О чем статья
Угол между прямой и плоскостью
Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо знать определение и несколько основных формул.
Пусть прямая $L$ и плоскость $P$ заданы своими уравнениями:
${x -x_{1}\over{l}} = {y – y_{1}\over{m}} = {z – z_{1}\over{p}}\quad {(L)}$ и $Ax + By + Cz + D = 0\quad {(P)}$
Углом между прямой $L$ и плоскостью $P$ называется угол, созданный этой прямой и её проекцией на эту плоскость $P$ (см. рис. ниже).
Обозначим через $\varphi$ величину этого угла. Угол между нормальным вектором $\overline{n} = (A, B, C)$ и направляющим вектором $\overline{S} – (l, m, p)$ равен углу ${\pi\over{2}} – {\varphi}$, поэтому ${cos(\overline{n}}$^$\overline{S}}})$ = $cos$ x $({\pi\over{2}} – {\varphi}) = {sin \varphi}$.
Значит,
$sin\varphi = cos (\overline{n}$,^$\overline{S})$ = ${\overline{n} * \overline{S}}\over|{\overline{n}| * |\overline{S}}|$ = ${Al + Bm + Cp}\over{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} * {\sqrt{l^2 + m^2 + p^2}}$
(1)
Из рисунка видно, что $L||P$, когда $\overline{n}\perp\overline{S}\to\overline{n} * \overline{S} = 0\to$
$Al + Bm + Cp = 0$
(2)
условие параллельности прямой и плоскости.
И если $L\perp{P}$, тогда $\overline{n}||\overline{S}\to$
${A\over{l}} = {B\over{m}} = {C\over{p}}$
(3)
условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Точка пересечения прямой и плоскости
Если прямая $L$ не параллельна плоскости $P$, тогда они пересекаются в одной точке. Чтобы найти точку пересечения, необходимо решить систему уравнений:
$\left\{
\begin{aligned}
{x – x_{1}\over{l}} = {y – y_{1}\over{m}} = {z – z_{1}\over{p}} = t\quad(L)\\
Ax + By + Cz + D = 0\quad(P)
\end{aligned}
\right$
Это удобнее сделать, если уравнение $(L)$ записать в параметрической форме:
$x = lt + x_{1}, y = mt + y_{1}, z = pt + z_{1}$
(4)
и подставить эти выражения в уравнение $P$, тогда получим:
$A(lt + x_{1} + B(mt + y_{1}) + C(pt + z_{1}) + D = 0\to$
$t$ = $-{Ax_{1} + By_{1} + Cz_{1} + D\over{Al + Bm + Cp}}.$
За найденным значением $t$ из (4) находим координаты $x, y, z$ точки пересечения.
Примеры решения задач
Примеры помогут закрепить пройденную тему.
Задача
Найти угол между прямой ${x – 6\over{2}} = {y + 3\over{-1}} = {z – 8\over{-1}}$ и плоскостью $2x – 4y + 2z + 7 = 0$.
Решение
Согласно формуле (1) из первого уравнения находим направляющий вектор $\overline{S} = (2, -1, -1)$, из уравнения плоскости – нормальный вектор $\overline{n} = (2, -4, 2)$, тогда
$sin \varphi$ = $\overline{n} * \overline{S}\over|\overline{n}| * |\overline{S}|$ = ${2 * 2 + (-1)(-4) + (-1) * 2}\over{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} * {\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 2^2}}$ = $6\over{\sqrt{6}} * {\sqrt{24}}$ = ${1\over{2}}$,
Ответ
$\varphi = arcsin{1\over{2}} = 30^0.$
Задача
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку $A(-3, 4, -7)$ и перпендикулярна прямой ${x + 4\over{3}} = {y – 1\over{-2}} = {z – 4\over{6}}$.
Решение
Согласно условию (3) перпендикулярности прямой и плоскости $(\overline{S}||\overline{n})$ за нормальный вектор можно взять параллельный ему направляющий вектор прямой $\overline{S} = (3, -2, 6)$. Используя уравнение плоскости, которая проходит через точку $A(-3, 4, -7)$ перпендикулярна вектору $\overline{n} = (3, -2, 6)$ у нас получается:
Ответ $3 (x + 3) + (-2)(y – 4) + 6(z + 7) = 0\to3x – 2y + 6z + 43 = 0$.
Для наглядности покажем ещё несколько примеров, где необходимо найти точку пересечения с плоскостью.
Задача
Найти точку пересечения прямой ${x – 1\over{2}} = {y + 2\over{1}} = {z\over{3}}$ с плоскостью $2x + 3y – 3z – 6 = 0$
Решение
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: $x = 2t + 1, y = t – 2, z = 3t$. Подставим выражения для $x, y, z$ в общее уравнение плоскости $2(2t + 1) + 3(t – 2) – 3 * 3t – 6 = 0\to4t + 3t – 9t – 10 = 0\to -2t = 10, t = -5$ Откуда
$x = 2 * (-5) + 1 = -9, y = -5 – 2 = -7, z = – 15; \quad{M(-9, -7, -15)}.$
Ответ
$x = 2 * (-5) + 1 = -9, y = -5 – 2 = -7, z = – 15; \quad{M(-9, -7, -15)}.$
Задача
Найти точку $N$ симметричную с точкой $M(-1, 4, 2)$ относительно плоскости $3x + y + z – 14 = 0$.
Решение
Сначала составим уравнение прямой , которая проходит через точку $M(-1, 4, 2)$ перпендикулярно к плоскости. За направляющий вектор $\overline{S}$ можно взять нормальный вектор $\overline{n} = (3, 1, 1)$ данной плоскости (см. условию (3).
Значит, у нас получается: ${x + 1\over{3}} = {y – 4\over{1}} = {z – 2\over{1}}\quad(=t)$
Найдём точку пересечения найденной прямой с плоскостью. Из уравнения прямой выражаем $x = 3t – 1, y = t + 4, z = t + 2$ и подставляем в уравнение плоскости:
$3(3t – 1) + (t + 4) + (t + 2) – 14 = 0\to11t – 11 = 0\to{t} = 1$;
$x = 3 * 1 – 1 = 2, y = 1 + 4 = 5, z = 1 + 2 = 3\to{Q}(2, 5, 3)$ – точка пересечения прямой и плоскости. Эта точка между двумя симметричными относительно плоскости точкам $M(-1, 4, 2)$ и $N(X_{n}, Y_{n}, Z_{n})$, то есть:
$x_{Q}$ = ${x_{M} + x_{N}\over{2}}\to{x_{N}} = 2x_{Q} – x_{M} = 2 * 2 – (-1) = 5$;
$y_{Q}$ = ${y_{M} + y_{N}\over{2}}\to{y_{N}} = 2 * 5 – 4 = 6$;
$z_{N}$ = $2 * 3 – 2 = 4$.
Ответ
Симметричной с точкой $M (-1, 4, 2)$ относительно заданной плоскости есть точка $N(5, 6, 4)$.