Алгоритм решения задач с комплексными числами

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Комплексным числом называется число вида: x + iy, z,\ y являются действительными числами, i^{2} = -1 – мнимая единица.

Алгебраическая форма комплексного числа:

    \[z = x + iy\]

Тригонометрическая форма комплексного числа:

    \[z = r(cos\varphi + i\sin\varphi)\]

Модуль комплексного числа:

    \[|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\]

Аргумент комплексного числа:

    \[\varphi = arctg\frac{y}{x}\]

Формула Эйлера:

    \[e^{i\varphi} = cos\varphi + i\sin\varphi\]

Формула Муавра:

    \[z^{n} = (r(cos\varphi + i\sin\varphi))^{n} = r^{n}(cosn\varphi + i\sin n\varphi)\]

Примеры решений задач с комплексными числами

Пример 1

Задача

Записать комплексное число z = -1 + i в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

    \[|z| = \sqrt{(-1)^{2} + (1)^{2}} = \sqrt{2}\]

Найдём аргумент комплексного числа:

    \[\arg z = arctg\left(\frac{-1}{1}\right) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}\]

Тригонометрическая форма комплексного числа:

    \[-1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right)\]

Показательная форма комплексного числа:

    \[-1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\]

Ответ

\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right),\ \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}

Пример 2

Задача

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Записать комплексное число z = -1 в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

    \[|z| = \sqrt{(-1)^{2} + (0)^{2}} = 1\]

Найдём аргумент комплексного числа:

    \[\arg z = arctg\left(\frac{0}{-1}\right) = \pi\]

Тригонометрическая форма комплексного числа:

    \[-1 = \cos\pi + i\sin\pi\]

Показательная форма комплексного числа:

    \[-1 = e^{i\pi}\]

Ответ

\cos\pi + i\sin\pi,\ e^{i\pi}

Пример 3

Задача

Найти сумму комплексных чисел z_{1} = 5 + 4i и z_{2} = 2 + 3i

Решение

    \[z_{1} + z_{2} = (5 + 4i) + (2 + 3i) = 7 + 7i\]

Ответ

    \[z_{1} + z_{2} = 7 + 7i\]

Пример 4

Задача

Найти разность комплексных чисел z_{1} = 5 + 2i и z_{2} = 4 +8i

Решение

    \[z_{1} + z_{2} = (5 + 2i) - (4 + 8i) = 5 + 2i - 4 - 8i = 1 - 6i\]

Ответ

    \[z_{1} + z_{2} = 1 - 6i\]

Пример 5

Задача

Найти произведение комплексных чисел z_{1} = 5(\cos\pi + i\sin3\pi) и z_{2} = 3(\cos2\pi + i\sin3\pi)

Решение

    \[z_{1}\cdot z_{2} = 5\cdot3(\cos(\pi + 2\pi) + i\sin(3\pi + 3\pi)) = 15(\cos3\pi + i\sin6\pi)\]

Ответ

    \[z_{1}\cdot z_{2} = 15(\cos3\pi + i\sin6\pi)\]

Пример 6

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Задача

Найти (1 + \sqrt{3}i)^{9}

Решение

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

    \[r = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^{2}} = 2\]

    \[\arg z = arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}\]

    \[z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\]

По формуле Муавра получаем:

    \[(1 + \sqrt{3}i)^{9} = 2^{9}\left(\cos\frac{9\pi}{3} + i\sin\frac{9\pi}{3}\right) = 2^{9}\left(\cos3\pi + i\sin3\pi\right) =\]

    \[= 2^{9}(-1) = -512\]

Ответ

    \[-512\]

Пример 7

Задача

Найти частное комплексных чисел z_{1} = 1 + 3i и z_{2} = 2 + i

Решение

    \[\frac{1 + 3i}{2 + i} = \frac{(1 + 3i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i + 6i + 3}{4 + 1} = \frac{5 + i}{5} = 1 + i\]

Ответ

    \[1 + i\]

Пример 8

Задача

Найти частное комплексных чисел z_{1} = 3 + 2i и z_{2} = 2 + 3i

Решение

    \[\frac{3 + 2i}{2 + 3i} = \frac{(3 + 2i)2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{6 + 4i - 9i + 6}{4 + 9} = \frac{12 - 5i}{13} =\]

    \[= \frac{12}{13} - \frac{5}{13}i\]

Ответ

    \[\frac{12}{13} - \frac{5}{13}i\]

Пример 9

Задача

Найти\sqrt[3]{i}

Решение

Число i в тригонометрической форме имеет вид:

    \[i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\]

    \[\sqrt[3]{i} = \sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}} = \sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right),\ k = 0,1,2.\]

При k = 0:

    \[\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\]

При k = 1:

    \[\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\]

При k = 2:

    \[\cos\frac{\frac{9\pi}{2}}{3} + i\sin\frac{\frac{9\pi}{2}}{3} = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -i\]

Ответ

\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} при k = 0

-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} при k = 1

-i при k = 2

Пример 10

Задача

Найти\sqrt{-1}

Решение

Число i в тригонометрической форме имеет вид:

    \[-1 = \cos\pi + i\sin\pi\]

    \[\sqrt{-1} = \sqrt{\cos\pi + i\sin\pi} = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{2},\ k = 0,1.\]

При k = 0:

    \[\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i\]

При k = 1:

    \[\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -i\]

Ответ

i при k = 0

-i при k = 1

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 1

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

3093

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также