \infty}\frac{3x}{x + 2}} = 2^{\lim_{x \to \infty}\frac{3}{1 + \frac{2}{x}}} = 2^{3} = 8\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}2^{\frac{3x}{x + 2}} = 8\]

Пример 3

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 2}a^{\frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}},\ (a > 0)\]

.

Решение

    \[\lim_{x \to 2}a^{\frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}} = a^{\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}} =\]

    \[= a^{\lim_{x \to 2}\frac{2 + x - 4}{(x - 2)(\sqrt{2 + x} + 2)}} = a^{\lim_{x \to 2}\frac{1}{\sqrt{2 + x} + 2}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 2}a^{\frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}} = \sqrt[4]{a}\]

Пример 4

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{k}\]

:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1} = \frac{1}{e}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \frac{1}{e}\]

Пример 5

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{k}{x}\right)^{x}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{k}\]

:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{-k} = \frac{1}{e^{k}}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{k}{x}\right)^{x} = \frac{1}{e^{k}}\]

Пример 6

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{2}{3x}\right)^{x}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{k}\]

:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{2}{3x}\right)^{x} = e^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{e^{2}}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{2}{3x}\right)^{x} = \sqrt[3]{e^{2}}\]

Пример 7

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}(1 + 2x)^{\frac{1}{x}}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to 0}(1 + kx)^{\frac{1}{x}} = e^{k}\]

:

    \[\lim_{x \to 0}(1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = e^{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}(1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = e^{2}\]

Пример 8

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{3x}}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to 0}(1 + kx)^{\frac{1}{x}} = e^{k}\]

:

    \[\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{3x}} = \lim_{x \to 0}((1 + x)^{\frac{1}{x}})^{\frac{1}{3}} = (e^{1})^{\frac{1}{3}} = e^{\frac{1}{3}}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{3x}} = e^{\frac{1}{3}}\]

Пример 9

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{x} = e^{k}\]

, учитывая, что в данном случае x является постоянной величиной, а n переменной:

    \[\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = e^{x}\]

Ответ

    \[\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = e^{x}\]

Пример 10

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{x}{x + 1}}\]

.

Решение

Используем формулу

    \[\lim_{x \to a}[{j(x)}]^{\varphi(x)} = [\lim_{x \to a}f(x)]^{\lim_{x \to a}\varphi(x)}\]

:

    \[\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{x}{x + 1}} = \left(\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{3}}\right)^{\lim_{x \to \infty}\frac{x}{X + 1}}\]

    \[\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{3}} = 0\]

    \[\lim_{x \to \infty}\frac{x}{x + 1} = 1\]

    \[\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{x}{x + 1}} = 0^{1} = 0\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{x}{x + 1}} = 0\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *