Угол между прямой и плоскостью

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо знать определение и несколько основных формул.

Пусть прямая L и плоскость P заданы своими уравнениями:

{x -x_{1}\over{l}} = {y - y_{1}\over{m}} = {z - z_{1}\over{p}}\quad {(L)} и Ax + By + Cz + D = 0\quad {(P)}

 

Определение

Углом между прямой L и плоскостью P называется угол, созданный этой прямой и её проекцией на эту плоскость P (см. рис. ниже).

Обозначим через \varphi величину этого угла. Угол между нормальным вектором \overline{n} = (A, B, C) и направляющим вектором \overline{S} - (l, m, p) равен углу {\pi\over{2}} - {\varphi},  поэтому {cos(\overline{n}}^\overline{S}}}) = cos x ({\pi\over{2}} - {\varphi}) = {sin \varphi}.

Значит,
Угол между прямой и плоскостью

sin\varphi = cos (\overline{n},^\overline{S}) = {\overline{n} * \overline{S}}\over|{\overline{n}| * |\overline{S}}| = {Al + Bm + Cp}\over{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} * {\sqrt{l^2 + m^2 + p^2}}

(1)

Из рисунка видно, что L||P, когда \overline{n}\perp\overline{S}\to\overline{n} * \overline{S} = 0\to

Al + Bm + Cp = 0

(2)

условие параллельности прямой и плоскости.

И если L\perp{P}, тогда \overline{n}||\overline{S}\to

{A\over{l}} = {B\over{m}} = {C\over{p}}

(3)

условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Точка пересечения прямой и плоскости

Если прямая L не параллельна плоскости P, тогда они пересекаются в одной точке. Чтобы найти точку пересечения, необходимо решить систему уравнений:

\left\{ \begin{aligned} {x - x_{1}\over{l}} = {y - y_{1}\over{m}} = {z - z_{1}\over{p}} = t\quad(L)\\ Ax + By + Cz + D = 0\quad(P) \end{aligned} \right

Это удобнее сделать, если уравнение (L) записать в параметрической форме:

x = lt + x_{1}, y = mt + y_{1}, z = pt + z_{1}

(4)

и подставить эти выражения в уравнение P, тогда получим:

A(lt + x_{1} + B(mt + y_{1}) + C(pt + z_{1}) + D = 0\to

t = -{Ax_{1} + By_{1} + Cz_{1} + D\over{Al + Bm + Cp}}.

За найденным значением t из (4) находим координаты x, y, z точки пересечения.

Примеры решения задач

Примеры помогут закрепить пройденную тему.

Пример 1

Задача

Найти угол между прямой {x - 6\over{2}} = {y + 3\over{-1}} = {z - 8\over{-1}} и плоскостью 2x - 4y + 2z + 7 = 0.

Решение

Согласно формуле (1) из первого уравнения находим направляющий вектор \overline{S} = (2, -1, -1), из уравнения плоскости – нормальный вектор \overline{n} = (2, -4, 2), тогда

sin \varphi = \overline{n} * \overline{S}\over|\overline{n}| * |\overline{S}| = {2 * 2 + (-1)(-4) + (-1) * 2}\over{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} * {\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 2^2}} = 6\over{\sqrt{6}} * {\sqrt{24}} = {1\over{2}},

Ответ

\varphi = arcsin{1\over{2}} = 30^0.

Пример 2

Задача

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A(-3, 4, -7) и перпендикулярна прямой {x + 4\over{3}} = {y - 1\over{-2}} = {z - 4\over{6}}.

Решение

Согласно условию (3) перпендикулярности прямой и плоскости (\overline{S}||\overline{n}) за нормальный вектор можно взять параллельный ему направляющий вектор прямой \overline{S} = (3, -2, 6). Используя уравнение плоскости, которая проходит через точку A(-3, 4, -7) перпендикулярна вектору \overline{n} = (3, -2, 6) у нас получается:

Ответ 3 (x + 3) + (-2)(y - 4) + 6(z + 7) = 0\to3x - 2y + 6z + 43 = 0.

Для наглядности покажем ещё несколько примеров, где необходимо найти точку пересечения с плоскостью.

Пример 3

Задача

Найти точку пересечения прямой {x - 1\over{2}} = {y + 2\over{1}} = {z\over{3}} с плоскостью 2x + 3y - 3z - 6 = 0

Решение

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: x = 2t + 1, y = t - 2, z = 3t. Подставим выражения для x, y, z в общее уравнение плоскости 2(2t + 1) + 3(t - 2) - 3 * 3t - 6 = 0\to4t + 3t - 9t - 10 = 0\to -2t = 10, t = -5 Откуда

x = 2 * (-5) + 1 = -9, y = -5 - 2 = -7, z = - 15; \quad{M(-9, -7, -15)}.

Ответ

x = 2 * (-5) + 1 = -9, y = -5 - 2 = -7, z = - 15; \quad{M(-9, -7, -15)}.

Пример 4

Задача

Найти точку N симметричную с точкой M(-1, 4, 2) относительно плоскости 3x + y + z - 14 = 0.

Решение

Сначала составим уравнение прямой , которая проходит через точку M(-1, 4, 2) перпендикулярно к плоскости. За направляющий вектор \overline{S} можно взять нормальный вектор \overline{n} = (3, 1, 1) данной плоскости (см. условию (3).

Значит, у нас получается: {x + 1\over{3}} = {y - 4\over{1}} = {z - 2\over{1}}\quad(=t)

Найдём точку пересечения найденной прямой с плоскостью. Из уравнения прямой выражаем x = 3t - 1, y = t + 4, z = t + 2 и подставляем в уравнение плоскости:

3(3t - 1) + (t + 4) + (t + 2) - 14 = 0\to11t - 11 = 0\to{t} = 1;

x = 3 * 1 - 1 = 2, y = 1 + 4 = 5, z = 1 + 2 = 3\to{Q}(2, 5, 3) – точка пересечения прямой и плоскости. Эта точка между двумя симметричными относительно плоскости точкам M(-1, 4, 2) и N(X_{n}, Y_{n}, Z_{n}), то есть:

x_{Q} = {x_{M} + x_{N}\over{2}}\to{x_{N}} = 2x_{Q} - x_{M} = 2 * 2 - (-1) = 5;

y_{Q}{y_{M} + y_{N}\over{2}}\to{y_{N}} =  2 * 5 - 4 = 6;

z_{N} = 2 * 3 - 2 = 4.

Ответ

Симметричной с точкой M (-1, 4, 2) относительно заданной плоскости есть точка N(5, 6, 4).

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1172

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также