Габриель Крамер - математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – известный математик, который родился 31 июля 1704 года. Ещё в детстве Габриель поражал своими интеллектуальными способностями, особенно в области математики. Когда Крамеру было 20 лет, он устроился в Женевский университет штатным преподавателем.

Во время путешествия по Европе Габриель познакомился с математиком Иоганном Бернулли, который и стал его наставником. Только благодаря Иоганну, Крамер написал много статей по геометрии, истории математики и философии. А в свободное от работы время изучал математику всё больше и больше.

Наконец-то наступил тот день, когда Крамер нашёл способ, при помощи которого можно было бы легко решать не только лёгкие, но и сложные системы линейных уравнений.

В 1740 году у Крамера были опубликованы несколько работ, где доступно изложено решение квадратных матриц и описан алгоритм, как находить обратную матрицу. Далее математик описывал нахождения линейных уравнений разной сложности, где можно применить его формулы. Поэтому тему так и назвали: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Учёный умер в возрасте 48 лет (в 1752 году). У него было ещё много планов, но, к сожалению, он так и не успел их осуществить.

Вывод формулы Крамера

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Пусть дана система линейных уравнений такого вида:

 \left\{ \begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{aligned} \right

где x, y, z – неизвестные переменные, a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33} – это числовые коэффициенты, в b_{1}, b_{2}, b_{3} – свободные члены.

Решением СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнение) называются такие неизвестные значения x, y, z при которых все уравнения данной системы преобразовываются в тождества.

Если записать систему в матричном виде, тогда получается A * X = B, где

A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix} \right

В данной главной матрице находятся элементы, коэффициенты которых при неизвестных переменных,

B = \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix} \right

Это матрица-столбец свободных членов, но есть ещё матрица-столбец неизвестных переменных:

X = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \right

После того, когда найдутся неизвестные переменные, матрица X и будет решением системы уравнений, а наше равенство A * X = B преобразовывается в тождество. A * X\eqiv{B}. Если умножить A^{-1}, тогда (A^{-1} * A) * X = A^{-1} * B. Получается: X = A^{-1} * B.

Если матрица A – невырожденная, то есть, её определитель не равняется нулю, тогда у СЛАУ есть только одно единственное решение, которое находится при помощи  метода Крамера.

Как правило, для решения систем линейных уравнений методом Крамера, нужно обращать внимания на два свойства, на которых и основан данный метод:

1. Определитель квадратной матрицы A равняется сумме произведений элементов любой из строк (столбца) на их алгебраические дополнения:

A = \begin{pmatrix}  a_{11}&a_{12}&...&a_{n_1}\\  a_{12}&a_{22}&...&a_{n_2}\\  a_{13}&a_{23}&...&a_{n_3}  \end{pmatrix} = a_{q1} * A_{q1} + a_{q2} * A_{q2} + ... + a_{qn} * A_{qn} = a_{1k} * A_{1k} + a_{2k} * A_{2k} + ... + a_{nk} * A_{nk}  \right, здесь q – 1, 2, …, n; k – 1, 2, 3, …, n.

2. Сумма произведений элементов данной матрицы любой строки или любого столбца на алгебраические дополнения определённых элементов второй строки (столбца) равняется нулю:

a_{q1} * A_{q1} + a_{q2} * A_{q2} + ... + a_{qn} * A_{qn}  = 0,

a_{1k} * A_{1k} + a_{2k} * A_{2k} + ... + a_{nk} * A_{nk} = 0,

где q – 1, 2, …, n; k – 1, 2, 3, …, n. q\neq{k}.

Итак, теперь можно найти первое неизвестное x. Для этого необходимо умножить обе части первого уравнения системы на A_{11}, части со второго уравнения на A_{21}, обе части третьего уравнения на A_{31} и т. д. То есть, каждое уравнение одной системы нужно умножать на определённые алгебраические дополнения первого столбца матрицы A:

 \left\{ \begin{aligned} A_{11}a_{11}x + A_{11}a_{12}y + A_{11}a_{13}z = A_{11}b_1\\ A_{21}a_{21}x + A_{21}a_{22}y + A{21}a_{23}z = A_{21}b_2\\ A_{31}a_{31}x + A_{31}a_{32}y + A_{31}a_{33}z = A_{31}b_3 \end{aligned} \right

Теперь прибавим все левые части уравнения, сгруппируем слагаемые, учитывая неизвестные переменные x, y, z и приравняем эту же сумму к сумме правых частей системы уравнения:

x * (A_{11}a_{11} + A_{21}a_{21} + ... + A_{n}a_{n}) + y* (A_{11}a_{12} + A_{21}a_{22} + ... + A_{n}a_{n}) + \\ + z * (A_{11}a_{1n} + A_{21}a_{2n} + ... + A_{1n}a_{nn}) = A_{11}b_{1} + A_{21b_{2} + ... + A_{1n}b_{n}.

Можно обратиться к вышеописанным свойствам определителей и тогда получим:

A_{11}a_{11} + A_{21}a_{21} + ... + A_{1n}a_{1n} = |A|\\  A_{11}a_{12} + A_{21}a_{22} + ... + A_{1n}a_{2n} = 0\\  .......................................................\\  A_{11}a_{1n} + A_{21}a_{2n} + ... + A_{1n}a_{nn} = 0\\  A_{11}b_{1} + A_{21}b_{2} + ... + A_{1n}b_{n} = \begin{vmatrix}  b_{1}&a_{12}&...&a_{1n}\\  b_{2}&a_{22}&...&a_{2n}\\  \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\  b_{n}&a_{2n}&...&a_{nn}  \end{vmatrix}  \right

И предыдущее равенство уже выглядит так:

x * |A| = \begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&...&a_{1n}\\ b_{2}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ b_{n}&a_{2n}&...&a_{nn}\\ \end{vmatrix} \right

Откуда и получается x = |A|.

Аналогично находим y. Для этого надо умножить обе части уравнений на алгебраические дополнения, которые находятся во втором столбце матрицы A.

 \left\{ \begin{aligned} A_{12}a_{11}x + A_{12}a_{12}y + \dots + A_{12}a_{1n}z = A_{12}b_1\\ A_{22}a_{22}x + A_{22}a_{22}y + \dots + A{22}a_{2n}z = A_{22}b_2\\ \vdots&\\ A_{2n}a_{1n}x + A_{2n}a_{2n}y + \dots + A_{2n}a_{nn}z = A_{2n}b_n \end{aligned} \right

Теперь нужно сложить все уравнения системы и сгруппировать слагаемые при неизвестных переменных. Для этого вспомним свойства определителя:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

x * (A_{12}a_{11} + A_{22}a_{21} + \dots + A_{2n}a_{1n}) + y * (A_{12}a_{12} + A_{22}a_{22} + \\ + \dots + A_{2n}a_{2n}) + \dots +  \to{z} * (A_{12}a_{1n} + A_{22}a_{2n} + \dots + A_{2n}a_{nn}) = \\ = A_{12}b_{1} + A_{22}b_{2} + \dots + A_{2n}b_{n}\to{x} * 0 + y * |A| + \dots + z * 0 = \\ = \begin{vmatrix}  a_{11}&b_{1}&\dots&a_{1n}\\  a_{21}&b_{2}&\dots&a_{2n}\\  \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\  a_{1n}&b_{n}&\dots&a_{nn}  \end{vmatrix}\to{y}* |A| = \begin{vmatrix}  a_{11}&b_{1}&\dots&a_{1n}\\  a_{21}&b_{2}&\dots&a_{2n}\\  \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\  a_{1n}&b_{n}&\dots&a_{nn}  \end{vmatrix}  \right

Откуда получается y = |A|.

Аналогично находятся все остальные неизвестные переменные.

Если обозначить:

\Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{12}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&...&a_{nn} \end{vmatrix}, \right

\Delta_{x}= \begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&...&a_{1n}\\ b_{2}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ b_{n}&a_{2n}&...&a_{nn} \end{vmatrix}, \right

\Delta_{y}= \begin{vmatrix} a_{11}&b_{1}&...&a_{1n}\\ a_{21}&b_{2}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{1n}&b_{n}&...&a_{nn} \end{vmatrix},

\Delta_{z}= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&...&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&...&b_{n} \end{vmatrix} , \right

тогда получаются формулы, благодаря которым находятся неизвестные переменные методом Крамера:

{x} = {\Delta_{x}\over{\Delta}}, {y} = {\Delta_{y}\over{\Delta}}, {z} = {\Delta_{z}\over{\Delta}}.

Замечание.

Тривиальное решение (x = y = \dots = z = 0 при A\neq{0}) может быть только в том случае, если система уравнений является однородной (b_1 = b_2 = \dots = b_n = 0). И действительно, если все свободные члены нулевые, тогда и определители равняются нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Конечно же, тогда формулы {x} = {\Delta_{x}\over{\Delta}}, {y} = {\Delta_{y}\over{\Delta}}, {z} = {\Delta_{z}\over{\Delta}} дадут x = y = \dots = z = 0

Метод Крамера – теоремы

Прежде чем решать уравнение , необходимо знать:

  1. теорему аннулирования;
  2. теорему замещения.

Теорема замещения

Теорема

Сумма произведений алгебраических дополнений любого столбца (строки) на произвольные числа b_1, b_2, b_3 равняется новому определителю, в котором этими числами заменены соответствующие элементы изначального определителя, что отвечают данным алгебраическим дополнениям.

Например,

b_1A_{11} + b_2A_{21} + b_3A_{32} =  \begin{vmatrix} b_1&a_{12}&a_{13}\\ b_2&a_{22}&a_{23}\\ b_3&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} \right

где A_{11}, A_{21}, A_{31} – алгебраические дополнения элементов a_{11}, a_{21}, a_{31} первого столбца изначального определителя:

\Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} \right

 

Теорема аннулирования

Теорема

Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равняется нулю.

Например:

a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21} + a_{32}A_{31} = 0.

Алгоритм решения уравнений методом Крамера

Метод Крамера – простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Такой вариант применяется исключительно к СЛАУ, у которых совпадает количество уравнений с количеством неизвестных, а определитель отличен от нуля.

Итак, когда выучили все этапы, можно переходить к самому алгоритму решения уравнений методом Крамера. Запишем его последовательно:

Шаг 1. Вычисляем главный определитель матрицы

\Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix} \right

и необходимо убедиться, что определитель отличен от нуля (не равен нулю).

Шаг 2. Находим определители

\Delta_{x} = \begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ b_{2}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ b_{n}&a_{2n}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix} \right

\Delta_{y} = \begin{vmatrix} a_{11}&b_{1}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&b_{2}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{1n}&b_{n}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix} \right\vdots

\Delta_{z} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\dots&b_{n} \end{vmatrix} \right

Это и есть определители матриц, которые получались из матрицы A при замене столбцов на свободные члены.

Шаг 3. Вычисляем неизвестные переменные

Теперь вспоминаем формулы Крамера, по которым вычисляем корни (неизвестные переменные):

{x} = {\Delta_{x}\over{\Delta}}, {y} = {\Delta_{y}\over{\Delta}}, {z} = {\Delta_{z}\over{\Delta}}.

Шаг 4. Выполняем проверку

Выполняем проверку решения при помощи подстановки x, y, z в исходную СЛАУ. Абсолютно все уравнения в системе должны быть превращены в тождества. Также можно высчитать произведение матриц A * X. Если в итоге получилась матрица, которая равняется B, тогда система решена правильно. Если же не равняется B, скорей всего в одном из уравнений есть ошибка.

Давайте для начала рассмотрим систему двух линейных уравнений, так как она более простая и поможет понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы поймёте простые и короткие уравнения, тогда сможете решить более сложные системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Кроме всего прочего, есть системы уравнений с двумя переменными, которые решаются исключительно благодаря правилу Крамеру.

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Итак, дана система двух линейных уравнений:

\left\{ \begin{aligned} a_{1}x + b_{1}y = S_1\\ a_{2}x + b_{2}y = S_2\\ \end{aligned}  \right

Для начала вычисляем главный определитель (определитель системы):

\Delta = \begin{vmatrix} a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\\ \end{vmatrix} \right

Значит, если \Delta = 0, тогда у системы или много решений, или система не имеет решений. В этом случае пользоваться правилом Крамера нет смысла, так как решения не получится и нужно вспоминать метод Гаусса, при помощи которого данный пример решается быстро и легко.

В случае, если \Delta\neq{0}, тогда у система есть всего одно решение, но для этого необходимо вычислить ещё два определителя и найти корни системы.

\Delta_x = \begin{vmatrix} S_{1}&b_{1}\\ S_{2}&b_{2}\\ \end{vmatrix} \right

и

\Delta_y = \begin{vmatrix} a_{1}&S_{1}\\ a_{2}&S_{2}\\ \end{vmatrix} \right

Часто на практике определители могут обозначаться не только \Delta, но и латинской буквой D, что тоже будет правильно.

Корни уравнения найти просто, так как главное, знать формулы:

x = {\Delta_{x}\over{\Delta}}, y =  {\Delta_{y}\over{\Delta}}

Так как мы смогли решить систему двух линейных уравнений, теперь без проблем решим и систему трёх линейных уравнений, а для этого рассмотрим систему:

\left\{ \begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{aligned}  \right

(1)

Здесь алгебраические дополнения элементов – первый столбец {A_{11}, A_{21}, A_{31}. Во время решения не забывайте о дополнительных элементах. Итак, в системе линейных уравнений нужно найти три неизвестных – x, y, z при известных других элементах.

Создадим определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

\Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} \right

Умножим почленно каждое уравнение соответственно на A_{11}, A_{21}, A_{31} – алгебраические дополнения элементов первого столбца (коэффициентов при x) и прибавим все три уравнения. Получаем:

x(a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}) + y(a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21} + a_{32}A_{31}) + z(a_{13}A_{11} + a_{23}A_{21} + a_{33}A_{31}) = b_1A_{11} + b_2A_2_1 + b_3A_{31}.

Согласно теореме про раскладывание, коэффициент при x равняется \Delta. Коэффициенты при y и z будут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается

\Delta_x = \begin{vmatrix} b_1&a_{12}&a_{13}\\ b_2&a_{22}&a_{23}\\ b_3&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} \right

После этого можно записать равенство:

x * \Delta + y * 0 + z * 0 = \Delta_x

(2)

Для нахождения y и z перемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно на A_{12}, A_{22}, A_{32},, во втором – на A_{13}, A_{23}, A_{33} и прибавим. Впоследствии преобразований получаем:

y *  \Delta =  \Delta_y, z *  \Delta =  \Delta_z

 где

\Delta_y= \begin{vmatrix} a_{11}&b_1&a_{13}\\ a_{21}&b_2&a_{23}\\ a_{31}&b_3&a_{33} \end{vmatrix},

\Delta_z = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&b_2\\ a_{31}&a_{32}&b_3 \end{vmatrix}. \right

Если  \Delta\neq0, тогда в результате получаем формулы Крамера:

x= \Delta_x\over{\Delta}, y = \Delta_y\over{\Delta}, z = \Delta_z\over{\Delta}

Порядок решения однородной системы уравнений

Отдельный случай – это однородные системы:

\left\{ \begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = 0,\\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = 0,\\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = 0. \end{aligned} \right

(3)

Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения (x = y = z = 0), так и решения отличны от нуля.

Теорема

Если определитель\Delta однородной системы (3) отличен от нуля (\Delta\neq0), тогда у такой системы может быть только одно решение.

Действительно, вспомогательные определители \Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0, как такие у которых есть нулевой столбец и поэтому, за формулами Крамера (x = y = z = 0).

Теорема

Если у однородной системы есть отличное от нуля решение, тогда её определитель \Delta равняется нулю (\Delta = 0).

Действительно, пусть одно из неизвестных , например, x, отличное от нуля. Согласно с однородностью \Delta_x = 0. Равенство (2) запишется: \Delta * x = 0. Откуда выплывает, что \Delta = 0 (x\neq0).

Примеры решения методом Крамера

Рассмотрим на примере решение методом Крамера и вы увидите, что сложного ничего нет, но будьте предельно внимательно, так как частые ошибки в знаках приводят к неверному ответу.

Пример 1

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

\left\{ \begin{aligned} 5x_{1} + 2x_{2} = 7\\ 2x_{1} + 2x_{2} = 9 \end{aligned} \right

Решение

Первое, что надо сделать – вычислить определитель матрицы:

\Delta = \begin{vmatrix}  5&2\\  2&2  \end{vmatrix} = 5 * 2 - 2 * 2 = 6\neq{0}  \right

Как видим, \Delta\neq{0}, поэтому по теореме Крамера система имеет единственное решение (система совместна). Далее нужно вычислять вспомогательные определители. Для этого заменяем первый столбец из определителя \Delta на столбец свободных коэффициентов. Получается:

\Delta_{1} = \begin{vmatrix}  7&2\\  9&2  \end{vmatrix} = 14 - 18 = -4.  \right

Аналогично находим остальные определители:

\Delta_{2} = \begin{vmatrix}  5&7\\  2&9  \end{vmatrix} = 45 - 14 = 31.  \right

И проверяем:

x_{1} = {\Delta_{1}\over{\Delta}} =   {- 4\over{6}} = -0.7,

x_{2} =  {\Delta_{2}\over{\Delta}} = {31\over{6}} = 5.1.

Ответ

x_{1} = -0.7, x_{2} = 5.1.

Пример 2

Задача

Решить систему уравнений методом Крамера:

\left\{ \begin{aligned} 3x - 4y + 2z = 5\\ 2x + y + 4z = 9\\ 5x - 2y - z = 3 \end{aligned}  \right

Решение

Находим определители:

\Delta= \begin{vmatrix} 3&-4&2\\ 2&1&4\\ 5&-2&-1 \end{vmatrix}= 3 * 7 - (-4) * (-22) + 2 * (-9) = -85,  \right

\Delta_x = \begin{vmatrix} 5&-4&2\\ 9&1&4\\ 3&-2&-1 \end{vmatrix}= 5 * 7 - 9 * 8 + 3 * (-18) = -91,  \right

\Delta_y = \begin{vmatrix} 3&5&2\\ 2&9&4\\ 5&3&-1 \end{vmatrix}= 3 * (-21) - 5 * (-22) + 2 * (-39) = -31,  \right

\Delta_z= \begin{vmatrix} 3&-4&5\\ 2&1&9\\ 5&-2&3 \end{vmatrix}= 9- 180 - 20 - 25 + 54 + 24 = - 138;  \right

Ответ

x = \Delta_x\over{\Delta} = 91\over{85},   y = \Delta_y\over{\Delta} = 31\over{85},   z= \Delta_z\over{\Delta} = 138\over{85}

Проверка

1\over{85}*(3*91 - 4 * 31 + 2 * 138) = 1\over{85} * (273 - 124 + 276) = 425\over{85} = 5,

1\over{85}*(2*91 + 31 + 4 * 138) = 1\over{85} * (182 + 31 + 552) = 765\over{85} = 9,

1\over{85}*(5*91 - 2 * 31 - 138) = 1\over{85} * (455 - 62 - 138) = 245\over{85} = 3,

Уравнение имеет единственное решение.

Ответ

x = 91\over{85},   y = 31\over{85},   z = 138\over{85}

Пример 3

Задача

Решить систему методом Крамера

 \left\{ \begin{aligned} 3x - y = 5\\ - 2x + y + z = 0\\ 2x - y + 4z = 15 \end{aligned}  \right

Решение

Как вы понимаете, сначала находим главный определитель:

 \Delta = \begin{vmatrix} 3&-1&0\\ -2&1&1\\ 2&-1&4 \end{vmatrix}= 3 * 1 * 4 + (-2) * (-1) * 0 + (-1) * 1 * 2 - 0 * 1 * 2 - \\ - 1 * (-1) * 3 - (-1) * (-2) * 4 = 12 - 2 + 3 - 8 = 5.  \right

Как мы видим, главный определитель не равняется нулю и поэтому система имеет единственное решение. Теперь можно вычислить остальные определители:

\Delta_x = \begin{vmatrix} 5&-1&0\\ 0&1&1\\ 15&-1&4 \end{vmatrix}= 5 * 1 * 4 + (-1) * 1 * 15 + 0 * (-1) * 0 - 0 * 1 * 15 - \\ - 1 * (-1) * 5 - (-1) * 0 * 4 = 20 - 15 + 5 = 10.  \right

\Delta_y = \begin{vmatrix} 3&5&0\\ -2&0&1\\ 2&15&4 \end{vmatrix}= 3 * 0 * 4 + 5 * 1 * 2 + (-1) * 15 * 0 - 0 * 0 * 2 - 1 * \\ * 15 * 3 - 5 * (-2) * 4 = 15 - 45 + 40 = 5.  \right

\Delta_z = \begin{vmatrix} 3&-1&5\\ -2&1&0\\ 2&-1&15 \end{vmatrix}= 3 * 1 * 15 + (-1) * 0 * 2 + (-2) * (-1) * 5 - 5 * 1 * 2 - 0 * (-1) * 3 - (-1) * *(-2) * 15 = 45 + 10 - 10 - 30 = 15.  \right

При помощи формул Крамера находим корни уравнения:

x = {\Delta_{x}\over{\Delta}} = {10\over{5}} = 2y =  {\Delta_{y}\over{\Delta}} = {5\over{5}} = 1, z =  {\Delta_{z}\over{\Delta}} = {15\over{5}} = 3.

Чтобы убедиться в правильности решения, необходимо сделать проверку:

\left\{ \begin{aligned} 3 * 2 - 1 = 5\\ - 2 * 2 + 1 + 3 = 0\\ 2 * 2 - 1 + 4* 3 = 15 \end{aligned} \right

Как видим, подставив в уравнение решённые корни, у нас ответ получился тот же, что и в начале задачи, что говорит о правильном решении уравнений.

Ответ

Система уравнений имеет единственное решение: x = 2, y = 1, z = 3.

Есть примеры, когда уравнение решений не имеет. Это может быть в том случае, когда определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных неравны нулю. В таком случае говорят, что система несовместна, то есть не имеет решений. Посмотрим на следующем примере, как такое может быть.

Пример 4

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

 \left\{ \begin{aligned} 2x - y + 3z = 9\\ 3x - 5y + z = -4\\ 4x - 7y + z = 5 \end{aligned}  \right

Решение

Как и в предыдущих примерах находим главный определитель системы:

\Delta = \begin{vmatrix}  2&-1&3\\  3&-5&1\\  4&-7&1  \end{vmatrix}= -10 - 4 - 63 + 60 + 14 + 3 = 0.  \right

В этой системе определитель равняется нулю, соответственно, система несовместна и определенна или же несовместна и не имеет решений. Чтобы уточнить, надо найти определители при неизвестных так, как мы делали ранее:

\Delta_x = \begin{vmatrix}  9&-1&3\\  -4&-5&1\\  5&-7&1  \end{vmatrix}= -45 - 5 + 84 + 75 - 4 63 = 168.  \right

\Delta_y = \begin{vmatrix}  2&9&3\\  3&-4&1\\  4&5&1  \end{vmatrix}= -8 + 36 + 45 + 48 - 27 - 10 = 84.  \right

\Delta_z = \begin{vmatrix}  2&-1&9\\  3&-5&-4\\  4&-7&5  \end{vmatrix}= -50 + 16 - 189 + 180 - 56 + 15 = - 84.  \right

Мы нашли определители при неизвестных и увидели, что все они не равны нулю. Поэтому система несовместна и не имеет решений.

Ответ

Система не имеет решений.

Часто в задачах на системы линейных уравнений встречаются такие уравнения, где есть не одинаковые буквы, то есть, кроме букв, которые обозначают переменные, есть ещё и другие буквы и они обозначают некоторое действительное число. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. Давайте и рассмотрим такой пример.

Пример 5

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

 \left\{ \begin{aligned} ax - 3y = 1\\ 2x + ay = 2 \end{aligned} \right

Решение

В этом примере a – некоторое вещественное число. Находим главный определитель:

\Delta = \begin{vmatrix}  a&-3\\  2&a  \end{vmatrix}= a^2 + 6.  \right

Находим определители при неизвестных:

\Delta_x = \begin{vmatrix}  1&-3\\  2&a  \end{vmatrix}= a + 6.  \right

\Delta_y = \begin{vmatrix}  a&1\\  2&2  \end{vmatrix} = 2a - 2 = 2(a - 2).  \right

Используя формулы Крамера, находим:

{x} = {a + 6\over{a^2 + 6}}, {y} = {2(a - 1)\over{a^2 + 6}}.

Ответ

{x} = {a + 6\over{a^2 + 6}},

{y} = {2(a - 1)\over{a^2 + 6}}.

И наконец, мы перешли к самой сложной системе уравнений с четырьмя неизвестными. Принцип решения такой же, как и в предыдущих примерах, но в связи с большой системой можно запутаться. Поэтому рассмотрим такое уравнение на примере.

Пример 6

Задача

Найти систему линейных уравнений методом Крамера:

 \left\{ \begin{aligned} 2x_{1} + 2x_{2} - x_{3} + x_{4} = 4\\ 4x_{1} + 3x_{2} - x_{3} + 2x_{4} = 6\\ 8x_{1} + 5x_{2} - 3x_{3} + 4x_{4} = 12\\ 3x_{1} + 3x_{2} - 2x_{3} + 2x_{4} = 6 \end{aligned} \right

Здесь действуют система определителей матрицы высших порядков, поэтому вычисления и формулы рассмотрены в этой теме, а мы сейчас просто посчитаем систему уравнений с четырьмя неизвестными.

Решение

\Delta = \begin{vmatrix}  2&2&-1&1\\  4&3&-1&2\\  8&5&-3&4\\  3&3&-2&2  \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}  2&2&-1&1\\  1&0&1&0\\  2&-1&1&0\\  -1&-1&0&0  \end{vmatrix} = 1* \begin{vmatrix}  1&0&1\\  2&-1&1\\  -1&-1&0  \end{vmatrix} = \\  = 0 + 0 - 2 - 1 - 0 + 1 = - 2  \right

В изначальном определители из элементов второй строки мы отнимали элементы четвёртой строки, а из элементов третьей строки отнимались элементы четвёртой строки, которые умножались на 2. Также отнимали из элементов четвёртой строки элементы первой строки, умноженной на два. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Теперь можно находить определители при неизвестных:

\Delta {x}_{1} = \begin{vmatrix}  4&2&-1&1\\  6&3&-1&2\\  12&5&-3&4\\  6&3&-2&2  \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}  4&2&-1&1\\  0&0&1&0\\  0&-1&1&0\\  -2&-1&0&0  \end{vmatrix} = 1 * \begin{vmatrix}  0&0&1\\  0&-1&1\\  -2&-1&0  \end{vmatrix} = 1 * 1 * \\ * \begin{vmatrix}  0&-1\\  -2&-1  \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2  \right

\Delta {x}_{2} = \begin{vmatrix}  2&4&-1&1\\  4&6&-1&2\\  8&12&-3&4\\  3&6&-2&2  \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}  2&4&-1&1\\  1&0&1&0\\  2&0&1&0\\  -1&-2&0&0  \end{vmatrix} = 1 * \\ * \begin{vmatrix}  1&0&1\\  2&0&1\\  -1&-2&0  \end{vmatrix} = 1 * \begin{vmatrix}  1&0&1\\  1&0&0\\  -1&-2&0  \end{vmatrix} = 1 * 1 * \begin{vmatrix}  1&0\\  -1&-2  \end{vmatrix} = -2  \right

\Delta {x}_{3} = \begin{vmatrix}  2&2&4&1\\  4&3&6&2\\  8&5&12&4\\  3&3&6&2  \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}  2&2&4&1\\  1&0&0&0\\  2&-1&0&0\\  -1&-1&-2&0  \end{vmatrix} = 1 * \begin{vmatrix}  2&2&4\\  2&0&1\\  -1&-2&0  \end{vmatrix} = 1 * \\ * \begin{vmatrix}  1&0&0\\  2&-1&0\\  -1&-1&-2  \end{vmatrix} = 1 * 1 * \begin{vmatrix}  -1&0\\  -1&-2  \end{vmatrix} = 2  \right

\Delta {x}_{4} = \begin{vmatrix}  2&2&-1&4\\  4&3&-1&6\\  8&5&-3&12\\  3&3&-2&6  \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}  2&2&-1&4\\  1&0&1&0\\  8&5&-3&12\\  3&3&-2&6  \end{vmatrix} = 1 * \begin{vmatrix}  2&-1&4\\  5&-3&12\\  3&-2&6  \end{vmatrix} + 1 * \begin{vmatrix}  2&2&4\\  8&5&12\\  3&3&6  \end{vmatrix} = \\ = 1 * (-36 - 36 - 40 + 36 + 30 + 48) + 1 * (60 + 72 + 96 - 60 - 96 - 72) = 78 - 76 = 2.  \right

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки мы вычитали элементы четвёртой строки.

Теперь по формулам Крамера нужно найти:

x_{1} = {-2\over{-2}} = {1},

x_{2} = {-2\over{-2}} = {1},

x_{3} = {2\over{-2}} = {- 1},

x_{4} = {2\over{-2}} = {- 1}.

Ответ

Итак, мы нашли корни системы линейного уравнения:

x_{1} = {-2\over{-2}} = {1},

x_{2} = {-2\over{-2}} = {1},

x_{3} = {2\over{-2}} = {- 1},

x_{4} = {2\over{-2}} = {- 1}.

Подведём итоги

При помощи метода Крамера можно решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не равен нулю. Такой метод позволяет находить определители матриц такого порядка, как n на n благодаря формулам Крамера, когда нужно найти неизвестные переменные. Если все свободные члены нулевые, тогда их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. И конечно же, если определители равняются нулю, лучше решать систему методом Гаусса, а не Крамера, только тогда ответ будет верный.

Рекомендуем почитать для общего развития

pdf Анкилов А. В. Высшая математика, ч. 1: учеб. Пособие/П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников – Ульяновск – 2011 – 252 с.

pdf Письменный Д. – Конспект лекций по высшей математике: учеб. для вузов/Письменный Д. – М. 2006 – 602 с.

Решение методом Крамера в Excel

pdf Метод Крамера в Excel 2003 (XLS)

pdf Метод Крамера в Excel от 2007 (XLSX)

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

9793

Решение для вас

Помощь с работой Список услуг

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также