Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Параметрическое и каноническое уравнение прямой рассматривается практически так, как и для прямой на плоскости. Значит, нужно составить уравнение прямой L, которая проходит через данную точку M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}) параллельно направляющему вектору \overline{S} = (l, m, p).

Определение

Пусть, M(x, y, z) \in{L} – произвольная точка прямой, тогда векторы \overline{M_{1}M} = (x - x_{1}, y - y_{1}, z - z_{1}) и \overline{S} коллинеарные, а это значит, что координаты их пропорциональны, поэтому получаем:

{x - x_{1}\over{l}} = {y - y_{1}\over{m}} = {z - z_{1}\over{p}}

(1)

это и есть канонические уравнения прямой.

Приравнивая каждую из дробей (1) к параметру t, запишем параметрические уравнения прямой:

\left\{ \begin{aligned} x = lt + x_{0}\\ y = mt + y_{0}\\ z = pt + z_{0} \end{aligned}

(2)

Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки

Уравнение прямой в пространстве – тема очень лёгкая, так как здесь самое важное – знать нужную формулу. Тогда легко можно решить любую задачу.

Итак, через две точки M_{1}(x_{1}, y_{1}z_{1} и M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2}) можно не только геометрично провести линию, но и сложить её уравнения.

Определение

За направляющий вектор возьмём \overline{S} =  \overline{M_{1}M} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}), тогда по формуле (1) у нас получается:

{x - x_{1}\over{x_{2} - x_{1}}} = {y - y_{1}\over{y_{2} - y_{1}}} = {z - z_{1}\over{z_{2} - z_{1}}}

(3)

 уравнение прямой в пространстве, которые проходят через две заданные точки.

Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению

Объяснение про общее уравнение прямой начнём с прямой, которая задана двумя плоскостями, что пересекаются по этой прямой.

Определение

Пусть известны их уравнения:

\left\{\begin{aligned}A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0\\A_{2}x + B_{2}y + C{2}z + D_{2} = 0 \end{aligned}

(4)

Тогда система (4) называется общим уравнением прямой.

Чтобы перейти к каноническим уравнениям вида (1), необходимо найти вектор \overline{S} и точку M_{0} этой прямой.

Точку M_{0} находим, как один из решений системы (4). Например, положив в (4) z = 0 находим x_{0}, y_{0}, тогда и точку M_{0} (x_{0}, y_{0}, 0). Направляющий вектор \overline{S}, который параллелен к каждой из плоскостей P_{1} и P_{2} и перпендикулярен к их нормальным векторам \overline{n_{1}} = (A_{1}, B_{1}, C_{1}) и \overline{n_{2}} = (A_{2}, B_{2}, C_{2}), то есть \overline{S}\perp{\overline{n_{1}}}, \overline{S}\perp{\overline{n_{2}}}. (см. рис. 1). Поэтому вектор \overline{S} можно найти при помощи векторного произведения \overline{n_{1}} и \overline{n_{2}}

\overline{S} = \overline{n}_{1} x \overline{n}_{2} = \begin{vmatrix} \overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\ A_{1}&B_{1}&C_{1}\\ A_{2}&B_{2}&C_{2} \end{vmatrix}

Найдены координаты M_{0} и \overline{S} подставим в каноническое уравнение (1).

Например, от общих уравнений прямой:

\left\{\begin{aligned} 2x + 7y - z - 4 = 0\\ 4x - 9y - 2z - 8 = 0 \end{aligned}

Перейдём к каноническим, положив в системе y = 0 (при нём относительно больше коэффициенты). найдём x = 2, z = 0, M_{0} (2, 0, 0). Нормальные векторы \overline{n_{1}} = (2, 7, -1) и \overline{n_{2}} = (4, -9, -2). Тогда направляющий вектор

Уравнение прямой

Рис. 1

 \overline{S} = \overline{n}_{1} x \overline{n}_{2} = \begin{vmatrix} \overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\ 2&7&-1\\ 4&-9&-2 \end{vmatrix} = -23\overline{i} - 0\overline{j} - 46\overline{k},

и канонические уравнения станут:

{x - 2\over{-23}} = {y - 0\over{0}} = {z - 0\over{-46}}\arrowvert * (-23)\to{x - 1\over{1}} = {y\over{0}} = {z\over{2}}.

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между двумя прямыми (\varphi):

{x - x_{1}\over{l_{1}}} = {y - y_{1}\over{m_{1}}} = {z - z_{1}\over{p_{1}}} и {x - x_{2}\over{l_{2}}} = {y - y_{2}\over{m_{2}}} = {z - z_{2}\over{p_{2}}}

равен углу между их направляющими векторами \overline{S_{1}} = (l_{1}, m_{1}, p_{1}) и \overline{S_{2}} = (l_{2}, m_{2}, p_{2}), поэтому

{cos\varphi = cos(\overline{S}_{1}}, \overline{S}_{2}}) = {l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + p_{1}p_{2}}\over{\sqrt{l_{1}^2 + m_{1}^2 + p_{1}^2}} * {\sqrt{l_{2}^2 + m_{2}^2 + p_{2}^2}}

(5)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых соответственно запишутся:

{l_{1}\over{l_{2}}} = {m_{1}\over{m_{2}}} = {p_{1}\over{p_{2}}} и l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + p_{1}p_{2} = 0.

(6)

Примеры решения задач

Давайте рассмотрим первый пример, где можно двумя способами построить прямую:

Пример 1

Задача

При точке M (1, 5, 2) и направляющем векторе \overline{S} = (3, 0, 4) необходимо:

  1. составить каноническое уравнение прямой;
  2. построить эту прямую.

Решение

1) По формуле (1) запишем каноническое уравнение прямой l:

{x - 1\over{3}} = {y - 5\over{0}} = {z - 2\over{4}} = (t).

2) Рассмотрим два способа построения прямой l.

Первый способ

В системе координат XYZ строим вектор \overline{S} = (3, 0, 4) и точку M (1, 5, 2) и проводим через точку M прямую параллельную вектору \overline{S}.

Второй способ

По формуле (2) запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде:

\left\{\begin{aligned} x = 3t + 1\\ y = 0 * t + 5\\ z = 4t + 2 \end{aligned} \right

Уравнение прямой

На рисунке видно, что при произвольных значениях t из системы находим координаты соответствующих точек, которые принадлежат прямой l. Так при t = 1 находим координаты M_{1}(4, 5, 6).  Через две точки M и M_{1} проводим прямую l.

Очевидно, что найти острый угол между прямыми совершенно не сложно при знании темы и определённых формул. Давайте разберём такой пример:

Пример 2

Задача

Найти острый угол между прямыми:

{x - 4\over{6}} = {y + 2\over{-2}} = {z\over{3}}, {x + {2}\over{-2}} = {y - {5}\over{-1}} = {z + 1\over{-2}}

(7)

Решение

По формуле (7) получаем:

cos\theta = {6 * (-2) + (-2)(-1) + 3 * (-2)}\over{\sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} * \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = {-12 +2 -6\over{7 * 3}} = -{16\over21}.

Так как cos\theta = -{16\over{21}} < 0, тогда угол \theta тупой, \theta = arccos (-{16\over{21}}, а острый угол \varphi = 180^0 - \theta.

Ответ

\varphi = arccos{16\over{21}}.

Рассмотрим последний пример, где нужно составить уравнение. Здесь, как и в каждой задаче, важно знать и понимать, какой формулой нужно воспользоваться.

Пример 3

Задача

Составить уравнение прямой l,  которая проходит через точку M(2, -4, 3) и параллельна прямой x = -5t + 4, y = 2t, z = 8t - 5.

Решение

От параметрического уравнения  переходим к каноническому {x - 4\over{(-5)}} = {y\over{2}} = {z + 5\over{8}}\to\overline{S} = (-5, 2, 8) При условии параллельности прямых \overline{S}||\overline{S_{1}} то есть направляющим вектором новой прямой может служить известный вектор \overline{S} = (-5, 2, 8) и по формуле (1) у нас получается:

{x - 2\over{-5}} = {y - 4\over{2}} = {z - 3\over{8}}.

Ответ

{x - 2\over{-5}} = {y - 4\over{2}} = {z - 3\over{8}}.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

5784

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также