Name: Примеры решения производных тригонометрических функций с ответами
Rating: 3.3 (3 reviews)

Примеры решения производных тригонометрических функций с ответами

Автор: Тагир 0 4714

Простое объяснение принципов решения производных тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

О чем статья

Алгоритм решения производных тригонометрических функций

Для нахождения производных основных тригонометрических функций, используется таблица производных элементарных функций. Решаются, как обычные производные.

При решении задач на поиск производных тригонометрических функций следует пользоваться следующей таблицей:

Таблица производных

$(\sin{x})' = \cos{x}$

$(\cos{x})' = -\sin{x}$

$(tg\ {x})' = \frac{1}{\cos^{2}{x}}$

$(ctg\ {x})' = -\frac{1}{\sin^{2}{x}}$

$(\sec{x})' = \sec{x}\cdot{tg\ {x}}$

$(cosec\ {x})' = -cosec\ {x}\cdot{ctg\ {x}}$

$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(arctg\ {x})' = \frac{1}{1+x^{2}}$

$(arcctg\ {x})' = -\frac{1}{1+x^{2}}$

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решений производных тригонометрических функций

Пример 1

Задача

Найти производную функции $z = \sin{kx}$

Решение

Функция $\sin{kx}$ является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа.

Обозначим $kx = u$ . Исходная функция примет следующий вид: $z = \sin{u}$

Найдём её производную по таблице основных тригонометрических функций:

${z_{u}}' = \cos{u}$

Далее найдём производную ${u_{x}}'$ :

${u_{x}}' = k$

Производная сложной функции будет равна произведению ${z_{u}}' = \cos{u}$ и ${u_{x}}' = k$ :

${z_{x}}' = {z_{u}}'\cdot{{u_{x}}'} = \cos{u}\cdot{k} = k\cdot{\cos{(kx)}}$

Ответ

${z_{x}}' = k\cdot{\cos{(kx)}}$

Пример 2

Задача

Найти производную функции $z = tg\ {x^{3}}$ .

Решение

Функция $tg\ {x^{3}}$ является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа.

Обозначим $x^{3} = u$ . Исходная функция примет следующий вид: $z = tg\ {u}$

Найдём её производную по таблице основных тригонометрических функций:

${z_{u}}' = \frac{1}{\cos^{2}{u}}$

Далее найдём производную ${u_{x}}'$ :

${u_{x}}' = 3x^{2}$

Производная сложной функции будет равна произведению ${z_{u}}' = \frac{1}{\cos^{2}{u}}$ и ${u_{x}}' = 3x^{2}$ :

${z_{x}}' = {z_{u}}'\cdot{{u_{x}}'} = \frac{1}{\cos^{2}{u}}\cdot{3x^{2}} = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}$

Ответ

${z_{x}}' = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}$

Пример 3

Задача

Найти производную функции $z = \sin{15x}$

Решение

Функция $tg\ {x^{3}}$ является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа, однако в этом раз найдём производную без введения промежуточной переменной.

Вначале найдём производную $(\sin{15x})'$