Примеры решения производных тригонометрических функций с ответами

Тагир Султангареев 0 116

Простое объяснение принципов решения производных тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения производных тригонометрических функций

Для нахождения производных основных тригонометрических функций, используется таблица производных элементарных функций. Решаются, как обычные производные.

При решении задач на поиск производных тригонометрических функций следует пользоваться следующей таблицей:

Таблица производных

(\sin{x})' = \cos{x}

(\cos{x})' = -\sin{x}

(tg\ {x})' = \frac{1}{\cos^{2}{x}}

(ctg\ {x})' = -\frac{1}{\sin^{2}{x}}

(\sec{x})' = \sec{x}\cdot{tg\ {x}}

(cosec\ {x})' = -cosec\ {x}\cdot{ctg\ {x}}

(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

(\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

(arctg\ {x})' = \frac{1}{1+x^{2}}

(arcctg\ {x})' = -\frac{1}{1+x^{2}}

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений производных тригонометрических функций

Пример 1

Задача

Найти производную функции z = \sin{kx}

Решение

Функция \sin{kx} является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа.

Обозначим kx = u. Исходная функция примет следующий вид: z = \sin{u}

Найдём её производную по таблице основных тригонометрических функций:

{z_{u}}' = \cos{u}

Далее найдём производную {u_{x}}':

{u_{x}}' = k

Производная сложной функции будет равна произведению {z_{u}}' = \cos{u} и {u_{x}}' = k:

{z_{x}}' = {z_{u}}'\cdot{{u_{x}}'} = \cos{u}\cdot{k} = k\cdot{\cos{(kx)}}

Ответ

{z_{x}}' = k\cdot{\cos{(kx)}}

Пример 2

Задача

Найти производную функции z = tg\ {x^{3}}.

Решение

Функция tg\ {x^{3}} является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа.

Обозначим x^{3} = u. Исходная функция примет следующий вид: z = tg\ {u}

Найдём её производную по таблице основных тригонометрических функций:

{z_{u}}' = \frac{1}{\cos^{2}{u}}

Далее найдём производную {u_{x}}':

{u_{x}}' = 3x^{2}

Производная сложной функции будет равна произведению {z_{u}}' = \frac{1}{\cos^{2}{u}} и {u_{x}}' = 3x^{2}:

{z_{x}}' = {z_{u}}'\cdot{{u_{x}}'} = \frac{1}{\cos^{2}{u}}\cdot{3x^{2}} = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}

Ответ

{z_{x}}' = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}

Пример 3

Задача

Найти производную функции z = \sin{15x}

Решение

Функция tg\ {x^{3}} является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа, однако в этом раз найдём производную без введения промежуточной переменной.

Вначале найдём производную (\sin{15x})'

По таблице производных определяем, что (\sin{15x})' = \cos{15x}

Т.к. аргумент косинуса сам является функцией от x, то необходимо найти его производную по x: (15x)' = 15

Окончательно, производная (\sin{15x})' будет равна произведению \cos{15x} и числа 15:

(\sin{15x})' = 15\cdot{\cos{15x}}

Ответ

{z_{x}}' = 15\cdot{\cos{15x}}

Пример 4

Задача

Найти производную функции z = \sqrt{\sin{x}}

Решение

Данная функция является сложной, т.к. подкоренным выражением является функция синус.

Найдём производную данной функции, как произведение производных корня и синуса:

(\sqrt{\sin{x}})' = (\sqrt{\sin{x}})'\cdot{(\sin{x})'}

(\sqrt{\sin{x}})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

116

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *