Name: Примеры решения производных тригонометрических функций с ответами
Rating: 3.3 (4 reviews)

Примеры решения производных тригонометрических функций с ответами

Простое объяснение принципов решения производных тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения производных тригонометрических функций

Для нахождения производных основных тригонометрических функций, используется таблица производных элементарных функций. Решаются, как обычные производные.

При решении задач на поиск производных тригонометрических функций следует пользоваться следующей таблицей:

Таблица производных

$(\sin{x})' = \cos{x}$

$(\cos{x})' = -\sin{x}$

$(tg\ {x})' = \frac{1}{\cos^{2}{x}}$

$(ctg\ {x})' = -\frac{1}{\sin^{2}{x}}$

$(\sec{x})' = \sec{x}\cdot{tg\ {x}}$

$(cosec\ {x})' = -cosec\ {x}\cdot{ctg\ {x}}$

$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(arctg\ {x})' = \frac{1}{1+x^{2}}$

$(arcctg\ {x})' = -\frac{1}{1+x^{2}}$

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений производных тригонометрических функций

Пример 1

Задача

Найти производную функции $z = \sin{kx}$

Решение

Функция $\sin{kx}$ является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа.

Обозначим $kx = u$ . Исходная функция примет следующий вид: $z = \sin{u}$

Найдём её производную по таблице основных тригонометрических функций:

${z_{u}}' = \cos{u}$

Далее найдём производную ${u_{x}}'$ :

${u_{x}}' = k$

Производная сложной функции будет равна произведению ${z_{u}}' = \cos{u}$ и ${u_{x}}' = k$ :

${z_{x}}' = {z_{u}}'\cdot{{u_{x}}'} = \cos{u}\cdot{k} = k\cdot{\cos{(kx)}}$

Ответ

${z_{x}}' = k\cdot{\cos{(kx)}}$

Пример 2

Задача

Найти производную функции $z = tg\ {x^{3}}$ .

Решение

Функция $tg\ {x^{3}}$ является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа.

Обозначим $x^{3} = u$ . Исходная функция примет следующий вид: $z = tg\ {u}$

Найдём её производную по таблице основных тригонометрических функций:

${z_{u}}' = \frac{1}{\cos^{2}{u}}$

Далее найдём производную ${u_{x}}'$ :

${u_{x}}' = 3x^{2}$

Производная сложной функции будет равна произведению ${z_{u}}' = \frac{1}{\cos^{2}{u}}$ и ${u_{x}}' = 3x^{2}$ :

${z_{x}}' = {z_{u}}'\cdot{{u_{x}}'} = \frac{1}{\cos^{2}{u}}\cdot{3x^{2}} = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}$

Ответ

${z_{x}}' = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}$

Пример 3

Задача

Найти производную функции $z = \sin{15x}$

Решение

Функция $tg\ {x^{3}}$ является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа, однако в этом раз найдём производную без введения промежуточной переменной.

Вначале найдём производную $(\sin{15x})'$

По таблице производных определяем, что $(\sin{15x})' = \cos{15x}$

Т.к. аргумент косинуса сам является функцией от $x$ , то необходимо найти его производную по $x$ : $(15x)' = 15$

Окончательно, производная $(\sin{15x})'$ будет равна произведению $\cos{15x}$ и числа $15$ :

$(\sin{15x})' = 15\cdot{\cos{15x}}$

Ответ

${z_{x}}' = 15\cdot{\cos{15x}}$

Пример 4

Задача

Найти производную функции $z = \sqrt{\sin{x}}$

Решение

Данная функция является сложной, т.к. подкоренным выражением является функция синус.

Найдём производную данной функции, как произведение производных корня и синуса:

$(\sqrt{\sin{x}})' = (\sqrt{\sin{x}})'\cdot{(\sin{x})'}$

$(\sqrt{\sin{x}})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Виктория З.

Редактор.

Копирайтер со стажем, автор текстов для образовательных презентаций.

Добавить комментарий Отменить ответ

Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.