Опубликовано: 07 февраля 2020 0

Простое объяснение принципов решения задач с комплексными числами и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения задач с комплексными числами

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости

Теорема
Комплексным числом называется число вида: x + iy, z,\ y являются действительными числами, i^{2} = -1 – мнимая единица.

Алгебраическая форма комплексного числа:

    \[z = x + iy\]

Тригонометрическая форма комплексного числа:

    \[z = r(cos\varphi + i\sin\varphi)\]

Модуль комплексного числа:

    \[|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\]

Аргумент комплексного числа:

    \[\varphi = arctg\frac{y}{x}\]

Формула Эйлера:

    \[e^{i\varphi} = cos\varphi + i\sin\varphi\]

Формула Муавра:

    \[z^{n} = (r(cos\varphi + i\sin\varphi))^{n} = r^{n}(cosn\varphi + i\sin n\varphi)\]

Примеры решений задач с комплексными числами

Пример 1

Задача

Записать комплексное число z = -1 + i в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

    \[|z| = \sqrt{(-1)^{2} + (1)^{2}} = \sqrt{2}\]

Найдём аргумент комплексного числа:

    \[\arg z = arctg\left(\frac{-1}{1}\right) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}\]

Тригонометрическая форма комплексного числа:

    \[-1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right)\]

Показательная форма комплексного числа:

    \[-1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\]

Ответ

\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right),\ \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}

Пример 2

Задача

Записать комплексное число z = -1 в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

    \[|z| = \sqrt{(-1)^{2} + (0)^{2}} = 1\]

Найдём аргумент комплексного числа:

    \[\arg z = arctg\left(\frac{0}{-1}\right) = \pi\]

Тригонометрическая форма комплексного числа:

    \[-1 = \cos\pi + i\sin\pi\]

Показательная форма комплексного числа:

    \[-1 = e^{i\pi}\]

Ответ

\cos\pi + i\sin\pi,\ e^{i\pi}

Пример 3

Задача

Найти сумму комплексных чисел z_{1} = 5 + 4i и z_{2} = 2 + 3i

Решение

    \[z_{1} + z_{2} = (5 + 4i) + (2 + 3i) = 7 + 7i\]

Ответ

    \[z_{1} + z_{2} = 7 + 7i\]

Пример 4

Задача

Найти разность комплексных чисел z_{1} = 5 + 2i и z_{2} = 4 +8i

Решение

    \[z_{1} + z_{2} = (5 + 2i) - (4 + 8i) = 5 + 2i - 4 - 8i = 1 - 6i\]

Ответ

    \[z_{1} + z_{2} = 1 - 6i\]

Пример 5

Задача

Найти произведение комплексных чисел z_{1} = 5(\cos\pi + i\sin3\pi) и z_{2} = 3(\cos2\pi + i\sin3\pi)

Решение

    \[z_{1}\cdot z_{2} = 5\cdot3(\cos(\pi + 2\pi) + i\sin(3\pi + 3\pi)) = 15(\cos3\pi + i\sin6\pi)\]

Ответ

    \[z_{1}\cdot z_{2} = 15(\cos3\pi + i\sin6\pi)\]

Пример 6

Задача

Найти (1 + \sqrt{3}i)^{9}

Решение

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

    \[r = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^{2}} = 2\]

    \[\arg z = arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}\]

    \[z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\]

По формуле Муавра получаем:

    \[(1 + \sqrt{3}i)^{9} = 2^{9}\left(\cos\frac{9\pi}{3} + i\sin\frac{9\pi}{3}\right) = 2^{9}\left(\cos3\pi + i\sin3\pi\right) =\]

    \[= 2^{9}(-1) = -512\]

Ответ

    \[-512\]

Пример 7

Задача

Найти частное комплексных чисел z_{1} = 1 + 3i и z_{2} = 2 + i

Решение

    \[\frac{1 + 3i}{2 + i} = \frac{(1 + 3i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i + 6i + 3}{4 + 1} = \frac{5 + i}{5} = 1 + i\]

Ответ

    \[1 + i\]

Пример 8

Задача

Найти частное комплексных чисел z_{1} = 3 + 2i и z_{2} = 2 + 3i

Решение

    \[\frac{3 + 2i}{2 + 3i} = \frac{(3 + 2i)2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{6 + 4i - 9i + 6}{4 + 9} = \frac{12 - 5i}{13} =\]

    \[= \frac{12}{13} - \frac{5}{13}i\]

Ответ

    \[\frac{12}{13} - \frac{5}{13}i\]

Пример 9

Задача

Найти\sqrt[3]{i}

Решение

Число i в тригонометрической форме имеет вид:

    \[i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\]

    \[\sqrt[3]{i} = \sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}} = \sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right),\ k = 0,1,2.\]

При k = 0:

    \[\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\]

При k = 1:

    \[\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\]

При k = 2:

    \[\cos\frac{\frac{9\pi}{2}}{3} + i\sin\frac{\frac{9\pi}{2}}{3} = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -i\]

Ответ

\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} при k = 0

-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} при k = 1

-i при k = 2

Пример 10

Задача

Найти\sqrt{-1}

Решение

Число i в тригонометрической форме имеет вид:

    \[-1 = \cos\pi + i\sin\pi\]

    \[\sqrt{-1} = \sqrt{\cos\pi + i\sin\pi} = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{2},\ k = 0,1.\]

При k = 0:

    \[\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i\]

При k = 1:

    \[\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -i\]

Ответ

i при k = 0

-i при k = 1

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 6

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

9717

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *