Прямая линия и плоскость – угол между прямой и плоскостью, точка пересечения прямой с плоскостью

Итак, мы перешли к новой теме: “прямая и плоскость”. Здесь важно обратить внимание на формулы, которые необходимы при решении задач. 

Елена
0 1585

Угол между прямой и плоскостью

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо знать определение и несколько основных формул.

Пусть прямая L и плоскость P заданы своими уравнениями:

{x -x_{1}\over{l}} = {y - y_{1}\over{m}} = {z - z_{1}\over{p}}\quad {(L)} и Ax + By + Cz + D = 0\quad {(P)}

 

Определение

Углом между прямой L и плоскостью P называется угол, созданный этой прямой и её проекцией на эту плоскость P (см. рис. ниже).

Обозначим через \varphi величину этого угла. Угол между нормальным вектором \overline{n} = (A, B, C) и направляющим вектором \overline{S} - (l, m, p) равен углу {\pi\over{2}} - {\varphi},  поэтому {cos(\overline{n}}^\overline{S}}}) = cos x ({\pi\over{2}} - {\varphi}) = {sin \varphi}.

Значит,
Угол между прямой и плоскостью

sin\varphi = cos (\overline{n},^\overline{S}) = {\overline{n} * \overline{S}}\over|{\overline{n}| * |\overline{S}}| = {Al + Bm + Cp}\over{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} * {\sqrt{l^2 + m^2 + p^2}}

(1)

Из рисунка видно, что L||P, когда \overline{n}\perp\overline{S}\to\overline{n} * \overline{S} = 0\to

Al + Bm + Cp = 0

(2)

условие параллельности прямой и плоскости.

И если L\perp{P}, тогда \overline{n}||\overline{S}\to

{A\over{l}} = {B\over{m}} = {C\over{p}}

(3)

условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Точка пересечения прямой и плоскости

Если прямая L не параллельна плоскости P, тогда они пересекаются в одной точке. Чтобы найти точку пересечения, необходимо решить систему уравнений:

\left\{ \begin{aligned} {x - x_{1}\over{l}} = {y - y_{1}\over{m}} = {z - z_{1}\over{p}} = t\quad(L)\\ Ax + By + Cz + D = 0\quad(P) \end{aligned} \right

Это удобнее сделать, если уравнение (L) записать в параметрической форме:

x = lt + x_{1}, y = mt + y_{1}, z = pt + z_{1}

(4)

и подставить эти выражения в уравнение P, тогда получим:

A(lt + x_{1} + B(mt + y_{1}) + C(pt + z_{1}) + D = 0\to

t = -{Ax_{1} + By_{1} + Cz_{1} + D\over{Al + Bm + Cp}}.

За найденным значением t из (4) находим координаты x, y, z точки пересечения.

Примеры решения задач

Примеры помогут закрепить пройденную тему.

Пример 1

Задача

Найти угол между прямой {x - 6\over{2}} = {y + 3\over{-1}} = {z - 8\over{-1}} и плоскостью 2x - 4y + 2z + 7 = 0.

Решение

Согласно формуле (1) из первого уравнения находим направляющий вектор \overline{S} = (2, -1, -1), из уравнения плоскости – нормальный вектор \overline{n} = (2, -4, 2), тогда

sin \varphi = \overline{n} * \overline{S}\over|\overline{n}| * |\overline{S}| = {2 * 2 + (-1)(-4) + (-1) * 2}\over{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} * {\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 2^2}} = 6\over{\sqrt{6}} * {\sqrt{24}} = {1\over{2}},

Ответ

\varphi = arcsin{1\over{2}} = 30^0.

Пример 2

Задача

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A(-3, 4, -7) и перпендикулярна прямой {x + 4\over{3}} = {y - 1\over{-2}} = {z - 4\over{6}}.

Решение

Согласно условию (3) перпендикулярности прямой и плоскости (\overline{S}||\overline{n}) за нормальный вектор можно взять параллельный ему направляющий вектор прямой \overline{S} = (3, -2, 6). Используя уравнение плоскости, которая проходит через точку A(-3, 4, -7) перпендикулярна вектору \overline{n} = (3, -2, 6) у нас получается:

Ответ 3 (x + 3) + (-2)(y - 4) + 6(z + 7) = 0\to3x - 2y + 6z + 43 = 0.

Для наглядности покажем ещё несколько примеров, где необходимо найти точку пересечения с плоскостью.

Пример 3

Задача

Найти точку пересечения прямой {x - 1\over{2}} = {y + 2\over{1}} = {z\over{3}} с плоскостью 2x + 3y - 3z - 6 = 0

Решение

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: x = 2t + 1, y = t - 2, z = 3t. Подставим выражения для x, y, z в общее уравнение плоскости 2(2t + 1) + 3(t - 2) - 3 * 3t - 6 = 0\to4t + 3t - 9t - 10 = 0\to -2t = 10, t = -5 Откуда

x = 2 * (-5) + 1 = -9, y = -5 - 2 = -7, z = - 15; \quad{M(-9, -7, -15)}.

Ответ

x = 2 * (-5) + 1 = -9, y = -5 - 2 = -7, z = - 15; \quad{M(-9, -7, -15)}.

Пример 4

Задача

Найти точку N симметричную с точкой M(-1, 4, 2) относительно плоскости 3x + y + z - 14 = 0.

Решение

Сначала составим уравнение прямой , которая проходит через точку M(-1, 4, 2) перпендикулярно к плоскости. За направляющий вектор \overline{S} можно взять нормальный вектор \overline{n} = (3, 1, 1) данной плоскости (см. условию (3).

Значит, у нас получается: {x + 1\over{3}} = {y - 4\over{1}} = {z - 2\over{1}}\quad(=t)

Найдём точку пересечения найденной прямой с плоскостью. Из уравнения прямой выражаем x = 3t - 1, y = t + 4, z = t + 2 и подставляем в уравнение плоскости:

3(3t - 1) + (t + 4) + (t + 2) - 14 = 0\to11t - 11 = 0\to{t} = 1;

x = 3 * 1 - 1 = 2, y = 1 + 4 = 5, z = 1 + 2 = 3\to{Q}(2, 5, 3) – точка пересечения прямой и плоскости. Эта точка между двумя симметричными относительно плоскости точкам M(-1, 4, 2) и N(X_{n}, Y_{n}, Z_{n}), то есть:

x_{Q} = {x_{M} + x_{N}\over{2}}\to{x_{N}} = 2x_{Q} - x_{M} = 2 * 2 - (-1) = 5;

y_{Q}{y_{M} + y_{N}\over{2}}\to{y_{N}} =  2 * 5 - 4 = 6;

z_{N} = 2 * 3 - 2 = 4.

Ответ

Симметричной с точкой M (-1, 4, 2) относительно заданной плоскости есть точка N(5, 6, 4).

Автор статьи

Елена Вечоркина
Елена Вечоркина

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *