Алгоритм решения задач с корнями

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Алгебраические выражения, содержащие неизвестные под знаком корня, относятся к классу выражений с корнями.
Алгоритм
При решении задач на вычисление выражений, содержащих корни, используются свойства корней.
Свойства корней

\sqrt[2n + 1]{a}\cdot\sqrt[2n + 1]{b}\cdot\sqrt[2n + 1]{c} = \sqrt[2n + 1]{abc}

\sqrt[2n + 1]{abc} = \sqrt[2n + 1]{a}\cdot\sqrt[2n + 1]{b}\cdot\sqrt[2n + 1]{c}

\frac{\sqrt[2n + 1]{a}}{\sqrt[2n + 1]{b}} = \sqrt[2n + 1]{\frac{a}{b}},\ b \neq 0

\sqrt[2n + 1]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[2n + 1]{a}}{\sqrt[2n + 1]{b}},\ b \neq 0

(\sqrt[2n + 1]{a})^{k} = \sqrt[2n + 1]{a^{k}}

(\sqrt[2n + 1]{a^{k}} = (\sqrt[2n + 1]{a^{k}})^{k}

\sqrt[2m + 1]{\sqrt[2n + 1]{a}} = \sqrt[(2m + 1)(2n + 1)]{a}

\sqrt[(2m + 1)(2n + 1)]{a} = \sqrt[2m + 1]{\sqrt[2n + 1]{a}}

\sqrt[2n]{a}\cdot\sqrt[2n]{b}\cdot\sqrt[2n]{c} = \sqrt[2n]{abc},\ a \geq 0,\ b \geq 0,\ c \geq 0

\sqrt[2n]{abc} = \sqrt[2n]{|a|}\cdot\sqrt[2n]{|b|}\cdot\sqrt[2n]{|c|},\ abc \geq 0

\frac{\sqrt[2n]{a}}{\sqrt[2n]{b}} = \sqrt[2n]{\frac{a}{b}},\ a \geq 0,\ b > 0

\sqrt[2n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[2n]{|a|}}{\sqrt[2n]{|b|}},\ \frac{a}{b} \geq 0,\ b \neq 0

\sqrt[2n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[2nk]{a},\ a \geq 0

\sqrt[2nk]{a} = \sqrt[2n]{\sqrt[k]{a}},\ a \geq 0

(\sqrt[2n]{a})^{k} = \sqrt[2n]{a^{k}},\ a \geq 0

\sqrt[2n]{a^{2k}} = (\sqrt[2n]{|a|})^{2k},\ a \in R

Примеры решений задач с корнями

Пример 1

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}}:\frac{1}{x^{2} - \sqrt{x}}\]

Решение

ОДЗ: 0 < x \neq 1

    \[\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)}:\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}{1}\]

    \[\frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}:\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}{1}\]

    \[\frac{x - 1}{\sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}{1} = x - 1\]

Ответ

x - 1

Пример 2

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} - 4b}{(a - b):\left(\sqrt{\frac{1}{b}} + 3\sqrt{\frac{1}{a}}\right)}:\frac{a + 9b + 6\sqrt{ab}}{\frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}}}\]

Решение

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{ll} a \neq b, \\ a > b, \\ b > 0. \end{array} \right.

    \[\frac{a + 2\sqrt{ab} + b - 4b}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}):\left(\frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{3}{\sqrt{a}}\right)}:\frac{(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})^{2}}{\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}}\]

    \[\frac{a + 2\sqrt{ab} - 3b}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}):\left(\frac{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\right)}:\frac{(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})^{2}\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\]

    \[\frac{(a + 2\sqrt{ab} - 3b)(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\sqrt{ab}(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})^{2}\sqrt{ab}}\]

    \[\frac{a + 2\sqrt{ab} - 3b}{ab(a - \sqrt{ab} + 3\sqrt{ab - 3b})} = \frac{1}{ab}\]

Ответ

\frac{1}{ab}

Пример 3

Задача

Упростить выражение:

    \[\sqrt{\frac{2a}{(1 + a)\sqrt[3]{1 + a}}}\cdot\sqrt{\frac{4 + \frac{8}{a} + \frac{4}{a^{2}}}{\sqrt{2}}}\]

Решение

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2a}{(1 + a)\sqrt[3]{1 + a}} \geq 0, \\ a \neq 0, \\ a \neq -1 \end{array} \right.

a > 0

    \[\sqrt[6]{\left(\frac{2a}{(1 + a)\sqrt[3]{1 + a}}\right)^{3}}\cdot\sqrt[6]{\left(\frac{4 + \frac{8}{a} + \frac{4}{a^{2}}}{\sqrt{2}}\right)^{2}}\]

    \[\sqrt[6]{\frac{8a^{3}}{1 + a)^{3}(1 + a)}}\cdot\sqrt[6]{\left(\frac{4a^{2} + 8a + 4}{a^{2}\sqrt{2}}\right)^{2}}\]

    \[\sqrt[6]{\frac{8a^{3}}{1 + a)^{4}}}\cdot\sqrt[6]{\frac{16(a + 1)^{4}}{2a^{4}}}\]

    \[\sqrt[6]{\frac{8a^{3}}{1 + a)^{4}}\cdot{\frac{8(a + 1)^{4}}{a^{4}}}} = \sqrt[6]{\frac{64}{a}} = \frac{2\sqrt[6]{a^{5}}}{a}\]

Ответ

\frac{2\sqrt[6]{a^{5}}}{a}

Пример 4

Задача

Упростить выражение:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\frac{\sqrt{(x + 2)^{2} - 8x}}{\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}}\]

Решение

ОДЗ: 0 < x \neq 2

    \[\frac{x^{2} + 4x + 4 - 8x}{\frac{(\sqrt{x})^{2} - 2}{\sqrt{x}}}\]

    \[\frac{\sqrt{x}\sqrt{x^{2} - 4x - 4}}{x - 2}\]

    \[\frac{\sqrt{x}\sqrt{(x^{2} - 2)^{2}}}{x - 2}\]

    \[\frac{\sqrt{x}\cdot|x - 2|}{x - 2}\]

    \[x < 2,\ -\sqrt{x}\]

    \[x \in (2; +\infty),\ \sqrt{x}\]

Ответ

x < 2,\ -\sqrt{x},\ \ \ \ x \in (2; +\infty),\ \sqrt{x}

Пример 5

Задача

Упростить выражение:

    \[\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt{3\sqrt{2x - 2\sqrt{3x}}}\]

Решение

ОДЗ: x \geq 0

    \[\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt{\sqrt{6x}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}\]

    \[\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt[4]{(\sqrt{6x}(\sqrt{3} - \sqrt{2}))^{2}}\]

    \[\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt[4]{6x(5 - 2\sqrt{6})}\]

    \[\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})\cdot6x(5 - 2\sqrt{6})}\]

    \[\sqrt[4]{36x^{2}(25 - 24)} = \sqrt[4]{36x^{2}} = \sqrt{6x}\]

Ответ

\sqrt{6x}

Пример 6

Задача

Упростить выражение:

    \[\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[3]{4\sqrt{2x} - 2\sqrt{3x}}\]

Решение

ОДЗ: x \geq 0

    \[\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[3]{2\sqrt{x}(2\sqrt{2} - \sqrt{3})}\]

    \[\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[6]{(2\sqrt{x}(2\sqrt{2} - \sqrt{3}))^{2}}\]

    \[\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[6]{(4x(11 - 4\sqrt{6})}\]

    \[\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6})4x(11 - 4\sqrt{6})}\]

    \[\sqrt[6]{16x^{2}(121 - 96)} = \sqrt[6]{400x^{2}} = \sqrt[3]{20x}\]

Ответ

\sqrt[3]{20x}

Пример 7

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{\sqrt{\frac{abc + 4}{a} + 4\sqrt{\frac{bc}{a}}}}{\sqrt{abc} + 2},\ a = 0,04\]

Решение

ОДЗ: bc \geq 0

    \[\frac{\sqrt{\frac{abc + 4}{a} + \frac{4\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}}}{\sqrt{abc} + 2}\]

    \[\frac{\sqrt{\frac{abc + 4\sqrt{abc} + 4}{a}}}{\sqrt{abc} + 2}\]

    \[\frac{\sqrt{\frac{(\sqrt{abc} + 2)^{2}}{a}}}{\sqrt{abc} + 2}\]

    \[\frac{\sqrt{abc} + 2}{\sqrt{a}(\sqrt{abc} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{0,04}} = \frac{1}{0,2} = 5\]

Ответ

5

Пример 8

Задача

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Упростить выражение:

    \[\left((\frac{\sqrt[3]{x + y}}{\sqrt[3]{x - y}} + \frac{\sqrt[3]{x - y}}{\sqrt[3]{x + y}} - 2\right):\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x - y}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x + y}}\right)\]

Решение

ОДЗ: x \neq \pm y

    \[\frac{(\sqrt[3]{x + y})^{2} -2(\sqrt[3]{(x + y)(x - y)} + (\sqrt[3]{x - y})^{2}}{\sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}:\frac{\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}}{\sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}\]

    \[\frac{(\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y})^{2}}{\sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}\cdot\frac{\sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}} = \sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}\]

Ответ

\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}

Пример 9

Задача

Упростить выражение:

    \[\left(\left(\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{1}{x}\right):\left(\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right)\right):\frac{(x - y)^{2} + 4xy}{1 + \frac{y}{x}}\]

Решение

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{ll} x \neq 0, \\ y \neq 0, \\ x \neq -y. \end{array} \right.

    \[\left(\frac{x^{3} + y^{3}}{xy^{3}}:\frac{x^{2} - xy + y^{2}}{xy^{2}}\right):\frac{-(x^{2} - 2xy + y^{2} + 4xy)x}{x + y}\]

    \[\left(\frac{(x + y)(x^{2} - xy + y^{2})}{xy^{3}}\cdot\frac{xy^{2}}{x^{2} - xy + y^{2}}\right):\frac{(x + y)^{2}x}{x + y}\]

    \[\frac{x + y}{y}\cdot\frac{1}{(x + y)x} = \frac{1}{xy}\]

Ответ

\frac{1}{xy}

Пример 10

Задача

Упростить выражение:

    \[\sqrt{\frac{(x^{2} - 3)^{2} + 12x^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{(x + 2)^{2} - 8x}\]

Решение

ОДЗ: x \neq 0

    \[\sqrt{\frac{x^{4} - 6x^{2} + 9 + 12x^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{x^{2} - 4x + 4 - 8x}\]

    \[\sqrt{\frac{x^{4} + 6x^{2} + 9}{x^{2}}} + \sqrt{x^{2} - 4x + 4}\]

    \[\sqrt{\frac{(x + 3)^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{(x - 2)^{2}} = \frac{x^{2} + 3}{|x|} + |x - 2| =\]

    \[= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^{2} + 3}{-x} - x + 2 = \frac{x^{2} + 3 + x^{2} - 2x}{-x} = \frac{2x^{2} - 2x + 3}{-x},\ x < 0, \\ \frac{x^{2} + 3}{x} - x + 2 = \frac{x^{2} + 3 - x^{2} + 2x}{x} = \frac{2x + 3}{x},\ 0 < x < 2, \\ \frac{x^{2} + 3}{x} + x - 2 = \frac{x^{2} + 3 + x^{2} - 2x}{x} = \frac{2x^{2} - 2x + 3}{x},\ x \geq 2. \end{array} \right.\]

Ответ

\frac{-2x^{2} + 2x - 3}{x},\ x \in (-\infty; 0)

\frac{2x + 3}{x},\ x \in (0; 2)

\frac{2x^{2} - 2x + 3}{x},\ x \in [2; +\infty)

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

493

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также