Алгоритм решения задач со степенями

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Алгебраические выражения, содержащие неизвестные в основании или показателе степени, относятся к классу выражений со степенями.
Алгоритм
При решении задач на упрощение выражений, содержащих переменные в основании или показателе степени, используются свойства степеней.
Свойства степеней

    \[a^{m}\cdot a^{n} = a^{m + n}\]

    \[\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}\]

    \[(a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}\]

    \[(a\cdot b)^{n} = a^{n}\cdot b^{n}\]

    \[\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}\]

Примеры решений задач со степенями

Пример 1

Задача

Упростить выражение:

    \[\left(\frac{(a + b)^{-\frac{n}{4}}\cdot c^{\frac{1}{2}}}{a^{2 - n}b^{-\frac{3}{4}}}\right)^{\frac{4}{3}}:\left(\frac{b^{3}c^{4}}{(a + b)^{2n}a^{16 - 8n}}\right)^{\frac{1}{6}},\ b = 0,04\]

Решение

ОДЗ: a \neq -b = -0,04

    \[\left(\frac{(a + b)^{-\frac{n}{4}}\cdot c^{\frac{1}{2}}}{a^{2 - n}b^{-\frac{3}{4}}}\right)^{\frac{4}{3}} = \frac{(a + b)^{-\frac{n}{3}}\cdot c^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{8 - 4n}{3}}b^{-1}} = \frac{bc^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{8 - 4n}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}}\]

    \[\left(\frac{b^{3}c^{4}}{(a + b)^{2n}a^{16 - 8n}}\right)^{\frac{1}{6}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}\cdot c^{\frac{2}{3}}}{(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot a^{8 - \frac{4n}{3}}}\]

    \[\frac{\frac{bc^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{8 - 4n}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}}}{\frac{b^{\frac{1}{2}}\cdot c^{\frac{2}{3}}}{(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot a^{8 - \frac{4n}{3}}}} = \frac{bc^{\frac{2}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot a^{\frac{8 - 4n}{3}}} {a^{\frac{8 - 4n}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot b^{\frac{1}{2}}\cdot c^{\frac{2}{3}}} =\]

    \[b^{\frac{1}{2}} = (0,04)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,04} = 0,2\]

Ответ

0,2

Пример 2

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - 3x^{-\frac{1}{3}}} - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}} - \frac{x + 1}{x^{2} - 4x + 3}\]

Решение

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{ll} x \neq 0, \\ x \neq 1, \\ x \neq 3. \end{array} \right.

    \[\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{x^{-\frac{1}{3}}(x - 3)} - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}(x - 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1)(x - 3)} =\]

    \[= \frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{2x - 2 - x + 3 - x - 1}{(x - 1)(x - 3)}\]

    \[= \frac{0}{(x - 1)(x - 3)} = 0\]

Ответ

0

Пример 3

Задача

Упростить выражение:

    \[\left(\left(\frac{2^{\frac{3}{2}} 27y^{\frac{3}{5}}}{\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y}} + 3\sqrt[10]{32y^{2}} - 2\right)\cdot3^{-2}\right)^{5}\]

Решение

ОДЗ: \sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y} \neq 0,\ y \neq -\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{5}

    \[\left(\left(\frac{(\sqrt{2})^{3} + (3\sqrt[5]{y})^{3}}{\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y}} + 3\sqrt{2}\sqrt[5]{y} - 2\right)\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} =\]

    \[= \left(\left(\frac{(\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y})((\sqrt{2})^{2} - 3\sqrt{2}\sqrt[5]{y} + (3\sqrt[5]{y})^{2})}{\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y}} + 3\sqrt{2}\sqrt[5]{y} - 2\right)\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} =\]

    \[\left(\left(2 + 9\sqrt[5]{y^{2}} - 2\right)\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} = \left(9\sqrt[5]{y^{2}}\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} = \left(\sqrt[5]{y^{2}}\right)^{5} = y^{2}\]

Ответ

y^{2}

Пример 4

Задача

Упростить выражение:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\frac{x - 1}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} + 1}\cdot x^{\frac{1}{4}} + 1\]

Решение

ОДЗ: x > 0

    \[\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{2}{4}}}\cdot\frac{x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 1}\cdot x^{\frac{1}{4}} + 1 =\]

    \[= \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{2}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)}\cdot\frac{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)}{1} + x^{\frac{1}{4}} + 1 = x^{\frac{1}{2}} - 1 + 1 = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}\]

Ответ

\sqrt{x}

Пример 5

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{1 - x{-2}}{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x^{-2} - x}{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}\]

Решение

ОДЗ: \left\{ \begin{array}{ll} x > 0, \\ x \neq 1. \end{array} \right.

    \[\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}} + \frac{\frac{1}{x^{2}} - x}{\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}} - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}} =\]

    \[= \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} - x}{\frac{(\sqrt{x})^{2} - 1}{\sqrt{x}}} - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}} =\]

    \[= \frac{(1 - x)\sqrt{x}}{x - 1} - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}} = -\sqrt{x - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}}} =\]

    \[= \frac{-\sqrt{x}\sqrt{x^{3}} - 2}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{-\sqrt{x^{4}} - 2}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{-x^{2} - 2}{\sqrt{x^{3}}} =\]

    \[= -\frac{x^{2} + 2}{x\sqrt{x}} = -\frac{(x^{2} + 2)\sqrt{x}}{x\sqrt{x}\sqrt{x}} = -\frac{(x^{2} + 2)\sqrt{x}}{x^{2}} = -\sqrt{x}\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)\]

Ответ

-\sqrt{x}\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)

Пример 6

Задача

Упростить выражение:

    \[\left(\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}\right)\]

Решение

ОДЗ: 0 < a \neq 1

    \[\left(\frac{(\sqrt{a})^{2} - 1}{2\sqrt{a}}\right)^{2}\cdot\frac{(\sqrt{a} - 1)^{2} - (\sqrt{a} + 1)^{2}}{(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)} =\]

    \[= \frac{(a - 1)^{2}}{4a}\cdot\frac{a - 2\sqrt{a} + 1 - a - 2\sqrt{a} - 1}{a - 1} =\]

    \[= \frac{(a - 1)^{2}(-4\sqrt{a})}{4a(a - 1)} = -\frac{a - 1}{\sqrt{a}} = \frac{1 - a}{\sqrt{a}}\]

Ответ

\frac{1 - a}{\sqrt{a}}

Пример 7

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{1}{2(1 + \sqrt{a})} + \frac{1}{2(1 - \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 2}{1 - a^{3}}\]

Решение

ОДЗ: 0 \leq a \neq 1

    \[\frac{1 - \sqrt{a}) + 1 + \sqrt{a}}{2(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 2}{1 - a^{3}} =\]

    \[= \frac{2}{2(1 - a)} - \frac{a^{2} + 2}{(1 - a)(1 + a + a^{2})} =\]

    \[= \frac{1}{1 - a} - \frac{a^{2} + 2}{(1 - a)(1 + a + a^{2})} =\]

    \[= \frac{1 + a + a^{2} - a^{2} - 2}{(1 - a)(1 + a + a^{2})} = \frac{-(1 - a)}{(1 - a)(1 + a + a^{2})}\]

    \[= \frac{-1}{1 + a + a^{2}}\]

Ответ

\frac{-1}{1 + a + a^{2}}

Пример 8

Задача

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Упростить выражение:

    \[\frac{(2p - q)^{2} + 2^{2} - 3pq}{2p^{-1} + q^{2}}:\frac{4p^{2} - 3pq}{2 + pq^{2}}\]

Решение

    \[\frac{4p^{2} - 4pq + q^{2} + 2q^{2} - 3pq}{2p + q^{2}}\cdot\frac{2 + pq^{2}}{p(4p - 3q)} =\]

    \[= \frac{(4p^{2} - 7pq + 3q^{2})p}{2 + pq^{2}}\cdot\frac{2 + pq^{2}}{p(4p - 3q)} =\]

    \[= \frac{(p - q(4p - 3q))}{4p - 3q} = p - q\]

Ответ

p - q

Пример 9

Задача

Упростить выражение:

    \[\frac{2(x^{4} + 4x^{2} - 12) + x^{4} + 11x^{2} + 30}{x^{2} + 6}\]

Решение

    \[\frac{2(x^{2} + 6)(x^{2} - 2) + (x^{2} + 6)(x^{2} + 5)}{x^{2} + 6} =\]

    \[= \frac{(x^{2} + 6)(2(x^{2} - 2) + x^{2} + 5)}{x^{2} + 6} =\]

    \[= 2x^{2} - 4 + x^{2} + 5 = 3x^{2} + 1 = 1 + 3x^{2}\]

Ответ

1 + 3x^{2}

Пример 10

Задача

Упростить выражение:

    \[((1 - p^{2})^{-\frac{1}{2}} - (1 + p^{2})^{-\frac{1}{2}})^{2} + 2(1 - p^{4})^{-\frac{1}{2}}\]

Решение

ОДЗ: -1 < p \neq 1

    \[\left(\frac{1}{\sqrt{1 - p^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 + p^{2}}}\right)^{2} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =\]

    \[= \left(\frac{\sqrt{1 + p^{2}} - \sqrt{1 - p^{2}}}{\sqrt{1 - p^{4}}}\right)^{2} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =\]

    \[= \frac{1 + p^{2} - 2\sqrt{1 - p^{4}} + 1 - p^{2}}{1 - p^{4}} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =\]

    \[= \frac{2 - 2\sqrt{1 - p^{4}}}{1 - p^{4}} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =\]

    \[= \frac{2 - 2\sqrt{1 - p^{4}} + 2\sqrt{1 - p^{4}}}{1 - p^{4}} = \frac{2}{1 - p^{4}}\]

Ответ

\frac{2}{1 - p^{4}}

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1140

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также