Алгоритм решения задач с корнями

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Алгебраические выражения, содержащие неизвестные под знаком корня, относятся к классу выражений с корнями.
Алгоритм
При решении задач на вычисление выражений, содержащих корни, используются свойства корней.
Свойства корней

\sqrt[2n + 1]{a}\cdot\sqrt[2n + 1]{b}\cdot\sqrt[2n + 1]{c} = \sqrt[2n + 1]{abc}

\sqrt[2n + 1]{abc} = \sqrt[2n + 1]{a}\cdot\sqrt[2n + 1]{b}\cdot\sqrt[2n + 1]{c}

\frac{\sqrt[2n + 1]{a}}{\sqrt[2n + 1]{b}} = \sqrt[2n + 1]{\frac{a}{b}},\ b \neq 0

\sqrt[2n + 1]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[2n + 1]{a}}{\sqrt[2n + 1]{b}},\ b \neq 0

(\sqrt[2n + 1]{a})^{k} = \sqrt[2n + 1]{a^{k}}

(\sqrt[2n + 1]{a^{k}} = (\sqrt[2n + 1]{a^{k}})^{k}

\sqrt[2m + 1]{\sqrt[2n + 1]{a}} = \sqrt[(2m + 1)(2n + 1)]{a}

\sqrt[(2m + 1)(2n + 1)]{a} = \sqrt[2m + 1]{\sqrt[2n + 1]{a}}

\sqrt[2n]{a}\cdot\sqrt[2n]{b}\cdot\sqrt[2n]{c} = \sqrt[2n]{abc},\ a \geq 0,\ b \geq 0,\ c \geq 0

\sqrt[2n]{abc} = \sqrt[2n]{|a|}\cdot\sqrt[2n]{|b|}\cdot\sqrt[2n]{|c|},\ abc \geq 0

\frac{\sqrt[2n]{a}}{\sqrt[2n]{b}} = \sqrt[2n]{\frac{a}{b}},\ a \geq 0,\ b > 0

\sqrt[2n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[2n]{|a|}}{\sqrt[2n]{|b|}},\ \frac{a}{b} \geq 0,\ b \neq 0

\sqrt[2n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[2nk]{a},\ a \geq 0

\sqrt[2nk]{a} = \sqrt[2n]{\sqrt[k]{a}},\ a \geq 0

(\sqrt[2n]{a})^{k} = \sqrt[2n]{a^{k}},\ a \geq 0

\sqrt[2n]{a^{2k}} = (\sqrt[2n]{|a|})^{2k},\ a \in R

Примеры решений задач с корнями

Пример 1

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}}:\frac{1}{x^{2} - \sqrt{x}}\]

Решение

ОДЗ: 0 < x \neq 1

    \[\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)}:\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}{1}\]

    \[\frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}:\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}{1}\]

    \[\frac{x - 1}{\sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}{1} = x - 1\]

Ответ

x - 1

Пример 2

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} - 4b}{(a - b):\left(\sqrt{\frac{1}{b}} + 3\sqrt{\frac{1}{a}}\right)}:\frac{a + 9b + 6\sqrt{ab}}{\frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}}}\]

Решение

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{ll} a \neq b, \\ a > b, \\ b > 0. \end{array} \right.

    \[\frac{a + 2\sqrt{ab} + b - 4b}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}):\left(\frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{3}{\sqrt{a}}\right)}:\frac{(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})^{2}}{\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}}\]

    \[\frac{a + 2\sqrt{ab} - 3b}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}):\left(\frac{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\right)}:\frac{(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})^{2}\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\]

    \[\frac{(a + 2\sqrt{ab} - 3b)(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\sqrt{ab}(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})^{2}\sqrt{ab}}\]

    \[\frac{a + 2\sqrt{ab} - 3b}{ab(a - \sqrt{ab} + 3\sqrt{ab - 3b})} = \frac{1}{ab}\]

Ответ

\frac{1}{ab}

Пример 3

Задача

Упростить выражение:

    \[\sqrt{\frac{2a}{(1 + a)\sqrt[3]{1 + a}}}\cdot\sqrt{\frac{4 + \frac{8}{a} + \frac{4}{a^{2}}}{\sqrt{2}}}\]

Решение

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2a}{(1 + a)\sqrt[3]{1 + a}} \geq 0, \\ a \neq 0, \\ a \neq -1 \end{array} \right.

a > 0

    \[\sqrt[6]{\left(\frac{2a}{(1 + a)\sqrt[3]{1 + a}}\right)^{3}}\cdot\sqrt[6]{\left(\frac{4 + \frac{8}{a} + \frac{4}{a^{2}}}{\sqrt{2}}\right)^{2}}\]

    \[\sqrt[6]{\frac{8a^{3}}{1 + a)^{3}(1 + a)}}\cdot\sqrt[6]{\left(\frac{4a^{2} + 8a + 4}{a^{2}\sqrt{2}}\right)^{2}}\]

    \[\sqrt[6]{\frac{8a^{3}}{1 + a)^{4}}}\cdot\sqrt[6]{\frac{16(a + 1)^{4}}{2a^{4}}}\]

    \[\sqrt[6]{\frac{8a^{3}}{1 + a)^{4}}\cdot{\frac{8(a + 1)^{4}}{a^{4}}}} = \sqrt[6]{\frac{64}{a}} = \frac{2\sqrt[6]{a^{5}}}{a}\]

Ответ

\frac{2\sqrt[6]{a^{5}}}{a}

Пример 4

Задача

Упростить выражение:

Важно! Когда работу писать становится сложно, можно обратиться с вопросом к экспертам. Это поможет сделать работу быстро.

Подробнее

    \[\frac{\sqrt{(x + 2)^{2} - 8x}}{\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}}\]

Решение

ОДЗ: 0 < x \neq 2

    \[\frac{x^{2} + 4x + 4 - 8x}{\frac{(\sqrt{x})^{2} - 2}{\sqrt{x}}}\]

    \[\frac{\sqrt{x}\sqrt{x^{2} - 4x - 4}}{x - 2}\]

    \[\frac{\sqrt{x}\sqrt{(x^{2} - 2)^{2}}}{x - 2}\]

    \[\frac{\sqrt{x}\cdot|x - 2|}{x - 2}\]

    \[x < 2,\ -\sqrt{x}\]

    \[x \in (2; +\infty),\ \sqrt{x}\]

Ответ

x < 2,\ -\sqrt{x},\ \ \ \ x \in (2; +\infty),\ \sqrt{x}

Пример 5

Задача

Упростить выражение:

    \[\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt{3\sqrt{2x - 2\sqrt{3x}}}\]

Решение

ОДЗ: x \geq 0

    \[\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt{\sqrt{6x}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}\]

    \[\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt[4]{(\sqrt{6x}(\sqrt{3} - \sqrt{2}))^{2}}\]

    \[\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})}\cdot\sqrt[4]{6x(5 - 2\sqrt{6})}\]

    \[\sqrt[4]{6x(5 + 2\sqrt{6})\cdot6x(5 - 2\sqrt{6})}\]

    \[\sqrt[4]{36x^{2}(25 - 24)} = \sqrt[4]{36x^{2}} = \sqrt{6x}\]

Ответ

\sqrt{6x}

Пример 6

Задача

Упростить выражение:

    \[\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[3]{4\sqrt{2x} - 2\sqrt{3x}}\]

Решение

ОДЗ: x \geq 0

    \[\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[3]{2\sqrt{x}(2\sqrt{2} - \sqrt{3})}\]

    \[\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[6]{(2\sqrt{x}(2\sqrt{2} - \sqrt{3}))^{2}}\]

    \[\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6}}\cdot\sqrt[6]{(4x(11 - 4\sqrt{6})}\]

    \[\sqrt[6]{4x(11 + 4\sqrt{6})4x(11 - 4\sqrt{6})}\]

    \[\sqrt[6]{16x^{2}(121 - 96)} = \sqrt[6]{400x^{2}} = \sqrt[3]{20x}\]

Ответ

\sqrt[3]{20x}

Пример 7

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{\sqrt{\frac{abc + 4}{a} + 4\sqrt{\frac{bc}{a}}}}{\sqrt{abc} + 2},\ a = 0,04\]

Решение

ОДЗ: bc \geq 0

    \[\frac{\sqrt{\frac{abc + 4}{a} + \frac{4\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}}}{\sqrt{abc} + 2}\]

    \[\frac{\sqrt{\frac{abc + 4\sqrt{abc} + 4}{a}}}{\sqrt{abc} + 2}\]

    \[\frac{\sqrt{\frac{(\sqrt{abc} + 2)^{2}}{a}}}{\sqrt{abc} + 2}\]

    \[\frac{\sqrt{abc} + 2}{\sqrt{a}(\sqrt{abc} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{0,04}} = \frac{1}{0,2} = 5\]

Ответ

5

Пример 8

Задача

Упростить выражение:

    \[\left((\frac{\sqrt[3]{x + y}}{\sqrt[3]{x - y}} + \frac{\sqrt[3]{x - y}}{\sqrt[3]{x + y}} - 2\right):\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x - y}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x + y}}\right)\]

Решение

ОДЗ: x \neq \pm y

    \[\frac{(\sqrt[3]{x + y})^{2} -2(\sqrt[3]{(x + y)(x - y)} + (\sqrt[3]{x - y})^{2}}{\sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}:\frac{\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}}{\sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}\]

    \[\frac{(\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y})^{2}}{\sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}\cdot\frac{\sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}} = \sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}\]

Ответ

\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}

Пример 9

Задача

Упростить выражение:

    \[\left(\left(\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{1}{x}\right):\left(\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right)\right):\frac{(x - y)^{2} + 4xy}{1 + \frac{y}{x}}\]

Решение

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{ll} x \neq 0, \\ y \neq 0, \\ x \neq -y. \end{array} \right.

    \[\left(\frac{x^{3} + y^{3}}{xy^{3}}:\frac{x^{2} - xy + y^{2}}{xy^{2}}\right):\frac{-(x^{2} - 2xy + y^{2} + 4xy)x}{x + y}\]

    \[\left(\frac{(x + y)(x^{2} - xy + y^{2})}{xy^{3}}\cdot\frac{xy^{2}}{x^{2} - xy + y^{2}}\right):\frac{(x + y)^{2}x}{x + y}\]

    \[\frac{x + y}{y}\cdot\frac{1}{(x + y)x} = \frac{1}{xy}\]

Ответ

\frac{1}{xy}

Пример 10

Задача

Упростить выражение:

    \[\sqrt{\frac{(x^{2} - 3)^{2} + 12x^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{(x + 2)^{2} - 8x}\]

Решение

ОДЗ: x \neq 0

    \[\sqrt{\frac{x^{4} - 6x^{2} + 9 + 12x^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{x^{2} - 4x + 4 - 8x}\]

    \[\sqrt{\frac{x^{4} + 6x^{2} + 9}{x^{2}}} + \sqrt{x^{2} - 4x + 4}\]

    \[\sqrt{\frac{(x + 3)^{2}}{x^{2}}} + \sqrt{(x - 2)^{2}} = \frac{x^{2} + 3}{|x|} + |x - 2| =\]

    \[= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^{2} + 3}{-x} - x + 2 = \frac{x^{2} + 3 + x^{2} - 2x}{-x} = \frac{2x^{2} - 2x + 3}{-x},\ x < 0, \\ \frac{x^{2} + 3}{x} - x + 2 = \frac{x^{2} + 3 - x^{2} + 2x}{x} = \frac{2x + 3}{x},\ 0 < x < 2, \\ \frac{x^{2} + 3}{x} + x - 2 = \frac{x^{2} + 3 + x^{2} - 2x}{x} = \frac{2x^{2} - 2x + 3}{x},\ x \geq 2. \end{array} \right.\]

Ответ

\frac{-2x^{2} + 2x - 3}{x},\ x \in (-\infty; 0)

\frac{2x + 3}{x},\ x \in (0; 2)

\frac{2x^{2} - 2x + 3}{x},\ x \in [2; +\infty)

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

171

Решение для вас

Помощь с работой Список услуг

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также