Алгоритм решения задач с комплексными числами

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Комплексным числом называется число вида: x + iy, z,\ y являются действительными числами, i^{2} = -1 – мнимая единица.

Алгебраическая форма комплексного числа:

    \[z = x + iy\]

Тригонометрическая форма комплексного числа:

    \[z = r(cos\varphi + i\sin\varphi)\]

Модуль комплексного числа:

    \[|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\]

Аргумент комплексного числа:

    \[\varphi = arctg\frac{y}{x}\]

Формула Эйлера:

    \[e^{i\varphi} = cos\varphi + i\sin\varphi\]

Формула Муавра:

    \[z^{n} = (r(cos\varphi + i\sin\varphi))^{n} = r^{n}(cosn\varphi + i\sin n\varphi)\]

Примеры решений задач с комплексными числами

Пример 1

Задача

Записать комплексное число z = -1 + i в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

    \[|z| = \sqrt{(-1)^{2} + (1)^{2}} = \sqrt{2}\]

Найдём аргумент комплексного числа:

    \[\arg z = arctg\left(\frac{-1}{1}\right) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}\]

Тригонометрическая форма комплексного числа:

    \[-1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right)\]

Показательная форма комплексного числа:

    \[-1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\]

Ответ

\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right),\ \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}

Пример 2

Задача

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Записать комплексное число z = -1 в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

    \[|z| = \sqrt{(-1)^{2} + (0)^{2}} = 1\]

Найдём аргумент комплексного числа:

    \[\arg z = arctg\left(\frac{0}{-1}\right) = \pi\]

Тригонометрическая форма комплексного числа:

    \[-1 = \cos\pi + i\sin\pi\]

Показательная форма комплексного числа:

    \[-1 = e^{i\pi}\]

Ответ

\cos\pi + i\sin\pi,\ e^{i\pi}

Пример 3

Задача

Найти сумму комплексных чисел z_{1} = 5 + 4i и z_{2} = 2 + 3i

Решение

    \[z_{1} + z_{2} = (5 + 4i) + (2 + 3i) = 7 + 7i\]

Ответ

    \[z_{1} + z_{2} = 7 + 7i\]

Пример 4

Задача

Найти разность комплексных чисел z_{1} = 5 + 2i и z_{2} = 4 +8i

Решение

    \[z_{1} + z_{2} = (5 + 2i) - (4 + 8i) = 5 + 2i - 4 - 8i = 1 - 6i\]

Ответ

    \[z_{1} + z_{2} = 1 - 6i\]

Пример 5

Задача

Найти произведение комплексных чисел z_{1} = 5(\cos\pi + i\sin3\pi) и z_{2} = 3(\cos2\pi + i\sin3\pi)

Решение

    \[z_{1}\cdot z_{2} = 5\cdot3(\cos(\pi + 2\pi) + i\sin(3\pi + 3\pi)) = 15(\cos3\pi + i\sin6\pi)\]

Ответ

    \[z_{1}\cdot z_{2} = 15(\cos3\pi + i\sin6\pi)\]

Пример 6

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Задача

Найти (1 + \sqrt{3}i)^{9}

Решение

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

    \[r = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^{2}} = 2\]

    \[\arg z = arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}\]

    \[z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\]

По формуле Муавра получаем:

    \[(1 + \sqrt{3}i)^{9} = 2^{9}\left(\cos\frac{9\pi}{3} + i\sin\frac{9\pi}{3}\right) = 2^{9}\left(\cos3\pi + i\sin3\pi\right) =\]

    \[= 2^{9}(-1) = -512\]

Ответ

    \[-512\]

Пример 7

Задача

Найти частное комплексных чисел z_{1} = 1 + 3i и z_{2} = 2 + i

Решение

    \[\frac{1 + 3i}{2 + i} = \frac{(1 + 3i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i + 6i + 3}{4 + 1} = \frac{5 + i}{5} = 1 + i\]

Ответ

    \[1 + i\]

Пример 8

Задача

Найти частное комплексных чисел z_{1} = 3 + 2i и z_{2} = 2 + 3i

Решение

    \[\frac{3 + 2i}{2 + 3i} = \frac{(3 + 2i)2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{6 + 4i - 9i + 6}{4 + 9} = \frac{12 - 5i}{13} =\]

    \[= \frac{12}{13} - \frac{5}{13}i\]

Ответ

    \[\frac{12}{13} - \frac{5}{13}i\]

Пример 9

Задача

Найти\sqrt[3]{i}

Решение

Число i в тригонометрической форме имеет вид:

    \[i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\]

    \[\sqrt[3]{i} = \sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}} = \sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right),\ k = 0,1,2.\]

При k = 0:

    \[\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\]

При k = 1:

    \[\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\]

При k = 2:

    \[\cos\frac{\frac{9\pi}{2}}{3} + i\sin\frac{\frac{9\pi}{2}}{3} = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -i\]

Ответ

\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} при k = 0

-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} при k = 1

-i при k = 2

Пример 10

Задача

Найти\sqrt{-1}

Решение

Число i в тригонометрической форме имеет вид:

    \[-1 = \cos\pi + i\sin\pi\]

    \[\sqrt{-1} = \sqrt{\cos\pi + i\sin\pi} = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{2},\ k = 0,1.\]

При k = 0:

    \[\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i\]

При k = 1:

    \[\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -i\]

Ответ

i при k = 0

-i при k = 1

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1091

Решение для вас

Помощь с работой Список услуг

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также