Примеры решения задач со степенями с ответами

Простое объяснение принципов решения задач со степенями и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения задач со степенями

Теорема

Алгебраические выражения, содержащие неизвестные в основании или показателе степени, относятся к классу выражений со степенями.

Алгоритм

При решении задач на упрощение выражений, содержащих переменные в основании или показателе степени, используются свойства степеней.

Свойства степеней

$a^{m}\cdot a^{n} = a^{m + n}$

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

$(a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}$

$(a\cdot b)^{n} = a^{n}\cdot b^{n}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений задач со степенями

Пример 1

Задача

Упростить выражение:

$\left(\frac{(a + b)^{-\frac{n}{4}}\cdot c^{\frac{1}{2}}}{a^{2 - n}b^{-\frac{3}{4}}}\right)^{\frac{4}{3}}:\left(\frac{b^{3}c^{4}}{(a + b)^{2n}a^{16 - 8n}}\right)^{\frac{1}{6}},\ b = 0,04$

Решение

ОДЗ: $a \neq -b = -0,04$

$\left(\frac{(a + b)^{-\frac{n}{4}}\cdot c^{\frac{1}{2}}}{a^{2 - n}b^{-\frac{3}{4}}}\right)^{\frac{4}{3}} = \frac{(a + b)^{-\frac{n}{3}}\cdot c^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{8 - 4n}{3}}b^{-1}} = \frac{bc^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{8 - 4n}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}}$

$\left(\frac{b^{3}c^{4}}{(a + b)^{2n}a^{16 - 8n}}\right)^{\frac{1}{6}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}\cdot c^{\frac{2}{3}}}{(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot a^{8 - \frac{4n}{3}}}$

$\frac{\frac{bc^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{8 - 4n}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}}}{\frac{b^{\frac{1}{2}}\cdot c^{\frac{2}{3}}}{(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot a^{8 - \frac{4n}{3}}}} = \frac{bc^{\frac{2}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot a^{\frac{8 - 4n}{3}}} {a^{\frac{8 - 4n}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot b^{\frac{1}{2}}\cdot c^{\frac{2}{3}}} =$

$b^{\frac{1}{2}} = (0,04)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,04} = 0,2$

Ответ

$0,2$

Пример 2

Задача

Упростить выражение:

$\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - 3x^{-\frac{1}{3}}} - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}} - \frac{x + 1}{x^{2} - 4x + 3}$

Решение

ОДЗ: $\left\{ \begin{array}{ll} x \neq 0, \\ x \neq 1, \\ x \neq 3. \end{array} \right.$

$\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{x^{-\frac{1}{3}}(x - 3)} - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}(x - 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1)(x - 3)} =$

$= \frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{2x - 2 - x + 3 - x - 1}{(x - 1)(x - 3)}$

$= \frac{0}{(x - 1)(x - 3)} = 0$

Ответ

$0$

Пример 3

Задача

Упростить выражение:

$\left(\left(\frac{2^{\frac{3}{2}} 27y^{\frac{3}{5}}}{\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y}} + 3\sqrt[10]{32y^{2}} - 2\right)\cdot3^{-2}\right)^{5}$

Решение

ОДЗ: $\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y} \neq 0,\ y \neq -\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{5}$

$\left(\left(\frac{(\sqrt{2})^{3} + (3\sqrt[5]{y})^{3}}{\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y}} + 3\sqrt{2}\sqrt[5]{y} - 2\right)\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} =$

$= \left(\left(\frac{(\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y})((\sqrt{2})^{2} - 3\sqrt{2}\sqrt[5]{y} + (3\sqrt[5]{y})^{2})}{\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y}} + 3\sqrt{2}\sqrt[5]{y} - 2\right)\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} =$

$\left(\left(2 + 9\sqrt[5]{y^{2}} - 2\right)\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} = \left(9\sqrt[5]{y^{2}}\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} = \left(\sqrt[5]{y^{2}}\right)^{5} = y^{2}$

Ответ

$y^{2}$

Пример 4

Задача

Упростить выражение:

$\frac{x - 1}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} + 1}\cdot x^{\frac{1}{4}} + 1$

Решение

ОДЗ: $x > 0$

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{2}{4}}}\cdot\frac{x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 1}\cdot x^{\frac{1}{4}} + 1 =$

$= \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{2}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)}\cdot\frac{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)}{1} + x^{\frac{1}{4}} + 1 = x^{\frac{1}{2}} - 1 + 1 = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

Ответ

$\sqrt{x}$

Пример 5

Задача

Упростить выражение:

$\frac{1 - x{-2}}{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x^{-2} - x}{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}$

Решение

ОДЗ: $\left\{ \begin{array}{ll} x > 0, \\ x \neq 1. \end{array} \right.$

$\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}} + \frac{\frac{1}{x^{2}} - x}{\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}} - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}} =$

$= \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} - x}{\frac{(\sqrt{x})^{2} - 1}{\sqrt{x}}} - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}} =$

$= \frac{(1 - x)\sqrt{x}}{x - 1} - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}} = -\sqrt{x - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}}} =$

$= \frac{-\sqrt{x}\sqrt{x^{3}} - 2}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{-\sqrt{x^{4}} - 2}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{-x^{2} - 2}{\sqrt{x^{3}}} =$

$= -\frac{x^{2} + 2}{x\sqrt{x}} = -\frac{(x^{2} + 2)\sqrt{x}}{x\sqrt{x}\sqrt{x}} = -\frac{(x^{2} + 2)\sqrt{x}}{x^{2}} = -\sqrt{x}\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)$

Ответ

$-\sqrt{x}\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)$

Пример 6

Задача

Упростить выражение:

$\left(\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}\right)$

Решение

ОДЗ: $0 < a \neq 1$

$\left(\frac{(\sqrt{a})^{2} - 1}{2\sqrt{a}}\right)^{2}\cdot\frac{(\sqrt{a} - 1)^{2} - (\sqrt{a} + 1)^{2}}{(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)} =$

$= \frac{(a - 1)^{2}}{4a}\cdot\frac{a - 2\sqrt{a} + 1 - a - 2\sqrt{a} - 1}{a - 1} =$

$= \frac{(a - 1)^{2}(-4\sqrt{a})}{4a(a - 1)} = -\frac{a - 1}{\sqrt{a}} = \frac{1 - a}{\sqrt{a}}$

Ответ

$\frac{1 - a}{\sqrt{a}}$

Пример 7

Задача

Упростить выражение:

$\frac{1}{2(1 + \sqrt{a})} + \frac{1}{2(1 - \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 2}{1 - a^{3}}$

Решение

ОДЗ: $0 \leq a \neq 1$

$\frac{1 - \sqrt{a}) + 1 + \sqrt{a}}{2(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 2}{1 - a^{3}} =$

$= \frac{2}{2(1 - a)} - \frac{a^{2} + 2}{(1 - a)(1 + a + a^{2})} =$

$= \frac{1}{1 - a} - \frac{a^{2} + 2}{(1 - a)(1 + a + a^{2})} =$

$= \frac{1 + a + a^{2} - a^{2} - 2}{(1 - a)(1 + a + a^{2})} = \frac{-(1 - a)}{(1 - a)(1 + a + a^{2})}$

$= \frac{-1}{1 + a + a^{2}}$

Ответ

$\frac{-1}{1 + a + a^{2}}$

Пример 8

Задача

Упростить выражение:

$\frac{(2p - q)^{2} + 2^{2} - 3pq}{2p^{-1} + q^{2}}:\frac{4p^{2} - 3pq}{2 + pq^{2}}$

Решение

$\frac{4p^{2} - 4pq + q^{2} + 2q^{2} - 3pq}{2p + q^{2}}\cdot\frac{2 + pq^{2}}{p(4p - 3q)} =$

$= \frac{(4p^{2} - 7pq + 3q^{2})p}{2 + pq^{2}}\cdot\frac{2 + pq^{2}}{p(4p - 3q)} =$

$= \frac{(p - q(4p - 3q))}{4p - 3q} = p - q$

Ответ

$p - q$

Пример 9

Задача

Упростить выражение:

$\frac{2(x^{4} + 4x^{2} - 12) + x^{4} + 11x^{2} + 30}{x^{2} + 6}$

Решение

$\frac{2(x^{2} + 6)(x^{2} - 2) + (x^{2} + 6)(x^{2} + 5)}{x^{2} + 6} =$

$= \frac{(x^{2} + 6)(2(x^{2} - 2) + x^{2} + 5)}{x^{2} + 6} =$

$= 2x^{2} - 4 + x^{2} + 5 = 3x^{2} + 1 = 1 + 3x^{2}$

Ответ

$1 + 3x^{2}$

Пример 10

Задача

Упростить выражение:

$((1 - p^{2})^{-\frac{1}{2}} - (1 + p^{2})^{-\frac{1}{2}})^{2} + 2(1 - p^{4})^{-\frac{1}{2}}$

Решение

ОДЗ: $-1 < p \neq 1$

$\left(\frac{1}{\sqrt{1 - p^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 + p^{2}}}\right)^{2} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =$

$= \left(\frac{\sqrt{1 + p^{2}} - \sqrt{1 - p^{2}}}{\sqrt{1 - p^{4}}}\right)^{2} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =$

$= \frac{1 + p^{2} - 2\sqrt{1 - p^{4}} + 1 - p^{2}}{1 - p^{4}} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =$

$= \frac{2 - 2\sqrt{1 - p^{4}}}{1 - p^{4}} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =$

$= \frac{2 - 2\sqrt{1 - p^{4}} + 2\sqrt{1 - p^{4}}}{1 - p^{4}} = \frac{2}{1 - p^{4}}$

Ответ

$\frac{2}{1 - p^{4}}$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Виктория З.

Редактор.

Копирайтер со стажем, автор текстов для образовательных презентаций.

Добавить комментарий Отменить ответ

Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.