Алгоритм решения задач со степенями

Теорема

Алгебраические выражения, содержащие неизвестные в основании или показателе степени, относятся к классу выражений со степенями.

Алгоритм

При решении задач на упрощение выражений, содержащих переменные в основании или показателе степени, используются свойства степеней.

Свойства степеней

$a^{m}\cdot a^{n} = a^{m + n}$

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

$(a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}$

$(a\cdot b)^{n} = a^{n}\cdot b^{n}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений задач со степенями

Пример 1

Задача

Упростить выражение:

$\left(\frac{(a + b)^{-\frac{n}{4}}\cdot c^{\frac{1}{2}}}{a^{2 - n}b^{-\frac{3}{4}}}\right)^{\frac{4}{3}}:\left(\frac{b^{3}c^{4}}{(a + b)^{2n}a^{16 - 8n}}\right)^{\frac{1}{6}},\ b = 0,04$

Решение

ОДЗ: $a \neq -b = -0,04$

$\left(\frac{(a + b)^{-\frac{n}{4}}\cdot c^{\frac{1}{2}}}{a^{2 - n}b^{-\frac{3}{4}}}\right)^{\frac{4}{3}} = \frac{(a + b)^{-\frac{n}{3}}\cdot c^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{8 - 4n}{3}}b^{-1}} = \frac{bc^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{8 - 4n}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}}$

$\left(\frac{b^{3}c^{4}}{(a + b)^{2n}a^{16 - 8n}}\right)^{\frac{1}{6}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}\cdot c^{\frac{2}{3}}}{(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot a^{8 - \frac{4n}{3}}}$

$\frac{\frac{bc^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{8 - 4n}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}}}{\frac{b^{\frac{1}{2}}\cdot c^{\frac{2}{3}}}{(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot a^{8 - \frac{4n}{3}}}} = \frac{bc^{\frac{2}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot a^{\frac{8 - 4n}{3}}} {a^{\frac{8 - 4n}{3}}\cdot(a + b)^{\frac{n}{3}}\cdot b^{\frac{1}{2}}\cdot c^{\frac{2}{3}}} =$

$b^{\frac{1}{2}} = (0,04)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,04} = 0,2$

Ответ

$0,2$

Пример 2

Задача

Упростить выражение:

$\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - 3x^{-\frac{1}{3}}} - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}} - \frac{x + 1}{x^{2} - 4x + 3}$

Решение

ОДЗ: $\left\{ \begin{array}{ll} x \neq 0, \\ x \neq 1, \\ x \neq 3. \end{array} \right.$

$\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{x^{-\frac{1}{3}}(x - 3)} - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}(x - 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1)(x - 3)} =$

$= \frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{2x - 2 - x + 3 - x - 1}{(x - 1)(x - 3)}$

$= \frac{0}{(x - 1)(x - 3)} = 0$

Ответ

$0$

Пример 3

Задача

Упростить выражение:

$\left(\left(\frac{2^{\frac{3}{2}} 27y^{\frac{3}{5}}}{\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y}} + 3\sqrt[10]{32y^{2}} - 2\right)\cdot3^{-2}\right)^{5}$

Решение

ОДЗ: $\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y} \neq 0,\ y \neq -\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{5}$

$\left(\left(\frac{(\sqrt{2})^{3} + (3\sqrt[5]{y})^{3}}{\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y}} + 3\sqrt{2}\sqrt[5]{y} - 2\right)\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} =$

$= \left(\left(\frac{(\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y})((\sqrt{2})^{2} - 3\sqrt{2}\sqrt[5]{y} + (3\sqrt[5]{y})^{2})}{\sqrt{2} + 3\sqrt[5]{y}} + 3\sqrt{2}\sqrt[5]{y} - 2\right)\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} =$

$\left(\left(2 + 9\sqrt[5]{y^{2}} - 2\right)\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} = \left(9\sqrt[5]{y^{2}}\cdot\frac{1}{9}\right)^{5} = \left(\sqrt[5]{y^{2}}\right)^{5} = y^{2}$

Ответ

$y^{2}$

Пример 4

Задача

Упростить выражение:

$\frac{x - 1}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} + 1}\cdot x^{\frac{1}{4}} + 1$

Решение

ОДЗ: $x > 0$

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{2}{4}}}\cdot\frac{x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 1}\cdot x^{\frac{1}{4}} + 1 =$

$= \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{2}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)}\cdot\frac{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)}{1} + x^{\frac{1}{4}} + 1 = x^{\frac{1}{2}} - 1 + 1 = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

Ответ

$\sqrt{x}$

Пример 5

Задача

Упростить выражение:

$\frac{1 - x{-2}}{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x^{-2} - x}{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}$

Решение

ОДЗ: $\left\{ \begin{array}{ll} x > 0, \\ x \neq 1. \end{array} \right.$

$\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}} + \frac{\frac{1}{x^{2}} - x}{\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}} - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}} =$

$= \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} - x}{\frac{(\sqrt{x})^{2} - 1}{\sqrt{x}}} - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}} =$

$= \frac{(1 - x)\sqrt{x}}{x - 1} - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}} = -\sqrt{x - \frac{2}{\sqrt{x^{3}}}} =$

$= \frac{-\sqrt{x}\sqrt{x^{3}} - 2}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{-\sqrt{x^{4}} - 2}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{-x^{2} - 2}{\sqrt{x^{3}}} =$

$= -\frac{x^{2} + 2}{x\sqrt{x}} = -\frac{(x^{2} + 2)\sqrt{x}}{x\sqrt{x}\sqrt{x}} = -\frac{(x^{2} + 2)\sqrt{x}}{x^{2}} = -\sqrt{x}\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)$

Ответ

$-\sqrt{x}\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)$

Пример 6

Задача

Упростить выражение:

$\left(\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}\right)$

Решение

ОДЗ: $0 < a \neq 1$

$\left(\frac{(\sqrt{a})^{2} - 1}{2\sqrt{a}}\right)^{2}\cdot\frac{(\sqrt{a} - 1)^{2} - (\sqrt{a} + 1)^{2}}{(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)} =$

$= \frac{(a - 1)^{2}}{4a}\cdot\frac{a - 2\sqrt{a} + 1 - a - 2\sqrt{a} - 1}{a - 1} =$

$= \frac{(a - 1)^{2}(-4\sqrt{a})}{4a(a - 1)} = -\frac{a - 1}{\sqrt{a}} = \frac{1 - a}{\sqrt{a}}$

Ответ

$\frac{1 - a}{\sqrt{a}}$

Пример 7

Задача

Упростить выражение:

$\frac{1}{2(1 + \sqrt{a})} + \frac{1}{2(1 - \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 2}{1 - a^{3}}$

Решение

ОДЗ: $0 \leq a \neq 1$

$\frac{1 - \sqrt{a}) + 1 + \sqrt{a}}{2(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 2}{1 - a^{3}} =$

$= \frac{2}{2(1 - a)} - \frac{a^{2} + 2}{(1 - a)(1 + a + a^{2})} =$

$= \frac{1}{1 - a} - \frac{a^{2} + 2}{(1 - a)(1 + a + a^{2})} =$

$= \frac{1 + a + a^{2} - a^{2} - 2}{(1 - a)(1 + a + a^{2})} = \frac{-(1 - a)}{(1 - a)(1 + a + a^{2})}$

$= \frac{-1}{1 + a + a^{2}}$

Ответ

$\frac{-1}{1 + a + a^{2}}$

Пример 8

Задача

Упростить выражение:

$\frac{(2p - q)^{2} + 2^{2} - 3pq}{2p^{-1} + q^{2}}:\frac{4p^{2} - 3pq}{2 + pq^{2}}$

Решение

$\frac{4p^{2} - 4pq + q^{2} + 2q^{2} - 3pq}{2p + q^{2}}\cdot\frac{2 + pq^{2}}{p(4p - 3q)} =$

$= \frac{(4p^{2} - 7pq + 3q^{2})p}{2 + pq^{2}}\cdot\frac{2 + pq^{2}}{p(4p - 3q)} =$

$= \frac{(p - q(4p - 3q))}{4p - 3q} = p - q$

Ответ

$p - q$

Пример 9

Задача

Упростить выражение:

$\frac{2(x^{4} + 4x^{2} - 12) + x^{4} + 11x^{2} + 30}{x^{2} + 6}$

Решение

$\frac{2(x^{2} + 6)(x^{2} - 2) + (x^{2} + 6)(x^{2} + 5)}{x^{2} + 6} =$

$= \frac{(x^{2} + 6)(2(x^{2} - 2) + x^{2} + 5)}{x^{2} + 6} =$

$= 2x^{2} - 4 + x^{2} + 5 = 3x^{2} + 1 = 1 + 3x^{2}$

Ответ

$1 + 3x^{2}$

Пример 10

Задача

Упростить выражение:

$((1 - p^{2})^{-\frac{1}{2}} - (1 + p^{2})^{-\frac{1}{2}})^{2} + 2(1 - p^{4})^{-\frac{1}{2}}$

Решение

ОДЗ: $-1 < p \neq 1$

$\left(\frac{1}{\sqrt{1 - p^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 + p^{2}}}\right)^{2} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =$

$= \left(\frac{\sqrt{1 + p^{2}} - \sqrt{1 - p^{2}}}{\sqrt{1 - p^{4}}}\right)^{2} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =$

$= \frac{1 + p^{2} - 2\sqrt{1 - p^{4}} + 1 - p^{2}}{1 - p^{4}} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =$

$= \frac{2 - 2\sqrt{1 - p^{4}}}{1 - p^{4}} + \frac{2}{\sqrt{1 - p^{4}}} =$

$= \frac{2 - 2\sqrt{1 - p^{4}} + 2\sqrt{1 - p^{4}}}{1 - p^{4}} = \frac{2}{1 - p^{4}}$

Ответ

$\frac{2}{1 - p^{4}}$

Добавить комментарий Отменить ответ

некто на Примеры решения матриц с ответамиНеправильные ответы, учите матрицу гении
иван дулин на Как оформить титульный лист доклада в школе, если ты не знаешь, как это сделатьпростите но это не то что мне нужно мне нужно мне нужно вот эту хрень сделать 1) Deckblatt für Geschichtsmappe
ди на Примеры решения уравнений с модулем с ответамив 8 же корень = 0, или как?
Виктория на Специалитет и бакалавриат – в чем разница, что выбрать, что лучше?В 2001 г., получив специалитет, проучившись 5 лет, в любом случае, после 4-го курса все студенты РГПУ им. Герцена имели
Неважно на Примеры решения производных с ответамиПример 2 неправильный.почему производная равна 2x -1 а не 2x-2

Примеры решения задач со степенями с ответами

Алгоритм решения задач со степенями

Примеры решений задач со степенями