Прямая в пространстве – виды уравнения прямой в пространстве

Прямая в пространстве – это линия, которая проходит от одной точки к другой, а также за пределы этих точек в бесконечность. Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д. Про это расскажем в данной статье и для наглядности предоставим несколько примеров.

Елена
0 15369

Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве

Параметрическое и каноническое уравнение прямой рассматривается практически так, как и для прямой на плоскости. Значит, нужно составить уравнение прямой L, которая проходит через данную точку M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}) параллельно направляющему вектору \overline{S} = (l, m, p).

Определение

Пусть, M(x, y, z) \in{L} – произвольная точка прямой, тогда векторы \overline{M_{1}M} = (x - x_{1}, y - y_{1}, z - z_{1}) и \overline{S} коллинеарные, а это значит, что координаты их пропорциональны, поэтому получаем:

{x - x_{1}\over{l}} = {y - y_{1}\over{m}} = {z - z_{1}\over{p}}

(1)

это и есть канонические уравнения прямой.

Приравнивая каждую из дробей (1) к параметру t, запишем параметрические уравнения прямой:

\left\{ \begin{aligned} x = lt + x_{0}\\ y = mt + y_{0}\\ z = pt + z_{0} \end{aligned}

(2)

Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки

Уравнение прямой в пространстве – тема очень лёгкая, так как здесь самое важное – знать нужную формулу. Тогда легко можно решить любую задачу.

Итак, через две точки M_{1}(x_{1}, y_{1}z_{1} и M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2}) можно не только геометрично провести линию, но и сложить её уравнения.

Определение

За направляющий вектор возьмём \overline{S} =  \overline{M_{1}M} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}), тогда по формуле (1) у нас получается:

{x - x_{1}\over{x_{2} - x_{1}}} = {y - y_{1}\over{y_{2} - y_{1}}} = {z - z_{1}\over{z_{2} - z_{1}}}

(3)

 уравнение прямой в пространстве, которые проходят через две заданные точки.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению

Объяснение про общее уравнение прямой начнём с прямой, которая задана двумя плоскостями, что пересекаются по этой прямой.

Определение

Пусть известны их уравнения:

\left\{\begin{aligned}A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0\\A_{2}x + B_{2}y + C{2}z + D_{2} = 0 \end{aligned}

(4)

Тогда система (4) называется общим уравнением прямой.

Чтобы перейти к каноническим уравнениям вида (1), необходимо найти вектор \overline{S} и точку M_{0} этой прямой.

Точку M_{0} находим, как один из решений системы (4). Например, положив в (4) z = 0 находим x_{0}, y_{0}, тогда и точку M_{0} (x_{0}, y_{0}, 0). Направляющий вектор \overline{S}, который параллелен к каждой из плоскостей P_{1} и P_{2} и перпендикулярен к их нормальным векторам \overline{n_{1}} = (A_{1}, B_{1}, C_{1}) и \overline{n_{2}} = (A_{2}, B_{2}, C_{2}), то есть \overline{S}\perp{\overline{n_{1}}}, \overline{S}\perp{\overline{n_{2}}}. (см. рис. 1). Поэтому вектор \overline{S} можно найти при помощи векторного произведения \overline{n_{1}} и \overline{n_{2}}

\overline{S} = \overline{n}_{1} x \overline{n}_{2} = \begin{vmatrix} \overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\ A_{1}&B_{1}&C_{1}\\ A_{2}&B_{2}&C_{2} \end{vmatrix}

Найдены координаты M_{0} и \overline{S} подставим в каноническое уравнение (1).

Например, от общих уравнений прямой:

\left\{\begin{aligned} 2x + 7y - z - 4 = 0\\ 4x - 9y - 2z - 8 = 0 \end{aligned}

Перейдём к каноническим, положив в системе y = 0 (при нём относительно больше коэффициенты). найдём x = 2, z = 0, M_{0} (2, 0, 0). Нормальные векторы \overline{n_{1}} = (2, 7, -1) и \overline{n_{2}} = (4, -9, -2). Тогда направляющий вектор

Уравнение прямой

Рис. 1

 \overline{S} = \overline{n}_{1} x \overline{n}_{2} = \begin{vmatrix} \overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\ 2&7&-1\\ 4&-9&-2 \end{vmatrix} = -23\overline{i} - 0\overline{j} - 46\overline{k},

и канонические уравнения станут:

{x - 2\over{-23}} = {y - 0\over{0}} = {z - 0\over{-46}}\arrowvert * (-23)\to{x - 1\over{1}} = {y\over{0}} = {z\over{2}}.

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между двумя прямыми (\varphi):

{x - x_{1}\over{l_{1}}} = {y - y_{1}\over{m_{1}}} = {z - z_{1}\over{p_{1}}} и {x - x_{2}\over{l_{2}}} = {y - y_{2}\over{m_{2}}} = {z - z_{2}\over{p_{2}}}

равен углу между их направляющими векторами \overline{S_{1}} = (l_{1}, m_{1}, p_{1}) и \overline{S_{2}} = (l_{2}, m_{2}, p_{2}), поэтому

{cos\varphi = cos(\overline{S}_{1}}, \overline{S}_{2}}) = {l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + p_{1}p_{2}}\over{\sqrt{l_{1}^2 + m_{1}^2 + p_{1}^2}} * {\sqrt{l_{2}^2 + m_{2}^2 + p_{2}^2}}

(5)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых соответственно запишутся:

{l_{1}\over{l_{2}}} = {m_{1}\over{m_{2}}} = {p_{1}\over{p_{2}}} и l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + p_{1}p_{2} = 0.

(6)

Примеры решения задач

Давайте рассмотрим первый пример, где можно двумя способами построить прямую:

Пример 1

Задача

При точке M (1, 5, 2) и направляющем векторе \overline{S} = (3, 0, 4) необходимо:

  1. составить каноническое уравнение прямой;
  2. построить эту прямую.

Решение

1) По формуле (1) запишем каноническое уравнение прямой l:

{x - 1\over{3}} = {y - 5\over{0}} = {z - 2\over{4}} = (t).

2) Рассмотрим два способа построения прямой l.

Первый способ

В системе координат XYZ строим вектор \overline{S} = (3, 0, 4) и точку M (1, 5, 2) и проводим через точку M прямую параллельную вектору \overline{S}.

Второй способ

По формуле (2) запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде:

\left\{\begin{aligned} x = 3t + 1\\ y = 0 * t + 5\\ z = 4t + 2 \end{aligned} \right

Уравнение прямой

На рисунке видно, что при произвольных значениях t из системы находим координаты соответствующих точек, которые принадлежат прямой l. Так при t = 1 находим координаты M_{1}(4, 5, 6).  Через две точки M и M_{1} проводим прямую l.

Очевидно, что найти острый угол между прямыми совершенно не сложно при знании темы и определённых формул. Давайте разберём такой пример:

Пример 2

Задача

Найти острый угол между прямыми:

{x - 4\over{6}} = {y + 2\over{-2}} = {z\over{3}}, {x + {2}\over{-2}} = {y - {5}\over{-1}} = {z + 1\over{-2}}

(7)

Решение

По формуле (7) получаем:

cos\theta = {6 * (-2) + (-2)(-1) + 3 * (-2)}\over{\sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} * \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = {-12 +2 -6\over{7 * 3}} = -{16\over21}.

Так как cos\theta = -{16\over{21}} < 0, тогда угол \theta тупой, \theta = arccos (-{16\over{21}}, а острый угол \varphi = 180^0 - \theta.

Ответ

\varphi = arccos{16\over{21}}.

Рассмотрим последний пример, где нужно составить уравнение. Здесь, как и в каждой задаче, важно знать и понимать, какой формулой нужно воспользоваться.

Пример 3

Задача

Составить уравнение прямой l,  которая проходит через точку M(2, -4, 3) и параллельна прямой x = -5t + 4, y = 2t, z = 8t - 5.

Решение

От параметрического уравнения  переходим к каноническому {x - 4\over{(-5)}} = {y\over{2}} = {z + 5\over{8}}\to\overline{S} = (-5, 2, 8) При условии параллельности прямых \overline{S}||\overline{S_{1}} то есть направляющим вектором новой прямой может служить известный вектор \overline{S} = (-5, 2, 8) и по формуле (1) у нас получается:

{x - 2\over{-5}} = {y - 4\over{2}} = {z - 3\over{8}}.

Ответ

{x - 2\over{-5}} = {y - 4\over{2}} = {z - 3\over{8}}.

Автор статьи

Елена Вечоркина
Елена Вечоркина

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 1

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *