Примеры решения задач с комплексными числами

Автор: Анатолий 0 28796

Простое объяснение принципов решения задач с комплексными числами и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения задач с комплексными числами

Теорема

Комплексным числом называется число вида: $x + iy$ , $z,\ y$ являются действительными числами, $i^{2} = -1$ – мнимая единица.

Алгебраическая форма комплексного числа:

$z = x + iy$

Тригонометрическая форма комплексного числа:

$z = r(cos\varphi + i\sin\varphi)$

Модуль комплексного числа:

$|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Аргумент комплексного числа:

$\varphi = arctg\frac{y}{x}$

Формула Эйлера:

$e^{i\varphi} = cos\varphi + i\sin\varphi$

Формула Муавра:

$z^{n} = (r(cos\varphi + i\sin\varphi))^{n} = r^{n}(cosn\varphi + i\sin n\varphi)$

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений задач с комплексными числами

Пример 1

Задача

Записать комплексное число $z = -1 + i$ в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

$|z| = \sqrt{(-1)^{2} + (1)^{2}} = \sqrt{2}$

Найдём аргумент комплексного числа:

$\arg z = arctg\left(\frac{-1}{1}\right) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$

Тригонометрическая форма комплексного числа:

$-1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right)$

Показательная форма комплексного числа:

$-1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$

Ответ

$\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right),\ \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$

Пример 2

Задача

Записать комплексное число $z = -1$ в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

$|z| = \sqrt{(-1)^{2} + (0)^{2}} = 1$

Найдём аргумент комплексного числа:

$\arg z = arctg\left(\frac{0}{-1}\right) = \pi$

Тригонометрическая форма комплексного числа:

$-1 = \cos\pi + i\sin\pi$

Показательная форма комплексного числа:

$-1 = e^{i\pi}$

Ответ

$\cos\pi + i\sin\pi,\ e^{i\pi}$

Пример 3

Задача

Найти сумму комплексных чисел $z_{1} = 5 + 4i$ и $z_{2} = 2 + 3i$

Решение

$z_{1} + z_{2} = (5 + 4i) + (2 + 3i) = 7 + 7i$

Ответ

$z_{1} + z_{2} = 7 + 7i$

Пример 4

Задача

Найти разность комплексных чисел $z_{1} = 5 + 2i$ и $z_{2} = 4 +8i$

Решение

$z_{1} + z_{2} = (5 + 2i) - (4 + 8i) = 5 + 2i - 4 - 8i = 1 - 6i$

Ответ

$z_{1} + z_{2} = 1 - 6i$

Пример 5

Задача

Найти произведение комплексных чисел $z_{1} = 5(\cos\pi + i\sin3\pi)$ и $z_{2} = 3(\cos2\pi + i\sin3\pi)$

Решение

$z_{1}\cdot z_{2} = 5\cdot3(\cos(\pi + 2\pi) + i\sin(3\pi + 3\pi)) = 15(\cos3\pi + i\sin6\pi)$

Ответ

$z_{1}\cdot z_{2} = 15(\cos3\pi + i\sin6\pi)$

Пример 6

Задача

Найти $(1 + \sqrt{3}i)^{9}$

Решение

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

$r = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^{2}} = 2$

$\arg z = arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$

$z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$

По формуле Муавра получаем:

$(1 + \sqrt{3}i)^{9} = 2^{9}\left(\cos\frac{9\pi}{3} + i\sin\frac{9\pi}{3}\right) = 2^{9}\left(\cos3\pi + i\sin3\pi\right) =$

$= 2^{9}(-1) = -512$

Ответ

$-512$

Пример 7

Задача

Найти частное комплексных чисел $z_{1} = 1 + 3i$ и $z_{2} = 2 + i$

Решение

$\frac{1 + 3i}{2 + i} = \frac{(1 + 3i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i + 6i + 3}{4 + 1} = \frac{5 + i}{5} = 1 + i$

Ответ

$1 + i$

Пример 8

Задача

Найти частное комплексных чисел $z_{1} = 3 + 2i$ и $z_{2} = 2 + 3i$

Решение

$\frac{3 + 2i}{2 + 3i} = \frac{(3 + 2i)2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{6 + 4i - 9i + 6}{4 + 9} = \frac{12 - 5i}{13} =$

$= \frac{12}{13} - \frac{5}{13}i$

Ответ

$\frac{12}{13} - \frac{5}{13}i$

Пример 9

Задача

Найти $\sqrt[3]{i}$

Решение

Число $i$ в тригонометрической форме имеет вид:

$i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$

$\sqrt[3]{i} = \sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}} = \sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right),\ k = 0,1,2.$

При $k = 0$ :

$\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

При $k = 1$ :

$\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

При $k = 2$ :

$\cos\frac{\frac{9\pi}{2}}{3} + i\sin\frac{\frac{9\pi}{2}}{3} = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -i$

Ответ

$\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$ при $k = 0$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$ при $k = 1$

$-i$ при $k = 2$

Пример 10

Задача

Найти $\sqrt{-1}$

Решение

Число $i$ в тригонометрической форме имеет вид:

$-1 = \cos\pi + i\sin\pi$

$\sqrt{-1} = \sqrt{\cos\pi + i\sin\pi} = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{2},\ k = 0,1.$

При $k = 0$ :

$\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i$

При $k = 1$ :

$\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -i$

Ответ

$i$ при $k = 0$

$-i$ при $k = 1$

Добавить комментарий Отменить ответ

Василиса на ТОП-14 видов шпаргалок на экзамен и зачет (палим тему)Моя однокласница у которой был диктант по английскому просто написала слова на руке и спрятала под рукав кофты.Часто пользуюсь ее
Александр на Теорема ПифагораП.1: (a+b)2=4? На самом деле (a+b)2 = 4-м треугольникам
Диоген на Бакалавр это высшее образование или нет? Разбираемся в уровнях высшего образованияСборище клоунов. Обсуждают тут про недоучек и ПТУшное образование, при этом будучи не в состоянии открыть закон об образовании и
Михаил на Как проверить подлинность диплома о высшем и среднем образовании в реестреПолучил диплом в 2003 году и не могу его найти не где Информации нет о нём что делать
Максим. на В чем разница цели и задачи – учимся отделать семя от плевелПолная дичь написана. Кто это писал, господи…. Для достижения желаемого результата исследователь осуществляет определенные действия, которые называются задачами. Другими словами,