Алгоритм решения задач с корнями
$\sqrt[2n + 1]{a}\cdot\sqrt[2n + 1]{b}\cdot\sqrt[2n + 1]{c} = \sqrt[2n + 1]{abc}$
$\sqrt[2n + 1]{abc} = \sqrt[2n + 1]{a}\cdot\sqrt[2n + 1]{b}\cdot\sqrt[2n + 1]{c}$
$\frac{\sqrt[2n + 1]{a}}{\sqrt[2n + 1]{b}} = \sqrt[2n + 1]{\frac{a}{b}},\ b \neq 0$
$\sqrt[2n + 1]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[2n + 1]{a}}{\sqrt[2n + 1]{b}},\ b \neq 0$
$(\sqrt[2n + 1]{a})^{k} = \sqrt[2n + 1]{a^{k}}$
$(\sqrt[2n + 1]{a^{k}} = (\sqrt[2n + 1]{a^{k}})^{k}$
$\sqrt[2m + 1]{\sqrt[2n + 1]{a}} = \sqrt[(2m + 1)(2n + 1)]{a}$
$\sqrt[(2m + 1)(2n + 1)]{a} = \sqrt[2m + 1]{\sqrt[2n + 1]{a}}$
$\sqrt[2n]{a}\cdot\sqrt[2n]{b}\cdot\sqrt[2n]{c} = \sqrt[2n]{abc},\ a \geq 0,\ b \geq 0,\ c \geq 0$
$\sqrt[2n]{abc} = \sqrt[2n]{|a|}\cdot\sqrt[2n]{|b|}\cdot\sqrt[2n]{|c|},\ abc \geq 0$
$\frac{\sqrt[2n]{a}}{\sqrt[2n]{b}} = \sqrt[2n]{\frac{a}{b}},\ a \geq 0,\ b > 0$
$\sqrt[2n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[2n]{|a|}}{\sqrt[2n]{|b|}},\ \frac{a}{b} \geq 0,\ b \neq 0$
$\sqrt[2n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[2nk]{a},\ a \geq 0$
$\sqrt[2nk]{a} = \sqrt[2n]{\sqrt[k]{a}},\ a \geq 0$
$(\sqrt[2n]{a})^{k} = \sqrt[2n]{a^{k}},\ a \geq 0$
$\sqrt[2n]{a^{2k}} = (\sqrt[2n]{|a|})^{2k},\ a \in R$
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Примеры решений задач с корнями
Задача
Упростить выражение: $$\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}}:\frac{1}{x^{2} – \sqrt{x}}$$
Решение
ОДЗ: $0 < x \neq 1$
$$\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)}:\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} – 1)}{1}$$
$$\frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} – 1)}{\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} – 1)}:\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} – 1)}{1}$$
$$\frac{x – 1}{\sqrt{x}(x\sqrt{x} – 1)}\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} – 1)}{1} = x – 1$$
Ответ
$x – 1$
Задача
Упростить выражение: $$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} – 4b}{(a – b):\left(\sqrt{\frac{1}{b}} + 3\sqrt{\frac{1}{a}}\right)}:\frac{a + 9b + 6\sqrt{ab}}{\frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}}}$$
Решение
ОДЗ: $\left\{ \begin{array}{ll}
a \neq b, \\
a > b, \\
b > 0.
\end{array} \right.$
$$\frac{a + 2\sqrt{ab} + b – 4b}{(\sqrt{a} – \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}):\left(\frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{3}{\sqrt{a}}\right)}:\frac{(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})^{2}}{\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}}$$
$$\frac{a + 2\sqrt{ab} – 3b}{(\sqrt{a} – \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}):\left(\frac{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\right)}:\frac{(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})^{2}\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$
$$\frac{(a + 2\sqrt{ab} – 3b)(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} – \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\sqrt{ab}(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})^{2}\sqrt{ab}}$$
$$\frac{a + 2\sqrt{ab} – 3b}{ab(a – \sqrt{ab} + 3\sqrt{ab – 3b})} = \frac{1}{ab}$$
Ответ
$\frac{1}{ab}$
Задача
Упростить выражение: $$\sqrt{\frac{2a}{(1 + a)\sqrt[3]{1 + a}}}\cdot\sqrt{\frac{4 + \frac{8}{a} + \frac{4}{a^{2}}}{\sqrt{2}}}$$
Решение
ОДЗ: $\left\{ \begin{array}{ll}
\frac{2a}{(1 + a)\sqrt[3]{1 + a}} \geq 0, \\
a \neq 0, \\
a \neq -1
\end{array} \right.$
$a > 0$
$$\sqrt[6]{\left(\frac{2a}{(1 + a)\sqrt[3]{1 + a}}\right)^{3}}\cdot\sqrt[6]{\left(\frac{4 + \frac{8}{a} + \frac{4}{a^{2}}}{\sqrt{2}}\right)^{2}}$$
$$\sqrt[6]{\frac{8a^{3}}{1 + a)^{3}(1 + a)}}\cdot\sqrt[6]{\left(\frac{4a^{2} + 8a + 4}{a^{2}\sqrt{2}}\right)^{2}}$$
$$\sqrt[6]{\frac{8a^{3}}{1 + a)^{4}}}\cdot\sqrt[6]{\frac{16(a + 1)^{4}}{2a^{4}}}$$
$$\sqrt[6]{\frac{8a^{3}}{1 + a)^{4}}\cdot{\frac{8(a + 1)^{4}}{a^{4}}}} = \sqrt[6]{\frac{64}{a}} = \frac{2\sqrt[6]{a^{5}}}{a}$$
Ответ
$\frac{2\sqrt[6]{a^{5}}}{a}$
Задача
Упростить выражение: $$\frac{\sqrt{(x + 2)^{2} – 8x}}{\sqrt{x} – \frac{2}{\sqrt{x}}}$$
Решение
ОДЗ: $0 < x \neq 2$
$$\frac{x^{2} + 4x + 4 – 8x}{\frac{(\sqrt{x})^{2} – 2}{\sqrt{x}}}$$
$$\frac{\sqrt{x}\sqrt{x^{2} – 4x – 4}}{x – 2}$$
$$\frac{\sqrt{x}\sqrt{(x^{2} – 2)^{2}}}{x – 2}$$
$$\frac{\sqrt{x}\cdot|x – 2|}{x – 2}$$
$$x < 2,\ -\sqrt{x}$$
$$x \in (2; +\infty),\ \sqrt{x}$$
Ответ
$x < 2,\ -\sqrt{x},\ \ \ \ x \in (2; +\infty),\ \sqrt{x}$
Задача
Упростить выражение: $$\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt{3\sqrt{2x – 2\sqrt{3x}}}$$
Решение
ОДЗ: $x \geq 0$
$$\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt{\sqrt{6x}(\sqrt{3} – \sqrt{2})}$$
$$\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt[4]{(\sqrt{6x}(\sqrt{3} – \sqrt{2}))^{2}}$$
$$\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt[4]{6x(5 – 2\sqrt{6})}$$
$$\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})\cdot6x(5 – 2\sqrt{6})}$$
$$\sqrt[4]{36x^{2}(25 – 24)} = \sqrt[4]{36x^{2}} = \sqrt{6x}$$
Ответ
$\sqrt{6x}$
Задача
Упростить выражение: $$\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[3]{4\sqrt{2x} – 2\sqrt{3x}}$$
Решение
ОДЗ: $x \geq 0$
$$\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[3]{2\sqrt{x}(2\sqrt{2} – \sqrt{3})}$$
$$\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[6]{(2\sqrt{x}(2\sqrt{2} – \sqrt{3}))^{2}}$$
$$\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[6]{(4x(11 – 4\sqrt{6})}$$
$$\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6})4x(11 – 4\sqrt{6})}$$
$$\sqrt[6]{16x^{2}(121 – 96)} = \sqrt[6]{400x^{2}} = \sqrt[3]{20x}$$
Ответ
$\sqrt[3]{20x}$
Задача
Упростить выражение: $$\frac{\sqrt{\frac{abc + 4}{a} + 4\sqrt{\frac{bc}{a}}}}{\sqrt{abc} + 2},\ a = 0,04$$
Решение
ОДЗ: $bc \geq 0$
$$\frac{\sqrt{\frac{abc + 4}{a} + \frac{4\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}}}{\sqrt{abc} + 2}$$
$$\frac{\sqrt{\frac{abc + 4\sqrt{abc} + 4}{a}}}{\sqrt{abc} + 2}$$
$$\frac{\sqrt{\frac{(\sqrt{abc} + 2)^{2}}{a}}}{\sqrt{abc} + 2}$$
$$\frac{\sqrt{abc} + 2}{\sqrt{a}(\sqrt{abc} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{0,04}} = \frac{1}{0,2} = 5$$
Ответ
$5$
Задача
Упростить выражение: $$\left((\frac{\sqrt[3]{x + y}}{\sqrt[3]{x – y}} + \frac{\sqrt[3]{x – y}}{\sqrt[3]{x + y}} – 2\right):\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x – y}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x + y}}\right)$$
Решение
ОДЗ: $x \neq \pm y$
$$\frac{(\sqrt[3]{x + y})^{2} -2(\sqrt[3]{(x + y)(x – y)} + (\sqrt[3]{x – y})^{2}}{\sqrt[3]{x^{2} – y^{2}}}:\frac{\sqrt[3]{x + y} – \sqrt[3]{x – y}}{\sqrt[3]{x^{2} – y^{2}}}$$
$$\frac{(\sqrt[3]{x + y} – \sqrt[3]{x – y})^{2}}{\sqrt[3]{x^{2} – y^{2}}}\cdot\frac{\sqrt[3]{x^{2} – y^{2}}}{\sqrt[3]{x + y} – \sqrt[3]{x – y}} = \sqrt[3]{x + y} – \sqrt[3]{x – y}$$
Ответ
$\sqrt[3]{x + y} – \sqrt[3]{x – y}$
Задача
Упростить выражение: $$\left(\left(\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{1}{x}\right):\left(\frac{x}{y^{2}} – \frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right)\right):\frac{(x – y)^{2} + 4xy}{1 + \frac{y}{x}}$$
Решение
ОДЗ: $\left\{ \begin{array}{ll}
x \neq 0, \\
y \neq 0, \\
x \neq -y.
\end{array} \right.$
$$\left(\frac{x^{3} + y^{3}}{xy^{3}}:\frac{x^{2} – xy + y^{2}}{xy^{2}}\right):\frac{-(x^{2} – 2xy + y^{2} + 4xy)x}{x + y}$$
$$\left(\frac{(x + y)(x^{2} – xy + y^{2})}{xy^{3}}\cdot\frac{xy^{2}}{x^{2} – xy + y^{2}}\right):\frac{(x + y)^{2}x}{x + y}$$
$$\frac{x + y}{y}\cdot\frac{1}{(x + y)x} = \frac{1}{xy}$$
Ответ
$\frac{1}{xy}$
Задача
Упростить выражение: $$\sqrt{\frac{(x^{2} – 3)^{2} + 12x^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{(x + 2)^{2} – 8x}$$
Решение
ОДЗ: $x \neq 0$
$$\sqrt{\frac{x^{4} – 6x^{2} + 9 + 12x^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{x^{2} – 4x + 4 – 8x}$$
$$\sqrt{\frac{x^{4} + 6x^{2} + 9}{x^{2}}} + \sqrt{x^{2} – 4x + 4}$$
$$\sqrt{\frac{(x + 3)^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{(x – 2)^{2}} = \frac{x^{2} + 3}{|x|} + |x – 2| = $$
$$ = \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{x^{2} + 3}{-x} – x + 2 = \frac{x^{2} + 3 + x^{2} – 2x}{-x} = \frac{2x^{2} – 2x + 3}{-x},\ x < 0, \\
\frac{x^{2} + 3}{x} – x + 2 = \frac{x^{2} + 3 – x^{2} + 2x}{x} = \frac{2x + 3}{x},\ 0 < x < 2, \\
\frac{x^{2} + 3}{x} + x – 2 = \frac{x^{2} + 3 + x^{2} – 2x}{x} = \frac{2x^{2} – 2x + 3}{x},\ x \geq 2.
\end{array} \right.$$
Ответ
$\frac{-2x^{2} + 2x – 3}{x},\ x \in (-\infty; 0)$
$\frac{2x + 3}{x},\ x \in (0; 2)$
$\frac{2x^{2} – 2x + 3}{x},\ x \in [2; +\infty)$